UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DEMEXICO

UNAM

FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ARAGON

MATERIA:

MÉTODOS NUMÉRICOS

NOMBRE:

GONZALEZ PONCE ARTURO

PROFESOR:

ING. LUIS ALBERTO LECHUGA ALARCÓN

TAREA: 2

METODO NEWTON

FECHA DE REALIZACION:

23/02/2016

FECHA DE ENTREGA:

25/02/2016

CARRERA:

INGENIERIA ELECTRICA, ELECTRONICA

El método de Newton-Raphson

El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido de que no está garantizada su convergencia global. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercanía del punto inicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor puesto cercano a la raíz. Una vez que se ha hecho esto, el método linealiza la función por la recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en el origen de dicha recta será, según el método, una mejor aproximación de la raíz que el valor anterior. Se realizarán sucesivas iteraciones hasta que el método haya convergido lo suficiente.Sea f: [a, b] -> R función derivable definida en el intervalo real [a, b]. Empezamos con un valor inicial x0 y definimos para cada número natural n

Donde f ' denota la derivada de f.Nótese que el método descrito es de aplicación exclusiva para funciones de una sola variable con forma analítica o implícita conocible. Existen variantes del método aplicables a sistemas discretos que permiten estimar las raíces de la tendencia, así como algoritmos que extienden el método de Newton a sistemas multivariables, sistemas de ecuaciones, etcétera.

Este método, el cual es un método iterativo, es uno de los más usados y efectivos. A diferencia de los métodos anteriores, el método de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa su fór-mula en un proceso iterativo.

Supongamos que tenemos la aproximación     a la raíz     de   ,

Trazamos la recta tangente a la curva en el punto   ; ésta cruza al eje     en un punto    que

será nuestra siguiente aproximación a la raíz   .

Para calcular el punto   , calculamos primero la ecuación de la recta tangente. Sabemos que tiene pendiente Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es: 

Hacemos   : Y despejamos   :

 

Que es la fórmula iterativa de Newton-Raphson  para calcular la siguiente aproximación:

  ,   si

Note que el método de Newton-Raphson  no trabaja con intervalos donde nos asegure que encontrare-mos la raíz, y de hecho no tenemos ninguna garantía de que nos aproximaremos a dicha raíz. Desde luego, existen ejemplos donde este método no converge a la raíz, en cuyo caso se dice que el método diverge. Sin embargo, en los casos donde si converge a la raíz lo hace con una rapidez impresionante, por lo cual es uno de los métodos preferidos por excelencia.

También observe que en el caso de que   , el método no se puede aplicar. De hecho, vemos geométricamente que esto significa que la recta tangente es horizontal y por lo tanto no intercepta al

eje    en ningún punto, a menos que coincida con éste, en cuyo caso    mismo es una raíz de  

Bibliografía

1. http://noosfera.indivia.net/metodos/newtonRaphson.html2. https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Newton3. Álgebra y Matemática Discreta

Autor: Juan Ángel Aledo Sánchez, Jaime Penabad, José Carlos Valverde Fajardo, José Javier Villaverde Tomé

4. Introducción a los métodos numéricos para la resolución de ecuaciones Autor: José Manuel Díaz Moreno, Francisco Benítez Trujillo

5. Lecciones prácticas de cálculo numéricoAutor: Félix García Merayo