Tarea 1 alejandro pinto

UNIVERSIDAD FERMIN TORO 2012

1

ALEJANDRO PINTO

C.I.:20.926.929

MATEMATICA II

LA INTEGRAL DEFINIDA

En este tema nos vamos a preguntar sobre cómo podemos calcular áreas encerradas por una curva

entre dos valores determinados.

Hay casos en los que su cálculo es fácil como por ejemplo el caso de la función f(x)= x + 1 entre los

valores x=0 y x=3

Bastaría descomponer la región en un rectángulo

y un triángulo y sumar sus áreas correspondientes

para obtener el resultado final:

Área encerrada = 7,5 u2

Sin embargo, en otros casos no es posible realizar el

cálculo de un forma tan simple puesto que la función

que delimita la región correspondiente es curva.

Observemos si no el caso de la función f(x)=x3-3x+3 en

el intervalo x=0 y x=2.

Tendremos que introducir entonces nuevos conceptos para solucionar dicho problema: el de

integral definida.

El concepto de integral definida surge como respuesta al problema del cálculo del área de una

determinada región del plano. Su origen se remonta al saber griego, concretamente a Eudoxio, que

da nombre al denominado “método de exhausción”, posteriormente difundido por Aristóteles.

(básicamente consiste en dividir la región en rectángulos y calcular la suma de todas las áreas)

El método de exahusción será el principio que dará pie a la actual formulación de integral

definida y que veremos de forma breve a continuación.

2.- Integral definida. Definiciones y propiedades.


2

Definición: Dada una función no negativa f(x), y un intervalo [a, b] en el cual la función esté

definida, llamaremos integral definida de f(x) en [a, b] al área encerrado por la curva f entre a y b,

y el eje OX.

Lo denotaremos b

a

dxxf )( ,

baenxfdedefinidaIntegraldxxfxfdeÁreaR

b

a

,)()()(

Definición: Dado un intervalo [a, b], llamaremos partición de ese intervalo a un conjunto

cualquiera de puntos de [a, b], P = {x0, x1, x2, ……. , xn} tales que:

a = x0 < x1 < x2 < x3 <……..< xn = b.

Definición: Llamaremos diámetro al mayor de los números x1 – x0, x2 – x1, ………., xn – xn-1.

Consideramos entonces una función f(x) definida en un intervalo [a, b], y tracemos rectángulos de

base los anteriores divisiones hechas en ese intervalo y de altura el menor y el mayor de los valores

de la función, respectivamente, en dichas divisiones. Obtendremos una aproximación con

rectángulos por defecto y otra aproximación de rectángulos por exceso.

Aproximación con rectángulos por exceso Aproximación de rectángulos por defecto


3

Como puede verse, el área encerrada por la curva se encuentra entre una y otra aproximación, a las

que llamamos sumas inferior (Sinf ) y superior de Riemann (Ssup) respectivamente, asociadas a la

partición P.

Sinf < Área de f(x) < Ssup

Cuando vamos tomando particiones con un diámetro cada vez menor, entonces esas

aproximaciones son cada vez más próximas entre sí y, por tanto, al verdadero valor del área, de

forma que cuando el diámetro de la partición tiende a 0 las aproximaciones tienden a dicho área.

Cuando n tiende a infinito, es decir, cuando aumenta el número de subintervalos, entonces:

b

ann

definidaIntegralxfdeÁreadxxfSS )()(limlim supinf

A esto se le conoce como integral de Riemann y viene a decir que el área encerrada por una

función equivale a una suma infinita de rectángulos, bien superiores o bien inferiores, ya que en el

fondo, suman lo mismo.

Propiedades de la integral definida.

Dada una función integrable f en [a, b], entonces:

o Si f 0 en [a, b] entonces b

a

dxxf )( 0. (es decir, si la función es positiva, el valor de la integral

también lo será. Por tanto, cuando la función sea negativa, la integral será también negativa)

o a

a

dxxf )( =0.

o Si a < c < b, entonces: b

a

dxxf )( =c

a

dxxf )( +b

c

dxxf )(

o b

a

dxxf )( =a

b

dxxf )(

o b

a

dxxf )( +b

a

dxxg )( =b

a

dxxgxf ))()((


4

o b

a

dxxfk )( =b

a

dxxfk )(·

3.- Teorema fundamental del cálculo integral.

Antes de demostrar el teorema fundamental, debemos dar una serie de definiciones y demostrar

otro teorema previo.

Teorema del valor medio del cálculo integral:

Si f es continua en [a, b], entonces existe c [a, b] tal que:b

a

dxxf )( = f(c)·(b – a)

Demostración:

Si f(x) es continua entonces alcanza un valor máximo M y uno mínimo m en [a,b] luego el área de

la función estará comprendida entre la del rectángulo pequeño, de altura m y área m·(b-a), y el área

del rectángulo grande, de altura M y área M(b-a), es decir:

m(b-a)

b

a

dx)x(f M(b-a) ,

que dividiendo entre (b-a) nos queda:

mab

dx)x(f

b

a M

Como la función f(x) es continua, toma todos los valores comprendidos entre el máximo y el

mínimo, ya que se debe cumplir el teorema de Darboux es decir, k [m,M], c [a, b] tal que

f(c)=k

Concretamente si k=ab

dx)x(f

b

a (que es un valor comprendido entre m y M) entonces,

c [a, b] tal que f(c)=ab

dx)x(f

b

a o equivalentemente, c [a, b] tal que

b

a

)ab)·(c(fdx)x(f

M

m

a b

f(x)


5

Definición: Dada la función f, definida en [a, b], llamamos función área asociada a f(x) a la función

F(x) = x

a

dxxf )( , x [a, b]. Dicha función determina el área encerrado por la función f(x) entre a

y x.

Ejemplo:

¿Cuál es F(x), la función área asociada a f(x)=x+1 en el intervalo 2,0 ?

Teniendo en cuenta que dicha función F(x) representa el área encerrada por la función f(x)=x+1

entre a y x, dibujemos la gráfica y calculemos dicha área:

Podemos comprobar que el área

encerrada entre a y x por la función f(x)=

x+1 es:

Área del rectángulo = x

Área triángulo = 22

· 2xxx

Área encerrada por f(x)=x+1 entre a y x

xx

asociadaárea2

2

Por tanto, hemos llegado a la conclusión que si nos dan la función f(x)=x+1 su función área

asociada es xx

xF2

)(2

¿Será casualidad que si derivamos F(x) obtengamos f(x)? es decir, ¿será casualidad que F(x) sea

una primitiva de f(x)?

Pues no es casualidad, como lo demuestra el siguiente teorema:

Teorema fundamental del cálculo integral.

Si f(x) es una función continua en [a, b], entonces su función asociada F(x) = x

a

dxxf )( , con x [a,

b], es derivable y se verifica que F‟(x) = f(x).

(es decir, la función asociada de f(x) es una primitiva suya)

Demostración:

Por definición, tenemos que:

0 x

x+1

f(x)=x+1

1 x+1

x


6

F‟(x) = h

xFhxF

h

)()(lim

0

Además, por las propiedades 4 y 3 de las integrales definidas:

F(x+h) – F(x) =

hx

a

dxxf )( -

x

a

dxxf )( =

hx

x

dxxf )(

Y por el teorema del valor medio del cálculo integral, c [x, x+h] tal que:

hx

x

dxxf )( = f(c)·(x + h – x) = f(c)·h

Teniendo en cuenta todo lo anterior:

F‟(x) = )()(lim)(·

lim)()(

lim*00

xfcfh

cfh

h

xFhxF

hhoh

* Como c [x, x+h], cuando h 0 entonces „c‟ tiene que tender necesariamente a x.

Hemos probado entonces que F(x), tal y como la hemos definido, es una primitiva de f(x).

4.- Regla de Barrow.

Regla de Barrow: Si f(x) es una función continua en [a, b] y G(x) es una primitiva suya, entonces:

b

a

dxxf )( = G(b) – G(a)

Demostración:

Hemos visto que F(x) =

x

a

dxxf )( es una primitiva de f(x), luego F(x) y G(x) se diferencian en

una constante, por ser G(x) también una primitiva:

F(x) = G(x) + k, x [a, b]

Tomando x = a y x = b respectivamente tenemos

k G(b) F(b)

k G(a) F(a)

Pero como F(a) =

a

a

dxxf )( = 0, y F(b) =

b

a

dxxf )( entonces la expresión anterior queda:


7

k G(b) )(

k G(a) 0

b

a

dxxf

y despejando adecuadamente en la primera ecuación: G(a) + k = 0 k = - G(a) y sustituyendo en

la segunda, concluimos que:

b

a

dxxf )( = G(b) – G(a)

En resumen, para aplicar la Regla de Barrow procederemos de la siguiente forma:

- Primero calculamos G(x), una primitiva de f(x), es decir,

b

a

dxxf )( =G(x)

- Después calculamos G(b) y G(a)

- Restamos G(b)-G(a)

- El resultado será la integral definida

b

a

dxxf )( =G(b)-G(a)

Nota: Para abreviar, en lugar de detallar todos los pasos en la Regla de Barrow, se escribe:

)()()()( aGbGxGdxxfb

a

b

a

Ejemplo

Calcular la integral 1

0· dxex x

Solución:

Según la regla de Barrow, la solución será: )0()1(·1

0GGdxex x siendo G(x) una primitiva de

f(x)=x· e−x

1º Vamos a calcular primero una primitiva. (Aquí es donde está el problema de las integrales

definidas, en saber hallar primitivas) Esta integral hay que resolverla por partes.

xdex x·

u = x du = dx

dv = e−x

dx v = −e−x

xxxxxxx eexdxeexdxeexxdex ····

Por tanto ya tenemos una primitiva xxx eexxdexxG ··)( xx eexxG ·)(


8

2º Calculemos G(1) y G(0)

G(1)= -1· e−1

- e−1

= -2 e−1

= e

2

G(0)= 0 - e−0

= -1

3º Tenemos ya el resultado porque: e

e

eeGGdxex x 2

12

)1(2

)0()1(·1

0

Nota: Para agilizar el proceso a la hora de aplicar la Regla de Barrow, escribiremos:

e

e

eeeeeeexdxex xxx 2

)1(2

·0·1·· 00111

0

1

0


9

5.- Aplicaciones de la integral definida. Cálculo de áreas planas.

La integral definida, y más concretamente la regla de Barrow, se convierte en una herramienta

fundamental para el cálculo de áreas. Para ello solo hace falta saber calcular una primitiva y hacer

una pequeña sustitución.

Así pues, en este apartado de aplicación de la integral definida al cálculo de áreas, nos vamos a

plantear los siguientes casos:

- Que el área a calcular sea positivo (por encima del eje X)

- Que el área a calcular sea negativo (por debajo del eje X)

- Que haya una parte positiva y otra negativa

- Que el área a calcular este limitada por el eje Y en lugar de por el eje X

- Área encerrada entre dos curvas.

Cálculo de un área plana positiva.

En este caso, el área coincide con la integral definida, es decir, b

adxxfencerradaÁrea )(

Veámoslo con un ejemplo:

Calcula el área del recinto limitado por la parábola y=x2 y las rectas y=0, x=2, x=6.

Solución:

Si representamos la función y los límites de integración correspondientes, tendremos:

Por tanto, el área del recinto correspondiente viene

dado por: 6

2

2dxxÁrea

Para hallar dicha integral definida, aplicamos la Regla

de Barrow.

1º. Calculamos primero G(x), una primitiva de f(x)=x2 de donde obtenemos

3)(

32 xdxxxG

2º. Hallamos G(6) y G(2)

3

8

3

2)2(

723

216

3

6)6(

3

3

G

G

3º. Restamos G(6) y G(2)

3

208

3

872

3

2

3

6)2()6(

33

GG


10

Por tanto, 26

2

2

3

208udxxÁrea

Nota: en los ejercicios siguientes agilizaremos el cálculo al aplicar la Regla de Barrow de la

siguiente forma

6

2

2dxxI2

336

2

3

3

208

3

2

3

6

3u

x

Cálculo de un área plana negativa.

En este caso, el área coincide con el valor absoluto la integral definida. es decir,

b

adxxfencerradaÁrea )(

Calcula el área del recinto limitado por la parábola y=x3 -3x-3 y las rectas y=0, x= -1, x=1.

En este caso, como podemos observar

después de realizar la gráfica, el área está

en la parte negativa, con lo que la

integral será también negativa. Por eso,

para calcular el verdadero valor del área

haremos:

Área = 1

1

3 33 dxxx

Primero hallaremos la integral y después

consideraremos el valor absoluto.

1

1

3 33 dxxxI )1(32

)1(3

4

)1(1·3

2

1·3

4

13

2

3

4

24241

1

24

xxx

632

3

4

13

2

3

4

1

Por tanto Área = 66331

1

3 dxxx


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Cálculo del área con parte positiva y negativa

En caso de que la curva tenga parte positiva y parte negativa, debemos descomponer la región en

cada una de ellas, considerando, en el caso de la parte negativa, su valor absoluto.

Si I1 es la parte positiva e I2 la negativa, entonces:

Área total = 21 II o también:

c

b

b

adxxfdxxfÁrea )()(

Veamos todo esto mejor con otro ejemplo.

3.- Calcula el área limitada por la curva y = x3 – 6x

2 + 8x y el eje x

Solución:

Primero representamos la curva de forma aproximada y para ello calculamos los puntos de corte de

la curva con el eje x :

x x x3 26 8 0

4;2086

00)86(

2

2

xxxx

xxxx

Los puntos de corte obtenidos son 0, 2 y 4 , por tanto el área pedida se halla resolviendo las

integrales:

I1=2

0

23 )86( dxxxx = 4424

2

0

234

xxx

I2=4

2

23 )86( dxxxx = 4424

4

2

234

xxx

Área total = 21 II = 4 + 4 = 8 u2

Cálculo del área limitada por el eje Y en lugar de por el eje X.

Hay algunos ejercicios en los que el área que se pide calcular no está limitada por el eje X

sino por el eje Y. En dicho caso hay que introducir algunos cambios.

a b c

I1

I2


12

Primeramente, debemos despejar la función y=f(x) y ponerla como x=g(y), es decir, que la

variable no sea x sino y. Además, los límites de integración estarán referidos al eje Y y no al X.

Así, si nos dan f(x) y nos piden el área encerrada entre f(x),

el eje Y y los valores y1 e y2, calcularemos la siguiente

integral:

2

1

)(y

ydyygÁrea

donde g(y) resulta de despejar x en la expresión y=f(x)

Ejemplo:

Calcula el área del recinto limitado por la función xy , las rectas, y=1, y=3 y el eje Y.

Solución:

Aunque nos den la función xy , debemos considerar

la función:

2yx (es decir, hemos despejado x)

El área que buscamos será:

2

1

)(y

ydyygÁrea , en este caso

3

1

2dyyÁrea

y procedemos a calcular la integral por la Regla de Barrow.

2

3

1

33

1

2

3

26

3

19

3u

ydyyÁrea

Cálculo del área encerrada entre dos curvas

Supongamos que nos dan dos funciones f(x) y g(x) que encierran un determinado área,

donde f(x) limita por arriba y g(x) lo hace por abajo, y sean a y b los puntos donde se cortan ambas

funciones. Tendremos entonces una gráfica parecida a la siguiente:

y1

y2 f(x)

3

1

xy

a b

f(x)

g(x)


13

Nos preguntamos ¿cómo podemos calcular el área encerrada por ambas?

Para contestar esta pregunta basta echar un vistazo a las gráficas siguientes y encontraremos la

explicación.

Observemos que el área encerrada entre ambas (rojo) resulta de restar al área encerrada por f(x)

(azul) el área encerrada por g(x) (verde) . Luego podemos concluir que, dadas dos funciones f(x) y

g(x), donde f(x) limita por arriba y g(x) lo hace por abajo:

b

a

b

adxxgdxxfxgyxfentreencerradaÁrea )()()()(

o también (para ahorrar en los cálculos y realizar una sola integral en lugar de dos)

b

adxxgxfxgyxfentreencerradaÁrea ))()(()()(

Por tanto, los pasos a seguir para resolver este caso son:

- Representar las gráficas y determinar la función que limita por arriba y la que limita por abajo.

- Hallar los puntos de corte de ambas, que serán los límites de integración, a y b.

- Hallar f(x)-g(x)

- Calcular la integral b

adxxgxfI ))()((

Veámoslo con el siguiente ejemplo:

Halla el área del recinto limitado por la parábola de ecuación y=x2 , la recta de ecuación y=x+2

y el eje OX.

Solución

a b

f(x)

g(x)

a b

f(x)

a b

g(x)


14

Primero representamos las funciones y vemos que la recta y=x+2 está por encima de la parábola

y=x2

Después se calculan los límites de integración. Éstos son los puntos de corte de la parábola y la

recta. Para ello, igualemos ambas y resolvamos:

x x x x2 22 2 0 1

2

2

31

2

91x

Por otra parte, la función a integrar será f(x)-g(x), siendo f(x) la recta (limita superiormente) y g(x)

la parábola (limita inferiormente). Por tanto, tendremos:

f(x)-g(x)=x x2 2 (Diferencia de las dos funciones)

Por último, solo nos queda calcular la integral siguiente:

2

9

32

2)2(

2

1

322

1

2 xx

xdxxxI

2

2

9ufuncioneslasentreencerradaÁrea

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