Sucesiones y series

Sucesión:

Es un conjunto de términos formados por  una ley o regla determinada. Es conjunto es una función cuyo dominio son los números enteros positivos (Z+).

Para simbolizar un término general se utiliza la letra a ó s, y las variables con la letra minúscula n.

Ejemplos:

Serie:

Es la sumatoria de una sucesión

Ejemplos:

1.Tipos de series

Serie Geométrica:Es aquella serie cuyo término de formación es:

¨donde: a es una constante r  es la base¨  

Criterios para la serie:

Si |r| < 1 la serie converge, entonces se aplica la siguiente fórmula para determinar el valor de la convergencia.

  

Si |r| > 1 la serie diverge.

Serie Armónica:Es aquella serie cuyo término de formación es:

Siempre diverge

Serie alternada

Una serie alternada es aquella cuyos términos son alternativamente positivos y negativos. Ejemplo:

Serie de potenciasDefinición

Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:

Una serie de potencias alrededor de x=c es una serie de la forma:

En el cual el centro es c, y los coeficientes son los términos de una sucesion.

Ejemplos

La serie geométrica es una serie de potencias absolutamente convergente si y

divergente si ó

La serie de potencias es absolutamente convergente para todo

La serie de potencias solamente converge para

Serie telescópica

Una serie telescópica es la suma  , donde . Se representa de la siguiente manera:

SERIE DE TAYLOR

 

¿Qué es?

La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función.

¿Para que sirve?

La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.

Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en numero de términos que ha de incluir la aproximación.

Pueden resolver por aproximación funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas etc...

¿Cómo funciona?

La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras mas operaciones tenga la serie mas exacto será el resultado que se esta buscando. Dicha ecuación es la siguiente:

o expresado de otra forma

Donde n! es el factorial de n

F(n) es la enésima derivada de f en el punto a

 Como se puede observar en la ecuación, hay una parte en la cual hay que desarrollar un binomio (x-a) n

por lo que para simplificar el asunto se igualara a "a" siempre a 0. Para fines prácticos no afecta mucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en la serie.

 

Teorema de Taylor: Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a a y a x, entonces el valor de la función en un punto x está dado por:

La expansión en series de Taylor de n-ésimo orden debe ser exacta para un polinomio de n-ésimo orden. Para otras funciones continuas diferenciables, como las exponenciales o sinusoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de términos.  El valor práctico de las series de Taylor radica en el uso de un número finito de términos que darán una aproximación lo suficientemente cercana a la solución verdadera para propósitos prácticos.  ¿Cuántos términos se requieren para obtener una “aproximación razonable”? La ecuación para el término residual se puede expresar como:

Significa que el error de truncamiento es de orden hn+1. El error es proporcional al tamaño del paso h elevado a la (n+1)-ésima potencia.

 

Existen series de Taylor para:

Función exponencial

Logaritmo natural

Serie Geométrica

Teorema del binomio

Funciones trigonométricas:

Seno Coseno Tangente Secante Arco seno Arco tangente

Funciones hiperbólicas:

Senh Cosh Tanh Senh-1 Tanh-1

Función W de Lambert

Error de Propagación:

Supóngase que se tiene una función f(u). Considere que ũ es una aproximación de u (ũ = u+h, con h tamaño de paso). Por lo tanto, se podría evaluar el efecto de la discrepancia entre u y ũ en el valor de la función.

Si u es cercana a ũ y f(u) es continua y diferenciable:

Estabilidad y Condición:

La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los cambios en los datos de entrada.

Un cálculo es numéricamente inestable si la incertidumbre de los valores de entrada aumentan considerablemente por el método numérico.

Usando la serie de Taylor de primer orden:

Estimando el error relativo de f(x) como en:

El error relativo de x está dado por:

Un número condicionado puede definirse como la razón de estos errores relativos:

Número Condicionado:

El número condicionado proporciona una medida de hasta qué punto la incertidumbre de x es aumentada por f(x):

Un valor de 1 nos indica que el error relativo de la función es idéntico al valor relativo de x.

Un valor mayor que 1 nos indica que el error relativo es amplificado.

Un valor menor que 1 nos indica que el error relativo está disminuyendo.

Funciones con valores muy grandes nos dicen que están mal condicionados. El error numérico total es la suma de los errores numéricos de truncamiento y redondeo. Un camino para minimizar los errores de redondeo es incrementar el número de cifras significativas de la computadora. El error de truncamiento puede reducirse con un tamaño de paso más pequeño. Los errores de truncamiento pueden ser disminuidos cuando los de redondeo aumentan. No hay forma sistemática y general para evaluar el error numérico para todos los problemas.La estimación se basa en la experiencia y buen juicio del ingeniero.

Evitar la resta de dos números casi iguales reordenando o reformulando el problema.

Aritmética de precisión extendida.

Clasificarlos y trabajar primero con los números más pequeños.

Para predecir el error numérico un buen camino es emplear la Serie de Taylor. Por último, se deben repetir los experimentos numéricos modificando el tamaño de paso y comparando los resultados.

A continuación se mostrará algunos ejemplos usando las serie de Taylor con las funciones e, seno y coseno.

Función e

Se puede aplicar la ecuación de las series de Taylor como mas sencillo le resulte a cada quien, una de tantas formas la explicare aquí.Lo primero que se hace es derivar unas 3 o 4 veces la función, esto porque algunas funciones empiezan a tener un patrón repetitivo después de cierto numero de derivaciones, como la función e.Después se tiene que sustituir "a" en cada una de las derivadas, pero como se decidió que "a" era 0 se sustituye un 0 en cada derivada y se observa que resultados da.

Esto de sustituir en cada derivada es solo para simplificar la ecuacion de la serie y para darnos una idea de como se comporta la funcion.Una vez que se tiene una idea del comportamiento de la funcion se puede ir empezando a armar la ecuación de la serie

Con las primeras operaciones que se hicieron al principio se puede ver como se ira llenando la serie mientras mas elementos se le agreguen para que el resultado sea mas preciso.

Todo esto fue para ver como es la serie de la funcion e, ahora para conocer algun resultado simplemente se sustituye en donde quedaron las x y ya esta, por ejemplo

 

Función Logaritmo natural

para todo |x| < 1 y cualquier a complejo 

Función Seno

En el caso de la función seno el procedimiento que se sigue es el mismo.Primero se deriva varias veces la funcion y se sustituye "a" o sea 0 en cada derivada:

Aquí si se puede observar como comienza a ser repetitivo después de la tercera derivada.

para todo x

Ahora se puede formar la serie de Taylor observando el patrón:

Por lo tanto se puede hacer una serie para todos los casos

Función Coseno

Para el coseno el procedimiento es el mismo.Primero se deriva varias veces la función y se sustituye en valor de "a" en cada una para observar el patrón.

 

Despues se va llenando la serie de Taylor para despues hacer una ecuacion general:

Por ultimo se desarrolla la ecuacion general para cualquier caso:

 

2.Criterios de convergencia

Condición necesaria para la convergencia

Teorema

Es condición necesaria para que la serie sea convergente, que

Nota: Este criterio es necesario pero no suficiente, es decir que, si el término n-ésimo tiende a 0, no se puede afirmar que la serie sea convergente.

Condición suficiente

Para que una serie sea divergente, una condición suficiente es que .

Esta afirmación es muy útil, ya que nos ahorra trabajo en los criterios cuando el límite es distinto de cero.

Criterio de Alembert o Criterio del Cociente

Sea una serie , tal que ak > 0 ( serie de términos positivos).

Si existe  con , el Criterio de D'Alembert establece que:

• si L < 1, la serie converge.

• si L > 1, entonces la serie diverge.

• si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie. En este caso, es necesario probar otro criterio.

Criterio de la raíz o de Cauchy

Sea una serie , tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe

, siendo

Entonces, si:

• L < 1, la serie es convergente.

• L > 1 entonces la serie es divergente.

• L=1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie. En este caso, es necesario probar otro criterio.

Criterio de Joseph Raaber

Sea una serie , tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y se supone que existe

, siendo

Por tanto, si L > 1, entonces la serie es convergente y si L < 1, la serie es divergente.

Criterio de la integral de Cauchy

Si la función f(x) es positiva, continua y decreciente en el intervalo [1, ∞) tal que f(n) = an para

todo n, entonces la serie y la integral impropia convergen o divergen simultaneamente.

Criterio de la integral Este criterio relaciona los conceptos de divergencia y convergencia de una integral impropia con los mismos de una serie infinita. Es para funciones continuas, no negativas y decrecientes.

Criterio de Leibniz

Una serie de la forma (con ) se llama alternada. Tal serie converge si se cumplen las siguientes condiciones:

a) para n par y n impar

b) La serie tiene que ser absolutamente decreciente es decir que:

Si esto se cumple, la serie es condicionalmente convergente de lo contrario la serie diverge.

Nota:Se debe descartar primero la convergencia absoluta de antes de aplicar este criterio, usando los criterios para series positivas.

Criterios de Comparación

Comparación Directa

La comparación directa es término a término y se aplican los   siguientes criterios:

               0≤an≤bn

1.- Si ∑b converge, entonces ∑a también converge2.- Si ∑a diverge, entonces ∑b también diverge

Comparación en el límite

Donde ∑b es convergente o  divergente.Criterios para la toma de decisión:si   l =0       para b convergente entonces a también converge.

     l = ∞    para b divergente entonces a también diverge.

     l= k       (es una constante) ´para b convergente o divergente, entonces a será  convergente o divergente.

Convergencia absoluta y condicional

Convergencia absoluta

Se dice que la serie es absolutamente convergente si la serie de sus módulos es convergente.

Convergencia condicional

Se dice que la serie es condicionalmente convergente si converge, pero la serie de

sus módulos , diverge.