TALLER 2 ATGA 2013-2 - AMPARO PEREZ SALAMANCA

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGIA E INGENIERÍA

ALGEBRA TRIGONOMETRIA Y

GEOMETRIA ANALITICA 2013-2 TALLER 2

TEMAS

FUNCIONES

TRIGONOMETRIA ANALITICA

HIPERNOMETRIA

COMPETENCIA: El (la) estudiante aplica los conceptos para el análisis de funciones desarrollando habilidades para contextualizarlas en su quehacer profesional

Estimado estudiante: con la solución de estos ejercicios afianzará su autoaprendizaje de la temática; es indispensable leer y elaborar un resumen o mapa conceptual de la temática para luego efectuar su solución y poder participar activamente en el encuentro tutorial. Si la cantidad de actividades no es suficiente para adquirir dominio sobre el tema, consulte la bibliografía y practique un poco más.

FUNCIONES

Todas las áreas de las matemáticas tienen que ver con funciones, de allí la importancia de su análisis, partiendo de la definición, sus características y su clasificación. Es indispensable que el (la) estudiante afiance conocimientos sobre la temática para que posteriormente los contextualice en su quehacer profesional. Resuelva los siguientes ejercicios:

1. Si A = {1, 2, 3} y B = {4, 5, 6, 7}, halle las parejas que cumplen cada relación. Luego halle su dominio y su rango a. R1: “La suma de la primera componente con la segunda componente es mayor que 7” b. R2: “El producto de la primera componente con la segunda componente es un número impar”

2. Dados A = {3, 6, 9, 5, 12} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, escriba una relación R que corresponda a cada conjunto de parejas ordenadas. a. {(3, 3), (6, 6), (5, 5)} b. {(3, 1), (6, 2), (9, 3), (12, 4)}

3. Dados los conjuntos: X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y Y = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, represente cada una de las siguientes relaciones en un diagrama. a. T = {(x, y)/x = y + 2} b. H = {(x, y)/y = 5x – 2}

4. Indique cuáles de las siguientes relaciones son funciones. Luego, justifique la respuesta a. R1 = {(1, x), (2, y), (3, y)} b. Si X = N, Y = N, R4 = {(x, y)/y = x + 5}

5. Evalúe cada función para los valores que se indican. a. f(X) = 3X2 + 1, para f(1), f(0), f(5)

b. f(X) = 3x + 5; para f(-

), f(a2 – a + 1)

6. Completa la tabla de valores para la función. Luego realiza la gráfica.

a. f(x) =

X 0 -1

5 6 10

F(X)

7. Calcule el dominio y el rango de las siguientes funciones:

a. f(X) =

X +

b. g(X) = 3X2 + 1 c. h(X) = 2X3 + 5X2 – 5

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8. Observe las gráficas e indique cuáles corresponden a funciones pares, cuáles corresponden a funciones impares

y cuáles no cumplen ninguna de estas condiciones.

9. Dados los puntos A(-3, 4) y S(3, -2), determinar la ecuación lineal que contiene dichos puntos; elaborar la gráfica 10. Dada la función f(X) = 2X2 + 8X + 5, Halle: dominio, imagen, simetría, monotonía y ceros. Elaborar gráfica. 11. Halle la suma, resta, producto y cociente de las siguientes funciones:

f(X) = e2X + 10 y g(X) = Ln(x) – 4

12. Sean f(X) = 3X – 2 y g(X) = 2X + √

, halle: a. (gof)(6) b. (fog)(4)

13. Las funciones logarítmica y exponencial son funciones inversas entre sí, ya que la función Y = Log X es la reflexión respecto de la recta Y = X de la gráfica de la función exponencial Y = aX. En particular, si la función logarítmica tiene como base al número e, entonces, Y = Ln X es función inversa de la función Y = eX. Escriba la función inversa de cada una de las siguientes funciones: a. Y = Log5X b. Y = 3X

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c. Y = 2X + 1 d. Y = ln (X + 1)

14. Halle la inversa de la función f(X) = 3X – 4. Luego trace la gráfica de f(X) y f-1(X)

15. Halle las asíntotas de la función f(X) =

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

16. Dados los ángulos hacer la conversión a radianes a. 150 b. -250 c. 4800

17. Convertir a grados los siguientes ángulos dados en radianes

a. 4

b. -7

c. 3

18. Para el triángulo dado, halle el valor de las 6 funciones trigonométricas, según el ángulo establecido

19. Grafique y halle el dominio, imagen, monotonía y simetría de la función seno 20. Identifique a qué función trigonométrica corresponde cada una de las siguientes gráficas:

APLICACION DE LAS FUNCIONES

Resolver los siguientes problemas utilizando todos los principios aprendidos en esta temática.

1. El número de bacterias en un cultivo está dado por la función: n(t) = 500e0,45t, donde t se mide en horas

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a. ¿Cuál es la tasa relativa (TR) del crecimiento de la población de bacterias? b. ¿Cuál es la población inicial del cultivo? c. ¿Cuántas bacterias habrá en el cultivo a las 5 horas?

Rta.: a) 445 bacterias/hora b) 500 bacterias c) 4744 bacterias 2. La función de la digestión es el resultado de la composición de varias funciones tales que una actúa después de

la otra. Observa el esquema:

a. La composición de funciones de la nutrición, ¿es conmutativa? ¿Es posible que primero se produzca la

deglución y luego la masticación? b. Si m representa la función masticación y m(a) es la imagen del alimento, luego de aplicársele la función m,

¿A qué es igual m(a)?¿Qué es d1(b)? c. Si (fog)(X) significa que la nutrición f actúa después de la función g, es decir, primero g transforma a X y luego

f actúa sobre la imagen de X producida por g, transformándola. Representa las funciones digestivas que componen la nutrición

3. Un futbolista está a 3.15 metros del balón el ángulo de depresión es de 30o, ¿cuál será la estatura del futbolista? Rta.: 1.8185 metros

4. Dado un cubo de lado l, expresar el volumen del cubo como función del área de la base. Rta.: V = √ 5. Un jugador de futbol tiene un record de goles dado por 8 goles en 17 partidos. El jugador fue alineado en 180

juegos manteniendo el record de goles. a. Exprese el número de goles como función del número de alineamiento donde participó el jugador b. ¿Cuántos goles anotó en la temporada de los 180 partidos?

Rta.. a) G(l) =

l b)85 goles

6. Un salvavidas está en su torre de observación a 20 metros de altura. Una persona implora su ayuda con un ángulo de depresión de 35o. ¿A qué distancia de la base de la torre está la persona que solicita ayuda? Rta.. X = 28.56 metros

TRIGONOMETRIA ANALITICA

1. Demostrar las siguientes identidades trigonométricas: a. [sen( ) + cos( )]2 + [sen( ) - cos( )]2 = 2

b.

= sen

2. Resolver la ecuación: sen(X) – tan(X) = cos(X)

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APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Una vez analizados los principios sobre triángulos no rectángulos, ahora podemos resolver problemas donde se requiera la utilización de estos principios.

1. Un topógrafo quiere determinar la distancia entre dos casas denominadas con A y B, desde el punto de observación del topógrafo, el ángulo entre las dos casas y éste es de 60o. La distancia del punto de observación y la casa A es de 120 m y la distancia de éste a la casa B es de 100m. ¿Qué distancia separan las dos casas? Ilustrar la situación Rta.: 111,355 metros.

2. Un edificio tienen en la cima la bandera de la compañía, la altura del edificio es de 180 metros. El ángulo de elevación de la base del piso y la cima del edificio es de 55o y el ángulo de elevación de la base del piso y la punta de la bandera es de 56,5o. ¿Cuál será la altura del asta de la bandera?. Ilustrar la situación. Rta.: 3,248 metros

HIPERNOMETRIA

Dentro de las funciones trascendentales existen unas funciones que se obtienen a partir de la combinación de las funciones exponenciales y son llamadas funciones hiperbólicas y cuyo nombre está relacionado con la hipérbola, al igual que el triángulo con las trigonométricas.

1. Hallar el valor de f(X = a) para las funciones dadas a. f(X) = senh(X), para X = 0 y X = 1 b. g(X) = tanh(x), para X = 2 y X = 4

BIBLIOGRAFIA

JOHNSON, L. Murphy,y Arnold R. Steffensen. Algebra y Trigonometría con aplicaciones. Ed. Trillas. México. 1994

STANLEY, A Smith, y otros. Álgebra y Trigonometría. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana Colombia. 1997

KELLY, TIMOTHY, John T Anderson, Richard H Balomenos. Algebra y Trigonometría Precálculo. Ed, Trilla. México 1996

FLEMING, Walter, Dale Varberg. Algebra y Trigonometría. Ed, Prentice Hall. 3 ed. México 1991

LINKS:

https://www.google.com.co/search?q=funciones&tbm=isch&tbo=u&source=univ&sa=X&ei=8UMzUs60Lobi8gSqyoHICw&ved=0CEkQsAQ&biw=1024&bih=476&dpr=1. Gráficas de funciones. Fecha de consulta: septiembre 11 de 2013

http://www.youtube.com/watch?v=JhvSTg6RVnI. Video: explicación de funciones. Fecha de consulta: septiembre 11 de 2013