Syllabus Ecuaciones Diferenciales 2 2015

MAT 208 Ecuaciones Diferenciales 1

SYLLABUS

1. Información General

CODIGO MAT-208

ASIGNATURA Ecuaciones Diferenciales

CREDITOS 4,5

REQUISITOS MAT 102; MAT 113

FACULTAD DE ORIGEN - Sede Ingeniería y Ciencias

DISTRIBUCIÓN HORARIA 3.75 hrs. clases/semana 1.25 hrs. ejercicios/semana

PROFESOR Manuel Fuenzalida

CORREO [email protected]

AYUDANTE

CORREO

ATENCIÓN A ALUMNOS

SEMESTRE Y FECHA 2-2015

2. Introducción

Este curso es una introducción moderna a las Ecuaciones Diferenciales. En él se desarrollarán los conceptos fundamentales de esta disciplina, así como las habilidades básicas necesarias para su aplicación.

Es difícil encontrar áreas más aplicadas en la matemática que las ecuaciones diferenciales, además de ser fundamentales en el desarrollo de otras partes de la Matemática, están presentes en la Física, Biología, Economía y muchas otras ciencias formando parte esencial de sus modelos.

A medida que el curso avanza se irán desarrollando aplicaciones de los conceptos

y de los procedimientos a situaciones reales, modelando desde problemas simples como el cambio de la temperatura de una taza de café hasta situaciones más complejas que conducen a sistemas de Ecuaciones Diferenciales de primer

orden.

Durante el curso se dan las herramientas para estudiar y resolver algunas ecuaciones Diferenciales Lineales de orden superior.


Se estudia además con todo detalle la técnica de la Transformada de Laplace, utilizada entre otras cosas para resolver por ejemplo problemas relacionados con

electricidad.

Se utilizan las series de potencias para resolver algunas ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables y para introducir las funciones de Bessel, que aparecen al modelar problemas aplicados.

En el curso también se presentan las series de Fourier para modelar funciones

periódicas y se utilizan las series de Fourier generalizadas para desarrollar funciones periódicas y resolver Ecuaciones Diferenciales Parciales utilizando el método de separación de variables.

Es importante que el alumno cuente con algún software de trabajo en matemáticas y tendrá a su disposición Maple o Matlab, que le ayudará en los cálculos y le permitirá explorar cada tema y descubrir mucho por sí mismo.

El trabajo que realice fuera de clase le ayudará a comprender de mejor forma

los temas de cada clase, por eso es fundamental que realice las actividades asignadas, haga los ejercicios de la sección indicada, revise sus respuestas y

pida ayuda si es necesario, es decir asista a las horas de atención a estudiantes.

Tenga claro que muchos de los conceptos y técnicas del curso requieren una base sólida de cálculo diferencial e integral y terminología de álgebra lineal que

el alumno utilizará fuertemente en el trabajo del curso, por lo que una buena preparación en los cursos anteriores es necesaria para abordar el curso con seguridad.

3. Objetivos

1. Aplicar diferentes métodos para resolver ecuaciones diferenciales de

primer orden. Procedimiento cualitativo (campos de direcciones),

Procedimiento Analítico (separación de variables, lineales de primer orden, exactas, cambios de variables). Procedimiento numérico

(Métodos de Euler y Runge-Kutta).

2. Analizar problemas de existencia y unicidad de soluciones.

3. Plantear y resolver problemas de aplicación simples utilizando

procedimientos analíticos. Analizar e interpretar las soluciones obtenidas.

4. Determinar el operador diferencial asociado a una ecuación diferencial lineal de orden n.


5. Identificar problemas de condición inicial y de borde, analizar existencia y unicidad en ambos casos.

6. Resolver ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con

coeficientes constantes.

7. Aplicar los métodos de coeficientes indeterminados y variación de

parámetros, para determinar soluciones particulares de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas con coeficientes constantes.

8. Analizar problemas de vibraciones mecánicas, oscilaciones forzadas y

Resonancias.

9. Determinar el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden

asociado a una ecuación diferencial de orden n.

10.Aplicar el método de eliminación para resolver sistemas de primer

orden.

11.Resolver sistemas por el método de los valores propios y calculando exponenciales de matrices.

12.Utilizar series de potencias para resolver ecuaciones diferenciales.

13.Resolver sistemas lineales no homogéneos.

14.Calcular transformadas y transformadas inversas de funciones aplicando relaciones de traslación, fracciones parciales, convolución.

15.Aplicar la transformada de Laplace para resolver problemas de valor inicial y sistemas.

16.Desarrollar funciones utilizando series de Fourier.

17. Resolver problemas de Sturm-Liouville.

18.Desarrollar funciones en series de Fourier generalizadas.


4. Contenidos del Curso

1. Ecuaciones Diferenciales de primer orden

Modelado de situaciones simples. Existencia y unicidad, Soluciones numéricas de ecuaciones de Primer Orden.

Métodos de Euler y Runge-Kutta.

2. Ecuaciones Lineales de orden superior

Ecuaciones homogéneas y no homogéneas con coeficientes

constantes. Variación de parámetros, coeficientes indeterminados.

Ecuación de Cauchy-Euler. Problemas relacionados con sistemas masa resorte.

3. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

Reducción de ecuaciones a sistemas de primer orden, sistemas homogéneos, métodos de solución, eliminación,

valores propios. Sistemas no homogéneos.

4. Transformada de Laplace

Propiedades, transformadas elementales.

Traslaciones. Convolución, y Ecuaciones Integrales. "Función" delta.

Aplicaciones a la solución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales.

5. Resolución de ecuaciones diferenciales usando series de Potencias.

Solución alrededor de puntos ordinarios. Soluciones en series de potencias.

Soluciones cerca de puntos singulares. Ecuaciones de Bessel y de Legendre. Propiedades de las funciones de Bessel.

6. Funciones ortogonales y Series de Fourier

Conjuntos ortogonales de Funciones.

Series de Fourier, Convergencia de una serie de Fourier.

El problema de Sturn-Liouville.


Familias de Funciones ortogonales generadas por soluciones de ecuaciones diferenciales.

Series de Fourier generalizadas. Series de Fourier Bessel y de Fourier Legendre.

Clase Contenidos Problemáticas

y preguntas

Lecturas y

ejercicios

Unidad 1: Ecuaciones diferenciales de primer orden

1

Presentación del curso.

Definiciones y terminología:

Definición de una ecuación diferencial, clasificación por tipo, por orden, por linealidad. Solución de una EDO, intervalo de definición, soluciones explicitas e implícitas.

¿Qué es una

ecuación diferencial?

1.1

2 Problemas con valores iniciales .Teorema de existencia y unicidad, intervalo de existencia y unicidad.

¿Cuándo una EDO tiene una única solución que pasa por un punto (x0,y0)?

1.2

3

Curvas solución sin solución. Campos direccionales,

ecuaciones diferenciales de primer orden autónomas,

puntos críticos y su clasificación, solución de equilibrio, curvas solución, plano de fase y línea de fase.

¿Cómo se comporta una

solución cuando x tiende a infinito?

2.1

4 Ecuaciones diferenciales de variables separables, problemas con valores iniciales. Ecuaciones lineales de

primer orden, forma estándar, solución de una edo lineal

¿Cómo se resuelve una EDO de variables separables?

¿Cómo se resuelve una EDO de primer orden lineal?

2.2 y 2.3

5

Ecuaciones Exactas, definición, criterio para una

diferencial exacta, método de solución. Factores integrantes

¿Cómo se

resuelve una ED exacta?

2.4

6 y 7

Soluciones por sustitución: Ecuaciones Homogéneas, Ecuación de Bernoulli, ecuación de Riccati, Edo de la

forma 𝒅𝒚

𝒅𝒙= 𝒇(𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄),

¿Cómo se resuelve una

ED mediante una sustitución?

2.5

8 y 9

Modelos lineales: Crecimiento y Decaimiento, Vida

Media, Datado con carbono, Ley de enfriamiento de Newton, Mezclas. Modelos no lineales: Ecuación Logística,

¿Cómo utilizar

una edo para modelar y resolver un

3.1 y 3.2


problema aplicado?

10 y 11

Ecuaciones Lineales, teoría preliminar, problemas con valores iniciales, teorema existencia de una solución única. Ecuaciones Homogéneas, principio de superposición, dependencia e independencia lineal, Wronskiano, criterio para soluciones linealmente independientes, conjunto fundamental de soluciones,

solución general de ecuaciones homogéneas. Ecuaciones no homogéneas, solución general, principio de superposición de ecuaciones no homogéneas.

¿Cómo determinar un conjunto solución de una

EDO?

4.1

12 Reducción de orden, formula de Abel.

¿Cómo determinar la

solución general de una EDO homogénea de segundo orden conociendo una

solución?

4.2

13 Clase ajuste y consultas

PRUEBA 1 SABADO 12 DE SEPTIEMBRE

Objetivos a evaluar:

1) Aplicar el teorema de existencia y unicidad a un PVI de primer orden 2) Dibujar el plano de fase de una EDO autónoma y obtener información sobre el comportamiento a

largo plazo de una solución 3) Determinar la solución de una EDO de variables separables 4) Determinar la solución de una EDO de primer orden lineal

5) Determinar la solución de una ED exacta 6) Determinar la solución de una EDO de primer orden mediante una sustitución 7) Determinar la solución de un problema aplicado mediante una EDO de primer orden. 8) Determinar si dos soluciones de una EDO de segundo orden conforman un conjunto fundamental

de soluciones 9) Determinar la solución general de una EDO de segundo orden conociendo una solución

14 Ecuaciones lineales con coeficientes constantes, ecuación auxiliar, raíces reales y distintas, reales e iguales, complejas y conjugadas.

¿Cómo determinar la solución general de una

EDO homogénea con coeficientes constantes?

4.3


15

Coeficientes indeterminados, método de superposición ¿Cómo determinar la

solución de una EDO no homogénea con coeficientes constantes?

4.4

16 Variación de parámetros

¿Cómo determinar la solución de una EDO no homogénea? Caso general

4.6

17 Ecuación de Cauchy-Euler, homogénea y no homogénea.

¿Cómo se resuelve una ED de Cauchy-Euler?

4.7

18 Solución de sistemas de EDO lineales por eliminación

¿Cómo se resuelve un sistema de EDO lineales?

4.8

19 y 20

Sistemas masa resorte. Movimiento libre no

amortiguado, Forma sinusoidal. Movimiento libre amortiguado: caso sobre amortiguado, críticamente

amortiguado, subamortiguado. Movimiento Forzado.

¿Cómo es el comportamiento de un sistema

masa resorte en el tiempo?

5.1

21 Transformada de Laplace, definición, transformadas de funciones básicas

¿Qué es la transformada de Laplace?

7.1

22 Condiciones suficientes para la existencia de la transformada, orden exponencial, comportamiento de la

transformada de Laplace a largo plazo.

¿Cuándo una función tiene transformada de Laplace?

7.1

23 Transformadas inversas y transformadas de derivadas

¿Cómo se obtiene la transformada

de una derivada?

7.2



PRUEBA 2 SABADO 24 DE OCTUBRE


1) Determinar la solución general de una ecuación homogénea con coeficientes constantes

2) Aplicar el método de coeficientes indeterminados para determinar una solución particular

3) Aplicar el método de variación de parámetros para determinar una solución particular

4) Determinar la solución general de una ED de Euler Cauchy no homogénea

5) Determinar la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales mediante eliminación y sustitución

6) Modelar un sistema masa resorte planteando la ecuación diferencial del movimiento, su solución e

interpretación.

7)Determinar la transformada de Laplace de una función

8)Determinar la transformada de Laplace Inversa de una transformada.

25 y 26

Propiedades operacionales I: primer teorema de traslación y su forma inversa, función escalón unitario, segundo teorema de traslación

¿En que influye una función exponencial?

7.3

27 y 28

Propiedades operacionales II: derivada de una transformada, transformada de integrales, convolucion, teorema de convolucion y su forma inversa. Transformada de una función periódica. Delta de Dirac y

su transformada.

¿Cómo se obtiene la transformada de una función

periódica?

7.4

29 Solución de ecuaciones lineales mediante series: definición de forma estándar, puntos ordinarios y singulares, funciones analíticas.

¿Cómo se determina la solución de una EDO mediante series?

6.1

30

Teorema de existencia de soluciones en series de

potencias, determinación de una solución en serie de potencias.

¿Cuándo es posible determinar una solución mediante series?

6.1

31

Solución en torno a puntos singulares: definición de puntos singulares regulares e irregulares. Teorema de Frobenius

¿Es posible obtener una solución en serie de

potencia en torno a un punto singular?

6.2

32 y 33 Ecuación Indicial, los tres casos: raíces distintas y la diferencia no es un entero, raíces distintas y la diferencia es un entero, raíces iguales. Ejemplos

¿Cuál es la forma de la

solución en cada caso?

6.2


34 y 35

Ecuación de Bessel, solución, funciones de Bessel de primera y segunda clase. Ecuaciones resolubles en

términos de funciones de Bessel (ecuación paramétrica de Bessel)

¿Cómo son las soluciones de la

ecuación de Bessel?

6.3

36 y 37

Funciones ortogonales y series de Fourier: producto interno de funciones, funciones ortogonales, conjunto

ortogonal, conjunto ortonormal, función peso, desarrollo en series ortogonales , serie de Fourier generalizada,

¿Cuándo dos funciones son ortogonales?

11.1

38 y 39 Serie de Fourier Trigonométrica en un intervalo simétrico, convergencia de una serie de Fourier. Extensión periódica, serie senoidal, serie cosenoidal.

¿Cómo se determina la serie de Fourier

de una función?

11.2 y 11.3


PRUEBA 3 VIERNES 27 DE NOVIEMBRE


Resolver ecuaciones diferenciales aplicando transformada de Laplace y sus teoremas de traslación y propiedades operacionales

Clasificar puntos ordinarios y singulares de una EDO

Resolver una EDO mediante series de potencias en torno a un punto ordinario

Resolver una Edo mediante el método de Frobenius en torno a un punto singular regular

Determinar la forma de la solución de una EDO en torno a un punto singular regular mediante el método

de Frobenius

Determinar la solución de una EDO mediante funciones de Bessel

Determinar si un conjunto de funciones constituye un conjunto ortogonal de funciones

Determinar la serie de Fourier de una función en términos de un conjunto ortogonal de funciones

Determinar la serie de Fourier trigonométrica de una función

Determinar la serie de Fourier senoidal o cosenoidal de una función haciendo una extensión

Aplicar el teorema de convergencia puntual

41 y 42

Problema de Sturm-Liouville : determinación de

funciones propias y valores propios, forma autoadjunta, propiedades del problema de Sturm Liouville regular.

¿ compo se

determinan las funciones propias y valores propios de un problema de Sturm

Liouville?

11.4


5. Metodología docente

Las actividades docentes se desarrollan en dos ámbitos: la Cátedra y la

Ayudantía. En la Cátedra las clases estarán orientadas a discutir las diferentes ideas y

conceptos del curso incorporando en lo posible la participación de los alumnos a través de preguntas que permitan interacciones en clase conducentes a una

comprensión efectiva. Se utilizarán ejemplos ilustrativos de los temas y se discutirán las ideas involucradas en la demostración de los teoremas fundamentales.

La Ayudantía se centra en el desarrollo de habilidades para el tratamiento de los problemas del curso y en sus aplicaciones concretas. Los alumnos deberán trabajar individualmente en ejercicios seleccionados del texto guía con dificultad

gradual y se enfatizará en las técnicas de resolución de problemas, aclarando las dudas que surjan.

7. Evaluación de aprendizaje y reglamento

El curso contempla tres tipos de evaluaciones: Pruebas de Cátedra y Controles de

Ayudantía

Se realizarán tres pruebas de cátedra y tres controles de ayudantía.

Cada prueba de cátedra (P1, P2, P3) tiene una ponderación del 25% y el promedio de

los tres controles de ayudantías (C) tiene una ponderación del 25% restante.

Esto da origen a una nota de presentación (NP) para examen que se calcula por:

NP=0.25*P1+0.25*P2+0.25*P3+0.25*C

El equipo de profesores de la asignatura determinará una nota de eximición (NE). Esta

nota debe ser mayor o igual a 5,0 y sujeta a la condición de que se exime solo el 10%

de los alumnos de la asignatura.

El examen es de carácter global y tiene como objetivo evaluar una síntesis de los

principales contenidos cubiertos por el curso.

Si la nota de presentación (NP) es mayor o igual a la nota de eximición (NE), entonces

el alumno quedará eximido del examen y su nota final (NF) será su nota de presentación

(NP). En caso contrario el alumno deberá rendir el examen (EX) con ponderación 30%,

lo que dará origen a la nota final calculada de la manera siguiente:

NF=0.7*NP+0.3*EX

Aprobarán el curso todos los alumnos con nota final (NF) mayor o igual a 4,0.


Los alumnos eximidos que así lo deseen podrán rendir el examen debiendo asumir la

calificación que obtengan en él, cualquiera que ésta sea.

Todos los alumnos que rindieron el examen y su nota final (NF) es mayor o igual a 3,5

y menor o igual a 3,9, tienen derecho a rendir un segundo examen, con la posibilidad

de aprobar con nota 4,0 o reprobar con nota final (NF).

Si el alumno faltó a un control de ayudantía, la nota del control será reemplazada por la

nota de la prueba correspondiente, siempre y cuando haya justificado ante pregrado y

la justificación sea aceptada. En caso contrario la nota del control será 1,0.

Si el alumno faltó a una prueba de cátedra, la ausencia debe ser justificada ante

pregrado, quienes autorizarán a que la nota de la prueba sea reemplazada por la nota

del examen (EX).

Todos los alumnos que rindieron las tres pruebas de cátedra podrán reemplazar la nota

de una de ella por la nota del examen (EX) siempre que ésta sea al menos 4,0.

Si un alumno tiene un 1,0 por copia, esta nota no se reemplaza por la nota del

examen.

Una vez hecho esto, se procederá a recalcular las notas como está descrito en los

párrafos anteriores, manteniendo el promedio de controles (C) antes calculado.

En caso de ausencia justificada y aceptada por pregrado al examen, el alumno deberá

presentar el segundo examen. Este examen cumple para el alumno la función del primer

examen.

Cualquier situación especial que no esté contenida en este reglamento deberá ser

conocida y resuelta por la Secretaría de Pregrado. Si un alumno excede las ausencias a

evaluaciones (pruebas de cátedras, controles de ayudantía o examen) previstas en este

reglamento, deberá presentar su situación debidamente justificada ante la Secretaría de

Pregrado, donde se decidirá el procedimiento extraordinario a seguir.

Las fechas de las evaluaciones a realizar durante el semestre son las siguientes: Pruebas de Cátedra:

Prueba 1 : Sábado 12 de septiembre

Prueba 2 : Sábado 24 de octubre Prueba 3 : Viernes 27 de noviembre

Controles de Ayudantía:

Control 1 : Semana del 24 de agosto Control 2 : Semana del 5 de octubre

Control 3 : Semana del 9 de noviembre

Las evaluaciones corregidas se entregarán en un máximo de 2 semanas después de rendida la prueba en la fecha que indique el profesor. No habrá otra instancia


de entrega, por lo que es responsabilidad del alumno recuperar su prueba en esa fecha. Las pautas de corrección de las evaluaciones serán publicadas en

webcursos antes de esta fecha, solo en ese momento el alumno podrá solicitar recorrección de su evaluación. Los resultados de estas recorrecciones se

publicarán en webcursos. La copia o plagio en talleres, controles, pruebas o examen se considera una falta

grave y será sancionada drásticamente.

Conforme al código de honor de la UAI: “El alumno que sea sorprendido usando o intentando utilizar procedimientos

ilícitos durante el desarrollo de interrogaciones o en la realización de trabajos, será calificado con la nota mínima uno (1.0) en dicha interrogación o trabajo. En

caso de reincidencia en el transcurso de sus estudios, se aplicarán sanciones adicionales, las que podrán llegar hasta su eliminación de la Universidad”.

6. Bibliografía

TEXTO GUIA

Dennis G. Zill Michael R. Cullen, Ecuaciones diferenciales con

problemas de valores en la frontera, Séptima edición, Thomson

Learning, 2009.

Bibliografía complementaria

1. P. Blanchard, R.L. Devaney, G.L. Hall, Ecuaciones Diferenciales,

International Thomson Editores, 1999.

2. C.H. Edwards & D.E. Penney, Ecuaciones Diferenciales, Segunda Edición,

Prentice Hall, 2000.

3. Haberman Richard, Elementary Applied Partial Differential Equations, Third Edition, Prentice Hall, 1998.

4. E. Kreyszyg, Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999.

5. George F. Simmons, Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones y notas

Históricas, segunda edición,Mc-Graw Hill, 1993.

6. G. Zill, Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado, Thomson

Learning, 2001.

Syllabus Ecuaciones Diferenciales 2 2015

Documents

Transcript of Syllabus Ecuaciones Diferenciales 2 2015