DEPARTAMENTO DE MATEMATICASMATEMATICA FINANCIERA

Facultades de Administración, Contaduría,Comercio y Economía.

GRADIENTE GEOMÉTRICO

Un gradiente geométrico es una serie de pagos, en la cual cada pago es igual al anterior, multiplicado por una constante que representaremos 1 + G. Si G es positivo, el gradiente tendrá un comportamiento creciente. Caso contrario, G es negativo el gradiente será decreciente y si G = 0 entonces el gradiente es una serie uniforme, es decir, una anualidad.

FÓRMULAS

ÚLTIMO PAGO

VALOR PRESENTE Si G ≠ i

Si G = i

VALOR FINAL Si G ≠ i

Si G = i

EJEMPLOS

1. Hallar el valor del último pago de 20 pagos anuales, si el primer pago es de $45.000 y cada pago subsiguiente crece en un 10% Suponga una tasa del 10%.

DATOS: n = 20 ; R1 = $45.000 ; G = 10% ; i = 10%.

Reemplazando en la fórmula:

=

Taller No. 8. GRADIENTES GEOMETRICOS

I-2009

2. Para el caso anterior, haga el diagrama de flujo de caja: $ 275,215.91

$ 54,450.00

$ 49,500.00

$ 45,000.00

0 1 2 3 … 20

Como cada pago crece en 10%, entonces el incremento se calcula multiplicando 1,1 a cada pago anterior. (1,1 = 1 + 0,10)

3. Encontrar el valor presente de la serie anterior. Tener en cuenta que G = i

Aplicando la fórmula:

=$818.181,82

4. Hallar el valor final. Tener en cuenta que G = i

Aplicando la fórmula:

5. Encontrar el valor presente para la serie anterior, pero suponga que la tasa de interés ahora es del 15%

DATOS: n = 20 ; R1 = $45.000 ; G = 10% ; i = 15%.

6. Encontrar ahora el valor final, suponiendo la misma tasa del 15%

GRADIENTE GEOMÉTRICO INFINITO

Este tipo de gradiente consiste en una serie infinita de pagos que crece geométricamente en un factor 1 + G. Es de especial aplicación en el análisis sobre emisión de acciones.

Por obvias razones solamente tiene sentido el valor presente.

Fórmulas:

VP=Si G < i

∞ Si G ≥ i

Ejemplo: Hallar el valor presente de una serie infinita de pagos que crecen en un 20% si la tasa de interés es el 25% y el primer pago es de $4.000

Datos: R = $4.000 i=25% G = 20%

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Para una serie con las siguientes características: 18 períodos Primer cuota : $ 150.000 Crecimiento de la Cuota: 12% Tasa de interés: 12%Encontrar: Valor del último pago Diagrama de flujo de caja Valor presente Valor futuro

2. Para la siguiente serie: 24 períodos Primer cuota: $200.000 Crecimiento de la cuota: $15% Tasa de interés: 4,5%Encontrar: Valor del último pago Diagrama de flujo de caja Valor presente Valor futuro

3. Hallar el valor presente y futuro de 36 pagos mensuales que decrecen cada mes en un 2% Suponer una tasa del 2% mensual y que el primer pago es de $100.000

Los siguientes ejercicios son tomados de: BACCA C., Guillermo. (2005). Fondo Editorial Panamericano. Páginas: 130 y 131

4. Una fábrica debe importar 80 toneladas mensuales de materia prima pagándola al principio de cada mes en dólares de EEUU a razón de U$ 200 tonelada. Según la experiencia se observa que el peso se devalúan a razón del 2,5% mensual con relación al dólar. Si el cambio actual es de U$1 = $400 hallar el valor total de las importaciones de la fábrica en el transcurso de un año. A) en pesos de principio de año B) En pesos de final de año. Suponga que la fábrica trabaja con una tasa del 3% efectivo mensual.

Respuestas: A) $74.782.334 B)$106.621.727

5. Una entidad financiera presta a un cliente $3.000.000 con un interés del 34,8% CM El deudor tiene un plazo de 15 años para amortizar la deuda, mediante pagos mensuales. Suponiendo que la primera cuota es de $10.000 y vence al final del primer mes, ¿Cuál debe ser el porcentaje de reajuste mensual de la cuota, para cancelar la deuda?

Respuesta: G = 3,47%

6. Hallar el valor presente de una serie infinita de pagos que crecen en un 10% si la tasa de interés es del 15% y el primer pago es de $50.000

7. Hallar el valor presente de una serie infinita de pagos que crecen en un 22% si la tasa de interés es el 25% y el primer pago es de $450.000

8. Halar el valor presente de una serie infinita de pagos que crecen en un 13% si la tasa de interés es el 11% y el primer pago es de $5.000

9. Encontrar la tasa a la cual el valor presente de una serie infinita que crece al 6% es $2.800.000. Suponga un primer pago de $56.000.

10. Encontrar el crecimiento porcentual en el cual un valor presente de una serie infinita de pagos es de $40.000.000, depositando una primera cuota de $1.500.000 a una tasa de interés del 7,5%