Taller 1.Calcule la derivada de las siguientes funciones.

1. f ( x )=2x3 Respuesta: 6 x22. f ( x )=3 x4+73. f ( x )=x2+x+6 Respuesta: 2 x+14. f ( x )=√2 x5

5. f ( x )=−2x4

Respuesta: 8 x−5

6. f ( x )=2x4−3x7. f ( x )=9−3 x−2 x2 Respuesta: -3-4x8. f ( x )= 5

x−3

9.f ( x )= 1x+3 Respuesta:

−1(x+3)2

10. f ( x )=34x+ 13

Teoremas para el cálculo de derivadas.

Una forma más simple que la aplicación de la definición para calcular la derivada de una función real de variable real, es mediante el uso de teoremas, los cuales se obtienen a partir de la definición y que pueden ser consultados en el libro de texto y en el formulario o prontuario de cálculo.

Ejemplo: Calcular la derivada de la función f ( x )= 23 x2

Transformando la función a la forma de potencia

f ( x )=23 x

−2

Aplicando el teorema y simplificando, se tiene la derivada de la función.

D x f ( x )=23

(−2x−3 )

¿−43x−3

¿− 43 x3

Ejercicios: Calcule la derivada de las siguientes funciones.1. f ( x )=−3x−3 Respuesta: 9x−42. f ( x )=5 x7+2 x−63. f ( x )=−8

x10Respuesta: -80

x−11

4.f ( x )=5 x4−2x3+6 x−2

5. f ( x )= 35 x5

Respuesta: −6 x−6

6. f ( x )=4 x10+12x7−5 x4+8

7.f ( x )= 6√x Respuesta: 16 6√x5

8. f ( x )= 1x+

1x2

- 1x3

9. f ( x )=3 x−5+2 x−3 Respuesta:−15 x−6−6 x−4

10. f ( x )=3 x3−3 3√ x+ 3x3

−3

Ejemplo: Obtenga la derivada de la función f ( x )=3 x2−2x3 x

Se desea calcular la derivada de un cociente de la forma:

D x [ f (x )g(x) ]=g ( x )D x f (x )−f ( x )D x g( x)

[ g(x) ]2

Aplicandoel teorema correspondiente

¿3x (6 x−2 )−(3 x2−2 x )(3)

(3 x)2=18 x

2−6 x−9x2+6 x9 x2

¿ 9 x2

9 x2=1

Ejercicios: Calcular la derivada de las siguientes funciones.

1. f ( x )=( x2+2 )( x3+1) Respuesta: 5 x4+6 x2+2x2. f ( x )=( x4−1 )(x2+1)

3.f ( x )= 13 x2+1

Respuesta: −6x

(3 x2+1)2

4. f ( x )= 25 x2−1

5. f ( x )= x−1x+1 Respuesta: 2

(x+1)2

6. f ( x )=2 x−1x−1

7. f ( x )=(1−x )2 Respuesta: 2x-2II. Determine la derivada de las siguientes funciones:

a) b)

c) d)

e) f)

III Hallar las siguientes derivadas

1)

f ( x )=3 x3+ 23x2−x+3 3√x

2)

f ( x )= x4

4+ 3x

2

2−2−3

x+ 6x3

3)

f ( x )=x √x+ 1x2 √x

− 3

x 3√x2

4) f ( x )= 5 x−2

4 x2−1 5) 6)

7)

8)

9)

10) f ( x )=(x2+4 x−5 )3= 11) 2x1x1y 12) y=(4 x3+6x−2 )2

Taller 2: Derivada de las funciones trigonométricas directas.

La derivada de las seis funciones trigonométricas directas se obtienen aplicando los teoremas correspondientes que pueden ser consultados en el texto o en el prontuario o formulario.

Ejemplo: Hallar la derivada de la función f ( x )=tan 4 x3−2cot x2+sec (2x−1)

Se tiene la derivada de una suma de tres funciones, aplicando los teoremas correspondientes para obtener la derivada de cada término y simplificando, se tiene:

D x f ( x )=sec24 x3D x (4 x3 )+2csc2 x2D x ( x2 )

+sec (2 x−1 ) tan (2 x−1 )D x (2x−1)

¿12x2 sec24 x3+4 xcsc2 x2+2 sec (2 x−1 ) tan(2 x−1)

Ejercicios: Obtenga la derivada de las siguientes funciones1. f ( x )=sen (3 x−1 ) Respuesta: 3 cos (3x-1)

2. f ( x )=cos2x7

3. f ( x )=tan 3√x Respuesta: sec2 3√x

3 3√ x24. f ( x )=sec (1−2x−x3)5. f ( x )=sen5 x+cos5 x Respuesta: 5 cos 5x- 5 sen 5x6. f ( x )=cot√x−csc 3√x7. f ( x )=tan5 x5 Repuesta:25 x4 tan 4 x5 sec2 x58. f ( x )=√sen22x9. f ( x )= 2x−1

tan5 x10. f ( x )=cos ¿ Respuesta: −3 sec 23 x sen¿

Taller 3. Derivada de las funciones trigonométricas inversas.

Para calcular la derivada de las funciones trigonométricas inversas, se aplican los teoremas correspondientes que pueden consultarse en el texto o en el prontuario o formulario.

Ejemplo: Calcule la derivada de la función f ( x )=arc sen (4−5 x3)

Sí u= 4-5x3, utilizando el teorema D xarc senu=1

√1−u2D xu se

tiene:

D x f ( x )= 1

√1−(4−5 x3)2D x (4−5 x

3)

¿ −15 x2

√1−(4−5x3)2

Ejercicios: Derive las siguientes funciones:

1. f ( x )=arc sen (2 x−1 ) Respuesta: 2

√1−(2 x−1)2

2. f ( x )=arc cos( x2¿+3)¿

3.f ( x )=arc tan (1+x+x2) Respuesta: 1+2x1+(1+x+x2)2

4. f ( x )=arc cot(3 x2¿−1)¿

5. f ( x )=arc sec (5−x ) Respuesta: −1(5−x ) √(5−x )2−1

6. f ( x )=arc csc 3√x

7. f ( x )=arc cot√x Respuesta: −12√ x

(1+x )−1

8. f ( x )=√arc sen2 x

9. f ( x )=arc tan 5xcot 7 x

10. f ( x )=(arc sen3 x)5 Respuesta:15(arc sen3 x)4

√1−9 x2

Taller 4 Derivada de las funciones logarítmicas.

Para calcular la derivada de una función logarítmica, se aplican los teoremas correspondientes que pueden ser consultados en el texto o en el prontuario o formulario.

Ejemplo: Calcule la derivada de la función log3(x3−x2¿+1)¿Considerando u= x3−x2+1 , aplicando el teorema

D x log au=1ulogae D xu se tiene:

D x f ( x )= 1x3−x2+1

log3e (3x2−2x )

¿ 3 x2−2x

x3−x2+1log3 e

Ejemplo: Determine la derivada de la función y=ln (6 x2+3 x)

Considerando u=6 x2+3 x, aplicando el teorema D x ln u=1uDx u, se

tiene

D x y=1

6 x2+3x(12x+3)

¿ 12 x+36 x2+3 x

Ejercicios: Calcule la derivada de las siguientes funciones.

1. f ( x )=log2(x4−4 x2¿)¿ Respuesta:4 x

3−8 xx4−4 x2

log2e

2. f ( x )=ln (2 x2¿−x )¿

3. f ( x )=tan ( ln x2)

4. f ( x )=ln (sen x )+ln ¿¿¿

5. f ( x )=ln ( tan23 x) Respuesta: 6 sec23xtan 3 x

6. f ( x )= cos 4 xlog 5x

7. f ( x )= log5(sen2x )

8. f ( x )=log2(arc cos ( x−x2))

9. f ( x )=arc cos (ln x2)

10. f ( x )=√1+ ln3 x Respuesta: 12x √1+ ln3 x

Taller 5 Derivada de las funciones exponenciales.

Para calcular la derivada de una función exponencial, se aplican los teoremas correspondientes, los cuales pueden ser consultados en el libro de texto, en formulario o prontuario.Ejemplo: Obtener la derivada de la función f ( x )=7x

2+ x

Considerando u=x2+x, aplicando el teorema D xau=au ln a D xu, se

tiene:D x f ( x )=7x

2+ x ln7D x (x2+x )

Calculando la derivada indicada y ordenando los términos, se tiene la derivada de la función

¿ (2 x+1 )7x2+ x ln 7

Ejemplo: Calcular la derivada de la función g ( x )=ecos 2x

Considerando u=cos2 x, aplicando el teorema D xeu=euD xu, se

tiene:D x g ( x )=ecos2xD xcos 2x

Calculando la derivada y ordenando los términos, se tiene la derivada de la función

¿−2 sen2 xecos2x

Ejercicios: Calcule la derivada de las siguientes funciones.

1. f ( x )=2x−2 Respuesta:2x−2 ln 2

2. f ( x )=74− x

3. f ( x )=3sen3x

4. f ( x )=43x2+ x

5. f ( x )=ex2+3x−8

6.f ( x )=ecos x3 Respuesta: −3 x2 sen x3 ecosx3

Taller 6 Derivación logarítmica.

Es un proceso que principalmente se utiliza para calcular la derivada de una función elevada a otra función y para efectuar la demostración de teoremas para el cálculo de derivadas.Para este proceso se utilizan las siguientes propiedades de los logaritmos:a) ln A B=ln A+ lnB

b) ln AB=ln A−lnB

c) ln An=n ln A

Ejemplo: Calcular la derivada de la función f ( x )=x5 x

Igualando la función con yy=x5 x

Aplicando el logaritmo naturalln y=ln x5 x

Aplicando la propiedad de los logaritmosln y=5x ln x

Derivando con respecto a x ambos miembros de la igualdad

1yDx y=5 x D x ln x+ ln x D x (5 x)

¿ (5 x ) 1x+5 ln x=5+5 ln x

Despejando D x y D x y= y ¿

Sustituyendo y=x5 x D x x

5x=5 x5x+5 x5 x ln x

Ejercicios: Utilizando el proceso de derivación logarítmica, obtenga la derivada de las siguientes funciones.

1. f ( x )=(3 x)2 x Respuesta:(3 x )2 x¿

2. f ( x )=(3 x2)cos2x

3. f ( x )=¿¿ R:¿¿)

4. f ( x )=(x5−5 x2)5x−6

5. f ( x )=(sen x2)cot (3 x−1 )

Taller 7 Derivadas sucesivas de una función.

Al derivar una función real de variable real continua, se obtiene como resultado una nueva función, la cual se puede dividir nuevamente. A la derivada de la derivada de una función se le llama segunda derivada y a las derivadas obtenidas a partir de la segunda, se llaman derivadas de orden superior o derivadas sucesivas, siendo la primera derivada la ordinaria.Ejemplo: Obtenga la quinta derivada de la función

f ( x )=x7+2 x6−5 x4+8 x3−2 x+2

La primera derivada de la función es:D x f ( x )=7 x6+12 x5−20x3+24 x2−2

La segunda derivadaD x2 f ( x )=42x5+60 x4−60x2+48 x

La tercera derivadaD x3 f ( x )=210 x4+240 x3−120 x+48

La cuarta derivadaD x4 f (x )=840x3+720 x2−120

La quinta derivadaD x5 f ( x )=2520 x2+1440 x

Ejercicios: Obtenga la quinta derivada de las siguientes funciones.

1. f ( x )=2x5−2 x3 R: 240

2. f ( x )=cos (5 x−3 )

3. f ( x )=sen (3 x−2 )

4. f ( x )=√4 x2−5

5. f ( x )=√2 x−1 R. 105

√(2 x−1)9

Taller8 Derivación de funciones implícitas.

Una función real de variable real es implícita cuando en su regla de correspondencia ninguna variable está despejada en términos de la otra. La derivada de una función implícita se puede determinar con respecto a la variable independiente x o con respecto a la variable dependiente y mediante el proceso denominado derivación implícita. Al derivar funciones implícitas, es común aplicar la regla de la cadena. El procedimiento para esta derivación se puede consultar en el libro de texto y en el formulario o prontuario.

Ejemplo: Mediante derivación implícita, obtenga la derivada con respecto a x de la función

3 x4 y2+3 x2=xy+7

Derivando con respecto a xD x (3 x4 y2 )+Dx ¿)=D x ( xy )+D x(7)

Aquí se debe tener en cuenta que para derivar los términos 3 x4 y2 y xy se debe aplicar el teorema de la derivada de un producto.

Calculando las derivadas y representando por y ´ la derivada de y con respecto a x.

6 x4 yy ´+12x3 y2+6x=xy´+ y

Reordenando y como se desea obtener el valor de y´, los términos que contiene a y´ se agrupan en el primer miembro, factorizando los términos

y ' (6x 4 y−x )= y−12 x3 y2−6 x

Despejando y’, se tiene la derivada de la función con respecto a x.

y '= y−12 x3 y2−6 x

6 x4 y−x

Ejercicios: Derive implícitamente con respecto a x las siguientes funciones

1. xy+x3= y2 R: y '= y+3 x2

2 y−x

2. x3+ y2+cos xy=3 xy

3. x2+sen x2= y2−cos y

4. x3+ y2=arc sen5 x