Universidad Centroamericana “José Simeón Cañas”

Facultad de Ingeniería y Arquitectura

Departamento de Matemática

Matemática IV

Sección 01 y 02

Ing. Eduardo Escapini

Ing. Daniel A. Sosa

Ciclo 01/2015

INDICACIONES TAREA GRUPAL

OBJETIVO: Que los alumnos que cursan la materia, apliquen los conocimientos adquiridos para

resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior y otros conocimientos necesarios

para resolver problemas de aplicación a la ingeniería.

La presente tarea está compuesta por 5 problemas, de los cuales se le pide lo siguiente:

i. Resolver el problema a mano y con bolígrafo.

ii. Enfatizar los teoremas o métodos con los que resuelve el problema.

iii. Numerar los pasos de solución.

iv. Presentar los procedimientos y consideraciones para la solución de cada problema.

v. Presentar impresiones de capturas de pantalla, graficas en Excel, plantillas o cuadros

de Excel, u otras aplicaciones o programas utilizados, de ser necesarios.

vi. Utilizar los métodos vistos en clase para resolver ecuaciones diferenciales de orden

superior con coeficientes constantes o variables, homogéneas o no homogéneas.

vii. Deberá aplicar al menos una vez: La Transformada de Laplace, Serie de Potencias,

Couchy Euler, Método de Variación de Parámetros, Método de Coeficientes

Indeterminados, en los casos posibles.

viii. Detallar orden, originalidad, limpieza y claridad.

La presentación del reporte debe contener como mínimo lo siguiente:

a) Portada.

b) Índice.

c) Enunciado de cada problema y solución.

d) Conclusiones (una por cada problema)

e) Bibliografía utilizada.

Metodología de Evaluación:

Resolver y entregar en grupos de 4 integrantes, del mismo curso y sección.

La presentación y solución de la tarea equivale al 40% de la nota del examen parcial final (CADA

EJERCICIO TIENE UNA PONDERACIÓN DEL 8%).

El 60% restante corresponde al examen parcial final, que se realizará el día Jueves 2 de Julio.

NOTAS:

1) La tarea debe ser entregada por el representante del grupo al inicio del tercer examen que

se realizará el día Viernes 26 de Junio, de no ser entregada a la hora dicha anteriormente

se pierden el 50% de la nota de la tarea (se pierden 50% de la nota global de esta

actividad por irresponsabilidad).

2) El plagio o copia de la solución de la tarea, será penalizado, asignando una nota de CERO

en esta actividad.

REINGRESO DEL APOLO

1) Cada vez que los astronautas de las naves Apolo regresaban de la Luna en la década de

1970, tenían cuidado en ingresar a la atmósfera de la Tierra a lo largo de una trayectoria

que formase un pequeño ángulo α con la horizontal. Ver la ilustración 1. Esto es necesario

para evitar fuerzas “g” intolerablemente grandes durante su reingreso.

Ilustración 1

Para apreciar las bases de su preocupación, considere el problema idealizado:

𝑑2𝑠

𝑑𝑡2= −𝐾𝑒

𝑠𝐻 (

𝑑𝑠

𝑑𝑡)

2

Donde K y H son constantes y la distancia S se mide hacia abajo desde algún punto de referencia

sobre la trayectoria, como se muestra en la ilustración 1. Esta ecuación aproximada pretende que

la única fuerza sobre la cápsula durante el reingreso es la resistencia del aire. Para un cuerpo como

el Apolo, la resistencia es proporcional al cuadrado de la velocidad y a la densidad atmosférica

local, que decae exponencialmente con la altura. Intuitivamente, sería de esperar que la

desaceleración predicha por este modelo dependería fuertemente de la constante K (que toma en

cuenta la masa y el área del vehículo, entre otras cosas); pero de manera notable, para cápsulas

que entran a la atmósfera (en "𝑠 = −∞") con una velocidad común V0, la desaceleración máxima

resulta ser independiente de K.

a) Verifique esta última afirmación demostrando que esta desaceleración máxima no es más

que: 𝑉0

2

𝑒𝐻. SUGERENCIA: La variable independiente t no aparece en la ecuación diferencial,

de modo que es útil hacer la sustitución 𝑣 =𝑑𝑠

𝑑𝑡.

b) Verifique también que en el instante de mayor desaceleración, cualquiera de estas naves

viajará precisamente a la velocidad 𝑉0

√𝑒, habiendo perdido casi el 40% de su velocidad inicial

original.

c) Use los datos plausibles V0=11 km/s y H= 10/(sen(α)) km, estime cuán pequeño debe

elegirse α para no perturbar a los viajeros que retornan con no más de 10 g.

Alar Toomre, Massachussets Institute of Technology.

DISEÑO DE UN SISTEMA DE ATERRIZAJE PARA UN VIAJE INTERPLANETARIO

2) Usted es un cadete de segundo año de la academia espacial, a bordo del Enterprise, que

realiza un estudio a largo plazo del sistema estelar GLIA. El objeto de estudio en la

expedición actual es el gran planeta GLIA 4, sin aire. Se enviará una sonda con un sensor

clase 1, con una masa m, a la superficie del planeta para reunir datos. La sonda tiene un

sistema de aterrizaje ajustable, para poderse usar en planetas con gravedades distintas. El

sistema consta de un resorte lineal (fuerza=-kx, donde x es el desplazamiento), un resorte

no lineal (fuerza=-ax3) y un amortiguador (fuerza=-bx) todos en paralelo.

Ilustración 2

En la ilustración 2 se muestra el esquema del sistema de aterrizaje de una sonda. (a) El sistema al

momento del impacto. Los resortes no están estirados ni comprimidos, los propulsores se han

apagado y la velocidad es VL hacia abajo. (b) La sonda ha alcanzado un estado de reposo sobre la

superficie, y los resortes se han comprimido lo suficiente para soportar el peso. Entre los estados

(a) y (b), la sonda oscila con respecto a su base.

Durante el proceso de aterrizaje, los propulsores se usan para crear una razón de descenso

constante. La velocidad al momento del impacto varía; usamos el símbolo VL para denotar la

máxima velocidad que podría ocurrir en la práctica. Al momento del impacto, (1) el propulsor se

apaga y (2) los resortes de suspensión tienen su longitud natural sin estirar.

a) Sea x el desplazamiento medido desde su longitud sin estirar de los resortes, negativo

hacia abajo (es decir, la compresión proporciona una x negativa). Muestre que la ecuación

que describe las oscilaciones después del impacto es:

𝑚�̈� + 𝑏�̇� + 𝑘𝑥 + 𝑎𝑥3 = −𝑚𝑔

b) La sonda tiene una masa m=1,220 kg. El resorte lineal está instalado de manera

permanente y tiene una rigidez k=35,600 N/m. La gravedad en la superficie de la GLIA 4 es

g=17.5 m/s2. El resorte no lineal es removible; hay que elegir un resorte adecuado para

cada misión. Estos resortes no lineales están hechos de coralidio, una aleación rara y difícil

de fabricar. Por lo tanto, el Enterprise sólo lleva consigo cuatro diferentes tipos: a=

150000,300000, 450000 y 600000 N/m3. Determine que resortes proporcionan una

compresión lo más cercana posible a 0.3 m sin exceder 0.3 m cuando la nave reposa sobre

la superficie de GLIA 4. (El límite de 0.3 m es impuesto por requisitos de espacio libre).

Alfred Clark, Jr., Universidad de Rochester.

SOLUCIONES CON SIMETRÍA ESFÉRICA DE LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER

PARA EL ÁTOMO DE HIDRÓGENO

3) En mecánica cuántica, uno está interesado en determinar la función de onda y los estados

de energía de un átomo, lo que se logra mediante la ecuación de SchrÖdinger. En el caso

del átomo de hidrógeno, es posible hallar funciones de onda ψ que sólo dependan de r, la

distancia del protón al electrón. Tales funciones se llaman funciones con simetría esférica

y satisfacen la sencilla ecuación:

(1) 1

𝑟

𝑑2(𝑟𝜓)

𝑑𝑟2=

−8𝑚𝜋

ℎ2 (𝐸 +𝑒0

2

𝑟) 𝜓

Donde 𝑒02, m y h son contantes y E, que también es una constante, representa la energía

del átomo, que aquí suponemos negativa.

a) Muestre que con las sustituciones:

𝑟 =ℎ2

4𝜋2𝑚𝑒02 𝜌 y 𝐸 =

2𝜋2𝑚𝑒04

ℎ2 𝜀

Donde ɛ es una constante negativa, la ecuación (1) se reduce a:

𝑑2(𝜌𝜓)

𝑑𝜌2= − (ɛ +

2

𝜌) 𝜌𝜓

b) Si 𝑓 = 𝜌𝜓, entonces la ecuación anterior se convierte en:

(2) 𝑑2(𝑓)

𝑑𝜌2= − (ɛ +

2

𝜌) 𝑓

c) Muestre que la sustitución 𝑓(𝜌) = 𝑒−𝛼𝜌𝑔(𝜌), donde α es una constante positiva,

transforma a (2) en:

(3) 𝑑2𝑔

𝑑𝜌2− 2𝛼

𝑑𝑔

𝑑𝜌+ (

2

𝜌+ 𝜀 + 𝛼2) 𝑔 = 0

d) Si elegimos α2=-ɛ (ɛ negativo), entonces (3) queda:

(4) 𝑑2𝑔

𝑑𝜌2− 2𝛼

𝑑𝑔

𝑑𝜌+

2𝑔

𝜌= 0

e) Muestre que una solución en serie de potencias 𝑔(𝜌) = ∑ 𝑎𝑘𝜌𝑘∞𝑘=1 (que comienza en

k=1) para (4) debe tener coeficientes 𝑎𝑘 que satisfagan la relación de recurrencia:

(5) 𝑎𝑘+1 =2(𝛼𝑘 − 1)

𝑘(𝑘 + 1)𝑎𝑘 , 𝑘 ≥ 1

f) Sean En y ψn(𝜌) el estado de energía y la función de onda respectivamente,

correspondientes a α=1/n. Determine En (en términos de las constantes 𝑒02, m y h) y

ψn(𝜌) para n=1, 2 y 3.

Erwin Rudolf Josef Alexander SchrÖdinger, Premio Novel de Física.

FLEXIÓN DE UNA TORRE

4) Una torre se construye con cuatro vigas angulares unidas por las diagonales (ver

ilustración 3). La curva de deflexión y(x) para la torre queda descrita mediante la ecuación:

(1) 𝑥2𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+

𝑝𝑎2

𝐸𝐼𝑦 = 0, 𝑎 < 𝑥 < 𝑎 + 𝐿

Donde x es la coordenada vertical medida hacia abajo desde la parte superior de la torre, y

es la flexión con respecto de la vertical que pasa por el centro de la torre sin flexión, L es la

altura de la torre, a es la longitud de truncamiento, P es la carga, E es el módulo de

elasticidad e I es el momento de inercia. Las condiciones de frontera adecuadas para este

diseño son: 𝑦(𝑎) = 0, 𝑦´(𝑎 + 𝐿) = 0.

Es claro que la solución y(x)=0 siempre está a la mano. Sin embargo, cuando la carga P es

lo bastante pesada, la torre puede pandearse y puede surgir una solución no trivial y(x).

Ilustración 3

a) Resuelva la ecuación (1)

b) Muestre que la primera condición en la frontera 𝑦(𝑎) = 0 implica:

𝑦 = 𝐴√𝑥𝑠𝑒𝑛 (𝛽 ln (𝑥

𝑎) )

Donde A es una constante arbitraria y 𝛽 = √𝑃𝑎

𝐸𝐼−

1

4

c) Muestre que la segunda condición en la frontera 𝑦´(𝑎 + 𝐿) = 0 implica:

𝐴 {𝑡𝑎𝑛 [𝛽 ln (𝑎 + 𝐿

𝑎)] + 2𝛽}

d) Use el resultado de la parte (c) para justificar que no hay flexión (es decir, la única

posibilidad es A=0) si 0 < 𝛽 < 𝛽𝑐, donde 𝛽𝑐 es el menor número real positivo que

anula la expresión entre llaves.

e) El valor de la carga correspondiente a 𝛽𝑐 es la carga crítica Pc. Determine Pc en

términos de 𝛽𝑐, a, E e I.

f) Halle la carga crítica Pc si a=10, L=40 y EI=1000.

Físico-Matemático Leonard Euler (1757).

OBJETOS QUE FLOTAN

5) El movimiento de los objetos que tienen formas diferentes y flotan en una piscina puede

modelarse mediante una ecuación diferencial de segundo orden que se deduce de la

segunda ley de movimiento de Newton, F=ma. Las fuerzas que actúan sobre el objeto

incluyen la fuerza debida a la gravedad, una fuerza de fricción debida al movimiento del

objeto en el agua, y una fuerza de flotación basada en el principio de Arquímedes: Un

objeto total o parcialmente sumergido en un fluido recibe una fuerza (de flotación) hacia

arriba igual al peso del agua que desplaza.

a) El primer paso consiste en escribir la ecuación diferencial que describe el movimiento.

La variable dependiente es la profundidad “z” del punto más bajo del objeto en el

agua. Consideramos a “z” negativa hacia abajo, de modo que z=-1 indica que un pie

del objeto está sumergido. Sean V(z) el volumen sumergido del objeto, m la masa del

objeto, 𝜌 la densidad del agua (en libras por pie cúbico), g la aceleración debida a la

gravedad y 𝛾𝑤 el coeficiente de fricción para el agua. Si la fuerza de la fricción es

proporcional a la velocidad vertical del objeto, escriba la ecuación diferencial ordinaria

que describe la situación.

b) Por el momento, desprecie el efecto de fricción y suponga que el objeto es un cubo

que mide L pies de lado. Escriba la ecuación diferencial correspondiente a este caso. A

continuación, designe z=𝑙 como la profundidad de la sumersión, de modo que la

fuerza de flotación sea igual en magnitud y opuesta en dirección a la fuerza de

gravedad. Introduzca una nueva variable, ζ, que proporciona el desplazamiento del

objeto a partir de su posición de equilibrio 𝑙 (es decir, z=𝜁 + 𝑙). Ahora podrá escribir la

ecuación diferencial ordinaria de una manera más familiar. SUGERENCIA: recuerde el

sistema masa resorte y el caso de equilibrio). Ahora deberá reconocer el tipo de

solución para este problema. ¿Cuál es la frecuencia natural?

c) Aquí analizará el efecto de fricción. El objeto que flota es un cubo, con un pie por lado

y peso de 32 libras. Sean 𝛾𝑤=3 lb-s/pies, 𝜌=62.57 lb/pie3 y suponga que el objeto está

colocado inicialmente sobre una superficie del agua. Resuelva la ecuación diferencial

correspondiente, a mano, hallando la solución general. A continuación, determine la

solución particular para el caso en que el cubo se coloca inicialmente sobre la

superficie del agua y su velocidad inicial es nula. Proporcione una gráfica de la posición

del objeto como función del tiempo t.

d) Suponga que una esfera de radio R se deja flotar en el agua. Deduzca la ecuación de

segundo orden que describe el movimiento de la esfera, usando el principio de

Arquímedes y una fricción debido a su movimiento en el agua. Suponga que una

esfera pesa 32 libras, tiene un radio de 0.5 pie y 𝛾𝑤=3 lb-s/pie. Determine el valor

límite de la posición de la esfera sin resolver la ecuación ordinaria. A continuación

resuelva la ecuación diferencial ordinaria para la velocidad y posición de la esfera

como funciones del tiempo, para una esfera colocada sobre la superficie del agua.

Deberá escribir la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden como un sistema

de dos ecuaciones diferenciales ordinarias, una para la velocidad y otra para la

posición. ¿Cuál es la posición límite de la esfera para su solución? ¿Coincide con la

solución de equilibrio que halló antes? ¿Cuál es su relación con la posición de

equilibrio del cubo? En caso que sean distintas, explique por qué.

Richard Bernatz, Luther College.