TEMA 6: EL MOVIMIENTO.

6.1. Magnitudes básicas en el estudio del movimiento

Cuando medimos la temperatura de un objeto con un termómetro, el resul-tado de la medida posee significado pleno, sin necesidad de añadir nada más: la temperatura es 37 ºC. En estos casos, diremos que la magnitud es una mag-nitud escalar, y como ejemplos tenemos, además de la temperatura, la masa, la densidad, el tiempo, etc.

Sin embargo, hay otras magnitudes físicas que necesitan, para estar ple-nas de sentido y significado, añadir otras descripciones a ese valor, por ejem-plo, considérese la velocidad, si decimos que un coche circula a 45 km/h, sabe-mos cuánto espacio recorre en un determinado tiempo, pero no sabemos por dónde los recorre, ni hacia dónde lo hace: no será lo mismo que el coche circu-le por la SE-30 que por la calle Imagen, y a su vez, en la calle Imagen, podrá ir hacia La Campana, o hacia San Pedro. Estas magnitudes se llaman vectoria-les, y en Física se determinan asignándoles un vector. En Matemáticas, un vector es un segmento orientado, que posee: un punto de aplicación, una di-rección (recta sobre la que se asienta), un sentido (lado de la recta al que apunta la flecha), y un módulo (largo de la flecha, coincide con el valor numéri-co de la magnitud). En estos apuntes, los vectores se representan utilizando las negritas. La mayor parte de las magnitudes que se utilizan en cinemática son vectoriales, por ejemplo: velocidad, aceleración, momento lineal, etc. En este curso, aunque se realizarán algunas referencias puntuales al carácter vectorial de estas magnitudes, en general prescindiremos del mismo, y las tomaremos como escalares.

Para poder estudiar un movimiento, lo primero que es necesario es un sis-tema de referencia, un punto del que se conozca su movimiento o que esté en reposo, y respecto del cuál se harán todas las mediciones. En la mayoría de las ocasiones, esto lo hacemos de manera inconsciente. Por ejemplo, cuando deci-mos que hasta Cádiz hay 110 Km, implícitamente, hemos elegido como siste-ma de referencia la ciudad de Sevilla.

Estudiar el movimiento de una partícula es decir dónde va a estar dentro de un cierto tiempo, o dónde ha estado en un momento anterior. Por tanto, es pre-ciso disponer de una magnitud que nos indique la posición del móvil, esto lo conseguimos mediante el vector de posición (r), que es un vector que une el origen de coordenadas con la posición que ocupa el móvil en un instante deter-minado. El camino trazado por el móvil se denomina trayectoria, y será, en general, una línea curva. La longitud recorrida a lo largo la trayectoria es el es-pacio recorrido, que no hay que confundirlo con el desplazamiento (d=r) del móvil, que es el vector que une el punto inicial (P1) y final (P2) del recorrido, y que en los movimientos no rectilíneos no coincide ni con la trayectoria ni con el espacio recorrido como puede verse en el siguiente esquema.

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La magnitud física que mide la variación en el tiempo del vector de posición es la velocidad (v), que como se indicó antes, tiene también carácter vectorial. La velocidad es un vector que siempre es tangente a la trayectoria en todos sus puntos. Pese a ello, la consideraremos en todos los casos como una magnitud escalar, indicando el sentido de la misma con un signo positivo o negativo. Al estudiar los movimientos circulares, se invocará el carácter vectorial al tratar el tema de la aceleración en los mismos. En el SI, la velocidad se mide en m/s. La velocidad media (vm) es un escalar definido como el espacio recorrido por uni-dad de tiempo:

vm=et

La velocidad media sólo coincide con la velocidad del objeto si el movimiento es uniforme, y generalmente no es demasiado útil para describir el movimiento del objeto. En su lugar se utiliza la velocidad instantánea (v), que es una fun-ción matemática que nos da la velocidad en cada instante.

Por último, existe una magnitud más que es la aceleración (a), que mide la variación de la velocidad en el tiempo, y que como las dos anteriores, también es vectorial, aunque seguiremos prescindiendo de este carácter. Se mide en m/s2, y puesto que sólo consideraremos movimientos rectilíneos con acelera-ción constante, se puede escribir:

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a=v f−v it

donde vf y vi son respectivamente las velocidades final e inicial del objeto.

Las relaciones entre r, v, a y t para un movimiento determinado se denomi-nan ecuaciones del movimiento, y son las herramientas que permiten estudiar los mismos.

6.2. Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)

Se define MRU como el que ocurre a lo largo de una trayectoria recta con velocidad constante, y por lo tanto con aceleración nula.

Como todas las magnitudes que intervienen en el movimiento actúan sobre la línea recta de la trayectoria, podemos olvidarnos del carácter vectorial de las magnitudes, y tratarlas como escalares. Esta característica simplifica mucho el tratamiento matemático y es también aplicable al siguiente tipo de movimiento que estudiaremos.

La ecuación que gobierna este movimiento es:

r = r0 + v·t

donde r es la posición del móvil en un instante t cualquiera, r0 es la posición inicial, y v es la velocidad del mismo. Como se ve, la posición es una función lineal del tiempo, y su representación gráfica es una recta cuya pendiente es la velocidad y cuya ordenada en el origen es r0.

6.3. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA)

Un MRUA es aquél que ocurre sobre una trayectoria rectilínea y que posee aceleración constante. Las ecuaciones del movimiento son dos en este caso:

r = r0 + v0 ·t + 12

a·t2

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v = v0+ a·t

donde r y v son, respectivamente, la posición y velocidad del móvil en un ins-tante t cualquiera, r0 es la posición inicial del móvil, v0 es la velocidad inicial del mismo, y a es la aceleración del movimiento. En este caso, la relación lineal existe entre v y t, estableciéndose entre r y t una relación cuadrática que co-rresponde a una parábola.

Como se puede apreciar al comparar las expresiones correspondientes al MRU y al MRUA, la del primero es un caso especial de las del segundo, cuan-do la aceleración es cero, así que sabiendo estas dos últimas, se sabe la ante-rior.

6.4. Movimiento circular uniforme (MCU)

Para estudiar los movimientos circulares, es conveniente adoptar nuevas magnitudes, dado que tienen características propias. En un movimiento circu-lar, la trayectoria siempre es circular y por tanto, la distancia al centro de la cir-cunferencia (radio) es siempre constante, variando sólo el ángulo que forma con el eje X por ejemplo, así que podemos tomar para estudiar el movimiento el ángulo y olvidarnos del radio. En definitiva, sustituimos r por donde es el ángulo que forma el radio con el eje X.

En Física, los ángulos se miden en radianes. Un radián es una unidad es-pecial de medida de ángulos; para definirlo, se asigna a la circunferencia com-pleta un ángulo total de 2 rad, de manera que 1 rad es un arco que mide lo mismo que el radio de la circunferencia a la que pertenece. La relación entre grados sexagesimales y radianes es la siguiente:

360 º = 2 rad

De manera que a un ángulo de º sexagesimales, le corresponden 2/360 rad. Los radianes son muy útiles para expresar las longitudes de un arco. Recuér-

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dese que la longitud del arco de una circunferencia de radio R, que comprenda un ángulo viene dada por

L= ϕ360

2 πR

con lo que si expresamos el ángulo en radianes, la expresión resultante es

L=ϕ·R

Si vamos a utilizar como magnitud para medir la posición, hay que definir una que nos indique cómo varía , ésta es la velocidad angular , que se mide en rad/s. Las relaciones entre estas magnitudes y sus homólogas de movimien-tos rectilíneos son muy fáciles de recordar (L equivale al espacio recorrido):

L = ·R v = ·R

De la misma forma, se puede definir la velocidad angular media como

ωm=ϕF−ϕ It

El MCU es aquél que describe una circunferencia a velocidad angular cons-tante, es decir, sin aceleración angular, como por ejemplo, el motor de un expri-midor eléctrico o el de un tiovivo. La ecuación del movimiento es:

= 0 + ·t

donde es el ángulo que forma el móvil en el instante t, 0 es el ángulo inicial, y es la velocidad angular; como se ve la ecuación es análoga a la del MRU, pero cambiando las magnitudes lineales por las angulares.

El MCU es un movimiento periódico, puesto que la posición del móvil se repite a intervalos regulares. En estos movimientos, se pueden definir dos mag-nitudes muy útiles, el periodo (T) y la frecuencia (). Se define periodo como el tiempo empleado en dar una vuelta completa, se mide en s, y teniendo en cuenta la definición de viene dado por:

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T=2πω

La frecuencia es el inverso del periodo, se mide en s -1 o Hz, y equivale al número de vueltas que da el móvil por segundo:

ν= 1T

= ω2π

Aunque el MCU tiene velocidad angular constante, no por eso carece de acelera-ción, puesto que el vector velocidad es siempre tangente a la trayectoria, y por lo tanto va a ir cambiando constantemente su dirección, aunque no su módulo (ver dibujo). Eso es debido a la existencia de una aceleración denominada centrípeta o nor-mal, que sólo afecta a la dirección del vector velocidad. Su valor es

ac = v2/R = 2·R

dado que v = ·R, y siempre se dirige al centro de la circunferencia, siendo por tanto perpendicular a la velocidad en cada instante.

6.5. Estrategias de resolución de problemas.

Los problemas de cinemática no son especialmente difíciles, especialmen-te cuando se encuentra la estructura común subyacente a todos ellos. Eso se consigue haciendo muchos problemas, y la mejor manera de afrontarlos es sis-tematizándolos. El siguiente esquema puede ser útil para este fin:

1. Leer cuidadosamente el enunciado, al menos dos veces, identificando los objetivos del problema. No es una tontería, la mayoría de los alum-nos no leen bien el problema antes de empezar a resolverlo.

2. Identificar el tipo de movimiento.3. Realizar un esquema, marcando en él el sistema de referencia (Cual-

quiera es válido, aunque algunos son evidentemente más lógicos que otros).

4. Escribir las ecuaciones generales (posición y velocidad).5. Buscar en el enunciado los parámetros conocidos e introducirlos en las

formulas.6. Aplicar las condiciones del problema, o sea, si se pide la velocidad a los

2 s, sustituir t por 2. Esta es la parte más complicada; las anteriores de-berían ser mecánicas, para llevar rápidamente a este último paso.

Esta breve guía no garantiza el éxito, pero ayuda a establecer una secuen-cia lógica, evitando resolver el problema aplicando formulas sin ninguna refle-xión.

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6.6. Cuestiones y problemas

MRU1. La velocidad de la luz es 3·108 m/s. ¿Qué distancia hay entre la Tierra y el

Sol, sabiendo que la luz tarda 8 min 18 s en recorrer dicha distancia?2. Dos ciudades A y B distan entre sí 150 km, y de ellas parten, uno al

encuentro del otro, dos coches cuyas velocidades respectivas son; el que sale de A, 30 km/h; y el que sale de B, 60 km/h. a) ¿Cuánto tiempo tardarán en encontrarse?; b) ¿a qué distancia de A se produce el encuentro?

3. Un coche pasa por el km 139 a las 10:30 h y por el km 202 a las 11:15 h. Calcula su velocidad en m/s si suponemos que la velocidad es constante.

4. Un coche se mueve con una velocidad de 110 km/h y una motocicleta con una velocidad de 31 m/s. ¿Cuál va más rápido?

5. Calcula la distancia en km, entre dos ciudades, si un avión tarda 210 minutos en volar de una ciudad a otra, manteniendo una velocidad media de 830 km/h.

6. Un coche y una motocicleta parten a la vez del mismo punto y con la misma dirección y sentido. Calcula la distancia, en dam, entre los dos cuando hayan pasado 2 horas, si la velocidad del coche es 72 km/h y la velocidad de la motocicleta es 25 m/s.

MRUA7. Un coche parte del reposo y alcanza en medio minuto la velocidad de 108

km/h, ¿qué aceleración lleva? ¿qué espacio recorre?8. Un móvil parte con velocidad de 72 km/h y acelera con a = 0.5 m/s2 durante

20 s. Se desea saber: a) la velocidad final del móvil, en km/h; b) el espacio recorrido en los 20 s.

9. Un coche recorre una distancia de 144 km en 1 h, con movimiento uniforme. Continúa, con movimiento uniformemente acelerado, con a = 0.25 m/s2 durante 3 s. Determinar: a) el espacio total recorrido por el coche; b) la velocidad final; c) realizar la gráfica v-t de éste movimiento.

10. Lanzamos verticalmente hacía arriba una piedra con velocidad inicial de 2 m/s. Determinar: a) el tiempo que tarda en alcanzar su altura máxima; b) el valor de esta altura.

11. Un tren del metro arranca con una aceleración de 8 cm/s2. Al cabo de 30 s el conductor corta la corriente y el tren continúa moviéndose con una velocidad constante: a) ¿cuál es esta velocidad?; b) ¿qué espacio recorrió el tren en esos 30 s?; c) ¿qué tiempo transcurrió hasta que el tren llega a otra estación distante de la primera 500 m?

12. Desde lo alto de un rascacielos de 300 m de altura se lanza verticalmente hacia abajo una piedra con una velocidad inicial de 10 m/s. Determinar: a) la velocidad cuando llega al suelo; b) el tiempo que tarda en caer; c) la velocidad de la piedra a los 3 s de iniciar el movimiento.

COMBINADOS13. Un coche pasa por un control a una velocidad constante de 144 km/h e

inmediatamente sale en su persecución un coche patrulla con una aceleración de 5 m/s2. a) ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzarlo?; b) ¿a qué distancia del control se encontrarán?

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14. Un coche acelera desde el reposo a razón de 3 m/s2 durante 10 s. A partir de ese momento continúa con la velocidad adquirida hasta los 15 s. Desde este momento hasta los 20 s en que se para va con movimiento uniformemente retardado. Determinar el espacio total recorrido por el móvil y realizar la gráfica v-t del movimiento.

15. Dos móviles salen de un punto A. El primero con v = 72 km/h constante. y el segundo parte del reposo y acelera con a = 2 m/s2. Determinar a qué distancia del punto A se encuentran y cuánto tiempo tardan en encontrarse.

16. Un coche sale con velocidad constante de 50 km/h; 30 s más tarde, sale un segundo coche desde el mismo punto y desde el reposo, pero éste con aceleración constante de 0.1 m/s2. Calcular: a) instante y lugar en el que se produce el encuentro; b) velocidad del segundo en ese momento.

17. Desde la terraza de un edificio de 40 m de altura se deja caer una piedra al mismo tiempo que desde el suelo se lanza otra hacia arriba a 20 m/s. Calcular: a) tiempo que tardan en cruzarse; b) altura a la que lo hacen; c) velocidad de cada una en ese momento; d) tiempo y velocidad de llegada al suelo de cada una.

18. Desde la azotea de un edificio de 120 m de altura se lanza hacia arriba una piedra con velocidad inicial de 5 m/s. Calcular: a) el tiempo que tarda en llegar al suelo; b) la velocidad que tiene en ese momento; c) la máxima altura que alcanza, d) la posición a la que se encuentra la piedra a los 2 s de ser lanzada.

MCU19. Un tren eléctrico da vueltas por una pista circular de 50 cm de radio con

una velocidad constante de 10 cm/s. Calcular: a) la velocidad angular; b) la aceleración centrípeta; c) el periodo y la frecuencia; d) número de vueltas que dará en 10 s.

20. Un ciclista circula a 30 km/h por la calle, si las ruedas son de 35 cm de radio, ¿cuál es su velocidad angular?, ¿qué ángulo habrán girado las ruedas cuando el ciclista haya avanzado 100 m?, ¿cuál es el periodo y la frecuencia del movimiento de las ruedas?

21. Calcula el periodo, frecuencia y velocidad angular del movimiento de traslación de la Tierra alrededor del Sol.

22. La rueda de una bicicleta tiene 30 cm de radio y gira uniformemente a razón de 25 vueltas por minuto. Calcula: a) la velocidad angular, en rad/s; b) la velocidad lineal de un punto de la periferia de la rueda; c) ángulo girado por la rueda en 30 segundos; d) número de vueltas en ese tiempo.

23. Una noria de 40 m de diámetro gira con una velocidad angular constante de 0.125 rad/s. Calcula:  a) la distancia recorrida por un punto de la periferia en 1 min; b) el número de vueltas que da la noria en ese tiempo; c) su periodo; d) su frecuencia 

24. El CD de un ordenador gira con una velocidad angular máxima de 539 r.p.m. Calcula el número de vueltas que da durante la reproducción de una canción de 4 minutos.

ADICIONALES25. Un automóvil marcha a 144 km/h. ¿Qué aceleración negativa es preciso

comunicarle para que se detenga en 100 m?

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26. Un avión recorre 1200 m a lo largo de la pista antes de detenerse al aterrizar. Suponiendo que la aceleración es constante, calcular: a) el valor de la aceleración si aterriza a una velocidad de 100 km/h; b) el tiempo que tarda en pararse desde que aterrizó; c) el espacio que recorre en los 10 primeros segundos.

27. Se deja caer una piedra desde 20 m de alto. Calcular la distancia que hay hasta el suelo desde el punto en el cual la velocidad de la piedra es la mitad de la que tiene al llegar al suelo.

28. Un avión despega de la pista de un aeródromo después de recorrer 1000 m si la velocidad del avión en el momento de despegar es de 120 km/h, determinar: a) la aceleración que tiene en ese momento; b) el tiempo que tarda en despegar; c) la distancia que recorre en el último segundo antes de despegar.

29. Una piedra que cae libremente pasa a las 10 h frente a un observador situado a 300 m sobre el suelo; a las 10 h 2 s pasa frente a otro observador que está a 200 m del suelo. Calcular: a) la altura de la que cae la piedra; b) el tiempo que tarda en llegar al suelo; c) la velocidad con que llega al suelo.

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