Ondas mecanicas

Carlos L. Beltran Ros

6 de marzo de 2013

1. Hallar la energa total de vibracion de una cuerda delongitud L fija en ambos extremos que oscila en su modocaracterstico n con una amplitud A. La cuerda esta so-metida a una tension T y posee una masa total M .

2. Considere dos ondas que se propagan, en un medioelastico, a lo largo de la direccion x dadas por y1(x, t) =A1 sin(

2x 1t) y y2(x, t) = A2 sin(32 x 2t), donde

x y y estan en metros y t en segundos. Determine:

a) La amplitud de la onda resultante en un puntosituado a x = 2m

b) En el instante t = 0 cual es la longitud de ondade la onda?

3. Considere la misma cuerda del problema anterior y cal-cule la energa total si la cuerda esta vibrando de talforma que se describe su vibracion a traves de dos mo-dos normales. Dicha vibracion se describe como

y(x, t) = A1 sin( x

L) cos(1t)+A3 sin(

3 x

L) cos(3t

4)

4. Un aro circular de cuerda homogenea se hace girar rapi-damente con una velocidad angular constante , de ma-nera que se tensa formando una circunferencia de radioR. En un momento dado se forma un rizo en la cuerda.a) Con que velocidad se propagara el rizo por la cuer-da? b) Bajo que condiciones podra el rizo permanecerestacionario respecto a un observador estacionario?

5. Una cuerda homogenea, de longitud L y masa m, cuel-ga verticalmente sujeta firmemente por su extremo su-perior. a) Expresar la velocidad de propagacion de unpulso transversal a lo largo de la cuerda en funcion dela distancia x respecto al extremo inferior (libre de lacuerda. b) Calcular el tiempo que empleara dicho pulsoen recorrer toda la cuerda. c) Supongamos que sacudi-mos transversalmente el extremo inferior de la cuerda,con una frecuencia f , de modo que se genere una ondasinusoidal a lo largo de la cuerda. Expresar la longitudde onda, , en funcion de x.

6. Un cable uniforme y flexible, de 10 m de longitud y 6 kgde peso, cuelga verticalmente con su extremo superiorfirmemente sujeto a un soporte. Del extremo inferior delcable se cuelga una pesa de 6 kg. Se golpea transversal-mente el cable cerca de su extremo inferior. Calcularel tiempo que empleara la perturbacion resultante enllegar al extremo superior del cable.

7. Una onda que se propaga por una cuerda, responde ala ecuacion, en unidades del S.I.:

y(x, t) = 3 103 sin(80t 6x)

Si la cuerda tiene un extremo fijo en la pared, escribala ecuacion de la onda reflejada

8. Una cuerda uniforme, de masa m y longitud L, cuelgade un techo. a) Demostrar que la rapidez de una ondatransversal en la cuerda es una funcion de la distanciay medida desde el extremo inferior y que su valor esv =

g y b) Demostrar que el tiempo que transcurre

para que la onda transversal recorra la cuerda comple-

ta es t = 2

Lgc) Afecta la masa de la cuerda a los

resultados de a) y b)?. Determine las expresiones co-rrespondientes.

9. a) Como vara la velocidad de propagacion de unaonda transversal a lo largo de una cuerda si la tensionse duplica?, b) y si se reduce a la mitad? c) En cuantodebe modificarse la tension de la cuerda para duplicarla velocidad de propagacion? d) Y para reducirla a lamitad?

10. Para cierta onda transversal la distancia entre dos maxi-mos sucesivos es y N maximos pasan por un puntodado a lo largo de la direccion de propagacion cada tsegundos. Determine la velocidad de la onda.

11. Un alambre de longitud L y masa m se estira bajo unatension T . Si se generan dos pulsaciones, separadas porun intervalo de tiempo t, en cada extremo del alam-bre, a que distancia del extremo izquierdo se encuen-tran las pulsaciones?

12. Se puede producir un ruido al perturbar el flujo de aireproveniente de una pitillo de bebida. Si el flujo se per-turba con los hoyitos,ver figura, en un disco que giracon frecuencia de 55Hz, en que circunferencia de ho-yos equidistantes hay que soplar para or la nota La de440Hz?

1

AB

C

D

E

13. Una onda en una membrana circular se describe a travesde la ecuacion diferencial

1

(

)

+1

22

2 1

v22

t2

a) Muestre que una solucion a la ecuacion diferencialanterior esta dada por

(, , t) =A

ksin(k t)em

, donde =1 y m es un numero entero.

b) Haga una grafica de (, , t) en el caso m = 0.

x y

z

14. Sea una onda viajera unidimensional g(x, t) = g(xvt)que se propaga respecto a un sistema de referencia S.Sea S un sistema de referencia, que se mueve respectoal sistema S con una velocidad ~V = V i, con V > 0.Muestre que vista desde S la onda se propaga con unarapidez |V v|.

15. En un medio S se propaga una onda armonica (x, t) =A cos(tkx). Hallar la expresion de la onda en un sis-tema de referencia S que se mueve en el sentido positivodel eje de lasX a una velocidad constante V .Como sonla longitud de onda y la frecuencia observada desde elsistema S respecto al sistema S

16. Un alambre de densidad volumetrica posee una lon-gitud L, esta sometido a una tension T y posee unaseccion transversal circular. El alambre esta fabricadode manera que el area de su seccion transversal dismi-nuye uniformemente de un extremo a otro. Si se generaun pulso en el extremo de mayor area determine:

a) Una expresion para la rapidez de una onda que sepropaga a lo largo del alambre de un extremo aotro.

b) El tiempo en que demora en recorrer la onda lalongitud total del alambre.

c) Determine la energa en el punto inicial y final delalambre. Que puede decir sobre la energa, la po-tencia y la intensidad de la onda a partir de estosresultados?

d) Realice los calculos anteriores considerando ahoraque el radio de la seccion transversal del alambrevaria uniformemente.

17. Una cuerda muy larga y flexible, de masa por unidadde longitud, esta estirada horizontalmente sometida auna tension F . Sujetamos con la mano el punto mediode la cuerda y la sacudimos hacia arriba y abajo impri-miendole un m.a.s. con una amplitud A y una frecuenciaf . En estas condiciones se generan ondas transversalesque recorren la cuerda en ambas direcciones. Antes deque el movimiento se complique como consecuencia delas reflexiones en los extremos lejanos de la cuerda, cal-cular: a) la potencia en funcion del tiempo que debesuministrar la mano y b) el valor medio de dicha po-tencia.

18. Un pulso transversal de amplitud A avanza en el sentidopositivo del eje x, a lo largo de una curda de densidadlineal , sometida a una tension F . el pulso se describepor la funcion

y(x, t) =

A

(

1 |ct x|l

)

, si |ct x| < l

0, si |ct x| > l

Determine:

a) Si el pulso es solucion a la ecuacion diferencial deonda.

b) Dibuje la forma del pulso

c) Una expresion para la densidad de energa y laenerga total transportada por el pulso.

d) Calcular la intensidad de la onda (flujo de energa)

e) Para un valor de x fijo integre el flujo de energa enun intervalo de tiempo t (,). Que puededecir de su resultado?

19. Un pulso que viaja por una cuerda, en la direccion xpositiva, como el mostrado en la figura, esta descritopor la ecuacion

y(x, t) = AeB(vtx)2

. Determine:

1

2

0 1 212x

y

v

2

a) Que es solucion a la ecuacion diferencial de ondaunidimensional

b) la velocidad de un punto sobre la cuerda. Deter-mine una expresion para el caso x = 0,5

20. Supongamos que se propaga una perturbacion longitu-dinal a lo largo de un muelle de constante k, longitud Ly masa m, el cual es estirado de uno de sus extremos.Sea el desplazamiento experimentado por una secciondel muelle de abscisa x.

a) Mostrar que la variacion de la tension del muellevara a lo largo del mismo y viene dada por laexpresion

F = kL

x

b) Mostrar que la fuerza resultante sobre un elementodel muelle de longitud dx es

dF = kL2

x2dx

c) Mostrar que la velocidad de propagacion de lasondas longitudinales en el muelle es

v = L

k

m

21. Un alambre de aluminio, cuya longitud es l1 = 60,0 cmy cuya seccion transversal es 1,0 102 cm2 esta unidoa un alambre de acero de la misma seccion transver-sal. El alambre complejo soporta a un cuerpo m cuyamasa es de 10,0 kg, en una disposicion como la que semuestra en la figura, de tal manera que la distancia l2desde la union hasta la polea de soporte es de 86,6 cm.En el alambre se generan ondas transversales utilizandoun generador externo de frecuencia variable. a) Deter-minar una expresion algebraica para obtener la menorfrecuencia de excitacion para la cual se observa una on-da estacionaria tal que el punto de union de los alam-bres sea un nodo. b) Cual es el numero total de nodosque se observan a esta frecuencia, excluyendo los dosextremos del alambre? La densidad del aluminio es de2,60 g/cm3 y la del acero es de 7,80 g/cm3.

m

l1 l2

22. Una cuerda de longitud L se hace vibrar con una fre-cuencia f = 50Hz, como se muestra en la figura. Semodifica la masa de m a m y el aspecto de la vibra-cion cambia. Determine la relacion m/m para que lafrecuencia permanezca constante.

m

m

23. Las ondas sonoras procedentes de un altavoz se difun-den de forma casi uniforme en todas las direcciones delespacio cuando sus longitudes de onda son grandes encomparacion con el diametro del altavoz. Por el contra-rio, cuando sus longitudes de onda son pequenas, granparte de la energa acustica se dirige hacia adelante.Calcular, para un altavoz de 20 cm de diametro, la fre-cuencia para la cual la longitud de onda del sonido enel aire es: a) 1/10 del diametro del altavoz, b) igualal diametro del altavoz y c) 10 veces el diametro delaltavoz.

24. Muestre que la rapidez maxima transversal para unapartcula en una cuerda es menor que la velocidad de laonda en la cuerda. Recuerde que al deducir la ecuacionde la onda en la cuerda se obtiene que A siendo Ala amplitud de la onda y su longitud de onda.

25. Una cuerda esta formada por dos secciones con densi-dades lineales 1 = 0,10 kg/m y 2 = 0,2 kg/m. Unaonda, y(x, t) = (0,050m) sin(7,5x 12,0t) con x en me-tros y t en segundo, incide desde el medio mas ligero.Determine

a) Cual es la longitud de onda en la seccion masligera?

b) Cual es la tension de la cuerda?

c) Cual es la longitud de onda en la seccion maspesada?

26. Una cuerda de un metro de largo tiene dos seccionesde igual longitud, con densidades lineales de 0,50 kg/my 1,0 kg/m. La tension total de la cuerda es constante.Los extremos oscilan de manera tal que en la cuerdasurge una onda estacionaria con un solo nodo donde seunen las cuerdas cual es la razon entre las frecuenciasde oscilacion en cada segmento de la cuerda?

27. Demuestre que si la tension de una cuerda estirada cam-bia por una pequena cantidad T , la frecuencia de sumodo fundamental cambia en la cantidad

f =1

2

(

T

T

)

f

28. Una fuente emite ondas sonoras (S) de longitud de onda, un detector (D) se encuentra a una distancia l de lafuente. El sonido llega directamente al detector y tam-bien al reflejarse desde un obstaculo (A). El obstaculoesta equidistante de la fuente y el detector. Cuando elobstaculo esta a la distancia d, como se ve en la figu-ra, las ondas llegan al detector en fase (interferenciaconstructiva).

3

a) A que distancia, moviendo el obstaculo hacia laderecha o a la izquierda, se debe colocar este paraque se produzca una interferencia destructiva?

b) Manteniendo el obstaculo en su posicion que tan-to se debe alejar o acercar el detector para quehaya interferencia destructiva?

A

S

D

dl

29. Mida la distancia que separa sus odos, el tmpano seencuentra a una distancia de 25mm del odo externo,a partir de esta informacion, considerando que la tem-peratura del aire de su habitacion es de unos 28C quefrecuencia debe emitirse a traves de los parlantes de uncomputador, separados una distancia 40cm, para queusted pueda .observarmnimos de interferencia si se en-cuentra a una distancia de 1m de los parlantes.

30. Muestre que

a) Para un proceso adiabatico el modulo de compren-sion de un gas esta dado por B = P , siendo P lapresion del aire.

b) La velocidad de las ondas sonoras en un gas du-rante un proceso adiabatico esta dada por

v =

B

31. Muestre que la velocidad de la onda sonora en un gasesta dada por

v =

RT

M

Donde R es la constante universal de los gases, T latemperatura del gas en grados Kelvin y M su masamolecular.

32. Se detona una carga explosiva a varios kilometros en laatmosfera. A una distancia de 400 m de la explosion lapresion acustica alcanza un maximo de 10 Pa. Si se su-pone que la atmosfera es homogenea sobre la distanciaconsiderada, cual es el nivel sonoro, en decibelios, a 4km de la explosion. Nota: las ondas sonoras en el aireabsorben a una tasa de 7 db/km

33. La velocidad del sonido, en m/s, depende de la tempe-ratura del aire de acuerdo con la expresion

v = 331,5 + 0,607Tc

donde Tc es la temperatura en grados Celcius. En ai-re seco la temperatura disminuye a una razon (C/m)con el aumento en la altura. a)Suponiendo que este cam-bio es constante hasta una altitud de H (m), determineuna expresion para calcular el tiempo que demora enviajar una onda sonora producida a una altura H hastael piso, suponiendo que este se halla a una temperatura

Ts (C). b) Determine el tiempo si =

1

150(C/m),

H = 9000 (m) y Ts = 30 (C)

34. En un cilindro largo se bombea agua a una tasaR (cm3/s), el radio de cilindro es r (cm) y en su partesuperior hay un generador de ondas sonoras que emi-te con frecuencia constante f (Hz), cuando la colum-na de agua asciende. a)cuanto tiempo transcurre en-tre dos resonancias sucesivas?. b) Calcule el tiempo siR = 18,0 (cm3/s), r = 4,0 (cm) y f = 200 (Hz)

35. Un tubo abierto de longitud L se coloca verticalmenteen una cubeta cilndrica que tiene una area A en elfondo. Se vierte agua dentro de la cubeta hasta que undiapason vibrando con frecuencia f , situado sobre eltubo, produce resonancia. Encuentre la masa del aguaen la cubeta en estos momentos. Determine la masa siL = 0,40 (m), A = 0,10 (m2) y f = 440Hz)

Para los siguientes ejercicios utilizar el servicio en lneade la pagina fooplot para hacer los graficos

36. El teorema de Fourier establece que cualquier onda pe-riodica de frecuencia f , no importa que tan complica-da sea, puede expresarse como una suma de funcionesarmonicas pares e impares, esto es

y(t) =

n=0

An sin(n t+ n)

donde = 2 f . Use An = n1, con n = 1, , 10

y n = 0 para todo n y determine y(t) a medida queadiciona terminos a la sumatoria.

37. Considere dos ondas viajeras de amplitudes A1 = A2 =0,10 (m), frecuencias angulares 1 = 2 = 2,5 (rad/s),numeros de onda k1 = k2 = 1,0 (rad/m) y 1 = 0, 2puede tomar valores en el conjunto {0, /8, /4, /2, }a) Haga las graficas y senale para que valores de 2 hay

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interferencia constructiva y destructiva. Repita el ante-rior proceso pero considerando b)A1 6= A2 = 0,2 (m),c)1 6= 2 = 3,5 (rad/s)

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