TAREA No. 5

1.- Calcula la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones tomadas de

una población con distribución normal y varianza σ2=6 , tenga una varianza muestral S2

a) mayor que 9.1 b) entre 3.462 y 10.745

2.- Las puntuaciones otorgadas en una prueba de admisión aplicada a estudiantes de una escuela durante los 5 años anteriores, están distribuidas en forma aproximadamente normal

con una media de μ=74 y una varianza σ2=8 , ¿se considera aún σ

2=8 como un valor válido si una muestra aleatoria de 20 estudiantes que presentaron esa prueba de admisión este año obtuviera un valor de S2 = 20?, justifica tu respuesta.

3.- Un fabricante de cigarrillos anuncia que su producto tiene un contenido promedio de nicotina de 1.83 miligramos. Si una muestra aleatoria de 8 cigarrillos de este tipo tiene contenidos de nicotina con valores de:

2 1.7 2.1 1.9 2.2 2.1 2 1.6¿estarías de acuerdo con la afirmación del fabricante?, justifica tu respuesta.

4.- Si S12 y S2

2 representan las varianzas de muestras aleatorias independientes de tamaños

n1 = 25 y n2 = 31 tomadas de poblaciones normales con varianzas σ 12=10 y σ 2

2=15 ,

respectivamente, calcula P( S12 /S2

2>1 .26 )

5.- Si S12 y S2

2 representan las varianzas de muestras aleatorias independientes de tamaños

n1 = 8 y n2 = 12 tomadas de poblaciones normales con varianzas iguales, calcula P( S1

2 /S22>4 . 89)

6.- La distribución de tallas en una variedad de perros de raza Terrier tiene una magnitud media de 72 cm con una desviación estándar de 10 cm, en tanto que la distribución de las tallas de perros de raza Poodle tienen un valor medio de 28 cm con una desviación estándar de 5 cm. Obtén la probabilidad de que la media muestral de una muestra aleatoria de 64 Terrier exceda a la media muestral de una muestra aleatoria de 100 Poodle, cuando menos en 44.2 cm.

7.- Un antropólogo quiere estimar la estatura promedio de los hombres de cierta raza. Si se supone que la desviación estándar de la población es de 2.5 pulgadas y se seleccionan al azar a 100 hombres, encuentra la probabilidad de que la media muestral se aleje a lo más 0.5 pulgadas de la media poblacional.

8.- Suponga que el antropólogo del ejercicio anterior quiere que la diferencia entre la media muestral y la media poblacional sea menor de 0.4 pulgadas con una probabilidad de 0.95. ¿cuántos hombres tendría que seleccionar para alcanzar su objetivo?

9.- La duración media del producto de un fabricante es de 5 años con una desviación estándar de 1 año. Suponiendo que la duración de estos productos sigue aproximadamente una distribución normal, encuentra

a) La probabilidad de que la duración media de una muestra de 9 de tales productos caiga entre 4.4 y 5.2 años.

b) El valor de X a la derecha del cual caería el 15% de las medias calculadas a partir de muestras aleatorias de tamaño 9.

10.- Una agencia para la protección ambiental está interesada en el problema de establecer normas para la cantidad permisible de productos químicos tóxicos en lagos y ríos. Una medida común de la toxicidad para cualquier contaminante es la concentración de contaminante que mataría a la mitad de los especimenes de prueba en un intervalo de tiempo dado (normalmente 96 horas para peces), esta medida se denomina CL50. En muchos estudios las mediciones de ln(CL50) tienen una distribución normal y por lo tanto los análisis se basan en los datos de ln(CL50).Los estudios de los efectos del cobre en cierta especie de peces (digamos especie A) revela que la varianza de las mediciones de ln(CL50) tiene un valor alrededor de 0.4, con las mediciones de las concentraciones en miligramos por litro. Si se efectúan 10 estudios de CL50 para cobre, encuentra la probabilidad de que la media de la muestra de ln(CL50) difiera de la verdadera media de la población en no más de 0.5 unidades.

11.- Respecto al ejercicio anterior, se quiere que la media muestral difiera a lo mas 0.5 unidades de la media poblacional, con una probabilidad de 0.95, ¿cuántas pruebas deben efectuarse?

12.- Respecto al ejercicio 10, suponga que los efectos del cobre sobre una segunda especie (digamos especie B), muestran que la varianza de las mediciones de ln(CL50) es de 0.8, si las medias de las poblaciones de ln(CL50) para las dos especies son iguales, encuentra la probabilidad de que, con muestras aleatorias de 10 mediciones para cada especie, la media muestral para la especie A exceda a la media muestral para la especie B por lo menos en una unidad.

13.- Si se obtiene una muestra aleatoria de tamaño 16 de una distribución normal con

media y varianza desconocidas, obtener P( S2 /σ2≤2 .041 ).

14.- La variable aleatoria X, que representa el número de cerezas en un budín tiene la siguiente distribución de probabilidad:

X: 4 5 6 7P(X): 0.2 0.4 0.3 0.1

a) Calcula la media y la varianza de X

b) Calcula la media y la varianza de X para muestras aleatorias de 36 budines.

c) Encuentra la probabilidad de que el número medio de cerezas en 36 budines sea menor que 5.5.

15 En la producción de cierto material para soldar se sabe que la desviación estándar de la tensión de ruptura de ese material es de 26 libras. ¿cuál debe ser la tensión de ruptura promedio, si con base en una muestra aleatoria de 50 especímenes, la probabilidad de que la media muestral tenga un valor mayor de 250 libras es de 0.95?

16.- Se conectan 35 focos de luz infrarroja en un invernadero, de tal manera que si falla un foco, otro se enciende automáticamente ( se enciende un solo foco a la vez), los focos funcionan independientemente, y cada uno tiene una vida media de 40 hrs con una desviación estándar de 4 hrs. Si no se inspecciona el invernadero durante 1430 horas después de encender el sistema de focos, ¿cuál es la probabilidad de que un foco esté encendido al final del período de 1430 horas?

17.- Supóngase que X y Y son variables aleatorias con distribución normal de dos poblaciones tales que σ x

2=15 y σ y2 =19. Se desean tomar muestras de cada población de tal

forma que el tamaño de muestra para la población correspondiente a la variable X sea el 35% del tamaño de muestra de la población para la variable Y, ¿de qué tamaño deben ser tales muestras si se desea que el valor de X−Y se aleje a lo más 1.5 unidades de μx−μy con una probabilidad de 0.95?

SOLUCIÓN

1.- a) 0.05 b) 0.94

2.- P (S2≥20 )=0.05 ; seguramente σ 2=8 no es un valor válido

3.- P (X ≥1.95 )=0.075 ; La afirmación del fabricante es dudosa.

4.- 0.05

5.- 0.01

6.- 0.4404

7.- 0.9544

8.- 150 personas

9.- a) 0.6898 b) 5.346

10.- 0.9876

11.- 7 pruebas

12.- 0.0019

13.- 0.99

14.- a) μx=5.3 ;σ x2=0.81

b) μx=5.3 ;σ x2=0.0225

c) 0.9082

15.- 255.82

16.- 0.102

17.- nx=38 , ny=106