8/16/2019 Tarea 4 - Análisis 2

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Tarea 4

Análisis Matemático II

Semestre 2016-2

1. Sean (X, Σ) un espacio medible,   D   ∈  Σ y   f   :   D   →  R. Diremos que

f   es Σ-medible en o sobre   D   si para cada   a   ∈  R   se tiene que   {x   ∈D   :   f (x)   ≤   a} ∈   Σ. Demuestre que las siguientes condiciones sonequivalentes:

a )  f  es Σ-medible sobre  D;

b) Para cada  α ∈ R,  f −1[(α, ∞]] = {x ∈  D  :  f (x) > α} ∈ Σ;

c ) Para cada  α ∈ R,  f −1[[−∞, α]] = {x ∈  D :  f (x) ≤  α} ∈ Σ;

d ) Para cada  α ∈ R,  f −1[[−∞, α)] = {x ∈  D  :  f (x) < α} ∈ Σ;

e ) Para cada  α ∈ R,  f −1[[α, ∞]] = {x ∈  D  : f (x) ≥  α} ∈ Σ;

2. Demuestre que si  f   : D  → R es Σ-medible en  D, entonces

a )  {x ∈  D  :  f (x) = a} ∈ Σ para cada  a ∈ R;

b)  {x ∈  D  :  f (x) ∈ R} ∈ Σ;

c ) existe una subcolección Γf   ⊆   Σ numerable que depende de   f   talque f   es  S (Γ)-medible en  D.

d ) Dé un ejemplo que muestre que la condición del inciso (a) no es

suficiente para la Σ-medibilidad de  f .Sugerencia: Considere un subconjunto   E   ⊆   (0, 1) que no sea un

boreliano. Considere la función  f (x) =

x   si  x ∈  E 

−x   si  x ∈  (0, 1) \ E.

3. Demuestre que las siguientes funciones definidas en  R y con valores enR son Borel medibles:

a )  f  = χR\Q   .

b)  f (x) =

x   si  x ∈ Q

−x   si  x ∈ R \ Q.

c )  f (x) =

Sen(x) si  x ∈ Q

Cos(x) si  x ∈ R \ Q.

d )  f (x) = [x] donde [x] denota al mayor entero   m   tal que  m  ≤  x <m + 1.

e )  f  es una función monótona creciente (respectivamente, decreciente).

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4. Sea (X,   Σ) un espacio medible y  f   :  X   →  R  una función Σ-medible.Definamos   1

f   : X  → R de la siguiente forma:

1f 

(x) =

0 si  f (x) ∈ {0, −∞, ∞}

1f (x)

  si  f (x) ∈ R \ {0}.

Demuestre que   1f   es Σ-medible.

5. Sean (X, τ X ), (Y, τ Y  ) dos espacios topológicos y  T   : (X, τ X ) →  (Y, τ Y  )un homeomorfismo entre ellos (es decir,  T  es biyectiva, continua y sufuncón inversa   T −1 :   Y   →   X   también es continua). Demuestre queT −1(B (τ Y  )) = B (τ X ) y que  T (B (τ X )) = B (τ Y  ).

6. Sea (X,  Σ) un espacio medible y f   : X  → R. Suponga que  X  = A ∪ Bdonde  A, B ∈ Σ. Demuestre que  f  es medible sobre  X  si y sólo si  f   es

medible sobre  A y sobre  B.

7. Sea   I   ⊆  R   un intervalo,   f   :   I   →  R   y   Q  ⊆  R  numerable. Demuestreque si   f  es continua en   x  para cada   x  ∈  (I  \ Q) entonces   f   es Borelmedible en  I .

8. Sea f   : R → R diferenciable. Demuestre que f  y f  son Borel medibles.

9. Sea (X,   Σ) un espacio medible y (f n)n∈N   una sucesión de funcionesmedibles donde  f n : X  → R para cada  n ∈ N. Demuestre que

{x ∈  X   : (f n(x))n∈N   converge} ∈ Σ.

10. Sea   E   ⊆   R2 un conjunto de Borel y   y0   ∈   R   fijo. Demuestre que elconjunto {x ∈ R : (x, y0) ∈  E }  es de borel en  R.

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