1

1

Problemas del transporte

Taller 5

2

PROBLEMA 8.2-10

Es necesario planear el sistema de energía de un nuevo edificio. Las tres fuentes posibles de energía son electricidad, gas natural, y una unidad de celdas solares.

Los requerimientos diarios de energía (todos medidos en las mismas unidades) en el edificio en cuanto a luz eléctrica, calefactores de agua y calefactores de ambiente son:

3

Electricidad 20 unidades

Calefactores de agua 10 unidades

Calefactores de ambiente 30 unidades

El tamaño del techo limita la unidad de celdas solares a 30 unidades pero no hay limite en la disponibilidad de electricidad y gas natural. Las necesidades de luz se pueden satisfacer sólo comprando la energía eléctrica ( a un costo de $50 por unidad). Las otras dos necesidades energéticas se pueden cumplir mediante cualquier fuente o combinación de fuentes.

4

Electricidad Gas natural Celdas solares

Calefactores de agua

Calefactores

de ambiente

$ 90 $ 60 $ 30

$ 80 $ 50 $ 90

5

El objetivo es minimizar el costo total de cumplir con las necesidades de energía.

• Formule este problema como un problema de

transporte construyendo la tabla de costos y requerimientos apropiada.

• Utilice el método de aproximación de Vogel para obtener una solución BF inicial para este problema.

• A partir de la solución inicial BF, aplique en forma interactiva el método simplex de transporte para obtener una solución óptima.

6

Demanda

Oferta

50 80

? 50

? 40

20 30

∝∝

∝∝

30

90

60

30

10

Electricidad

Gas natural

Celdas solares

Ilumi-nación

Calefac-tores agua

AireAcondi

-cionado

2

7

Para construir la tabla de costos y requerimientos apropiada, debemos restringir la oferta de electricidad y gas natural.

ElectricidadLo máximo que estarían dispuestos a comprar sería 60

Gas NaturalLo máximo que estarían dispuestos a comprar sería 40

8

Demanda

Oferta

50 80

? 50

? 40

20 30

60

40

30

90

60

30

10

Electricidad

Gas natural

Celdas solares

Ilumi-nación

Calefac-tores agua

AireAcondi-cionado

Vemos que la oferta es mayor que la demanda y por ello debemos crear un nodo ficticio de demanda 4(F)

9

El nodo ficticio de demanda debe absorber las unidades que no se asignan.

(60+40+30) - (20+30+10) = 70

Demanda

Oferta

50 80 ?

? 50 ?

? 40 ?

20 30 70

60

40

30

90

60

30

10

Electricidad

Gas natural

Celdas solares

Ilumi-nación

4(F)Calefac-

tores agua

AireAcondi

-cionado

10

Es imposible obtener iluminación a partir de gas natural

y celdas solares, por lo que este costo debe ser M.

Demanda

Oferta

50 80 0

M 50 0

M 40 0

20 30 70

60

40

30

90

60

30

10

Electricidad

Gas natural

Celdas solares

Ilumi-nación

4(F)Calefac-

tores agua

AireAcondi

-cionado

El no asignar unidades no debe costar nada.

11

Debemos obtener una S.B.F inicial mediante el

método de Vogel

12

Diferencia

por columna

Demanda

Oferta

50 80 0

M 50 0

M 40 0

20 30 70

60

40

30

90

60

30

10

Electricidad

Gas natural

Celdas solares

Ilumi-nación

4(F)Calefac-tores agua

Diferencia

porrenglón

AireAcondi-cionado

M-50 10 030

50

50

30

M - 50

20 40

Seleccionar X11=20

Eliminar

columna 1

3

13

Diferencia

por columna

Demanda

Oferta

80 0

50 0

40 0

30 70

40

40

30

90

60

30

10

Electricidad

Gas natural

Celdas solares

4(F)Calefac-

tores agua

Diferencia

porrenglón

AireAcondi

-cionado

10 030

80

50

30

Seleccionar X14=40

Eliminar

renglón 1

8040

30

14

Diferencia

por columna

Demanda

Oferta

50 0

40 0

30 30

40

30

60

30

10

Gas natural

Celdas solares

4(F)Calefac-

tores agua

Diferencia

porrenglón

AireAcondi

-cionado

10 030

50

30

Seleccionar X24=30

Eliminar

Columna 4

5030 10

15

Diferencia

por columna

Demanda

Oferta

50

40

30

10

30

60

30

10

Gas natural

Celdas solares

Calefac-tores agua

Diferencia

porrenglón

AireAcondi-cionado

1030

10

10

Seleccionar X32=10

Eliminar

Columna 230

10 20

16

Diferencia

por columna

Demanda

Oferta

50

40

30

10

20

Gas natural

Celdas solares

Diferencia

porrenglón

AireAcondi-cionado

10

Seleccionar X23=10

Seleccionar X33=20

10

20

20

17

Veamos como quedó la S.B.F Inicial

Demanda

Recur-sos

50 80 0

M 50 0

M 40 0

20 30 70

60

40

30

90

60

30

10

4(F)

Vj

UiIlumi-nación

Calefac-tores agua

AireAcondi-cionado

Electricidad

Gas natural

Celdas solares

20 40

30

10

10

20

Z= 2600

18

Después de obtener una S.B.F inicial, se verifica si

es óptima mediante la prueba de optimalidad.

4

19

PRUEBA DE OPTIMALIDAD.

•Una S.B.F es óptima si y sólo si Cij - Ui - Vj ≥≥ 0

para toda i,j tal que Xij es V.N.B en la iteración

actual.

•Como el valor de Cij - Ui - Vj debe ser cero si Xij es

V.B, Ui y Vj satisfacen el conjunto de ecuaciones

Cij = Ui + Vj para cada (i,j) tal que Xij es básica.

20

Miremos los Ui y Vj

0

50 40 0

0

50

-10

Demanda

Recur-sos

50 80 0

M 50 0

M 40 0

20 30 70

60

40

30

90

60

30

10

4(F)

Vj

UiIlumi-nación

Calefac-tores agua

AireAcondi-cionado

Electricidad

Gas natural

Celdas solares

20 40

30

10

10

20

Z= 2600

21

Una S.B.F es óptima si y sólo si Cij - Ui - Vj ≥≥ 0

para toda i,j tal que Xij es V.N.B en la iteración actual.

0

50 40 0

0

50

-10

Demanda

Recur-sos

50 80 0

M 50 0

M 40 0

20 30 70

60

40

30

90

60

30

10

4(F)

Vj

UiIlumi-nación

Calefac-tores agua

AireAcondi-cionado

Electricidad

Gas natural

Celdas solares

20 40

30

10

10

20

Z= 2600

50

M-50

M-40

20

30

10

22

Cómo todos los Cij - Ui - Vj ≥≥ 0 esta es la solución

óptima, y la mejor manera de asignar las fuentes

sería:

20 unidades IluminaciónElectricidad

40 unidades sin asignar

Gas Natural10 unidades Aire acondiconado

30 unidades sin asignar

Celdas solares

10 unidades Calefactores agua

20 unidades Aire acondiconado

23

EL PROBLEMA DE LA RUTA MINIMA

Un camión debe viajar de Nueva York a los Angeles. Se debe formular un problema de transporte balanceado, que pueda usarse para encontrar la ruta de Nueva York a Los Angeles que utiliza el mínimo costo.

Veamos 24

Nueva York

3

1

3

1

St. Louis

2

Cleveland

4Dallas

2

2

Los Angeles

1

5

25

MATRIZ DE COSTOS

N.Y CL St. LD L.A Destinos

0 2 3 1 M 1+1

M

M

M

M

0 4 1 3 1

Origen

M 0 1 2 1

M M 0 2 1

M MM 0

11

1

1 1 1+1

N.Y

CL

D

St. L

L.A

26S.B.F inicial obtenida mediante el método de la esq. nor.

Origen

Destino

0 3 1 M

M 4 1 3

M 0 1 2

M M 0 2

1 1 1 2

2

1

1

1

1

2

0

M

M

1

Vj

Ui

1

1

0

1

0 2 3 0 1

-1M M M M 0

1 1 0 1

1 0

1

1

1

0

1

N.Y CL St. LD L.A

N.Y

CL

D

St. L

L.A

27

Iteraciones.

Paso 1:

Se determina Cij - Ui - Vj para seleccionar la variable que entra a la base.

Cij - Ui - Vj representa la tasa a la cual cambia la función objetivo si se incrementa la V.N.B Xij .

La que entra debe tener un Cij - Ui - Vjnegativo (se elige el más negativo).

Veamos 28

0 3 1 M

M 4 1 3

M 0 1 2

M M 0 2

1 1 1 2

2

1

1

1

1

2

0

M

M

1

Vj

Ui

M M M M 0

Origen

Destino

Vj

N.Y CL St. LD L.A

N.Y

CL

D

St. L

L.A

En este caso entra X33

1 1 0

1 0

1

1

1

0

-3M-1

1

1

0

1

0 2 3 0 1

-1

M-1

M-1

M+1

M-3

M-3

M-1

-4

-1

1

1

M-4

M-2

M-1

M+1

29

Iteraciones.

Paso 2:

Al incrementar el valor de una variable (entrarla a la base) , se genera una reacción en cadena, de forma tal que se sigan satisfaciendo las restricciones.

La primera V.B que disminuya su valor hasta cero será la variable que sale.

sigue 30

Solamente existe una reacción en cadena que incluye a la V.B entrante, y algunas V.B actuales.

Existen celdas donadoras y celdas receptoras. Luego para saber en cuanto se puede incrementar la V.B entrante, se escoge el menor valor entre las celdas donadoras y esta es la que sale de la base (en caso de empates se elige arbitrariamente).

Veamos

6

31

0 3 1 M

M 4 1 3

M 0 1 2

M M 0 2

1 1 1 2

2

1

1

1

1

2

0

M

M

1

Vj

Ui

M M M M 0

1 1 0

1 0

1

1

1

0

-3M-1

1

1

0

1

0 2 3 0 1

-1

Origen

Destino

Vj

N.Y CL St. LD L.A

N.Y

CL

D

St. L

L.A

M-1

M-1

M+1

M-3

M-3

M-1

-4

-1

1

1

M-4

M-2

M-1

M+1

+

-

+

-1

0 1

32

Iteraciones.

Paso 3:

Para determinar si la solución es óptima, se debe calcular nuevamente Ui y Vj , y luego para cada V.N.B, Cij - Ui - Vj .

Se detiene cuando todos los Cij - Ui - Vjpara las V.N.B sean positivos.

Veamos

33

0 3 1 M

M 4 1 3

M 0 1 2

M M 0 2

1 1 1 2

2

1

1

1

1

2

0

M

M

1

Vj

Ui

M M M M 0

1 1 0

1

1

0

-3M-1

-3

1

0

-3

0 2 3 0 5

-5

Origen

Destino

Vj

N.Y CL St. LD L.A

N.Y

CL

D

St. L

L.A

M+3

M+3

M+5

M+1

M+1

M+3

3

-3

1

M

M+2

M-5

M+5

1

0 1

4

En este caso entra X22

34

0 3 1 M

M 4 1 3

M 0 1 2

M M 0 2

1 1 1 2

2

1

1

1

1

2

0

M

M

1

Vj

Ui

M M M M 0

1 1 0

1

1

0

-3M-1

-3

1

0

-3

0 2 3 0 5

-5

Origen

Destino

Vj

N.Y CL St. LD L.A

N.Y

CL

D

St. L

L.A

M+3

M+3

M+5

M+1

M+1

M+3

3

-3

1

M

M+2

M-5

M+5

1

0 1

4

+

-

+

-0

1 0

35

0 3 1 M

M 4 1 3

M 0 1 2

M M 0 2

1 1 1 2

2

1

1

1

1

2

0

M

M

1

Vj

Ui

M M M M 0

1 1 0

1

1

0

M+2

-3

-2

0

-3

0 2 3 3 5

-5

Origen

Destino

Vj

N.Y CL St. LD L.A

N.Y

CL

D

St. L

L.A

M+3

M+3

M+5

M+1

M+1

M+3

0

0

-2

M

M+2

M-5

M+2

1

1

1

0 3

En este caso entra X14

36

0 3 1 M

M 4 1 3

M 0 1 2

M M 0 2

1 1 1 2

2

1

1

1

1

2

0

M

M

1

Vj

Ui

M M M M 0

1 1 0

1

1

0

M+2

-3

-2

0

-3

0 2 3 3 5

-5

Origen

Destino

Vj

N.Y CL St. LD L.A

N.Y

CL

D

St. L

L.A

M+3

M+3

M+5

M+1

M+1

M+3

0

0

-2

M

M+2

M-5

M+2

1

1

1

0 3+

-

+

-

10

1

7

37

0 3 1 M

M 4 1 3

M 0 1 2

M M 0 2

1 1 1 2

2

1

1

1

1

2

0

M

M

1

Vj

Ui

M M M M 0

1 0 0

1

1

0

M+2

-3

-2

0

-3

0 2 3 1 5

-5

Origen

Destino

Vj

N.Y CL St. LD L.A

N.Y

CL

D

St. L

L.A

M+3

M+3

M+5

M+1

M+1

M+3

2

0

M

M+2

M-5

M+4

1 3

1 3

1

2

Solución óptima

Z=338

La ruta será :

St. LouisNueva York Los Angeles