1. Resuelva por el mtodo de la secante, posicin falsa y biseccin las siguientes ecuaciones:

a. xlogx-10=0, cuya grfica es:

Con lo que aplicaremos nuestros mtodos entre a=9 y b=11, en el que f(a)=-1.41 y f(b)=1.45.

HALLANDO LA RAIZ DE (A) POR BISECCIN:

Como f(x) es continua entre a y b se cumple la primera condicin, y ya que f(a)*f(b) [ln(b-a)-ln(Error)]/[ln2]n>[ln(2)-ln(0.001)]/[ln2]n>5.328085123

Por tanto realizaremos 5 iteraciones:

n a(-)b(+)pf(p)Ea(%)

1911100

29111000

39111000

49111000

59111000

La raz es p=10, y fue encontrada en la primera iteracin ya que hubo la suerte de que a y b estuviesen a la misma distancia de la raz real, pero generalmente esto se da muy poco a menudo.

HALLANDO LA RAIZ DE (A) POR REGLA FALSA:

Sabiendo que f(9)*f(11) 12.28, por lo que realizaremos 12 iteraciones.

n a(-)b(+)pf(p)Ea(%)

10,510,750,21458604

20,50,750,625-0,1240202520,00%

30,6250,750,68750,058828889,09%

40,6250,68750,65625-0,028790964,76%

50,656250,68750,6718750,015911592,33%

60,656250,6718750,6640625-0,006209651,18%

70,66406250,6718750,667968750,004907590,58%

80,66406250,667968750,666015625-0,000636770,29%

90,666015630,667968750,6669921880,002138960,15%

100,666015630,666992190,6665039060,000751990,07%

110,666015630,666503910,6662597665,7832E-050,04%

120,666015630,666259770,666137695-0,000289410,02%

As pues la raz obtenida es 0,666137695 con una precisin de 10^(-4), sea, cuatro cifras.

HALLANDO LA RAIZ DE (B) POR REGLA FALSA:

Sabiendo que f(0,5)*f(1) 12.28, por lo que realizaremos 12 iteraciones.

n a(-)b(+)pf(p)Ea(%)

11,521,75-0,30458766

21,7521,8750,1943790416,67%

31,751,8751,8125-0,068274433,45%

41,81251,8751,843750,0596374261,69%

51,81251,843751,828125-0,005156710,85%

61,8281251,843751,83593750,0270288790,43%

71,8281251,83593751,832031250,0108834560,21%

81,8281251,832031251,8300781250,0028502450,11%

91,8281251,830078131,829101563-0,001156510,05%

101,829101561,830078131,8295898440,0008460470,03%

111,829101561,829589841,829345703-0,000155440,01%

121,82934571,829589841,8294677730,0003452540,01%

Nuestra raz aproximada a una precisin de 10^(-4) es pues 1.829467773.

HALLANDO LA RAIZ DE (C) POR REGLA FALSA:

Sabiendo que f(1,5)*f(2)[log(140-130)-log(10^(-5))]/[log(2)]n>19.93157sea que realizaremos 20 iteraciones:

n a(-)b(+)pf(p)Ea(%)

1130140135-0,19600982

2135140137,50,0092129161,82%

3135137,5136,25-0,09324140,92%

4136,25137,5136,875-0,041975210,46%

5136,875137,5137,1875-0,016371410,23%

6137,1875137,5137,34375-0,003576820,11%

7137,34375137,5137,4218750,0028186550,06%

8137,34375137,421875137,3828125-0,000378930,03%

9137,382813137,421875137,40234380,0012199010,01%

10137,382813137,402344137,39257810,0004204950,01%

11137,382813137,392578137,38769532,07846E-050,00%

12137,382813137,387695137,3852539-0,000179070,00%

13137,385254137,387695137,3864746-7,9144E-050,00%

14137,386475137,387695137,387085-2,9179E-050,00%

15137,387085137,387695137,3873901-4,1974E-060,00%

16137,38739137,387695137,38754278,2936E-060,00%

17137,38739137,387543137,38746642,04809E-060,00%

18137,38739137,387466137,3874283-1,0747E-060,00%

19137,387428137,387466137,38744744,86711E-070,00%

20137,387428137,387447137,3874378-2,9398E-070,00%

sea que para que una cadena caiga en 15 segundos bajo las condiciones dadas, esta deber tener una longitud l* de 137.3874378.

3. Consideremos la ecuacin 4 x tanx = 0.

Antes que nada realizamos la grfica:

a. Cuntas soluciones tiene dicha ecuacin?R/ Tiene infinitas soluciones como podemos ver en la grfica.

b. Es una ecuacin trascendente?R/ S, ya que contiene tan(x).

c. Demostrar que existe una nica solucin x* de dicha ecuacin perteneciente al intervalo [1, 1.5].R/

d. Averiguar el mnimo nmero de pasos a realizar con el algoritmo de biseccin si se pretende aproximar x* con un error menor que 10^(-1), dar dicha aproximacin.R/ n>[log(1,5-1)-log(0.1)]/[log(2)] n>2.32192sea que necesitamos entre dos y tres iteraciones, en las que nuestro a=1 y b=1,5 , con f(a)= 1.442592 y f(b)=-11.6014, siendo f(a)*f(b) < 0, con lo que sera correcto aplicar el mtodo:n a(+)b(-)pf(p)Ea(%)

111,51,25-0,25956967

211,251,1250,78242872411,11%

31,1251,251,18750,3325870825,26%

Como podemos ver, el x* obtenido es 1.1875, con una precisin de 10^(-1).

e. Aplique el mtodo de Newton-Rapshon y muestre que converge ms rpido que el de la biseccin:R/ Se cumple la condicin de que f(a)*f(b) < 0, pero an tenemos que evaluar que f(a)*f(b) > 0

f(x)=4-x-tanxf(x)=-1-(secx)^2f(a)= -4.42f(b)=-200.8

Entonces podemos aplicar el mtodo, partiendo de xn=1:

n xn f(xn)f'(xn)Ea(%)

111,44259228-4,425518821

21,32597133-1,32858534-18,020918924,58%

31,25224672-0,28456664-11,194964125,89%

41,22682755-0,01849726-9,793419732,07%

51,22493881-8,7094E-05-9,7014480010,15%

61,22492983-1,9461E-09-9,701014450,00%

71,224929830-9,701014440,00%

Y como podemos ver, en la tercera iteracin se tiene un f(xn) ms cercano a 0 que el f(p) del tercer paso en el mtodo de la biseccin, y no solo eso sino que tras solo 7 pasos logramos hallar la raz que hace que la ecuacin arroje 0, x*=1,22492983.4. Use el teorema de iteracin de punto fijo para demostrar que g(x)=2^(-x) tiene un punto fijo nico en [1/3, 1].R/ Aplicando las condiciones correspondientes

* g(1/3)= 2^(-1/3)= 0.7937 E [1/3, 1]*g(1)=2^(-1)=0.5 E [1/3, 1]

Por tanto existe por lo menos un punto fijo en el intervalo.

Ahora g(x)=-2^(-x)*ln(2)

*|g(1/3)|= |-2^(-1/3)*ln(2)|= 0.55