Taller 2. Macroeconomía III.

7/21/2019 Taller 2. Macroeconomía III.

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Universidad del ValleFacultad de Ciencias Sociales y EconómicasMacroeconomía III – Javier Andrés Castro Herediaavid Andrés !íos Se"ura #$%&$$&Catalina Medina 'autista #$($))*

+A,,E! $-

#- M.E,. /E.C,0SIC. E C!ECIMIE/+.-

Asuma una función de utilidad dada por:

u (c (t ) )=ln(c ( t ))

Y la función de producción Cobb- Douglass:

Y (t )= K (t )

α

L( t )

1−α

a1 Halle la ecuación de Euler y de acumulación de capital per cápita. Muestre

todos los pasos y especicaciones utili!adas.

Utilidad intertem2oral de la 3amilia re2resentativa4

U =∫0

∞

u ( c ( t ) )∗ L(t )e− ρt dt

L(t ) "ama#o de la familia representati$a en el momento (t ) . %or tanto

crece a lo largo del tiempo a una tasa e&ponencial constante n>0 . Donde

L ( t )=ent

' por lo tanto:

U =∫0

∞

u ( c ( t ) ) e−( ρ−n)t dt

!estricción 5resu2uestaria4

´B (t )=w (t ) L (t )+r (t ) B (t )−c (t ) L(t )

´B(t ) L(t )

=w (t ) L(t )

L( t ) +

r (t ) B ( t ) L(t )

−c (t ) L(t )

L(t )



´B(t ) L(t )

=w (t )+r (t ) b ( t )−c ( t ) 6#1

´b (t )=´B( t )

L(t )=

∂ B(t )/ L(t )

∂ t =

∂ B (t ) L−1(t )

∂ t = ´B (t ) L−1 ( t )−B (t ) L−2 (t ) ´ L(t )

´b (t )=´B( t )

L(t )−

B (t ) L (t )

∗ ´ L (t )

L (t ) =

´B (t ) L (t )

−b (t )∗n (

´B(t ) L(t )

= ´b(t )+b (t )∗n 6$1

)eempla!ando 6#1 en 6$1 obtenemos:

´b(t )+b (t )∗n=w ( t )+r (t ) b (t )−c (t )

Despe*ando´b(t ) ' se llega a:

´b(t )=w (t )+r (t ) b (t )−b (t )∗n−c ( t )

´b(t )=w (t )+[r (t )−n ] b (t )−c (t )

De acuerdo con esto' si los ingresos por persona compensaran e&actamente los

gastos por persona' entonces los acti$os por persona +cuando B (t )>0 ,

caeran debido al crecimiento de la población. %ara mantener el ni$el de

acti$os por persona' el ogar debe aorrar lo suciente para darles a los

miembros /ue nacen' los mismos acti$os per cápita /ue tiene el resto del

ogar.

Hamiltoniano4

H =

u

(c

(t

))e−( ρ−n)t

+ λ

(t

) [w

(t

)+b

(t

) (r

(t

)−n

)−c(t )]

H =ln(c (t ))e−( ρ−n)t + λ (t ) [w ( t )+b (t ) (r (t )−n)−c (t )]

Aora deri$amos con respecto a las $ariables de control' de estado y de

coestado:



0∂ H

∂ c( t )=

1

c (t ) e

−( ρ−n )t − λ (t )=06#1

0∂ H

∂b (t )= λ (t )(r (t )−n)= ´− λ (t ) 6$1

0∂ H

∂ λ (t )=w (t )+b (t ) ( r (t )−n )−c (t )=0 6%1

1a $ariable de coestado λ (t ) ' mide el efecto sobre la utilidad del ogar en el

periodo t' de incrementar b(0) en una unidad. λ (t ) "ambi2n se conoce

como precio sombra de los acti$os' por/ue permite $alorarlos en t2rminos de

bienestar.

Aora bien' se deri$a la primera condición respecto al tiempo:

´ λ(t )= −1

c (t )2∗ ć (t ) e−( ρ−n )t −( ρ−n )

(e−( ρ−n )t )∗1

c (t )

)eempla!ando λ(t ) en 6$1' obtenemos:

−1

c (t ) e

−( ρ−n )t (r (t )−n)= ´ λ (t )

Aora:−1

c (t ) e

−( ρ−n )t (r (t )−n)= −1

c (t )2∗ ć (t ) e−( ρ−n ) t −( ρ−n )

(e−( ρ−n )t )∗1

c (t )

1

c (t )(r (t )−n)=

−1

c (t )2∗ ć (t ) e−( ρ−n )t

−(e−( ρ−n) t ) −( ρ−n )

(e−( ρ−n )t )

−(e−( ρ−n) t )∗1

c (t )

1

c ( t ) (r (t )−n)= 1

c (t )2∗ ć (t )+( ρ−n )∗1

c (t )

1

c ( t ) (r (t )−n)−

( ρ−n )∗1

c (t ) =

1

c ( t )2∗ ć (t )



1

c ( t ) [r (t )−n− ρ+n ]= 1

c (t )2∗ ć (t )

1

c(t

)

[r (t )− ρ ]= 1

c (t )

2∗ ć (t )

1

c ( t ) [r (t )− ρ ]

1

c ( t )2

= ć ( t )

1

c ( t ) [r (t )− ρ ]

1

c ( t )2

= ć ( t )

[r (t )− ρ ]∗c (t )2

c (t ) = ć (t )

[r ( t )− ρ ]∗c (t )= ć (t )

Como se necesita allar la tasa de crecimiento del consumo' entonces decimos

/ue:

[r (t )− ρ ]=´

c (t )c (t ) 6(1

)ecordemos /ue:

[r ( t )− ρ ]∗σu (c (t ))=´

c (t )c( t )

Como se obser$a en la ecuación 6(1' $emos /ue no aparece la elasticidad de

sustitución intertemporal del consumo' es decir σu (c ( t ) )=1 . 1o /ue indica /ue

el indi$iduo $alora de igual manera el consumo el da de oy y el consumo del

da de ma#ana' de modo /ue si el indi$iduo /uisiera aorrar para consumir el

da de ma#ana' lo /ue tendra /ue ocurrir es /ue suba la tasa de inter2s del da



de oy as 2l decidirá sua$i!ar su consumo y podrá recibir mayores retornos el

da de ma#ana.

Acumulación de ca2ital4

Con

Y t =C (t )− I ( t )(

Y t −C (t )= I ( t )

)ecordemos /ue: Y t = K (t )α L( t )1−α

' por lo tanto:

I (t )= K (t )α L(t )1−α −C (t )

De modo /ue:´

K (t )= I (t )−δK (t ) (´

K (t )= K (t )α L( t )1−α −C (t )−δK (t )

Aora en t2rminos per cápita:

´ K (t ) L( t )

= K ( t )α

L(t )1−α −C (t )−δK (t ) L(t )

´k (t )= K (t )α

L(t )1−α

L(t ) −

C ( t ) L(t )

−δK (t ) L(t )

´k (t )= K (t )α

L(t )α −c (t )−δk (t ) 6#1

´k (t )=´ K (t )

L(t )=

∂K (t )/ L(t )∂ t

=∂ K (t ) L−1(t )

∂ t = ´ L ( t ) L−1 (t )− K (t ) L−2 (t ) ´ L(t )

´k (t )=´ K (t )

L(t )−

K (t ) L (t )

∗ ´ L ( t )

L (t ) =

´ K (t ) L (t )

−k (t )∗n (

´ K (t ) L(t )

= ´k ( t )+k (t )∗n 6$1

)eempla!ando 6#1 en 6$1 obtenemos:

´k (t )+k (t )∗n= K (t )α

L(t )α −c ( t )−δk (t )

Despe*ando´k (t ) ' se llega a:



´k (t )= K (t )α

L(t )α −c (t )−δk (t )−k (t )∗n

´k (t )=k (t )α −c (t )−(δ +n)k (t ) Ecuación de Acumulación de

Capital.

71 Halle el ni$el de capital y consumo per cápita del estado estacionario.

)ecordemos /ue en el e/uilibrio:

b (t )=k (t )

En el mercado competiti$o:

w (t )= F ( k (t ) )−kF ' (k (t ))

r (t )= F ' ( k (t ) )−δ

ć (t )c( t )=[ F

'

(k (t ) )−δ − ρ ]∗σu(c (t ))

ć ( t )c( t )

= F ' (k (t ))−δ − ρ

ć ( t )c( t )

=α k α −1−δ − ρ

En el estado estacionario:

ć (t )c( t )

=0

α k α −1−δ − ρ=0



α k α −1=δ + ρ

k α −1=

δ + ρ

α

k ¿=( α

δ + ρ ) 1

1−α

Nivel de capital per cápita

en EE.

El ni$el de capital per cápita /ue acabamos de allar se denomina Capital de

regla de oro modicada.

)ecordemos /ue la ecuación de acumulación de capital del modelo es:

´k (t )=

F

(k ¿

(t

))−c

(t )− (

n+

δ )k (t )

En el estado estacionario'´k (t )=0 ' entonces:

c (t )= F (k ¿ (t ) )−(n+δ ) k

¿

)eempla!ando

k

(¿¿ ¿)α

F (k ¿ (t ) )=¿

en la anterior función' tenemos:

k

(¿¿ ¿)α −(n+δ ) k ¿

c (t )=¿

Aora' reempla!aremos el k ¿=( α

δ + ρ ) 1

1−α

y obtenemos lo siguiente:

c (t )=( α

δ + ρ ) α

1

−α −(n+δ )( α

δ + ρ ) 1

1

−α Consumo per

cápita en EE.

c1 Compare el ni$el de capital per cápita de estado estacionario con el de regla

de oro. 3nterprete y gra/ue.

)etomando la ecuación de capital de modelo 4olo5- 45an es:



k (t )=¿ s∗ F (k (t ))−(δ +n)k (t )

¿

En el estado estacionario´k (t )=0 ' por lo tanto:

s∗ F (k (t ))=(δ +n)k (t )

F (k (t ) )=(δ +n)k (t )s

F ' (k (t ) )=(δ +n)s

)ecordemos /ue F ' (k (t ) )=0 ' entonces: (δ +n)=0 . %or tanto'

F ' (k (t ) )=( δ +n ) .

Aora' como tenamos /ue F ' (k (t ) )=α k α −1

entonces:

α k α −1=(δ +n )

k α −1= (δ +n )α

k RD=( α

(δ +n ) ) 1

1−α

Nivel de capital por trabajador

de Regla dorada.

Aora' allaremos el consumo per cápita del modelo de 4olo5- 45an:

ç¿=(1−s) F (k

¿ ( t ))

ç¿=(1−s ) ¿

ç¿=

¿−s ¿



)ecordemos /ue ¿=(k

¿)α

' obteniendo:

ç¿=(k

¿)α −s (k ¿)α

)eempla!ando k ¿=( α

δ + ρ ) 11−α

en la anterior ecuación:

ç¿=[( α

δ + ρ ) 1

1−α ]α

−s[( α

δ + ρ ) 1

1−α ]α

ç¿=( α

δ + ρ ) α

1−α −s ( α

δ + ρ ) α

1−α

Consumo per cápita del

modelo Solow- Swan.

8Com2arando el nivel de ca2ital 2er c92ita con el de re"la de oro:2odemos decir4

!AMSE;8 CASS8 <..5MA/S4 S.,.=8 S=A/4

k ¿=( α

δ + ρ ) 1

1−α k RD=( α

(δ +n ) ) 1

1−α

Debido a /ue ρ>n ' esto lo decimos para garanti!ar /ue la utilidad

intertemporal de las familias está acotada cuando el consumo per cápita es

constante.

%or tanto podemos armar /ue:

!AMSE;8 CASS8 <..5MA/S ¿ S.,.=8 S=A/

k ¿<k

RD

( α

δ + ρ ) 1

1−α ¿( α

(δ +n ) ) 1

1−α

6eamos claramente esto en la gráca:



1a gura muestra /ue el capital de

regla dorada (k RD) es mayor al

capital de estado estacionario(k

¿) ' es decir al capital de regla

de oro modicada' esto se debe al

eco de /ue la función de

producción es cónca$a y ρ>n '

como lo mencionamos

anteriormente.

d1 Encuentre la tasa de crecimiento del consumo y el producto por traba*ador

en estado estacionario. E&pli/ue.

8+asa de Crecimiento del Consumo

t )− ρ ]=´

c (t )c (t )

)ecordemos /ue: r ( t )= F '

( k (t ) )−δ ' por tanto:

[ F ' (k (t ) )−δ − ρ ]=

ć (t )c (t )

[α k α −1−δ − ρ ]=

ć (t )c (t ) Tasa de crecimiento del

consumo.

En estado estacionario

ć( t )c( t )

=0 ' por lo tanto: [α k α −1−δ − ρ ]=0 .



8+asa de Crecimiento del 2roducto 2or tra7a>ador

Aplicando logaritmo y deri$ando respecto al tiempo' obtenemos:

ln ( (t ) )=α ln (k )

´ =α

k

k

"eniendo en cuenta /ue la tasa del crecimiento del capital es:

k

k =

1

k 1−α

− (n+δ )−ç (t )

k

Aora' reempla!amos y obtenemos la tasa de crecimiento del producto por

traba*ador:

´ =α [ 1k

1−α −(n+δ )−

ç (t )k ]

En estado estacionario´ =0

' por lo tanto:α [ 1k

1−α −(n+δ )−

ç (t )k ]=0

e1 )ealice un e*ercicio introduciendo impuestos al consumo y gasto p7blico

como transferencias a los consumidores. E&pli/ue sus resultados a los ni$eles.

Hamiltoniano4

H =u (c (t )) e−( ρ−n)t + λ (t ) [w (t )+b (t ) (r (t )−n )−c (t )(1+" )]

H =ln(c (t ))e−( ρ−n)t + λ (t ) [w ( t )+b (t ) (r (t )−n)−c (t )(1+" )]

Aora deri$amos con respecto a las $ariables de control' de estado y decoestado:

0∂ H

∂c( t )=

1

c (t ) e

−( ρ−n )t − λ (t )(1+" )=06#1



0∂ H

∂b (t )= λ (t )(r (t )−n)= ´− λ (t ) 6$1

0∂ H

∂ λ (t )=w (t )+b (t ) ( r (t )−n )−c (t )(1+" )=0 6%1


´ λ(t )= −1

c (t )2

(1+" )∗ ć (t ) e−( ρ−n ) t −( ρ−n )

(e−( ρ−n )t )∗1

c (t )(1+" )


−1

c ( t )(1+" )

e−( ρ−n)t (r (t )−n)= ´ λ (t )

Aora:

−1

c ( t )(1+" )e−( ρ−n)t (r (t )−n)=

−1

c (t )2

(1+" )∗ ć (t ) e−( ρ−n) t − ( ρ−n )

(e−( ρ−n ) t )∗1

c( t )(1+" )

1

c ( t )(1+" )(r (t )−n)=

−1

c (t )2

(1+" )∗ ´

c (t ) e−( ρ−n ) t

−(e−( ρ−n ) t

) −( ρ−n )

( e−( ρ−n ) t )

−(e−( ρ−n )t )∗1

c(t )(1+ " )

1

c ( t )(1+" )(r (t )−n )= 1

c (t )2(1+" )∗ ć (t )+

( ρ−n )∗1

c( t )(1+" )

1

c ( t ) (r (t )−n)=

1∗(1+" )

c (t )2(1+" )∗ ´

c (t )+( ρ−n )∗1∗(1+" )

c (t )(1+" )

1

c ( t ) (r (t )−n)= 1

c (t )2∗ ć (t )+( ρ−n )∗1

c (t )

1

c ( t ) (r (t )−n)−

( ρ−n )∗1

c (t ) =

1

c ( t )2∗ ć (t )



1

c ( t ) [r (t )−n− ρ+n ]= 1

c (t )2∗ ć (t )

1

c(t

)

[r (t )− ρ ]= 1

c (t )

2∗ ć (t )

1

c ( t ) [r (t )− ρ ]

1

c ( t )2

= ć ( t )

1

c ( t ) [r (t )− ρ ]

1

c ( t )2

= ć ( t )

[r (t )− ρ ]∗c (t )2

c (t ) = ć (t )

[r ( t )− ρ ]∗c (t )= ć (t )

Como se necesita allar la tasa de crecimiento del consumo' entonces decimos

/ue:

[r (t )− ρ ]=´

c (t )c (t )

4e obser$a /ue la tasa de crecimiento del consumo es igual a la /ue allamos

en el literal a' por tanto podemos armar /ue impuestos y sub$enciones no

generan resultados en las decisiones óptimas de consumo.

$- C!ECIMIE/+. E/?@E/.-

Considere una economa donde el producto puede ser usado para consumir o

in$ertir. 1a in$ersión presenta la siguiente ecuación de acumulación

´ K = I ( t )−δK ( t ) y la producción agregada Y ( t )= #K (t )α (B (t ) L(t ))1−α

' donde



L(t ) es la población y B (t ) s el ni$el de conocimiento agregado en la

economa.

Asuma /ue cada traba*ador aprende usando las má/uinas y una $e! ad/uiere

conocimiento se transmite de manera libre. 4e asume /ue entre más grande el

capital por traba*ador' más grande es el ni$el de conocimiento agregado en la

economa.

a1 Muestre si la anterior especicación corresponde a un modelo de

crecimiento endógeno. E&pli/ue.

Y ( t )= #K (t )α (B (t ) L(t ))1−α

Y ( t ) L(t )

= #K (t )α (B (t ) L (t ))1−α

L( t )

(t )= #K (t )α B (t )1−α

L (t )1−α −1

(t )= #K (t )α B ( t )1−α

L (t )−α

(t )= #K (t )α

B ( t )1−α

L( t )α

Diremos /ue: K (t )α

L(t )α =k (t )α

' por tanto:

(t )= #k (t )α B (t )1−α

0 I =k +δk $k = I (t )−δk (t )

k = F (k )−c (t )−δk (t )

0 %&U =∫0

∞

e− ρt

u(c (t ))dt 4u*eto a

c (t )+ ´k (t )+δk (t )= F (k (t ) ( B(t ))



Hamiltoniano4

H =u (c (t )) e− ρt + λ(t ) [ F ( k (t ) (B( t ))−c ( t )−δk (t )]

Debido a /ue el Hamiltoniano incluye al t2rmino

B (t )' es decir al ni$el de

conocimiento agregado en la economa' podemos decir /ue este corresponde a

un modelo de crecimiento endógeno' pues e&plica el crecimiento a partir del

aprendi!a*e de los traba*adores.

71 Muestre las condiciones /ue garanti!an /ue la economa cre!ca

permanentemente.

)esol$eremos el Hamiltoniano para allar las condiciones /ue garanti!ancrecimiento permanente en la economa:

H =u (c (t )) e− ρt

+ λ(t ) [ F ( k (t ) (B( t ))−c ( t )−δk (t )]


coestado:

0∂ H

∂ c( t )=u' (c (t ) ) e− ρt − λ(t )=0 6#1

0∂ H

∂b (t )= λ (t )∗ F ' (k (t )( B(t ))−δ =− ´ λ(t ) 6$1

0∂ H

∂ λ (t )= F ( k (t ) ( B( t ))−c (t )−δk (t )=0 6%1


´ λ(t )=u ' ' (c (t ))( ć (t ))e− ρt − ρ e

− ρt u ' (c (t ))

)eempla!ando 6#1 en 6$1 se llega a:

u

'

( c ( t ) ) e− ρt

∗ F

'

( k (t ) (B( t ))−δ =−u

' '

( c (t ) )( ć (t ))e

− ρt

+ ρ e

− ρt

u

'

(c ( t ) )

u' ( c ( t ) ) e− ρt ∗ F

' ( k (t ) (B( t ))− ρ e− ρt

u' (c (t ) )−δ =−u

' ' ( c (t ) )( ć (t ))e− ρt

u' ( c ( t ) ) e− ρt [ F

' ( k (t ) (B (t ))− ρ ]−δ =−u' ' ( c (t ) )( ć (t ))e− ρt



u' (c ( t ) ) e

− ρt [ F ' (k (t ) ( B(t ))− ρ ]−δ

−u' ' (c ( t ) ) e

− ρt = ć (t )

u' (c ( t ) ) e

− ρt [ F ' (k (t ) ( B(t ))− ρ ]−δ

−u' '

(c ( t ) ) e− ρt

= ć (t )

u' (c ( t ) ) e− ρt [ F

' (k (t ) (B(t ))− ρ ]−δ

−u'' (c (t ) ) e− ρt ∗c (t )

=ć (t )

c (t )

u' (c ( t ) ) e− ρt [ F

' (k (t ) (B(t ))− ρ ]−δ

−u'' (c (t ) ) e− ρt ∗c (t )

=ć (t )

c (t )

)ecordemos /ue:

−u' (c (t ) )

u '' (c (t ) )∗(c ( t ) )=σu(c (t )) ' por lo /ue:

σu(c (t ))e− ρt [ F

' ( k (t ) ( B (t ))− ρ ]−δ

e− ρt

=ć (t )

c (t )

σu(c (t )) [ F ' (k (t )( B(t ))− ρ ]− δ

e− ρt

=´

c (t )c (t )

4e puede decir entonces' /ue se garanti!a crecimiento sostenido cuando

σF ' ( k (t ) ( B (t ) )> δ e− ρt

c1 8En los modelos de crecimiento endógeno' puede afectar la poltica

gubernamental la tasa de crecimiento de la economa9

= # k 1−α

)α

u (c (t ) )= c (t )1−*

1−*

)estricción presupuestaria: c (t )+ ( ´k (t )+δk (t ))= (1−" ) ' además )=" .

Aora el Hamiltoniano:

H =u (c (t )) e− ρt + λ(t ) [ (1−" ) −δk (t )−c( t )]



H =c (t )1−*

1−* ∗e

− ρt + λ(t ) [ (1−" )( # k (t )1−α )

α )−δk ( t )−c (t )]


coestado:

0∂ H

∂ c( t )=(1−*)c (t )1−*−1

1−* ∗e

− ρt − λ (t )=0

∂ H

∂ c( t )=c (t )−*∗e

− ρt − λ (t )=0 6#1

0∂ H

∂ k (t )= λ (t )∗(1−" )(1−α )( # k ( t )−α

)α )−δ =− ´ λ( t ) 6$1

0∂ H

∂ λ (t )=(1−" )( # k ( t )1−α

)α )−δk (t )−c( t )=0 6%1


´ λ(t )=−* c (t )−*−1 ć (t )∗e

− ρt − ρ (e− ρt )∗c (t )−*

)eempla!ando 6#1 en 6$1 se llega a:

c (t )−*∗e− ρt ∗(1−" )(1−α )( # k ( t )−α )α )−δ =* c ( t )−*−1

ć (t )∗e− ρt + ρ (e− ρt )∗c (t )−*

c (t )−*∗(1−" )(1−α )( # k (t )−α )

α )− δ

e− ρt

=* c (t )−*−1 ´

c (t )∗e− ρt

e− ρt

+ ρ ( e

− ρt )∗c (t )−*

e− ρt

c (t )−*∗(1−" )(1−α )( # k (t )−α )

α )− δ

e− ρt

=* c (t )−*−1 ć (t )+ ρ c (t )−*

u' ( c ( t ) ) e− ρt ∗ F

' ( k (t ) (B( t ))−δ =−u' ' ( c (t ) )( ć (t ))e− ρt + ρ e

− ρt u

' (c ( t ) )

u' ( c ( t ) ) e− ρt ∗ F

' ( k (t ) (B( t ))− ρ e− ρt

u' (c (t ) )−δ =−u

' ' ( c (t ) )( ć (t ))e− ρt



u' ( c ( t ) ) e− ρt [ F

' ( k (t ) (B (t ))− ρ ]−δ =−u' ' ( c (t ) )( ć (t ))e− ρt

u' (c ( t ) ) e

− ρt [ F ' (k (t ) ( B(t ))− ρ ]−δ

−u' ' (c ( t ) ) e

− ρt = ć (t )

u' (c ( t ) ) e

− ρt [ F ' (k (t ) ( B(t ))− ρ ]−δ

−u' ' (c ( t ) ) e

− ρt = ć (t )

u' (c ( t ) ) e− ρt [ F

' (k (t ) (B(t ))− ρ ]−δ

−u'' (c (t ) ) e− ρt ∗c (t )

=ć (t )

c (t )

u' (c ( t ) ) e− ρt [ F

' (k (t ) (B(t ))− ρ ]−δ

−u'' (c (t ) ) e− ρt ∗c (t )

=ć (t )

c (t )

c ( t )c ( t )

=σ u (c (t ) )(α# ("# )1−α

α − ρ)

otamos /ue la tasa impositi$a " impuesta por el gobierno interere en la

tasa de crecimiento del consumo' por tanto' llegamos a la conclusión /ue lapoltica gubernamental puede afectar la tasa de crecimiento de la economa.

%- A< A ,A !E'E,. 6#))#1-

Considere un modelo donde el capital es el 7nico factor de producción' tal /ue

Y = #K ' y donde # representa la tecnologa o producti$idad marginal de

capital. 1as familias ma&imi!an su función de utilidad con ori!onte innito

descontado a $alor presente' donde U (c ) es el tipo C))A. 1a economa es

cerrada y no ay gobierno.

a1 E&pli/ue las condiciones neoclásicas /ue no cumple este modelo de

crecimiento endógeno.

0!endimientos decrecientes en los 3actores 2roductivos

Y = #K



Condiciones de %rimer ;rden: Condiciones de 4egundo

;rden:

-∂Y

∂ K = #

-∂2Y

∂ K 2=0

De este modo podemos armar /ue los rendimientos ya no son decrecientes'

sino /ue son constantes.

0Condiciones de Inada

(¿ # )= #

− lim K $ ∞

( ∂ F

∂ K )= lim K $ ∞

¿ -

(¿ # )= #

lim K $0

( ∂ F

∂ K )= lim K $0

¿

%or tanto' diremos /ue no se cumplen las Condiciones de 3nada' puesto /ue se

debera dar /ue:lim

K $∞ ( ∂F

∂ K )=0 y /ue

lim K $0

( ∂ F

∂ K )=∞ y como acabamos de

corroborar' esto es distinto a los resultados /ue allamos.

71 Dena la ecuación de acumulación del capital y desarrolle el problema de

los ogares.

)ecordemos /ue la ecuación de acumulación de capital para este modelo está

dada por la siguiente fórmula:

´k (t )=( #−δ −n ) k (t )−c (t )

)ecordemos /ue para los ogares:

u (c (t ) )=c (t )1−*−1

1−*

Hamiltoniano4

H =u (c (t )) e−( ρ−n)t + λ (t ) [w (t )+b (t ) (r (t )−n )−c (t )]

H =c (t )1−*−1

1−* ∗e

−( ρ−n)t + λ (t ) [w (t )+b (t ) (r (t )−n )−c (t )]




coestado:

0∂ H

∂c( t )=(1−*)c (t )1−*−1

1−* ∗e

−( ρ−n) t − λ (t )=0

∂ H

∂ c( t )=c (t )−*∗e

−( ρ−n)t − λ (t )=0 6#1

0∂ H

∂b (t )= λ (t )(r (t )−n)= ´− λ (t ) 6$1

0∂ H

∂ λ (t )=w (t )+b (t ) ( r (t )−n )−c ( t )=0 6%1


´ λ(t )=−* c (t )−*−1 ć (t )∗e

−( ρ−n)t − ( ρ−n ) (e−( ρ−n) t )∗c (t )−*


−c( t )−*∗e−( ρ−n)t (r (t )−n)= ´ λ(t )

Aora:

−c( t )−*∗e−( ρ−n)t (r (t )−n)= ´ λ(t )

−c( t )−*∗e−( ρ−n)t (r (t )−n)=−*c (t )−*−1 ´

c (t )∗e−( ρ−n)t −( ρ−n ) (e−( ρ−n ) t )∗c (t )−*

c (t )−*∗(r (t )−n)=−* c (t )−*−1

ć ( t )∗e

−( ρ−n )t

−(e−( ρ−n ) t ) −( ρ−n )

(e−( ρ−n) t )−(e−( ρ−n) t )

∗c(t )−*

c (t )−*∗(r ( t )−n)=* c (t )−*−1 ć (t )+( ρ−n )∗c( t )−*

c (t )−*∗(r ( t )−n )=* c (t )−*−1 ´

c (t )+( ρ−n )∗c( t )−*

c (t )−*∗(r ( t )−n)−( ρ−n )∗c (t )−*=* c (t )−*−1 ´

c (t )



c (t )−* [ (r ( t )−n)− ρ+n ]=* c (t )−*−1 ´

c (t )

c (t )−* [r (t )− ρ ]=* c (t )−*−1 ´

c (t )

c( t )−* [r (t )− ρ ]* c (t )−*−1

= ´c (t )

c( t )[r (t )− ρ ]*

= ´c (t )

[r (t )− ρ ]*

=´

c (t )c (t )

)ecordemos /ue r (t )= #−δ ' entonces:

[ #−δ − ρ ]*

=´

c (t )c (t )

c1 Encuentre la tasa de crecimiento del consumo' del capital' del producto per

cápita y del aorro. E&pli/ue los alla!gos.


[ #−δ − ρ ]*

=´

c (t )c (t )

8+asa de Crecimiento del Ca2ital

´k (t )k (t )

=( #−δ −n ) k (t )−c ( t )

k (t )

´k (t )k (t )

=( #−δ −n )−c (t )k (t )

@!AFICA



8+asa de Crecimiento del 5roducto 2er c92ita

ln (Y )=ln ( #k )

´ = ´ # #

+k

k

´ = ´ # #

+( #−δ −n )− c (t )k ( t )

8+asa de Crecimiento del Aorro

s

s=1−

´c (t )c( t )

s

s=1−

[ #−δ − ρ ]*

%or lo tanto diremos /ue a partir de los alla!gos' todas las tasas de

crecimiento son constantes' puesto /ue todos los parámetros del modelo son

constantes.

d1 8<u2 condición debe cumplirse respecto a los parámetros del modelo para/ue la utilidad sea acotada y tenga sentido económico9 8Hay con$ergencia con

este modelo9 8<u2 diferencias $e respecto al modelo estudiado de 4olo5-

45an9

01a condición /ue debe cumplirse respecto a los parámetros del modelos para

/ue la utilidad sea acostada y tenga sentido económico es /ue ρ>n ' para

/ue de este modo la descendencia de los indi$iduos no consuma todo sus

ingresos' puesto /ue se plantea un modelo con ori!onte innito.

4e debe cumplir /ue:

u (c (t ) )={ Cu&nd+ *=1ent+nces ln ( c (t ) )

Cu&nd+*,0 * -1ent+nces c (t )

1−*

1−* }

0o ay con$ergencia en este modelo' puesto /ue



=)A>3CA

01as diferencias encontradas respecto al modelo /ue estamos utili!ando y el

modelo de 4olo5- 45an es /ue en el primero se presenta aorro endógeno'

tecnologa endógena' crecimiento sostenido y /ue en este modelo ay capital

umano' en cambio en el modelo de 4olo5- 45an no se presenta nada de esto.

e1 Aora suponga /ue se incluye un impuesto " a los retornos del capital

+nota: recuerde /ue #=r ( t )+δ ' y w (t )=0 . %lantee nue$amente la

restricción presupuestaria del ogar representati$o y encuentre las tasas de

crecimiento solicitadas en el literal c. E&pli/ue. 8Estas polticas de gra$amen

afectan de forma permanente la tasa de acumulación de capital9

u (c (t ) )=c (t )1−*−1

1−*

Hamiltoniano4

H =u (c (t )) e−( ρ−n)t + λ (t ) [w (t )+b (t ) (r (t )(1−" )−n)−c(t )]

H =c (t )1−*−1

1−* ∗e

−( ρ−n)t + λ (t ) [w (t )+b (t ) (r (t )(1−" )−n)−c (t )]


coestado:

0∂ H

∂ c( t )=(1−*)c (t )1−*−1

1−* ∗e

−( ρ−n) t − λ (t )=0

∂ H

∂ c( t )=c (t )−*∗e

−( ρ−n)t − λ (t )=0 6#1

0

∂ H

∂b (t )

= λ (t )(r (t )−n)= ´− λ (t )

6$1

0∂ H

∂ λ (t )=w (t )+b (t ) ( r (t )(1−" )−n )−c (t )=0 6%1




´ λ(t )=−* c (t )−*−1 ć (t )∗e

−( ρ−n)t − ( ρ−n ) (e−( ρ−n) t )∗c (t )−*


−c( t )−*∗e−( ρ−n)t (r (t )(1−" )−n)= ´ λ (t )

Aora:

−c( t )−*∗e−( ρ−n)t (r (t )(1−" )−n)= ´ λ (t )

−c( t )−*∗e−( ρ−n)t (r (t )(1−" )−n)=−* c (t )−*−1 ´

c ( t )∗e−( ρ−n) t − ( ρ−n ) (e−( ρ−n) t )∗c (t )−*

c (t )−*∗(r (t )(1−" )−n)=−* c(t )−*−1

ć (t )∗e

−( ρ−n)t

−(e−( ρ−n) t ) −( ρ−n ) ( e

−( ρ−n )t

)−( e−( ρ−n) t )∗c (t )−*

c (t )−*∗(r ( t )(1−" )−n )=* c (t )−*−1 ´

c (t )+ ( ρ−n )∗c (t )−*

c (t )−*∗(r ( t )(1−" )−n )=* c (t )−*−1 ´

c (t )+ ( ρ−n )∗c (t )−*

c (t )−*∗(r ( t )(1−" )−n )−( ρ−n )∗c( t )−*=* c (t )−*−1 ´

c (t )

c (t )−* [ (r ( t )(1−" )−n )− ρ+n ]=* c (t )−*−1 ´

c (t )

c (t )−* [r (t )(1−" )− ρ ]=* c (t )−*−1 ´

c (t )

c( t )−* [r (t )(1−" )− ρ ]* c ( t )

−*−1 = ć (t )

c( t )[r (t )(1−" )− ρ ]*

= ć (t )

[r (t )(1−" )− ρ ]*

=´

c (t )c( t )



[( #−δ )(1−" )− ρ ]*

=´

c (t )c( t )

%or lo tanto podemos armar' /ue los distorsi$os s afectan.


[( #−δ )(1−" )− ρ ]*

=´

c (t )c( t )

8+asa de Crecimiento del Ca2ital

#−δ ´k (t )

k (t )=

[ (¿(1−" )−n ) ]k (t )−c (t )

k (t )

#−δ ´k (t )

k (t )=(¿(1−" )−n )−

c (t )k ( t )

8+asa de Crecimiento del 5roducto 2er c92ita

´ = ´ # #

+k

k

#−δ

´ = ´ # #

+(¿(1−" )−n )− c (t )k (t )

8+asa de Crecimiento del Aorro

s

s=1−

´c (t )c( t )

s

s=1−

[( #−δ )(1−" )− ρ ]*

%or lo tanto diremos /ue a partir de los alla!gos' todas las tasas de

crecimiento son constantes' puesto /ue todos los parámetros del modelo son

constantes.



(- CIC,.S !EA,ES-

4uponga /ue los indi$iduos $i$en dos periodos y sus preferencias $ienen dadas

as:u=lnC

1 t + lnC 2 t +1 ' asumiendo /ue cada generación tiene el mismo

tama#o y /ue en cada periodo los *ó$enes tienen una oferta inelástica de una

unidad de traba*o ganando un salario dew t ' consumiendo y aorrando para

el retirok t +1 . 1os $ie*os consumen sus aorros y sus rendimientos y el

gobierno pone un impuesto proporcional al salario de los *ó$enes.

El producto $iene dado t = # k t α .t 1−α

dondek t es el stoc? de capital

disponible en t pero determinado por los aorros en t@ y.t es la oferta

agregada de traba*o. El capital se deprecia a una tasa

.

a1 >ormule el problema del consumidor y resuel$a parak t +1 como función

del salario y los impuestos.

L=lnC 1 t +lnC

2t +1+ λ( t )[ wt (1−" ) (1+r t +1 )−c1 t (1+r t +1 )−c

2t +1 ]

Deri$ando el lagrangiano con respecto a las $ariables:

•

∂ L

∂ c1 t

= 1

c1 t

− λ (t ) (1+r t +1)=0

(

1

c1 t (1+rt +1 )= λ (t )

6#1

•

∂ L

∂ c2 t +1

= 1

c2 t +1

− λ (t )=0(

1

c2 t +1

= λ ( t )6$1

•

∂ L

∂ λ (t )=w t (1−" ) (1+rt +1 )−c

1t (1+rt +1 )−c2 t +1=0

6%1

c1 t +k t +1=wt (1−" ) c2 t +1=(1+rt +1 ) k t +1 6B1

k t +1=wt (1−" )−c1 t 6(1 c

2 t +1=(1+rt +1 ) [wt (1−" )−c1 t ]

c2 t +1=wt (1−" ) (1+r t +1)−c

1 t (1+r t +1 )

3gualamos las ecuaciones 6#1 y 6$1 y obtenemos:



λ (t )= λ( t )

1

c1 t (1+rt +1 )

= 1

c2 t +1

c1 t (1+rt +1 )=c

2 t +1 6&1

%or lo tanto' reempla!ando 6&1 en 6B1:

c2 t +1=(1+r t +1 )k t +1

c1 t (1+rt +1 )=(1+r t +1 ) k t +1

c1 t (1+rt +1 )(1+r t +1 )

=k t +1

c1 t =k t +1

%or lo tanto' abiendo allado esta igualdad' nos de$ol$emos a la ecuación 6(1:

k t +1=wt (1−" )−c1 t

0 k t +1=wt (1−" )−k t +1 0 k t +1=wt (1−" )−k t +1

1

k t +1

= 1

wt (1−" )−k t +1 k t +1+k t +1=wt (1−" )

k t +1=w t (1−" )

261

%or lo /ue el aorro es la mitad del ingreso laboral' es decir' el indi$iduosua$i!a su consumo.

71 >ormule el problema de la rma y encuentre las condiciones de optimalidad.

05ro7lema de la Firma4

F (k t ( .t )= t = # k t α .t 1−α



Hallamos las condiciones de primer orden:

0

∂ t

∂ k t =rt +δ 0

∂ t

∂ k t =wt

#α k t α −1

.t

1−α

=rt +δ # (1−α )k t α

.t

−α

=w t

)ecordemos /ue en el e/uilibrio' /L= DL ' entonces:

#α k t α −1−δ =r t

# (1−α )k t α =wt 6*1

t = # k t α

Aora bien' recordemos /ue la elasticidad es: 0 1 ( #=∂ 1 t / 1 t

∂ # t / #t

De acá /ue la elasticidad del producto con respecto a # ' es la siguiente:

0 ( #

=∂ t / t

∂ # / # =

∂ t

∂ #∗ #

t

=k t

α ∗ #

# k t α

=1

%or tanto la relación de sustitución es a .

Volatilidad con res2ecto al consumo y la inversión4

8Consumo

c1 t +c2 t +1+k t +1−(1−δ ) k t = # k t α

c t t

Aora' tenemos /ue el consmo agregado es:

c t = # k t α −k t +1+(1−δ ) k t 6)1

)etomando' reempla!amos la ecuación 6*1 en la ecuación 61' y obtenemos:



# (1−α )k t α =wt ( k t +1=

w t (1−" )

2

k t +1= #(1−α )k t

α (1−" )

2

= #∗

(

(1−α )

2

)k t

α (1−" ) 6#D1

Aora reempla!amos 6#D1 en 6)1 obteniendo la siguiente e&presión:

c t = # k t α −k t +1+(1−δ ) k t

c t = # k t α −[ #∗( (1−α )

2 )k t α (1−" )]+(1−δ ) k t

c t = # k t

α

(− #2 + α#

2 )k t

α (1−" )+ (1−δ ) k t

c t =( 2 #

2 −

#

2 +

α#

2 )k t α (1−" )+ (1−δ ) k t

c t =( #2 + α#

2 )k t α (1−" )+ (1−δ ) k t

c t = # ( 1+α

2 )k t α (1−" )+ (1−δ ) k t

;bser$emos el efecto de un incremento en A en el consumo:

0c ( #=∂ c t /c t

∂ # / #=

∂ c t

∂ #∗ #

ct

=(1+α

2 )k t α (1−" )∗ #

#(1+α

2 )k t α (1−" )+(1−δ )k t

Di$idiendo por # ( 1+α

2 )k t α (1−" )

' llegamos a:



0c ( #= 1

1+ (1−δ ) k t

# ( 1+α

2 )k t α (1−" )

<1=0 ( #

%or lo /ue podemos armar /ue el consumo es menos $olátil.

8Inversión

I t =k t +1−(1−δ )k t

I t = #∗( (1−α )2 )k t

α (1−" )−(1−δ )k t

Aora $eamos cuál es el efecto de un incremento de A en la in$ersión:

0 I ( #=∂ I t / I t ∂ # / #

=

∂ I t

∂ #∗ #

I t = #∗( (1−α )

2 )k t α (1−" )∗ #

#∗( (1−α )2 )k t

α (1−" )−(1−δ )k t

Di$idiendo por #∗( (1−α )2 )k t

α (1−" ) ' obtenemos:

0 I ( #= 1

1− (1−δ )k t

#∗( (1−α )2 )k t

α (1−" )

>1=0 ( #

%or tanto diremos /ue la in$ersión es más $olátil.

c1 Muestre el efecto de un incremento transitorio en los impuestos sobre el

producto' el consumo y la in$ersión.

∂ct

∂" =

− #t k t (1−α )2

<0

%or lo tanto un incremento transitorio en los impuestos sobre el consumo'

arán /ue ba*e el ni$el de consumo.



∂ I t

∂ " =

− # t k t (1−α )2

Esto /uiere decir /ue un aumento transitorio en los impuestos sobre la

in$ersión' ará /ue se afecte en la misma cuanta

d1 3nterprete y e&pli/ue su respuesta.

B- Mane*o de información 4e utili!ará la información departamental sobre %3B

per cápita obtenida para el punto del taller .

a1 Bus/ue y organice los datos sobre cobertura y calidad en la educación del

Ministerio de Educación acional para los departamentos colombianos.

71 E&amine la relación entre estos indicadores de educación y el %3B per cápita

departamental. 8<u2 le sugiere9 8Cómo es la relación9 84e mantiene para

di$ersos periodos de tiempo9

c1 84erá /ue los departamentos más pobres tienen los peores resultados /ue

los departamentos más ricos9 8Cuál considera debe ser la direccionalidad entre

educación y producto y por /u29

d1 n indicador' bastante burdo' sobre 3n$estigación-Desarrollo es el n7mero

de grupos de in$estigación. "eniendo en cuenta la información de la 7ltima

clasicación de grupos de in$estigación por parte de Colciencias estable!ca

una relación del crecimiento del %3B per cápita para alg7n periodo +FFF-F,

y el n7mero de grupos de in$estigación acreditado por Colciencias. 3ntente

acer un buen e*ercicio descripti$o apoyándose en grácos y tablas.Especi/ue las $ariables a utili!ar. Muestre /ue le se#alan sus alla!gos.

Taller 2. Macroeconomía III.

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