Instituto Tecnolgico de MexicaliIngeniera Mecatrnica

TrabajoEspacios vectoriales.

Docente:Kenia Martnez

Autor:Jos estrada Saudo

Materia:Algebra lineal.

Mexicali, Baja California, Mxico Noviembre de 2014

NDICE

Introduccin...iContenido......iiEspacio Vectorial.Sub espacio vectorial.Combinacin lineal.Independencia lineal.Base y dimensin en V.Cambio de base.Base ortonormal.Conclusin....iiiBibliografa......iv

I N T R O D U C C I O N

En el presente trabajo se detalla un las definiciones ejemplificadas al tema de espacios vectoriales de la materia lgebra Lineal , en el cual se tratara de enlazar las relaciones de la gran parte de sus sub temas.

Por ejemplo, subespacio vectorial, combinacion lineal, independencia lineal otros temas estn ampliamente relacionados igual que otros temas que veremos en el transcurso de este trabajo.

Tratar de enlazar los temas del presente documento fue satisfactorio ya que as nos damos cuenta de que tanto necesitamos aprender los temas anteriores para poder resolver los nuevos problemas, se necesita que se domine casi todo este trabajo para poder entender y poder analizar este tema ya que estn grandemente relacionados .

Espacio vectorial: Un espacio vectorial es un conjunto no vaco V de objetos, llamados vectores,en el que estn definidas dos operaciones, llamadas suma y multiplicacin por escalares (nmeros reales), sujetas a los diez axiomas (o reglas) que se enlistan a continuacin.

Axiomas: Los axiomas deben ser vlidos para todos los vectores u, v y w en V y todos los escalares c y d.

1. La suma de u y v, denotada mediante u + v, est en V.2. u + v = v + u.3. (u + v) + w = u + (v + w).4. Existe un vector cero 0 en V tal que u + 0 = u.5. Para cada u en V, existe un vector u en V tal que u + (u) = 0.6. El mltiplo escalar de u por c, denotado mediante cu, est en V.7. c(u + v) = cu + cv.8. (c + d)u = cu + du.9. c(du) = (cd)u.10. 1u = u.

Ejemplo.1.- Determinar el valor de x para que el vector (1, x, 5) pertenezca al subespacio < (1, 2, 3),(1, 1, 1) >.

Solucin. (1, x, 5) pertenece al subespacio < (1, 2, 3),(1, 1, 1) > si y solo si (1, x, 5) es combinacinlineal de (1, 2, 3) y (1, 1, 1), o sea, si existen , R tales que

(1, x, 5) = (1, 2, 3) + (1, 1, 1), Pero entonces,

1 = + x = 2 + 5 = 3 +

Resolviendo el sistema anterior, tenemos = 2, = 1 y x = 3.

Sub espacio vectorial:

Sea H un subconjunto no vaco de un espacio vectorial V y suponga que H es en s un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicacin por un escalar definidasen V. Entonces se dice que H es un sub espacio de V.

Teorema.Sea U un subconjunto no vaco de un espacio vectorial V, entonces U se considera un sub espacio de V si, y solo si, se cumplen las siguientes propiedades de cerradura.

1) Si u y v son vectores que estn en U, entonces u + v estarn en V.2) Si u es vector en U y k un escalar, entonces ku estar en U.

Ejemplo.Determinar si el subconjunto W es un sub espacio vectorial bajo la condicin dada:

W = a, b, c + c = 0; a, b, c RSolucin.Tomando en cuenta la condicin dada c = 4a + 2b, el nuevo conjunto W es:

W = a, b, + a, b R

Combinacin lineal:Sean ,, vectores en un espacio vectorial V. Entonces cualquier vector de la forma + + + Donde , son escalares se llama una combinacin lineal de ,.Una combinacin lineal de dos o ms vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escalares. Cualquier vector se puede poner como combinacin lineal de otros que tengan distinta direccin. Esta combinacin lineal es nica.

Ejemplo.Indique si el vector y es combinacin lineal de los vectores y. Donde;Y = [ ] , [ ] , [ ]Solucin.La pregunta consiste en saber si existen escalares (tres escalares por ser tres vectores) tales que: = yLa matriz aumentada del sistema anterior queda con eliminacin Gaussiana: Como el sistema anterior es consistente, si existen ( ), que hacen que se cumpla: = yPor lo tanto, el vector y si es combinacin lineal de los vectores

Dependencia e independencia lineal.

Sean ,, , n vectores en un espacio vectorial V. Entonces se dice que los valores son linealmente dependientes si existen n escalares ,, no todos cero tales que + + + = 0Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes.

Ejemplo. Estudiar si son linealmente dependientes o independientes los siguientes vectores:

A (2,3,1) + ( b(1,0,1) + c(0,3, -1) = (0,0,0)Solucin. = 0

Conclusin. El sistema tiene infinitas soluciones, por lo tanto los vectores son linealmente dependientes.

Base y dimensin de V.Base. Un conjunto finito de vectores { , } es una base para un espacio vectorial V sii. { , es linealmente independiente.ii. { , genera a V.

Dimensin. Si el espacio vectorial V tiene una base finita, entonces la dimensin de V es el nmero de vectores en todas las bases y V se llama espacio vectorial de dimensin finita. De otra manera, V se llama espacio vectorial de dimensin infinita. Si V={0}, entonces se dice que V tiene dimensin cero.1. La base cannica (o base natural, o base estndar) de :

= (1,0,. . . ,0) = (0,1,. . . ,0) ........ = (0,0,. . . ,1)

- Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo. - Son sistema generador de n porque todo vector (a1,a2,. . . ,an) n se puede expresar como combinacin lineal de ellos:

(,,. . . ,)= (1,0,. . . ,0)+ (0,1,. . . ,0)+ . . . + (0,0,. . . ,1)Propiedades de la dimensin.

1. Significado fsico de la dimensin: el espacio tiene dimensin 3, los planos dimensin 2, las rectas dimensin 1, el punto dimensin 0. El subespacio {0} es el nico de dimensin 0. 2. La dimensin de un subespacio en n, coincide con el nmero de parmetros libres ensu forma paramtrica. (1 parmetro=recta, 2 parmetros= plano...)3. Si S y T son subespacios y S est contenido en T, entonces dim S dim T. Adems, si se da la igualdad, dim S = dim T, entonces ambos espacios han de coincidir. 4. El rango de una familia de vectores, es igual a la dimensin del subespacio que generan.Es decir: si v1,v2,. . . vn generan un cierto subespacio S, y si el rango de dicho conjunto es r, entonces dim S = r. (Si un cierto conjunto de vectores tienen rango 2, entonces generan un plano; etc.)

Ejemplo. En, sea S el subespacio generado por: (1,0,2), (0,1,2), (3,3,3), (2,2,0). Observamos que el rango de este conjunto (= rango de la matriz que forman, por filas o por columnas) es 3. As por la propiedad 4 , tenemos que dim S = 3. Pero como estamos en , por la propiedad 3 ha de ser S=.

Cambio de Base: Puesto que las coordenadas estan referidas a una base, al cambiar la base de trabajo, habr que cambiar a las coordenadas en la nueva base. Pero este proceso puede realizarse fcilmente, teniendo en cuenta lo siguiente.Definicin.Sean = { } y = { } son bases de un espacio vectorial V. Recibe el nombre de matriz de transicin o matriz de cambio de la base a la base , la matriz de dimensiones nxn, que por columnas es P = ( [ ] | [ ] | | [] Es decir, la columna i esima esta constituida por las coordenadas en la base , del vector de la base .Ejemplo.Consideremos las bases B = {1, X, } y = {1, X + 1, - 1} de [X].La matriz de paso de la base a la base B sera:

La matriz de paso de B a .

Base ortonormal.Llamada proceso de Gram-Schmidt.Definicin.Sean V un espacio vectorial de dimensin n con producto interior. Se dice que la base B= { ,} es una base ortonormal de V , si B es un conjunto ortogonal y || || = 1, Vi.

Ejemplo.Las bases cannicas y = { ( ,) , (,)} son ortonormales en con el producto escalar euclideo. La base = {(2,0), (0, - )} es ortonormal para el producto interior (x, y ) = + .

C o n c l u c i o n e s

Despus de haber realizado a plenitud este trabajo se han relacionado la mayora de los subtemas de los espacios vectoriales de la materia de lgebra Lineal

Se han visto ms detallado y con ms exactitud las definiciones, teoremas junto con ejemplos que hilan todos los temas propuestos por este trabajo y se ha se ha llegado a la conclusin de todos los temas estn relacionados en cierta forma ya que en varios de estos se necesita recurrir a las propiedades que se han visto en temas anteriores.

Con esto podramos decir que nos ha enseado a tener un amplio criterio de la utilidad de los subtemas de espacios vectoriales, ya que estas forman las bases para comprender y analizar dicho tema.

B i b l i o g r a f i a.1. Stanley I. GrossmanAlgebra Lineal.Editorial McGraw-HillCuarta EdicinMxico, 1998.

2. De la Garza Sergio FranciscoAlgebra lineal y sus aplicaciones.Editorial Pearson Educacin Tercera edicinMxico, 2006.

3. Kolman Bernard, Hill R. DavidAlgebra lineal.Editorial Pearson Educacin Octava EdicinMexico, 2006.