Cálculo diferencial Límites y continuidad

Actividad 2. Límites de funciones

Instrucciones: Resuelve los siguientes los siguientes ejercicios:

1. Resolver .

2. Resolver .

3. Resolver .

4. Resolver .

5. Demostrar por medio de la definición que .

6. Definir y .

7. Sea , demostrar que si es par, entonces y que si es impar

entonces no existe.

8. Supóngase que , demostrar que existen y tales que

, si .

9. Demostrar que si y sólo si .

10. Demostrar por definición que .

Actividad 3. Continuidad de funciones

Resuelve los siguientes ejercicios:

1. Dada la función hallar el valores de y de tal forma que

es continua en y .

Cálculo diferencial Límites y continuidad

2. Dada la función continua en . ¿Qué valor debe tomar

para que la función sea continua en ?

3. Demostrar que es continua en si y sólo si .

4. Dada la función , demostrar que existe tal que .

5. Demostrar que la raíz cuadrada de un número real positivo existe.

6. Sea una función definida en todos los números reales tal que

. Demostrar que es continua en .

Instrucciones: Elige la respuesta que corresponda a la pregunta planteada, recuerda utilizar las propiedades de los números reales, de funciones y desigualdades.

1. Calcular .

a)

b)

c)d) No existe

2. Sean y , calcular .

a)

b)c) No existe

d)

Cálculo diferencial Límites y continuidad

3. Calcular .

a)

b)

c)

d)

4. Dada la función

Hallar los todos los valores que puede tomar para que la función sea continua en dicho valor.

a)

b)

c)

d)

5. Dada la función

Hallar los todos los valores que puede tomar para que la función sea continua

en .a)

b)

c)

d)

Resolver los siguientes ejercicios:

Cálculo diferencial Límites y continuidad1. Dada una función sobreyectiva tal que es continua en ,

demostrar que existe tal que .

2. Dada la función mostrar que es continua en .

3. Muestre que la función es discontinua en todo .

4. Calcular .

5. Discutir la continuidad de la función .

Actividad 2. Derivada de funciones trascendentes

Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios determinando la derivada de las funciones o demostrando las expresiones que mencionan.

1. Calcula las siguientes derivadas:

a. .

b. .

c. .

d. .

e. .

2. Demuestre dados se tiene que:

.

3. Demuestre que dados con y se tiene que:

.4. Calcular los siguientes límites:

Cálculo diferencial Límites y continuidad

a. .

b. .

5. Dada la función definida sobre el intervalo hallar el valor

que satisface .

6. Demuestre que para cuales quiera se cumple:

.

7. Dada la función definida en hallar que satisface la

relación .8. Demostrar las siguientes identidades:

Para todo .

Actividad 3. Derivación de orden superior e implícita

Instrucciones: Determina la derivada de las funciones implícitas y de orden superior, además de realizar las demostraciones de las funciones presentadas.

1. Calcula las siguientes derivadas de funciones implícitas, suponiendo que depende

de .

a. .

b. .

c. .2. Calcular las siguientes derivadas de orden superior:

a. .

b. .

Cálculo diferencial Límites y continuidad

c. .

3. Considerando la función demuestre que

(a) existe en .

(b) .

(c) .

4. Demostrar que .

5. Calcular .

6. Utilizando inducción matemática, demostrar que para todo polinomio existe

tal que para todo .7. Dada la siguiente función:

Calcular y .

8. Demuestre que la función es invertible en y .

Instrucciones: Elige la respuesta que corresponda a la pregunta planteada, recuerda utilizar las propiedades de los números reales, de funciones y desigualdades.

6. Calcular .

e)

f)

g)

Cálculo diferencial Límites y continuidad

h)

7. Sean y , calcular .

a)

b)

c)d) No existe

8. Calcular para la función implícita definida por la relación .

a)

b)

c)

d)

9. Dada la función

Hallar valores de y para que la función sea derivable en .e)

f)g)

h)

10. Dada la función hallar el conjunto donde es creciente.

Cálculo diferencial Límites y continuidad

e)

f)

g)

h)

11. Calcular .i)

j)k)l)

Evidencia de aprendizaje. Aplicación de la derivada

Resuelve los siguientes ejercicios:

1. Dada la función:

Muestre que . ¿Existe ?2. Considere la función:

Hallar el valor de y para que exista.

3. Supóngase que y que , ¿Cuál es el valor de ?

4. Muestre que la función con y son constantes satisface la relación:

.

Sean un conjunto finito de funciones derivables en , proponer una

fórmula para y demostrarla por inducción matemática.

Actividad 2. Razón de cambio y tangente de una curva.

Cálculo diferencial Límites y continuidad

Resuelve los siguientes problema<sobre razón de cambio y tangente de una curva.

1. Un recipiente en forma de cono invertido de de altura y de radio está lleno con un líquido, este sufre una avería y el líquido comienza a fluir con una

velocidad de . ¿Con qué velocidad baja el líquido cuando ha descendido

de altura?

2. Se infla un globo en forma esférica de modo que su volumen se incrementa con

una velocidad de . ¿A qué razón aumenta el diámetro cuando éste es de

?

3. Un niño juega con un papalote a que está a una altura de corriendo

horizontalmente con una velocidad de . Si hilo que sujeta el papalote esta

tenso, ¿a qué razón se afloja cuando la longitud del hilo suelto es de ?

4. Un helicóptero vuela hacia el norte con una velocidad de a una altura de

, en ese instante, el rayo de luz de un faro ubicado en la tierra señala la parte inferior del helicóptero. Si la luz de mantiene señalando al helicóptero, ¿con qué velocidad gira el rayo de luz cuando el avión se encuentra a una distancia

horizontal de al sur del faro?

5. Dada la función , hallar la ecuación de la recta tangente a dicha

función que es paralela a la recta normal que pasa por el punto .

6. Hallar la ecuación de la recta tangente a la función en el

punto .

7. Hallar la ecuaciones de las rectas tangente y normal a la función en

el punto donde la recta tangente a dicha función en intersecta a la gráfica de misma función.

8. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la función que sean

que formen un ángulo de con respecto a la horizontal.

Actividad 3. Máximo y mínimos y gráfica de una función

Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas de máximos y mínimos, así como su representación gráfica de una función.

Cálculo diferencial Límites y continuidad

1. Se desea inscribir un cilindro circular recto de volumen máximo dentro de un cono como lo muestra la siguiente figura:

Hallar las dimensiones de dicho cilindro.

2. Dada la función y el punto hallar el punto sobre la gráfica

de que está más cerca de .

3. Hallar dos números cuya suma de cuadrados es igual a y cuyo producto sea máximo.

4. En un río de de ancho están ubicados dos puntos y uno frente a otro y

del mismo lado de hay un tercer punto ubicado a de tal forma que el

segmento es perpendicular a . Una compañía de energía eléctrica quiere

tender un cable desde hasta parando por el punto , como lo muestra a figura:

Si el costo por metro del cable bajo tierra es más barato que el cable bajo el agua. ¿Cómo se debe tender el cable para que el costo sea mínimo?

5. Utilizando el método presentado en esta unidad, grafica la curva .

6. Utilizando el método presentado en esta unidad, grafica la curva .

7. Utilizando el método presentado en esta unidad, grafica la curva

8. Utilizando el método presentado en esta unidad, grafica la curva .

Cálculo diferencial Límites y continuidadInstrucciones: Elige la respuesta que corresponda a la pregunta planteada, recuerda utilizar las propiedades de los números reales, de funciones y desigualdades.

12. Se está formando una bola de nieve de tal manera en que la velocidad con la

incrementa su volumen es de . Cuando el diámetro de la bola es de , ¿con qué velocidad aumenta el radio?

i)

j)

k)

l)

13. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la función implícita y que pasan

por el punto .

e)

f)

g)h) No existen rectas tangentes.

14. Hallar las dimensiones de un cono recto circular de volumen mínimo que pueda

inscribirse una esfera de de diámetro.

a) Altura del cono es y radio de la base es

b) Altura del cono es y radio de la base es

c) Altura del cono es y radio de la base es

d) Altura del cono es y radio de la base es

15. Hallar los puntos de inflexión de la función .i)

Cálculo diferencial Límites y continuidad

j)

k)

l)

Resuelve los siguientes ejercicios:

1. Un alambre de se corta para formar un cuadrado y un triángulo equilátero, ¿Cómo se debe cortar el alambre para que las figuras que se formen sean de área máxima?

2. Un incendio en un pastizal seco se propaga en forma circular con una velocidad de

. ¿Con qué velocidad crece el área quemada cuando el radio es igual a

?

3. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes al círculo de tal manera

que ambas tangentes pasen por el punto .

4. Gráfica la siguiente curva .

RETROALIMENTACION

1-3 aciertos. Los conocimientos obtenidos no fueron suficientes, debes revisar nuevamente el contenido de la unidad.

4-5 aciertos. Tienes un conocimiento claro de los conocimientos de la unidad, sigue adelante.