Tarea1MM208B
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Tareas de M´ etodos Matem´aticos 2 Serie por todos lados M´ eto dos Mat em´ aticos 2, Tarea 1 Series por Todos Lados. Fecha de Entrega 10 Octubre 2008 1. A cu´anto asciende la suma de los n´umero pares desde 1000 hasta el 2000 2. Encuentr e las expresi ´on para las sumas parciales S N de los primeros N t´ erminos para las siguientes series ∞ n=1 n + 1 n , ∞ n=1 (−2) n ∞ n=1 (−1) n+1 n 3 n En cada caso determine si la serie es convergente, divergente u oscilatoria. 3. Pruebe que cos θ + cos(θ + α) + ··· + cos(θ + nα) = sen 1 2 (n + 1)α sen 1 2 α cos θ + 1 2 nα 4. Deter mine el entorn o de valo res de x ∈ R para el cual convergen las siguientes series. ∞ n=1 x n n + 1 , ∞ n=1 (senx) n , ∞ n=1 n x ∞ n=1 e nx , ∞ n=2 (ln n) x . 5. Un interfer´omet ro de Fabry-P´ erot 1 consiste en dos placas paralelas (semi) reflectoras. El rayo de luz entra y se refleja entre las placas y, para cada reflexi´ on existe una trasmisi´ on parcial de al se˜ nal que emerge del interfer´ometro. Encuentre la intensidad |B| 2 de la onda emergente si su amplitud puede ser escrita como B = A(1 − r) ∞ n=0 r n e inφ con r y φ cantidades reales 6. Evalue l´ ım x→0 1 x 3 cosec x − 1 x − x 6 7. Utilizando la expansi´on de Taylor hasta orden 5 encuentre el valor aproximado para (17) 1/4 y (26) 1/5 8. El desplaz amie nto en el eje x , de una part´ ıcula de masa en reposo m 0 sometida a una fuerza gravita- cional constante m 0 g puede expresarse como x = c 2 g 1 + g t c 2 − 1 donde se incluyen efectos re lativistas Encuentre el desplazamiento expresado como una serie de potencias en t y comp´ arela con la expresi´ on clasica x = 1 2 gt 2 1 ver en http://en.wikipedia.org/wiki/Fabry-Perot_interferometer Luis A. N´ u˜ nez Universidad de Los Andes, M´ erida, V enezuela 1
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Tareas de Metodos Matematicos 2 Serie por todos lados
Metodos Matematicos 2,
Tarea 1
Series por Todos Lados.
Fecha de Entrega 10 Octubre 2008
1. A cuanto asciende la suma de los numero pares desde 1000 hasta el 2000
2. Encuentre las expresion para las sumas parciales S N de los primeros N terminos para las siguientesseries
∞n=1
n + 1
n ,
∞n=1
(−2)n∞n=1
(−1)n+1n
3n
En cada caso determine si la serie es convergente, divergente u oscilatoria.
3. Pruebe que
cos θ + cos(θ + α) + · · ·+ cos(θ + nα) =
sen1
2(n + 1)α
sen 1
2α cos
θ +
1
2nα
4. Determine el entorno de valores de x ∈ R para el cual convergen las siguientes series.
∞n=1
xn
n + 1,
∞n=1
(senx)n,
∞n=1
nx∞n=1
enx,
∞n=2
(lnn)x.
5. Un interferometro de Fabry-Perot 1 consiste en dos placas paralelas (semi) reflectoras. El rayo de luzentra y se refleja entre las placas y, para cada reflexi on existe una trasmision parcial de al senal queemerge del interferometro. Encuentre la intensidad |B|2 de la onda emergente si su amplitud puede serescrita como
B = A(1− r)
∞n=0
r
n
e
inφ
con r y φ cantidades reales
6. Evalue
lımx→0
1
x3
cosecx−
1
x −
x
6
7. Utilizando la expansion de Taylor hasta orden 5 encuentre el valor aproximado para (17)1/4 y (26)1/5
8. El desplazamiento en el eje x, de una partıcula de masa en reposo m0 sometida a una fuerza gravita-cional constante m0g puede expresarse como
x = c2
g
1 + gt
c2
− 1
donde se incluyen efectos relativistas
Encuentre el desplazamiento expresado como una serie de potencias en t y comparela con la expresionclasica x = 1
2gt2
1ver en http://en.wikipedia.org/wiki/Fabry-Perot_interferometer
Luis A. N´ u˜ nez Universidad de Los Andes, Merida, Venezuela 1
7/17/2019 Tarea1MM208B
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Tareas de Metodos Matematicos 2 Serie por todos lados
9. En la teorıa cuantica, un sistema de osciladores, cada uno con una frecuencia fundamental ν tiene unaenergıa promedio
E =∞n=0 nνhe−nx
∞
n=0 e−nx
donde x = hν kT siendo h la constante de Planck y k la de Boltzmann. Pruebe que
ambas series convergen.
si T 1 ⇒ E ≈ kT
si T 1 ⇒ E ≈ hνe−x
10. En analisis numerico se convierten las derivadas en sumas de diferencias (se conoce como metodos dediferencias finitas ) Deduzca el error que se comete al aproximar
d2
dx2ψ(x) ≈
1
h2 (ψ(x + h)− 2ψ(x) + ψ(x− h))
11. Utilizando Maple considere la siguiente serie
S =∞j=1
n2
3− n2
a ) Grafique el valor de la suma para j = 5, 7, 10, 20, 11
b) Encuentre el valor de la suma cuando j → ∞
12. Utilizando MapleV
a ) grafique f (x) = 1
3 (sen (x) + cos(x)), alrededor de x = 0
b) en la misma grafica incluya graficas para la aproximacion de Taylor de esa funci’on, para: segundoorden, cuarto orden y septimo orden.
c ) Para decidir cuan aproximada es su aproximacion es medir el error
≈ f (x)− f Taylor(x)
¿ Cual es el entorno de valores de x para el cual al aumentar el grado del polinomio de aproximacionel error disminuye ?
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