EJERCICIOS: OSCILACIONES Y ECUACIN DE ONDA 1.EJERCICIOS DE OSCILACIONES Del libro Oscilaciones y ondas de Alicia Guerrero de Mesa: 1.Captulo 1: Osciladores libres con un grado de libertad. Ejercicios: 1.1, 1.2, 1.3, 1.9, 1.10 y 1.11. Pginas 16 y 17. 2.Captulo 2: El oscilador simple amortiguado y forzado. Ejercicios: 2.1, 2.2 y 2.7, Pginas 41, 42 y 43. Ejercicios con modificaciones y/o ayudas: 2.8 Considere un sistema masa-resorte dbilmente amortiguado y no forzado. Muestre que el factor de calidad es igual a: = 2nEncrgo ol comicnzo Jc un cicloEncrgo pcrJJo cn un ciclo=0 Ayuda: elija el comienzo del ciclo (t = 0 ) cuando toda la energa es potencial y tome la faseinicialdelosciladoramortiguadoigualacero(o = 0).Recuerdequelaenerga prdida en un ciclo es debida a la fuerza de friccin y es igual a P]( t)

P, donde P]( t)

es lapotenciapromedioyPeselperiodo.Considerequeelamortiguamientoes suficientementedbilparaquese cumplaque( 0) ytengaen cuenta queen este caso se puede usar la aproximacin c-It 1 t. 2.9 Sobre un oscilador dbilmente amortiguado actan simultneamente dos fuerzas con frecuencias y amplitudes iguales, pero con diferentes constantes de fase [1 y [2. Analice la solucin de la ecuacin de movimiento del sistema en funcin de la diferencia entre las constantes de fase = [2 [1. 2.10Dosfuerzasarmnicasdeigualamplitudyconstantedefasepero confrecuencias ligeramente diferentes actan simultneamente sobre un oscilador. Muestre, con ayuda de identidades trigonomtricas, que en el estado estacionario la fuerza neta puede expresarse comounproductodeunaoscilacinarmnicarpida,porunafuncinarmnica lenta. 3.Captulo 3: Sistema libre de dos osciladores acoplados. Ejercicio: 3.3. Pgina 65. Ejercicios con modificaciones y/o ayudas: 3.1 Sustituyendo directamente x1( t)y x2( t)en trminos de las coordenadas normales en la expresin (3.39), muestre que la energa de dos osciladores acoplados puede escribirse (en trminos de las coordenadas normales) como la suma de cada modo normal, como si se tratar de osciladores independientes. 3. EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE OSCILACIONES: a) Osciladores armnicos simples 1.Unapartculaoscilaconunmovimientoarmnicosimpledetalformaquesu desplazamientovaradeacuerdoconlaexpresin 5 cos 33radx m ts .En0 t encuentre:(a)El desplazamiento, (b) su velocidad, (c) su aceleracin y (d) el periodo y la amplitud del movimiento. 2. Una masa que est sujeta a un resorte esta oscilando: (a) Qu fraccin de su energa total est en forma de energa cintica cuando el desplazamiento es la mitad de su amplitud?. (b) Para qu desplazamiento son iguales sus energas cintica y potencial?. 3. Una partcula de200 gde masa est unida a un resorte de constante elstica 40Nkmy describeunmovimientoarmnicosimplede15cmdeamplitud.Sienelinstante0 t se encuentraa8cmdelorigenmovindosehacialaizquierda,determinar:(a)laposicin, velocidad y aceleracin en funcin del tiempo, (b) las energas potencial, cintica y total del sistema y (c) Los valores deten los que la partcula pasa por el origen. 4. Un bloque de masa300gest unido a dos resortes de constantes elsticas 135Nkmy 225Nkm . Si la masa se saca de la posicin de equilibrio y empieza a oscilar, hallar: (a) La ecuacin de movimiento y su solucin, (b) la expresin para la velocidad y la aceleracin y (c) el periodo de oscilacin del bloque. b) Osciladores amortiguados: 1.Una partcula de masa200 m g , que puede moverse en el ejex , est sometida a dos fuerzas: 1F x kx y 2F v bv , donde60Nkmy0, 02kgbs . (a) Escriba la solucin a la ecuacin de movimiento para amortiguamiento dbil. (b) Cmo evoluciona la energa mecnica de la partcula?. Considere amortiguamiento suficientemente dbil.2.Un cuerpo demasa0, 2 m kg estsuspendido deltechomediante unmuelle.Lafuerza querealizaelmuellealserestiradounalongitudz apartirdesulongitudsindeformares eF kz ,donde29Nkm .Elcuerpoestsumergidoenunfluidoviscosoqueamortiguael movimiento con una fuerza proporcional a la velocidad: vF bv . (a) Escribir la ecuacin diferencial que rige el movimiento z tdel cuerpo, y la solucin general de esta ecuacin. (b)Hallarlaexpresin z t sielcoeficientedelafuerzaviscosaes0, 4kgbs ylas condiciones es iniciales son 0 3, 27 z cm y 0 0, 424mvs . Osciladores forzados: 1.Sobreunosciladoractaunafuerzaimpulsora 0cosfFt F wt con 02 F N y 30fradws .Elosciladorestaamortiguadoporunafuerzadefriccinviscosacon 7kgbs .Sienelsistemasepresentaresonancia,parauntiempot (donde esel tiempo de vida medio del oscilador amortiguado): (a) Determinar la potencia media disipada por la fuerza viscosa en un ciclo. (c) Comprobar que la potencia media disipada por la fuerza de friccin es igual a la potencia media suministrada por la fuerza impulsora. 2.Unsistemamasa-resortetieneunafrecuencianatural,opropia,deoscilacin ow ysufre oscilacionesforzadasconfrecuencia fw .Sienelsistemasepresentaresonancia,paraun tiempot (donde es el tiempo de vida medio del oscilador amortiguado): (a) Representar en una grfica las energas cintica y potencial instantneas del sistema. (b) Halle la energa total del sistema. La energa total es constante?. (c) Halle la energa cintica media y la energa potencial media. Qu se puede concluir?. Osciladores acoplados 1.Ilustre grficamente los modos normales de oscilacin para: (a)Un sistema de tres masas acopladas con resortes. (b)Un sistema de cuatro masas acopladas con resortes. Nota: considere que todas las masas y todas las constantes elsticas son iguales. 2.Para el sistema de tres masas acopladas con resortes: (a)Establezca claramente el sistema de coordenadas a utilizar, y plantee las ecuaciones de movimiento para cada masa. (b) Reescriba las ecuaciones del sistema en forma matricial. (c)Halle las frecuencias propias. 2. EJERCICIOS: ECUACION DE ONDA Problemas: 1, 2, 3, 4, 7 y 9 del captulo 1 (pgina 103) del libro Fsica de las ondas de Hctor Alzate.