I.E.S. PARQUE DE LISBOAMATEMTICAS 1 BACHILLERATO TEMA 2: ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS.1. Polinomios. 1.1. Concepto de polinomio.1.2. Operaciones.1.3. Potencia de un polinomio. Binomio de Newton. 1.4. Factorizacin de polinomios.2. Fracciones algebraicas.2.1. Concepto de fraccin algebraica.2.2. Fracciones equivalentes.2.3. Simplificacin.2.4. Operaciones algebraicas.3. Ecuaciones.3.1. Ecuaciones polinmicas.3.2. Ecuaciones racionales.3.3. Ecuaciones con radicales.3.4. Ecuaciones logartmicas.3.5. Ecuaciones exponenciales.3.6. Ecuaciones con valor absoluto.

4. Sistemas de ecuaciones.4.1. Sistemas no lineales.4.2. Sistemas de ecuaciones lineales. Discusin.4.3. Mtodo de Gauss.5. Inecuaciones.5.1. Inecuaciones de 1er grado con una incgnita.5.2. Inecuaciones de 2 grado con una incgnita.5.3. Inecuaciones de grado 3. Inecuaciones racionales.5.4. Inecuaciones de 1er grado con dos incgnitas.6. Sistemas de inecuaciones.6.1. De una incgnita.6.2. De dos incgnitas.7. Problemas.

1. POLINOMIOS.

1.1. Concepto de polinomio.Un polinomio en una indeterminada es una expresin algebraica de la forma:

donde son llamados coeficientes, x es la indeterminada del polinomio y los exponentes son siempre nmeros reales. El grado de un polinomio es el exponente n de la mayor potencia de x. Se denomina trmino independiente al coeficiente 1.2. Operaciones. Suma y diferencia de polinomios.El resultado de sumar o restar dos polinomios es otro polinomio cuyos trminos son la suma o la diferencia de los trminos semejantes de los iniciales. Producto de dos polinomios. Para multiplicar dos polinomios se multiplican los trminos del primero por cada uno de los trminos del segundo y se reducen los trminos semejantes obtenidos. Divisin entera de polinomios.Para dividir dos polinomios se sigue el procedimiento anlogo al que se utiliza con los nmeros enteros. Si el divisor es un polinomio de la forma xa, se puede aplicar la regla de Ruffini para obtener el cociente y el resto de la divisinEjemplo 1: a) 1.3. Potencia de un polinomio. Binomio de Newton.La potencia de un polinomio, , es una forma abreviada de escribir el producto del polinomio n veces:

Nmeros combinatorios.Se denomina factorial de un nmero natural n>0, n! , al producto : Convenio: 0! = 1Dados dos nmeros naturales no nulos n y m , n m, se denomina nmero combinatorio y se lee

Ejemplo 2: , Binomio de Newton.La frmula del binomio de Newton sirve para calcular las potencias de un binomio utilizando nmeros combinatorios.

Ejemplo 3: a)

1.4. Factorizacin de polinomios.Factorizar un polinomio consiste en escribirlo como producto de polinomios del menor grado posible. Teorema del factor:"Si a es una raz de P(x), se verifica que (x a) es un factor de de P(x). Recprocamente, si P(x) es divisible por (x a) entonces a es una raz de P(x)".P(a) = 0 (x a) Q(x)Para factorizar un polinomio seguiremos el siguiente procedimiento:1) Cuando el polinomio no tiene trmino independiente, extraemos el factor comn x elevado a la mxima potencia que podamos.2) Buscamos las races enteras del polinomio aplicando la regla de Ruffini.3) Con el polinomio que resulta comprobamos si se pueden aplicar las igualdades notables. 4) Si el polinomio resultante es de 2 grado buscamos las races no enteras resolviendo la ecuacin p(x) =05) Escribimos el polinomio factorizado.Ejemplo 4: a) P(x) = b) P(x) =

2. FRACCIONES ALGEBRAICAS.

2.1. Concepto de fraccin algebraica.Se llama fraccin algebraica al cociente de dos polinomios, siendo el grado del denominador distinto de cero.Ejemplo 5:

2.2. Fracciones equivalentes.

2.3. Simplificacin de fracciones algebraicas.Simplificar una fraccin algebraica es obtener otra equivalente ms sencilla. Para simplificar fracciones algebraicas seguiremos los siguientes pasos:1) Factorizamos el numerador y el denominador de la fraccin.2) Eliminamos los factores comunes del numerador y denominador.Ejemplo 6:

2.4. Operaciones algebraicas.Las operaciones con fracciones algebraicas cumplen las mismas propiedades que las operaciones con fracciones: Suma y resta: reducimos a comn denominador y sumamos los numeradores. Producto: multiplicamos los numeradores y los denominadores. Cociente: multiplicamos la primera por la fraccin inversa de la segunda.Ejemplo 7:

3. ECUACIONES.Una ecuacin es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que slo se cumple para determinados valores de la incgnita.IMPORTANTE: x = a es solucin de una ecuacin si al sustituir "x" por "a" en la ecuacin, la igualdad se cumple.3.1. Ecuaciones polinmicas.Una ecuacin polinmica es aquella en la que nicamente intervienen polinomios. Ecuaciones de 1er grado con una incgnita.Para resolver una ecuacin de 1er grado, se eliminan los denominadores y los parntesis, se trasponen los trminos semejantes, se reducen y se despeja la incgnita. Ecuaciones de segundo grado: ax2 + bx + c = 0Sus soluciones se obtienen aplicando la siguiente frmula:

Si b = 0 c= 0 la ecuacin se llama incompleta y se puede resolver de forma sencilla sin necesidad de aplicar la frmula: Si b = 0: ax2 + c = 0 Se despeja x y se hace la raz cuadrada. Si c = 0: ax2 +bx = 0 = 0 . Sus soluciones son x = 0, x = b/a Ecuaciones bicuadradas: Para resolver estas ecuaciones se siguen los siguientes pasos:1) Se realiza un cambio de variable del tipo . La ecuacin resultante es de 2 grado.2) Se resuelve la ecuacin de 2 grado.3) Se deshace el cambio de variable y se calculan las soluciones. Ecuaciones de grado >2Por este mtodo slo podremos resolver aquellas ecuaciones que tengan al menos una solucin entera. Seguiremos los siguientes pasos:1) Se expresa la ecuacin de la forma P(x) = 0, y se factoriza el polinomio P(x).2) De cada uno de los factores se obtiene su raz y sern cada una de las soluciones de la ecuacin.Ejemplo 8:

3.2. Ecuaciones racionales.Una ecuacin racional es aquella en la que aparecen fracciones algebraicas.Para resolver estas ecuaciones se siguen los siguientes pasos:1) Se halla el m.c.m. de todos los denominadores que aparecen en la ecuacin.2) Se multiplican TODOS los trminos de la ecuacin por el m.c.m y se simplifica.3) Se resuelve la ecuacin resultante.4) COMPROBAR que las soluciones obtenidas son vlidas.Ejemplo 9:

3.3. Ecuaciones con radicales.Una ecuacin con radicales es aquella en la que aparece la incgnita dentro de un radical.Para resolver estas ecuaciones se siguen los siguientes pasos:1) En caso de que haya un solo radical se asla el mismo en uno de los miembros de la ecuacin.2) Se elevan los dos miembros de la ecuacin al cuadrado. (La solucin no vara).3) Si an quedan ms radicales, se repite el paso 1.4) Resolver la ecuacin resultante, ya sin radicales.5) COMPROBAR que todas las soluciones son vlidas para la ecuacin inicial (OJO, al comprobar, tener en cuenta que la raz de un nmero puede ser positiva y negativa).Ejemplo 10:x+ =c) 3.4. Ecuaciones logartmicas.Las ecuaciones logartmicas son aquellas en la que la incgnita aparece en la base o en el argumento de un logaritmo.Para resolver estas ecuaciones se siguen los siguientes pasos:1) Se modifican sus miembros con la ayuda de las propiedades de los logaritmos y se tiene en cuenta que:log A = log B A = B2) Se resuelve la ecuacin correspondiente.2) Se COMPRUEBA que las soluciones obtenidas son vlidas, ya que no estn definidos los logaritmos de cero ni de los nmeros negativos.Ejemplo 11:a) log (2 x +3) log (x 2) = 2 log 2 + 2 log 3b) log (3+30) log = 1

3.5. Ecuaciones exponenciales.Son aquellas en las que la incgnita aparece en el exponente. Veremos tres tipos:Tipo 1: Ambos miembros se pueden poner como potencia de la misma base: Seguiremos los siguientes pasos: 1) Expresamos los dos miembros como potencias de la misma base. 2) Igualamos los exponentes y resolvemos la ecuacin correspondiente.. Ejemplo 12:a) 4

c) =Tipo 2: Ecuaciones exponenciales que se resuelven con un cambio de variable.Si hay ms de dos "trminos exponenciales", seguiremos los siguientes pasos:1) Dejaremos todos los trminos en funcin de una potencia de la forma 2) Se realiza el cambio de variable ax ,=t , tras el cual resultar una ecuacin no exponencial.2) Se resuelve la ecuacin resultante.3) Deshacemos el cambio de variable, resolviendo ecuaciones exponenciales del tipo 1.Ejemplo 13:a)

Tipo 3: No es de los tipos anteriores y se pueden aplicar logaritmos.Se deja en cada miembro un solo trmino y se aplican logaritmos.Ejemplo 14:a)b)

3.6. Ecuaciones con valor absoluto.Son ecuaciones en las que la incgnita se encuentra dentro de un valor absoluto. Seguiremos los siguientes pasos:1) La expresin valor absoluto se asla en uno de los miembros de la ecuacin.2) Aplicaremos la siguiente propiedad: Si = n , por lo que tenderemos dos posibles soluciones.3) Si resulta que aparecen incgnitas fuera del valor absoluto, las soluciones de las ecuaciones planteadas debern ser COMPROBADAS porque slo sern correctas en determinadas condiciones, es decir: Si = g(x) Ejemplo 15:a) c) b) d)

4. SISTEMAS DE ECUACIONES.

4.1. Sistemas no lineales.Son sistemas de ecuaciones no lineales todos aquellos que contienen al menos una ecuacin no lineal, es decir, una ecuacin que no es polinmica de 1er grado.1) La forma ms eficaz para resolverlos es mediante el mtodo de sustitucin en la mayora de los casos. Para ello se despejar una de las incgnitas de la ecuacin que resulte ms sencilla en su despeje y se sustituir en la otra, u otras.2) En el caso de que aparecieran expresiones logartmicas o exponenciales se tratara de simplificar estas, usando propiedades, de forma que pudieran transformarse en ecuaciones polinmicas, al eliminar bases o logaritmos.Ejemplo 16:a) d) b) e) c) f)

4.2. Sistemas de ecuaciones lineales. Discusin.Un sistema de m ecuaciones lineales con n incgnitas es un conjunto formado por m igualdades de la forma:

donde los aij son los coeficientes, los bi los trminos independientes y las xi son las incgnitas. Resolver un sistema es encontrar todas sus soluciones. La solucin de un sistema es una n-upla ( s1, s2, s3, sn ) que verifica todas las ecuaciones del sistema. Dependiendo de sus soluciones, los sistemas lineales se clasifican en: COMPATIBLES DETERMINADOS: si tienen una nica solucin. COMPATIBLES INDETERMINADOS: si tienen infinitas soluciones. INCOMPATIBLES: si no tienen solucin. Observacin: A aquellos sistemas que tienen todos sus trminos independientes nulos (es decir, bi = 0) se les denomina sistemas HOMOGNEOS y tienen la propiedad de ser compatibles ya que una de sus soluciones ser: x1 = 0, x2 = 0 , , xn =0Ejemplo 17: a) b) Discutir un sistema consiste en averiguar el nmero de soluciones que va a tener. Es decir, clasificarlo en uno de los tipos anteriores.Ejemplo, el sistema es un sistema de dos ecuaciones lineales y en su resolucin comprobamos que resulta ser compatible determinado. La solucin del mismo es la 2-upla (3, 2).Si representamos las dos rectas que contiene el sistema stas se cortan en un punto que coincide con la solucin anteriormente indicada.En general, la resolucin de un sistema nos permitir encontrar soluciones pero tambin interpretar la "informacin til" que aportan las ecuaciones. De ah se deriva que el estudio de sistemas est "ligado" a la discusin" de los mismos, que no es otra cosa que interpretarlos. En nuestro ejemplo de dos ecuaciones con dos incgnitas:1) Cuando un sistema es compatible determinado las rectas son secantes.2) Cuando es compatible indeterminado hay infinitas soluciones. De ello se entiende que estamos ante dos rectas coincidentes y todos sus puntos comunes. En el ejemplo tenemos un sistema de dos ecuaciones pero realmente hay una nica recta. La segunda es una ecuacin equivalente a la primera. De ah que slo tengamos una ecuacin con "informacin til" para la resolucin. Y por tanto la solucin en una recta que contienen infinitos puntos (compatible indeterminado). En la resolucin de estos sistemas aparecer una identidad o ecuacin trivial, que como sabemos es una ecuacin vlida para todo nmero real (0 = 0).3) En el caso en que el sistema es incompatible las rectas son paralelas. No hay solucin, puesto que no hay puntos comunes. En la resolucin del sistema nos aparecer una ecuacin absurda (0 = 7).

Ejemplo 18:a) b) c) 4.3. Mtodo de Gauss.Este mtodo se denomina de triangulacin o de cascada. Consiste en ir eliminando incgnitas de cada una de las ecuaciones que se proponen de forma que al final se tendr una ecuacin con tres incgnitas, otra con dos y una ltima con una incgnita. Finalmente se resuelve el sistema de forma escalonada. Es una derivacin del mtodo de reduccin. Cmo llegar a esta disposicin triangular?1) Elegimos como 1 ecuacin y 1 incgnita la ms "conveniente".2) "Reducimos" (eliminamos por reduccin) la 1 incgnita del resto (2, 3, etc) de ecuaciones.3) "Reducimos" (eliminamos por reduccin) la 2 incgnita del resto (3 y sucesivas) de ecuaciones.3) "Resolvemos en orden inverso: primero la ltima ecuacin, despus la penltima, etc.Ejemplo 19:a) b) c) DISCUSIN POR GAUSS.Si aplicando el mtodo de Gauss (u otro) obtenemos:1) Una ecuacin absurda (0 = 5), el sistema ser incompatible pues una de las ecuaciones, la absurda, no puede verificarse.2) Si lo que obtenemos es una ecuacin trivial o identidad (x+7 = x+7 , 0=0), esa ecuacin se puede suprimir pues no aporta ninguna informacin.3) Si, finalmente, el nmero de ecuaciones no triviales (ecuaciones tiles) coincide con el nmero de incgnitas, entonces el sistema ser compatible determinado.4) Si el nmero de ecuaciones no triviales (ecuaciones tiles) es menor que el nmero de incgnitas entonces el sistema ser compatible determinado. Las soluciones se expresarn en un funcin de un parmetro, que podr tomar cualquier valor real. Ejemplo: x = , y = , Por tanto, para que un sistema de n ecuaciones con n incgnitas tenga solucin nica todas las ecuaciones que aparecen tienen que ser tiles, es decir, debe haber tantas ecuaciones tiles ("informaciones") como nmero de incgnitas.Cuando se nos plantea un sistema lineal no conocemos si alguna de las ecuaciones es equivalente a otra o combinacin lineal de las mismas. En el ejemplo , la tercera de las ecuaciones es suma de las dos primeras. En qu se traduce esto? En que la tercera ecuacin no aporta informacin pues las relaciones entre las incgnitas ("informacin til") que ofrecen las dos primeras son de nuevo recogidas en esta tercera ecuacin, por tanto la tercera ecuacin no es til. Si tengo ms incgnitas que ecuaciones "tiles", como en este caso, el sistema ser compatible indeterminado y tendremos infinitos "tros" (x, y, z), de soluciones.Si una de las ecuaciones ofrece una relacin entre las incgnitas que es incoherente frente a las otras "relaciones", nos aparecer una ecuacin absurda u se traducir en que el sistema ser incompatible.5. INECUACIONES.Una inecuacin es una desigualdad entre expresiones algebraica. Una solucin de una inecuacin es un valor numrico de cada una de las incgnitas para los que se verifica dicha desigualdad. Resolver una inecuacin es obtener "todas" sus soluciones. Habitualmente tienen infinitas soluciones que se agrupan en intervalos de la recta real (una incgnita), regiones del plano (dos incgnitas), etc. 5.1. Inecuaciones de primer grado con una incgnita.Una inecuacin de primer grado con una incgnita es una expresin que puede reducirse a la forma: ax + b < 0 , donde a 0 y el operador < puede ser , > .La resolucin de estas ecuaciones es sencilla:1) Se opera igual que en las ecuaciones salvo los productos y cocientes con nmeros negativos, que hacen que la inecuacin cambie de sentido.2) Se despeja la incgnita y se ofrece la solucin en forma de intervalo.Ejemplo 20:

5.2. Inecuaciones de segundo grado con una incgnita.Una inecuacin de segundo grado con una incgnita es aquella que puede reducirse a la forma o expresin: ax2 + bx + c < 0, donde a 0 y el operador < puede ser , > .Nota: Siempre que resolvamos una inecuacin de 2 grado trabajaremos con el coeficiente "a" positivo. De tal manera que si no es as, se recomienda cambiar su signo y con ello el sentido de la desigualdad.Para resolver este tipo de inecuaciones seguiremos los siguientes pasos:1) Factorizar el polinomio de 2 grado (si no se puede factorizar, es que es un factor irreducible y se establece como "factor" el polinomio dado)2) Construir los intervalos de la recta real, situando las races del polinomio entre . Si el polinomio no pudo ser factorizado el intervalo ser toda la recta real ()3) Determinar el signo en cada intervalo. Para ello se escoge un valor de cada intervalo, se sustituye en el polinomio y se toma el signo resultante.4) Tomar como solucin los intervalos cuyo signo pida la inecuacin.5) Tener en cuenta si en esos intervalos deben estar presentes o no los extremos.Ejemplo 21:

5.3. Inecuaciones de grado 3. Inecuaciones racionales.Para resolver estas inecuaciones se elabora una tabla de signos de la forma siguiente:1) Reduciremos la inecuacin a la expresin axn +bxn1 + >0 y en el caso de la fraccin,

2) Factorizar el polinomio o factorizar numerador y denominador si la inecuacin es una fraccin algebraica.3) Construir la tabla disponiendo todos los factores por filas a la izquierda y las races por columnas de menor a mayor entre . Si algn polinomio no puede ser factorizado se incluir como tal en las filas sin aadir raz alguna a las columnas, como es obvio.4) Determinar el signo de cada factor en cada intervalo. 5) Determinar el signo de los productos finales.6) Tomar como solucin los intervalos del signo que pida la inecuacin teniendo en cuenta que, en el caso de fraccin, las races que anulan el denominador NUNCA sern incluidas en la solucin, pues no existe la divisin cuando el divisor es 0.Ejemplo 22:

6. SISTEMAS DE INECUACIONES.6.1. Sistemas de inecuaciones de una incgnita.La solucin es el conjunto de valores que VERIFICAN todas las inecuaciones o desigualdades. Los pasos a seguir sern los siguientes:1) Se resuelve cada inecuacin del sistema por separado, obtenindose como solucin de cada una de ellas un subconjunto de la recta real. Se representan cada una de las soluciones en una misma recta.2) La solucin del sistema es la interseccin de todos estos subconjuntos. Podemos encontrarnos con diferentes situaciones, algunas de ellas analizaremos a continuacin:Ejemplo 23: 6.2. Sistemas de inecuaciones con dos incgnita.En el caso de que las inecuaciones que componen el sistema tengan dos incgnitas, la solucin es la regin del plano obtenida como interseccin de las regiones de cada una de las inecuaciones. El estudio de todas las posibilidades puede ser muy complicado y por ello nos limitaremos a sistemas con dos ecuaciones definidas por polinomios de grado 1 2.Los pasos a seguir sern:1) Se representan las funciones definidas por las inecuaciones (igualadas a cero).2) Se toman o descartan las regiones soluciones probando algn punto del plano y comprobando si verifica o no la inecuacin.3) La solucin del sistema ser la regin que sea comn de todas las inecuaciones.Ejemplo 24:7. PROBLEMAS.Algunos consejos para su correcta resolucin:1) Leer el problema completo e identificar datos e incgnitas, distinguiendo entre unos y otras.2) Expresar algebraicamente, mediante ecuaciones, la relacin existente entre los datos.3) Simplificar las ecuaciones para que stas queden expresadas de la forma ms cmoda posible antes de ser operadas. Es decir, eliminar decimales, fracciones, parntesis, etc.4) Resolver el sistema por el mtodo ms eficaz.5) Comprobar si los resultados son vlidos en el contexto del problema. OJO!: no se trata de comprobar si las soluciones verifican el sistema (podra estar bien calculado pero mal planteado), sino si cumplen las condiciones del enunciado.FIN9