Universidad Distrital Francisco Jos de Caldas. Teora de Colas y Simulacin Prof: Germn Mndez G. Taller 1.

1. Un vendedor atiende el mostrador en una tienda de helados. Los clientes llegan de acuerdo con un proceso poissoniano, con una tasa media de llegadas de 30 por hora. Se les atiende siguiendo un orden tipo FIFO, y debido a la calidad del helado, aceptan esperar si es necesario. Aparentemente el tiempo de servicio por cliente se distribuye exponencialmente, con una media de 1 1/2 minutos. Determnese: a) el nmero promedio de clientes en espera de servicio; b) la cantidad de tiempo de espera por el servicio que un cliente debera estimar; c) la probabilidad de que un cliente tenga que permanecer ms de quince minutos en la lnea de espera, y d) la probabilidad de que el dependiente est ocioso.

2. Una pastelera tiene dos dependientes, cada uno de ellos es capaz de atender a 30 clientes por hora, con los tiempos reales de servicio distribuidos exponencialmente. Los clientes llegan a la pastelera de acuerdo a un proceso poissoniano, con una tasa media de 40 por hora. Determnese: a) la fraccin de tiempo que un cierto dependiente est ocioso, y b) la probabilidad de que haya ms de dos clientes esperando servicio en un momento dado.

3. Un peluquero atiende l solo un negocio. No acepta citas, pero atiende a los clientes conforme llegan. Debido al prestigio del peluquero, los clientes estn dispuestos a esperar por el servicio una vez que llegan; las llegadas siguen un patrn poissoniano, con una tasa media de llegadas de dos por hora. Aparentemente el tiempo de servicio del peluquero se distribuye exponencialmente, con una media de 20 minutos. Determnese: a) el nmero esperado de clientes en la peluquera; b) el nmero esperado de clientes que esperan el servicio; c) el tiempo promedio que un cliente permanece en la peluquera, y d) la probabilidad de que un cliente permanezca ms del tiempo promedio en la peluquera.

4. La seccin de maternidad de un hospital tiene cinco salas para atender a las pacientes. Estas llegan al hospital de acuerdo a un proceso poissoniano, con una tasa media de 12 por da y se les asigna una sala si hay alguna disponible; de otro modo, se las enva a otro hospital. En promedio, una paciente ocupa la sala durante 6 horas, aparentemente el tiempo real se distribuye exponencialmente alrededor de esta media. Determnense: a) la tasa promedio de ocupacin de las salas (esto es, el porcentaje de salas en uso a largo plazo) y, b) la tasa promedio a la cual las pacientes de maternidad son enviadas a otros hospitales.

5. Aparentemente el patrn de llegada de automviles a la fila nica de una ventanilla bancaria de atencin a automovilistas es un proceso poissoniano, con una tasa media de uno por minuto. Aparentemente los tiempos de servicio del cajero se distribuyen exponencialmente, con una media de 45 segundos. Considerando que un auto que llega esperar tanto como sea necesario, determnese: a) el nmero estimado de autos en espera de servicio; b) el tiempo promedio que un automvil espera por el servicio; c) el tiempo promedio qu un automvil permanece en el sistema, y d) la probabilidad de que haya automviles esperando en la calle, si en los terrenos del banco puede haber un mximo de cinco automviles. a) 2.25 b) 2.25 c) 3 d)0.178

6. En un aeropuerto de una sola pista, un promedio de un avin cada 5 minutos solicita permiso para aterrizar; aparentemente la distribucin real es poissoniana. Los aeroplanos reciben permiso para aterrizar de acuerdo al orden de llegada, quedando en espera aquellos a los que no se les puede dar permiso de inmediato debido al trfico. El tiempo que toma al controlador de trfico ayudar a que un aeroplano aterrice, vara de acuerdo con la experiencia del piloto; se distribuye exponencialmente, con una media de 3 minutos. Determnense: a) el nmero promedio de aeroplanos en espera; b) el nmero promedio de aeroplanos que han pedido permiso para aterrizar, pero que an se encuentran en movimiento; c) la probabilidad de que un aeroplano que llega est en tierra menos de 10 minutos, despus de pedir por primera vez permiso para aterrizar, y d) la probabilidad de que haya ms de tres aeroplanos esperando servicio.

7. Un cirujano contrata un servicio de recados para manejar sus llamadas telefnicas. El servicio de recados es atendido por un operador y tiene capacidad para conservar en espera dos llamadas si el operador est ocupado con otra. Si las tres lneas estn ocupadas (una por el operador y dos por las llamadas en espera), quien realiza una llamada recibe una seal de ocupado. El cirujano recibe llamadas de acuerdo a un proceso poissoniano, con una tasa media de 20 por hora. Una vez que se logra contacto con el operador, la duracin de una llamada se distribuye exponencialmente, con una duracin media de 1 minuto. Determnese: a) la probabilidad de que una persona que realiza una llamada reciba seal de ocupado; b) la probabilidad de que una persona que llama, permanezca en espera, y c) la probabilidad de que una persona que llama, hable de inmediato con el operador.

8. Una mecangrafa recibe trabajo de acuerdo a un proceso poissoniano, con una tasa promedio de cuatro trabajos por hora. Los trabajos se mecanografan de acuerdo al orden de llegada, y el trabajo promedio requiere de 12 minutos de tiempo de la mecangrafa; aparentemente el tiempo real del trabajo se distribuye exponencialmente alrededor de esta media. Determnense: a) la probabilidad de que un trabajo quede concluido en menos de 45 minutos despus de su llegada; b) la probabilidad de que la mecangrafa concluya todos los trabajos al final del da, y c) la probabilidad de que el trabajo le lleve a la mecangrafa menos de 12 minutos.

9. Conforme los mecnicos necesitan partes para los autos que estn reparando en un taller, se dirigen al departamento de refacciones del taller y solicitan el material necesario. El dependiente nico del departamento de refacciones atiende a los mecnicos de acuerdo al orden de llegadas. Los mecnicos llegan siguiendo un proceso poissoniano con una tasa media de 35 por hora y esperan su turno siempre que el dependiente est ocupado con alguien ms. En promedio, el dependiente de refacciones tarda 1 minuto para atender a un mecnico, con el tiempo real de servicio distribuido exponencialmente alrededor de esta media. Cul es el costo esperado por hora para el taller por hacer que los mecnicos obtengan las refacciones, si a un mecnico se le pagan $12 por hora?

10. Los autobuses llegan a ciertas instalaciones de servicio de acuerdo a un proceso poissoniano, con una tasa media de 10 por da. Las instalaciones pueden dar servicio a uno por uno, el tiempo de servicio se distribuye exponencialmente alrededor de una media de 1/12 por da. A la compaa de autobuses le cuesta $200 diarios operar las instalaciones de servicio y $50 por cada da que un autobs permanece en las instalaciones. Comprando equipo ms moderno, la compaa de autobuses puede disminuir el tiempo medio de servicio a 1/15 por da, pero esto aumentara los costos diarios de operacin de las instalaciones de servicio a $245. Resulta conveniente desde el punto de vista econmico hacer este cambio?

11. Los trabajos llegan a una estacin de inspeccin de acuerdo a un proceso poissoniano, con una tasa media de dos por hora, y son inspeccionados de uno en uno siguiendo un orden tipo FIFO. El ingeniero de control de calidad inspecciona y realiza ajustes menores, si esto es todo lo necesario para que un trabajo termine esta fase. El tiempo total de servicio por trabajo aparentemente se distribuye exponencialmente, con una media de 25 minutos. Los trabajos que llegan pero no pueden ser inspeccionados de inmediato por el ingeniero, deben almacenarse hasta que el ingeniero pueda encargarse de ellos. Cada trabajo requiere 10 pie2 de espacio mientras est almacenado. Cunto espacio deber proporcionarse, si el objetivo es tener suficiente espacio de almacenamiento dentro de la seccin de control de calidad 90% del tiempo?

12. Una estacin ferroviaria suburbana tiene cinco telfonos pblicos. Durante las horas de ms movimiento en la tarde, las personas que desean realizar llamadas llegan a las casetas telefnicas siguiendo un proceso poissoniano, a una tasa de 100 por hora. La duracin promedio de una llamada es de 2 minutos, con la duracin real distribuida exponencialmente. Determnense: a) la cantidad de tierno estimada que un individuo deber esperar para hacer uso de un telfono, una vez que llega a las casetas; b) la probabilidad de que esta espera dure ms de 1 minuto, y c) el nmero esperado de personas que hacen uso o esperan un telfono.

13. Un pequeo banco tiene dos cajeros, uno para depsitos y uno para retiros. El tiempo de servicio para cada cajero se distribuye exponencialmente, con una media de 1 minuto. Los clientes llegan al banco siguiendo un proceso poissoniano, con una tasa media de 40 por hora; se considera que las personas que vienen a realizar depsitos y retiros, constituyen procesos poissonianos diferentes, cada uno con una tasa media de 20 por hora, y que ningn cliente realiza tanto un depsito como un retiro. El banco est considerando cambiar el arreglo actual para permitir que cada cajero se encargue tanto de depsitos como de retiros. El banco esperara que el tiempo medio de servicio de cada cajero aumentara a 1.2 minutos, pero desea que el nuevo arreglo impida que se formen largas lneas frente a un cajero, mientras que el otro permanece ocioso, situacin que se presenta de tiempo en tiempo bajo el actual arreglo. Analcense ambos arreglos en lo que respecta al tiempo promedio ocioso de un cajero y al nmero estimado de clientes esperados en el banco en cualquier momento dado.

14. Un restaurant de comida china para llevar tiene espacio para un mximo de cinco clientes. Durante los meses de invierno, sucede que cuando los clientes llegan y el restaurant est lleno, prcticamente ninguno espera por la fra temperatura exterior y se va a otro establecimiento. Los clientes llegan al restaurant de acuerdo a un proceso poissoniano, con una tasa media de 15 por hora. El restaurant atiende clientes a una tasa promedio de 15 por hora, con los tiempos reales de servicio distribuidos exponencialmente. El restaurant es atendido slo por su propietario, quien se ocupa de los clientes de acuerdo al orden en que llegan. Determnense: a) el nmero promedio de clientes en el restaurant en cualquier momento dado; b) el tiempo estimado que un cliente deber esperar por el servicio, y c) la tasa esperada a la cual se pierden ingresos debido al espacio limitado del restaurant, si la cuenta promedio es de $10.00.

15. Una compaa de autobuses enva sus vehculos a sus instalaciones de servicio para mantenimiento de rutina cada 25000 millas. Las instalaciones de servicio estn abiertas las 24 horas del da y las atiende una sola cuadrilla capaz de trabajar en un autobs por vez. El tiempo que toma dar servicio a un autobs se distribuye exponencialmente, con una media de 4 horas. Los autobuses llegan a las instalaciones siguiendo un proceso poissoniano, con una tasa media de 12 por da. Sin embargo, los conductores tienen instrucciones de no entrar a las instalaciones si ya hay ah cuatro o ms autobuses, en cuyo caso regresan con el despachador para recibir nuevas instrucciones. Determnense: a) el tiempo esperado que un autobs pasa en las instalaciones de servicio, cuando se queda ah; b) la prdida diaria en dinero para la compaa de autobuses debido a las limitaciones de las instalaciones de servicio, si el costo de enviar un autobs a las instalaciones y que regrese sin servicio es de $80.

16. La compaa de autobuses descrita en el problema 15 est considerando aumentar su cuadrilla de servicio a dos grupos igualmente eficientes. El costo diario de la cuadrilla adicional sera de $300. Es conveniente tal expansin?

17. Una tienda tiene dos dependientes, cada uno de ellos es capaz de atender a los clientes a una tasa promedio de 60 por hora; los tiempos reales de servicio se distribuyen exponencialmente. La capacidad de la tienda es de cinco clientes, no permitindose la espera en el exterior. Los clientes llegan a la tienda de acuerdo a un proceso poissoniano, con una tasa promedio de llegadas que depende del nmero de personas que est en la tienda, de la manera siguiente:

Numero en la tienda012345

Tasa promedio de llegadas h-1100110120140170200

Determnense: a) el nmero esperado de clientes simultneos en la tienda; b) el tiempo estimado que un cliente deber esperar por el servicio y c) la tasa estimada a la cual se pierden los clientes, debido a lo limitado de las instalaciones. a) 2.90 b) 46.4 s c) 50.4 cl/h

18. Una estacin de lavado de automviles tiene espacio slo para tres unidades en espera y tiene dos lneas para el lavado. Cada lnea puede aceptar slo un automvil cada vez. stos llegan de acuerdo a un proceso poissoniano, con tasa media de 20 por hora, pero se les niega la entrada siempre que el lavado est lleno. El lavado y la limpieza se realizan manualmente y parecen seguir una distribucin exponencial. Bajo condiciones normales, cada lnea de servicio a un automvil durante un promedio de 5 minutos. Sin embargo, cuando dos o ms automviles estn esperando por el servicio, el procedimiento de lavado se acelera, reduciendo el tiempo promedio de servicio a 4 minutos. Determnense: a) el nmero esperado de automviles en el lugar, y b) el tiempo estimado que un automvil permanece en el sitio si no se le niega la entrada.

19. Los clientes llegan a una pequea tienda de manjares delicados siguiendo un proceso poissoniano, con una tasa media de 30 por hora. En el establecimiento caben cuando ms cuatro clientes; 'siempre que est lleno, los clientes que llegan no pueden entrar y se pierde su compra. El propietario de la tienda es el nico que atiende, y su tiempo de servicio se distribuye exponencialmente siempre que haya slo un cliente en la tienda, con tiempo promedio de servicio de 5 minutos. Sin embargo, el propietario se vuelve ms eficiente conforme la tienda se llena, disminuyendo su pltica con los clientes y aumentando por lo tanto el tiempo promedio de servicio en 1 minuto por cada cliente que est formado esperando servicio. Determnense: a) el nmero estimado de personas que estarn simultneamente en la tienda (sin incluir al propietario), y b) el tiempo promedio de servicio por parte del propietario.

20. En un curso de cableado elctrico por correspondencia, se acepta a los estudiantes tan pronto como se inscriben y despus concluyen el curso a su propio ritmo. Aparentemente los tiempos para terminar el curso siguen una distribucin exponencial, con una media de 7 semanas. Las nuevas inscripciones al curso siguen un proceso poissoniano, con una tasa media de 50 por semana. Determnese a) el nmero de estudiantes que se espera estn inscritos simultneamente en el curso, y b) la probabilidad de que un estudiante tarde ms de 7 semanas en concluir el curso.