Supervisión Jerárquica de Sistemas de Eventos Discreto _s

Repaso: Proyección Natural y Proyección Inversa

Capítulo 3

Jorge Bucio presentaciones SEDII 2010

Proyección NaturalProyección Natural* *

1 1 2 2 1 2 1 2Sea , donde y existe la posibilidad que L L⊆ Σ ⊆ Σ Σ = Σ ∪ Σ Σ ∩ Σ ≠ ∅

* *

* *

La proyección natural se define como un mapeo de sobre :

: con 1,2i

i iP iΣ Σ

Σ → Σ =

( )Con la regla:

iP ε ε=

( ) si si

iiP

ε σσ

σ∉Σ

=

( ) ( ) ( ) *

i

P s P s P s

σ

σ σ σ

⎧ ⎫⎨ ⎬∈Σ⎩ ⎭

= ∈Σ ∈Σ La proyección natural es catenativa( ) ( ) ( ) , i i iP s P s P sσ σ σ= ∈Σ ∈Σ La proyección natural es catenativa


Ejemplo: Proyección NaturalEjemplo: Proyección Natural

{ } { } { }1 2Sea , con , , y ,L αβγαβ α β γ α β= Σ = Σ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } { }2 2 2 2 2 2 2

P L P P P P P Pαβγαβ α β γ α β αβεαβ αβαβΣ Σ Σ Σ Σ Σ Σ= = = =

Es un filtrado de transiciones que no pertenecen al alfabeto sobre el que se proyecta


Proyección InversaProyección Inversa

* *1 1 2 2 1 2 1 2Sea , donde y existe la posibilidad que L L⊆ Σ ⊆ Σ Σ = Σ ∪ Σ Σ ∩ Σ ≠ ∅

( ) ( )1 * *

La proyección inversa se define como un mapeo:

: con 1, 2i iP Pwr Pwr i− Σ → Σ =( ) ( )

( ) ( ){ }*

1 *

Sea

|iH

P H s P s H−

⊆ Σ

= ∈Σ ∈( ) ( ){ }|i iP H s P s H∈Σ ∈


Ejemplo: Proyección InversaEjemplo: Proyección Inversa

( ) ( ){ } { } { }*1Sea 12 donde 1,2 y 0,1, 2mL G = Σ = Σ =

{ }

( )( ) ( ) ( ){ }

*

* * * *

1 *

Algunas cadenas de

0 ,1 ,2 ,01,012,01020,010212,...

|P L G s P s L G−Σ Σ

Σ

Σ =

= ∈Σ ∈( )( ) ( ) ( ){ }

( ) ( )

1 1

1

*

*

|

Hacemos la proyección natural con algunas palabras del lenguaje

1. 0

2

m m

m

P L G s P s L G

P L Gε

Σ Σ

Σ

∈Σ ∈

Σ

= ∈

( ) ( )01 1P L G

( )( ) ( ) ( ){ }1 1

1 * |m mP L G s P s L G−Σ Σ= ∈ Σ ∈

2. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1

1

1

1

01 1

3. 012 12

4. 01020 12

5. 010212 1212

m

m

m

m

P L G

P L G

P L G

P L G

Σ

Σ

Σ

Σ

= ∉

= ∈

= ∈

= ∈

( )( )( )1

*1

*

| el 0 aparece intercalado cualquier Se concluye que

cantidad de veces en la secuencia 12m

sP L G−

Σ

⎧ ⎫∈Σ⎪ ⎪∴ = ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭


Ejemplo: Proyección InversaEjemplo: Proyección InversaSe puede concluir que:

( )( )1Si entonces el lenguaje que genera

puede ser representado como la MEF G con autolazos de todas las transiciones ii

i

P L G−ΣΣ ⊂ Σ

Σ − Σ

Si entonces se tiene la proyección identidadiΣ = Σ


Supervisión Jerárquica de Sistemas de Eventos Discretos

Capítulo 5


5.1 Estructura Jerárquica de Control5.1 Estructura Jerárquica de ControlDividir la acción de control según la amplitud de su horizonte temporal, o por la profundidad de su dependencia lógica.

Más profundidad en su dependencia lógicaMás profundidad en su dependencia lógicaHorizonte temporal más amplio

Más Jerarquía


5.1 Estructura Jerárquica de Control5.1 Estructura Jerárquica de Control

Chi Ghi

Infhi

Chi GhiConhi

InflohiComhilo

Clo GloInflo

Conlo

- es la planta de bajo nivel planta real a ser controlada por (operador)lo loG C⇒

- es la planta de alto nivel planta abstracta, versión simplificada de

hi loG G⇒

utilizada para tomar decisiones ideales por (administrador)hiC


5.1 Estructura Jerárquica de Control5.1 Estructura Jerárquica de Control

hies el canal de información que refresca a a partir de lohi loInf G G

Canales de Información:

hies e c de o c ó que e esc p de

- es el canal de información que provee retroalimentación de a su controlador

lohi lo

lo lo lo

nf G G

Inf G C

- es el canal de información de loCon control de C hacia

- es el canal de información que provee retroalimentación de a su controlador

lo lo

hi hi hi

G

Inf G C

- es el canal de información de control hacia

- establece la comun

hi hi

hilo

Con G

Com , traduce las señales de control de alto icación de C hacia Chi lohilo ,nivel a señales de bajo nivel que actúen sobre G a través de Con

El control ejercido por es "virtual": el comportamiento de G e

lo lo

hi lo

hi hiC stá determinado por el comportamiento de G a través del proceso de refresco de lo lohiInf


5.2 Control Jerárquico de dos niveles 5.2 Control Jerárquico de dos niveles Para lograr una estructura jerárquica consistente se impondrán requerimientos estrictos sobre la información en Inflohi

0Sea ( , , , , )Donde: - es el conjunto de estados.

lo mG Q q Q

Q

δ= ∑

*

j - .

- : Q x Q función parcialde transición- q es el estado inicial

u c

Q

δ

∑ = ∑ ∪ ∑

Σ → - q es el estado inicial. - Q conjunto de estados marcados

El comportamiento a la

o

m

o abierto de G es el leng ajeEl comportamiento a laz

( ) *

*

o abierto de G es el lenguaje

Consiste de una cadena para el cual la función de transición

lo

lo loL L G

s

= ⊆ Σ

∈ Σ*: Q x Q está definidaδ Σ →


5.2 Control Jerárquico de dos niveles 5.2 Control Jerárquico de dos niveles

hiGhiC

*L Tθ

lohiInf*: loL Tθ →


5.2 Control Jerárquico de dos niveles

Con las propiedades:

5.2 Control Jerárquico de dos niveles

( )

( ) ( )ss

θ ε ε

θθ σ

=

⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬( ) ( ) para algún

, Al mapeo se le refiere como causal:

lo

ss T

s L

θ σθ τ τ

σθ

⎨ ⎬∈⎪ ⎪⎩ ⎭∈ ∈Σ

( )Es conservativo a prefijos: si ' ( ) 's s s sθ θ≤ ⇒ ≤

θ puede ser usado para señalar la ocurrencia de un evento que dependede alguna manera del pasado histórico del comportamiento de loG


5.2 Control Jerárquico de dos niveles 5.2 Control Jerárquico de dos niveles Se combina y en una descripción unificada:loGθ

( ){ }

Se reemplaza el par , por una máquina de Moore con alfabeto de salida:

Donde es un nuevo símbolo

lo

o o

o

G

T T

θ

ττ

⇒

= ∪

símbolo de salida silenciT " "osa∉ ⇒o

0

Escribimos temporalmente:

( , , , , , )lo o mG Q T q Qδ= ∑∼ ∼ ∼ ∼ ∼

mapeo de salida de los estadoSea el :

:

s

ow Q T→∼

∼ se construye:loG

( ) * , ! sii , ! o oq s q s sδ δ⎛ ⎞ ∈Σ⎜ ⎟⎝ ⎠

∼ ∼

Así genera exactamente el lenguaje Llo loG∼



Para se define:w⎛ ⎞

0

Mientras si , ! entonces

o

o

w q

q s

τ

δ σ

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∼

∼ ∼

( ) ( ) , si o ow q s sδ σ τ θ σ θ

⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞

∼ ∼

, siow qδ σ τ⎛ ⎞⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∼ ∼

( ) ( )

devuelve el "símbolo silencioso" si devuelve "nada nuevo" de lo contrariod l l í b l T

o

s s

w

θ σ θ τ

τ θ

=

w devuelve el símbolo T

τ ∈



( )*

Para , ' se define s ' sii

'los s L s

L L

∈ ≡

∀ Σ( ) 'lo lou su L s u L∀ ∈Σ ∈ ⇔ ∈

( )

( ) ( ) ( )

Definimos : de acuerdo con:

si

lo o

o

o

w L Tw

s s

ε τ

τ θ σ θ

→

=

=⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬( ) ( ) ( )

( ) ( )

si ow s

s sσ

τ θ σ θ τ⎪ ⎪= ⎨ ⎬=⎪ ⎪⎩ ⎭

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )* *

Para , ' se define s ' sii ' y

, & ' ' 'lo

lo lo

s s L s w s w s

u t T su L s u L su s t s u s tθ θ θ θ

∈ ≡ =

⎡ ⎤∀ ∈Σ ∈ ∈ ∈ ⇒ = ⇔ =⎣ ⎦



Hasta ahora el conjunto de transiciones T de no admite una l ifi ió d l t t l bl i t l bl t á

hiGclasificación de los eventos en controlables o incontrolables, esto será remediado mas adelante.

Consideremos el siguiente ejemplo:

{ }{ }

0,1,2,3,4 , 0

0,1,2,3,4oQ q= =

Σ =

{ }, , oT oα β τ= =



loG { }{ }

0,1, 2,3, 4 , 0oQ q= =

α βo o o{ }{ }

{ }

0,1,2,3,4

, , o

o o

T o

T T

α β τ

τ

Σ =

= =

= ∪

Ejemplos mapeo :θ

hiG αα

( )( )( ) ( )

0

02 0

θ ε ε

θ ε ε

θ ε θ ε α α

=

=

= =

β( ) ( )( )( )

02 0

0214

02143

θ ε θ ε α α

θ ε αβ

θ ε αβα

=

=


5.3 ESTRUCTURA DE CONTROL DEL NIVEL ALTO

Refinaremos la descripción de y con el fin de equipart t d t l t l t l d l i l

NIVEL ALTO

hiGloG

Ga con una estructura de control, tal que un control del nivelalto observe solo los estados de pueda tomardecisiones de control.

hiGhiGhiC

Extendiendo los eventos del alfabeto clasificando los eventosen controlables e incontrolables.

T

Refiriéndonos al ejemplo anterior, para lograr esto, consideremosel árbol de alcanzabilidad de con estado inicial comol í

loL 0q =la raíz.


5.3 ESTRUCTURA DE CONTROL DEL NIVEL ALTONIVEL ALTO

Cada nodo del árbol se etiqueta con el valorCada nodo del árbol se etiqueta con el valorcorrespondiente

Que resulte del mapeo de salida de estados

{ }' , ,oT oτ α β∈ =

Que resulte del mapeo de salida de estadossalida ω y es llamado nodo-τ’

: donde N es el conjunto N Tω →

Nodo-τ’ con son silenciosos.' oτ τ=

de nodos del árbol de alcanzabilidad

Nodo-τ’ con son vocales{ }' ,Tτ α β∈ =



Una trayectoria silenciosa

NIVEL ALTO

Une dos nodos vocalesUne la raíz con un nodo vocal

Tiene la estructura:

Une la raíz con un nodo vocalLos nodos intermedios son silenciosos

Tiene la estructura:

El d l d l í d l á b l d lEl nodo inicial puede ser o la raíz del árbol o nodo vocal

Los nodos intermedios silenciosos pueden estar

n

, ', '', '''...s s s sausentes

es el nodo vocal donde finaliza el único camino silencioso'n



Tipo de trayectoria silenciosa:

NIVEL ALTO

Green PathTodas las transiciones son incontrolables.σ ∈Σ

Green Path

Red Path

si al menos una de las transiciones etiquetadas con es controlable.

σ ∈ Σ



Se colorea el nodo vocal

Green Pathsegún el tipo del camino silencioso correspondiente

Red PathRed Path

α

Red Pathα β

Green Path

Red Path

α

αJorge Bucio presentaciones SEDII 2010


{ } Se crea el alfabeto extendido partiendo de P d l dj í b l

ext ext oT TT

τ=

Para cada se le adjunta un nuevo símbolo:

si el nodo vocal es . rojoc ext

T

Tτ

τ ∈

∈

si el nodo vj

vocal es .erdeu e

c ext

xtTτ ∈

Se define el mapeo : N Tω →

( )Se define el mapeo :

si es nodo silencioso

ext ext

ext o

N Tn n

ωω τ

→

=

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ro

ve

si = y = jo

si = y . rde =cext ext

ext exu t

n n T color n

n n T color n

ω ω ττ

ω ω ττ

= ∈

= ∈



*:ext lo extL Tθ →El mapeo a su vez determina la extensión:extω

ext lo ext

* *Se define : extP T T→

Evidentemente, es recuperada de como sigue:extθ θ

De acuerdo con:ext

( ) ( ) , ,c uP P Tτ τ τ τ= = ∈

Lo que significa que P es catenativa P mapea los nuevos símbolos de salida

( ) ( ) ( ) ( ) *, ' ' , , ' extP P tt P t P t t t Tε ε= = ∈

Lo que significa que P es catenativa. P mapea los nuevos símbolos de salidaen una cadena de vuelta de donde vinieron:

extPθ θ= ⋅



*

Ejemplos del mapeo

:ext

ext lo extL Tθ

θ →

( )

ext lo ext

extθ ε ε=α ( )

( ) ( )( )

0

02 0

02143

ext

ext ext u u

θ ε ε

θ ε θ ε α α

θ β

=

= =

α β

( )02143ext u c cθ ε α β α=loG

α βo o o

α

α



Finalmente se propone recosntruir para introducir esta información y se define:loG

( ), 0 , , , , , ,lo ext ext ext ext ext extG Q T q Qδ ω= Σ

Se puede ver que el número de símbolos de salida no-silenciosos a lo mucho se duplica: 12extT T≤ +

Ya que se separaron en controlabl e es i

ext

ncontrolables.

,El número de estados se duplica a lo mucho al pasar de a :

d d di id d h d

2 lo lo

ext

extG

Q Q

G

≤

Cada estado se divide cuando mucho en do .s



Se dice que es " " (output-control-consistent)consistente en salidas de controllo extG ,

,

q ( p )

Aún no se presentará el algoritmo para pasar de a (hasta la sección 5.7)

lo ext

lo lo extG G

sin embargo el algoritmo existe siempre que

En TCT los algoritmos implementados son:

Q < ∞

( )( )

,

g p

lo ext loG Outconsis G

h

=

( ), , hi ext lo extG higen G=



loGα βo o o

αcα

( )OCGLO Outconsis GLO=

α βuαo o

α cβo

α



cα( )OCGLO Outconsis GLO=

uαo o ou

cβo

( )OCGLOHI Higen OCGLO=

cαα

cβuαuα

cαJorge Bucio presentaciones SEDII 2010

5.4 ACCIÓN DE CONTROL JERÁRQUICO5.4 ACCIÓN DE CONTROL JERÁRQUICO( )OCGLOHI Higen OCGLO=cα , ,Suponemos que a las máquinas y G

se les aplican especificaciones para eliminarlo ext hi extG

α

cβ

uα

uα

se les aplican especificaciones para eliminar entonces quedaría:cβ

( )hiG k

α

cα ( )hi

cα

( )OCGLO Outconsis GLO=

( ) resultaCon lo incontque rol lG :e ablok

cα

uα

cβ

o o

o

uα


5.4 ACCIÓN DE CONTROL JERÁRQUICO5.4 ACCIÓN DE CONTROL JERÁRQUICO

{ } se define por medio de un mapeo:hiC

{ } : 0,1

Donde:

hi hiL xTγ →

( )( )

Donde:, 1 habilitado y

, 0 deshabilitado y hi hi u

hi hi c

t t L T

t t L T

γ τ τ

γ τ τ

= ∈ ∈

= ∈ ∈

El resultado de aplicar directamente este control en la acción generada por G i t ti í l l j d l d

hi

( ) *

sintetizaría el lenguaje de lazo cerrado:

,hi hiL G Tγ ⊆( )hi hiγ



( )- Mapeo de eventos deshabilitados en el nivel alto

L P TΔ ( )

( ) ( ){ }

:Donde

| 0

hi hi cL Pwr T

t T tτ γ τ

Δ →

Δ = ∈ =( ) ( ){ } | , 0

- Mapeo de eventos deshabilitados en el nivel bajo

hi c hit T tτ γ τΔ = ∈ =

( )

( )*

:Donde

lo lo hi cL xL PwrΔ → Σ

⎧ ⎫

( )( )

( ) ( )( ) ( )

*| ' '

, & '

& '' '' ' ''

c u lo

lo hi

s s s L

s t s s t

σ σ

ω σ

⎧ ⎫∈Σ ∃ ∈Σ ∈⎪ ⎪⎪ ⎪Δ = ∈ Δ⎨ ⎬⎪ ⎪∀( ) ( )& '' '' ' '' os s s s sω σ τ⎪ ⎪∀ < ⇒ =⎪ ⎪⎩ ⎭



I fCuando la jerarquía de lazo es cerrada a través de una cadena. es mapeado por

El control implementado por esta dado por

( ) hit s Lθ= ∈lohiInf

los L∈

loCEl control implementado por esta dado por.

( ) ( )( )0 si ,,

1 en otro casolo

lo

s ss

σ θγ σ

⎧ ⎫∈ Δ⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

lo

Suponemos que un lenguaje legal cerrado .

A E l bl l d l l

⎪ ⎪⎩ ⎭

hi hiE L⊆

Asumimos que Ehi es controlable con respecto al modelo estructuralde nivel alto.

hi u hi hiE T L E∩ ⊆hi u hi hi⊆


5.4 ACCIÓN DE CONTROL JERÁRQUICO

ede ser sinteti ad c m el c m rtamient c ntr lable


hE puede ser sintetizado como el comportamiento controlablede por el uso de un control conveniente γhi.

En la teoría estándar la determinación de γhi no es usualmente

hiEhiG

En la teoría estándar la determinación de γhi no es usualmenteúnica, sin embargo , γhi debe siempre satisfacer.

( ), 0 si t E y hi hi hi hit t L Eγ τ τ= ∈ ∈ −

el (máximo) comportamiento de que puede ser transmitidopor como comportamiento en .

E = θ-1(E )⊆L

loGloElohiInf hiE hiG

( )1E E LθElo= θ (Ehi)⊆Llo

Donde Ehi= θ(Elo) y Lhi= θ(Llo).

( )1lo hi loE E Lθ −= ⊆

( ) ( ) y hi lo hi loE E L Lθ θ= =



Teorema 5.4.1Bajo las precedentes suposiciones.

( ),lo lo loL G Eγ ↑=

Prueba.Es suficiente con mostrar lo siguiente.

1. es controlable con respecto de

2. s

P l ú bl j l bl K E K L( G )

( ),lo loL Gγ

( ),lo lo loL G Eγ ⊆

loG

G3. Para algún sublenguaje controlable K ⊆ Elo tenemos K ⊆ L(γlo, Glo).

Escribimos

loG

( ) ( ) ( ), y ,lo lo hi hi lo lo loL G L L G L L G Kγ= = =

Donde Klo es no vacío y cerrado.



1 Por la definición de γl tenemos


1. Por la definición de γlo tenemos.

( ) ( )( )0 si ,,

1 en otro casolo c

lo

s ss

σ θγ σ

⎧ ⎫∈ Δ ⊆ Σ⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

Como el comportamiento a lazo cerrado de Glo es obtenido pordeshabilitar un conjunto de eventos controlables siguiendo la

ó d l d d L

1 en otro caso⎪ ⎪⎩ ⎭

j ggeneración de alguna cadena de Llo.

Para toda s ∈ Klo, σ ∈ Σu tenemos γlo(s,σ)=1, por lo tanto.Kl Σ ∩ Ll ⊆ KlKloΣu ∩ Llo ⊆ Klo

Es decir Klo es controlable como afirmamos.



2 Como El = θ-1(Ehi) es suficiente para mostrar que


2. Como Elo θ (Ehi) es suficiente para mostrar que.θ(Klo) ⊆ Ehi

Por inducción en la longitud de la cadena Por que ambos Kl y EhPor inducción en la longitud de la cadena. Por que ambos Klo y Ehison no vacíos y cerrados, tenemos.

ε ∈ θ(Klo)∩ Ehi

Asumimos que t ∈ T*, τ ∈ T, y tτ ∈ θ(Klo). Claramente t ∈ θ(Klo) ytτ ∈ Lhi.

Invocando la suposición de la inducción da t ∈ E Ahora si τ ∈ TInvocando la suposición de la inducción da t ∈ Ehi. Ahora si τ ∈ Tuentonces.tτ ∈ EhiTu ∩ Lhi



Y por controlabilidad de Ehi tτ ∈ Ehi En la otra manera si τ ∈T


Y por controlabilidad de Ehi, tτ ∈ Ehi. En la otra manera si τ ∈Tc entonces por el hecho de que Glo es consistente en salidas e control, existe

s ∈ Σ*, σ ∈ Σ , s’∈ Σ *s ∈ Σ , σ ∈ Σc, s ∈ ΣuTal que.

sσs’ ∈ Klo , θ(s)=t, θ(sσs’)=tτ

P d f ó d Δ ( ) lPor definición de γlo, σ ∉ Δlo(s,t); por lo tanto.

ω(sσs’) = τ ∉ Δhi(t);

Otra vez tτ ∈Ehi.



3 Sea K ⊆ E es no vació y controlable con respecto a G Como E


3. Sea K ⊆ Elo es no vació y controlable con respecto a Glo. Como Eloy Klo son ambos cerrados, esto puede ser asumido sin perder lageneralidad que K es cerrado.

Por inducción en la longitud de la cadena se puede mostrar queK ⊆Klo.

Primero ε ∈ K ∩ K Ahora sea sσ ∈ K Como K es cerrado s ∈ KPrimero ε ∈ K ∩ Klo. Ahora sea sσ ∈ K. Como K es cerrado, s ∈ K.Involucramos la suposición de la inducción, s ∈ Klo.

Como K ⊆ Elo ⊆ Llo tenemos sσ ∈ Llo. Ahora si σ ∈ Σu entonces( ) 1 lγlo(s,σ)=1, o equivalentemente.

σ ∉ Δlo(s, θ(s))



Asumimos lo contrario y t=θ(s) tenemos por definición de Δlo(s, t).


( ∃s’∈Σu*)sσs’ ∈ Llo& ω(sσs’) ∈ Δhi(t) & ( ∀s’’)s’’< s’ ⇒ ω(sσs’)=τ0

Como sσ ∈ Klo y K es controlable esto resulta que sσs’ ∈ K. Sealo y q ω(sσs’)=τ. Entonces θ(sσs’)=tτ.

Por que σ ∈ Δhi(t) implica γhi(t, τ)=0, como tτ ∈ Lhi- Ehi. Esto es tτ ∉Ehi, es decir θ(K) ⊆ ElEhi, es decir θ(K) ⊆ Elo.

Por esta contradicción el hecho que K ⊆ Elo=θ-1(Ehi). Por lo tantoγlo(s,σ)=1 después de todo, como tal sσ ∈ Klo como se requería.

El comportamiento transmitido de nivel alto puede satisfacer lasrestricciones legales requeridas.

θ( L(γlo, Glo) )⊆ Elo



La condición establecida en el teorema 5.4.1 puede ser llamadaconsistencia jerárquica de nivel bajoconsistencia jerárquica de nivel bajo.

Esta garantiza que la modificación del comportamiento de Ghisiempre satisface la restricción del nivel alto y que elsiempre satisface la restricción del nivel alto, y que elcomportamiento real del nivel bajo en Glo puede ser tan ampliocomo sea posible mientras satisfaga la restricción.

El comportamiento esperado por el nivel alto en Ghi puede sermás amplio de lo que el operador Glo pueda reportar demanera óptima.


5.5 Consistencia Jerárquica5.5 Consistencia Jerárquica

Sea cerrado y controlable y sea consistente en salidas de control.hi hi loE L G⊆

( )( )( )1

En el capítulo anterior se hizo ver que la inclusión:

hi hiE Eθ θ↑− ⊆ [ ] 5.1( )

( )puede ser estricta .⊂

El comportamiento esperado por el administrador en puede ser más ampliode lo que el operador pueda notarlo: el administrador es "demasiado optimista"con respecto a la eficacia del proceso de c

hi hiE G

omando de controlcon respecto a la eficacia del proceso de comando de control.



Si se preserva la igualdad en:

( )( )( ) [ ]

( )

1

con

5.1

Entonces el par G , tendrá sistencia jerárq , en este caso, uica

hi hi

lo hi

E E

G

θ θ↑− ⊆

( )p j qpor el Teorema 5.

lo hi

[ ]

4.1 el proceso de comando de control en sintetizará en .

P b l i ld d 5 1 ifi ió l bl l j

hi hi hiE E G

E[ ]Para obtener la igualdad en 5.1 para una especificación controlable con lenguajer

se requiere de un efinamiento adicional en la es

hiE, en

otras palabras, mejorar la información que manda a (o de G a G según la tructura de las transiciones de

lo hi

l

lo hi

o

C CG

p , j q ( ginterpretaci n).ó

lo hi lo hi



Socios:

( ) ( )1, 2 1

,

2

Refiriéndose al árbol de alcanzabilidad de se dirá que los

si sus caminos silenciosos comienza ya sea en

nodos vocales rojos

so c n son ocios lo ext

n n n n

G

ω ω≠

el nodo raíz o comienza en el mismo

( )

nodo vocal.

Sea y a este segmentocomparten un segmento inicial ' conn node s s σ σ ∈Σ= ( )2

*1

Sea , , y a este segmentocompartido le siguen segmentos etiquetados como '' , '' respectivamente,

donde y al menos u

comparten un segmento inicial con

'' na cadena

c

u

n node ss s s

ss

s s

σ σ ∈Σ

∈Σ

=

( )*1, 2 pertenece a . Llamaremos al 'us nodo ss σΣ ( ),

antecedenteel de los nodos soci os.


5.5 Consistencia Jerárquica5.5 Consistencia JerárquicaNodos Socios

Inicio de camino silencioso en nodo vocal o nodo raíz Nodo Antecedente

Transición Controlable

*'' us ∈ Σ1, 2Al menos una cadena s s

*pertenece a uΣ



( ) ( )1 1 2 2, En esta estructura, los eventos controlables en hic cn Gnτ ω τ ω= =( ) ( )no podrán ser deshabilitados de manera independie por un comando de controlhacia .

nte

loC

Es decir: si requiere que se desha lbi ihiE 2

1

te entonces se verá forzado a deshabilitar también, deshabilitando directamente la transición controlable .

c lo

c

Cττ σ

Una solución a este problema es dividir o separar la ocurrencia de los socios:de con salida controlableclarando el nodo antecedente como nodo vocal rojode con salida controlable

'' (nuevo símbolclarando el nodo antecedente como nodo

o que extiende T ) y hay que re-colorevocal

ar el r

áojo

rbol.c cτ



1cτ

2cτ*

1, 2

*2

Al menos una cadena pertenece a

En este caso u

u

s s

s

Σ

∈Σ 1cτ

''τ

2 u

cτ

2uτ


5.5 Consistencia Jerárquicaq

,En el ejemplo que hemos estado trabajando, inspeccionando se puede t l fi ió d " i " l t d 4 5

lo extG

cα

( )lG OCGLO Outconsis GLO⇒ =

notar la configuración de "socios" en los estados 4 y 5:

uαβo o

( ), lo extG OCGLO Outconsis GLO⇒

cβo

La solución será vocalizar el estado 3 con el símbolo .cγ


5.5 Consistencia Jerárquica

Inicio de camino silencioso en nodo vocal

uαNodo Antecedente

Nodos Socios

uαVocalizamos el Nodo

γ

cα cβ

Nodos Socios

uα uβ

Re-coloreamoscγ

cαcα

uαuα



,lo extG

uα

cγ

,

,

En la máquina la salida del estado 4 cambiará de a lo que hace que sea mayor que por un estado y una transición.

lo new

c u hi new

hi ext

GG

Gβ β

uα uβ

,y q p yhi ext

,lo newG

cα

uα



G ,lo newG

uα

cγ

uα uβ ,hi newGcα

uα

cα

uα

uβcγuα

uαu



Teorema 5.5.1

1

Asumiendo que G es SOCC (Estrictamente Consistente en Salidas de Control), y sea (G ) no vacio, cerrado y controlable. Entonces:

(( (

lo

hi li

hi

E L

Eθ θ −

⊆

)) ) hiE↑ =(( ( hi )) ) hi

1, , ,Escribimos (G ) : (G ) : ( G ) : . Con : ( ),

Se aplica el Teorema 5 4 1 para obtener:

Prueba:

lo lo hi hi lo lo lo lo hiL L L L L K E Eγ θ −= = = =

1

Se aplica el Teorema 5.4.1 para obtener:

( ( ))Lo que implic

lo lo hiK E Eθ↑ − ↑= =

1

a:

( ) (( ( )) ) ( )l l l hiK E E Eθ θ θ θ− ↑= ⊆ =1

( ) (( ( )) ) ( )

Observe que , de lo contrario existe una cadena s con s ( ),sea ( ) . Por lo tanto:

lo lo lo hi

lo o lo u o lo hi

o hi

K E E EK L E E

s E

θ θ θ θ

θθ

∗ −

⊆

≠ ∅ ∈ ∩ Σ ∉ =

∉

( ) ( )o hi u his L T Eθ ∗∈ ∩ −( ) ( )Lo cual implica que es vacio o incontrolable, contrariamente a la hipótesis.

o hi u hi

hiE



Ahora suponga que la inclusión ( ) es estricta y considere ( ).lo hi hi loK E t E Kθ θ⊆ ∈ −

Prueba (continuación)

( )p g q ( ) y ( )

Dado que existe un máximo prefijo ´ con ´ ( ). Sea con ( ) . Como podemos seleccionar un pref

lo hi hi lo

lo lo

lo lo

K t t t Ks E s t K

ε θ θθ ε

⊆

∈ < ∈

∈ = ∈ ijo '' de l it d á i t l '' l ( '') l ( l d í )

s sK d

≤longitud máxima tal que '' y el ( '') sea vocal (o el nodo raíz). Entonces '' : ( '') satisface '' '.

los K nodo st s t tθ

∈= ≤

( ) ( ) ( )*Sea con '' , el '' es vocal, y '' '' para algún

o

w s w s nodo s w s w sθ θ τ

τ

∈Σ < =

∈Τ ( ( ) ( )* *

sea el camino de '' a '' es silencioso.

Ahora sea lo que implica que por la controlabilidad de ''l l

nodo s nodo s w

w K s w K∈Σ Σ Σ ∈Ahora, sea , lo que implica que por la controlabilidad de , ,contrariamente a la maximalidad de ''. Escoja ' para que sea d

c u lo low K s w Ks w w

∈Σ Σ Σ ∈< e longitud máxima

tal que '' ' , esto es '' ' , con ' y (de esta manera esdeshabilitado por )

lo lo cs w K s w K w wσ σ σ σγ

∈ ∉ ≤ ∈Σdeshabilitado por ) .loγ



*Afirmamos que existe una cadena tal que:uv ∈Σ

Prueba (continuación)

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

q q1 el nodo '' ' es vocal

2 el camino del nodo '' al nodo '' ' es silencioso

3 '' '

u

s w v

s s w v

E

σ

σ

θ( ) ( )( ) ( )

3 '' '

De otra manera todas las cadenas con las propiedades 1 3 perthis w v E

v

θ σ ∉

−* *

enecerían a

y no sería supremo.c u loKΣ Σ Σ

( ) ( ) ( )Dado que:

t'' = '' ''

c u lo

his s w s t Eτ θ τ θ θ= ≤ = ∈( ) ( ) ( )( ) ( )

t

y '' ' finalmente resulta que '' ' '' ', con ' y por

consiguiente el no

hi

hi

s s w s t E

s w v E s w v t

τ θ τ θ θ

θ σ θ σ τ τ τ

≤ ∈

∉ = ≠

( ) ( )do '' y el nodo '' ' son socios, en contradicción cons w s w vσla hipótesis del teorema.



( )Por lo tanto, cuando es SOCC se logra la consistencia jerárquica para el par , .lo lo hiG G G

( )En TCT la consistencia jerárquica se logra: HCGLO hiconsis OCGLO= ( )O directamente: ( ) La MEF del nivel alto resulta:

HCGLO hiconsis GLO=

( )La MEF del nivel alto resulta: HCGHI higen HCGLO=



dos nivelesEs importante notar que la restricción de hacer el control jerárquico en fue completamente .

Una vez que se logra la consistencia jerárquia en el nivel más bajo y el pri

secun

mer ni

dario

vel U ve que se og co s s e c je qu e e ve s b jo y e p e ve

( )1

1 2

hacia arriba, sea , , la construcción se puede repetir asignando salidas a los estados en y recurrir a un siguiente nivel superior .

oG GG G

( ) ( )1 2 1La consistencia de , se logra sin perturbar la de , .oG G G G



( ) ( )Sea consistente en salidas de control y recordando que denota la Condición Principal

loG OCC E( ) ( )

( ) ( )

famili

L

a de sublenguajes controlables d

a condición principal:

e .

l ih

E

L Lθ =( ) ( )La condición principal:

Lo que significa

u

q

lo ihL Lθ

preserva la controlabilidadt d l j t l bl d l i l lt l i d l ú l j t l bl

e no solamente , sino que también denotaθtodo lenguaje controlable del nivel alto es la imagen de algún lenguaje controlable

de nivel bajque

.o

Dicho con otras palabras: aTod tarea que pueda ser especificada en el modelo del administrador es ejecutable

en el modelo las políticas de alto nivel siempre pueden llevarse a cdel operad aboor ; hi

lo

GG

en el bajo nivel.



Teorema 5.5.2Condición Principal MC

( ) 1

Condición Principal = MC

(( ( )) )hi hi hi hi hiMC E E L E Eθ θ − ↑ ↑⎡ ⎤⇔ ∀ ⊆ ⇒ =⎣ ⎦

Teorema 5.5.3

( ) ( ) ( ) ( ) 1 (( ( )) )lo hi hi hi hi hi hiL L E E L E Eθ θ θ − ↑⎡ ⎤⊇ ⇔ ∀ ∈ ⇒ =⎣ ⎦

( ) ( ) ( )Estos resultados dependen del hecho de que las operaciones . y . sup . sonmonótonas en sublenguajes

Cθ ↑ =

monótonas en sublenguajes.


5.6 Supervisión Jerárquica5.6 Supervisión JerárquicaSe ilustrará la teoría aplicándola para desarrollar un supervisor jerárquico para una línea de transferencia.una línea de transferencia.La línea cuenta con dos máquinas M1 y M2, una unidad de prueba TU, unidos por almacenes B1, B2.


5.6 Supervisión Jerárquica5.6 Supervisión JerárquicaLa unidad de prueba TU "aprueba" o "reprueba" la unidad (eventos 60, 80 respectivamente). Si aprueba la pieza se envía a la salida del sistema (evento 62)y en caso que la repruebe se retorna a B1 (evento 82) para que sea reprocesadapor M2.

( )

B1 y B2 son de capacidad unitaria. Diseñaremos un supervisor (con el método del capítulo 3).

PL=sync 1 2M M TU( ) PL sync 1, 2,La

M M TUs especificaciones de los almacenes:


5.6 Supervisión Jerárquica5.6 Supervisión Jerárquica

( )( )

BSP=meet 1 , 2

PLSUP=supcon

B SP B SP

PL BSP( ) PLSUP=supcon ,PL BSP

PLSUP



Para iniciar con el control jerárquico debemos asignar los eventos significativosPara iniciar con el control jerárquico debemos asignar los eventos significativos (vocales) a ser observados por el "administrador".Asumiremos que el administrador solamente está interesado en:

- Even 1

2

to "tomar una pieza nueva" (transición 1, evento vocal )- Evento que la pieza se apruebe (transición 60, evento vocal )

E t l i b (t i ió 80 t l )

ττ

3- Evento que la pieza repruebe (transición 80, evento vocal )τ



Si ocurren muchas fallas, el administrador deshabilitará el ciclo falla-reproceso.Con este fin, la transición incontrolable 80 se reemplaza por la transición controlable 81.

Además, los eventos signifi

[ ]1 2 3cativos , , no pueden ser ambiguos, por ejemploτ τ τ

[ ][ ]la transición que llega al estado 1 8,62,1 no debe ser confundida con la significativa

0,1,1 . Para esto se introducirá un nuevo estado (10), la trans [ ][ ]

ición 8,62,1 deberá ser

reemplazada por 10,2,2 .



[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 1 2 3Enseguida se muestra G . Los eventos vocales , son: 1, , 8, , 6, , 7, .lo estado salida τ τ τ τ

G lo



1 2 3Por inspección de es claro que , , son controlables, es decir, es consistente en salidas de control (OCC)

lo loG Gτ τ τ

( )en salidas de control (OCC). El modelo correspondiente de alto nivel G =higen es: hi loG

Ghi

2Para que el administrador pueda deshabilitar requiere que el operador deshabiliteτ

3la transición 5 del nivel bajo, la cual deshabilita la transición del nivel alto comoun efecto secundario indesea

τdo G no es SOCC.lo∴



Para remediarlo, se vocaliza el estado 5 del nivel bajo con el nuevo evento significativo

4 2

, j g, que señala el evento "la unidad de prueba toma una pieza", este paso hace que pase

de ser controlable a sτ τ

er incontrolable.

( )( )

Con este cambio se obtiene G con la propiedad SOCC (llamémosle HCGLO=hiconsis ).

Y con TCT se obtiene el correspondiente modelo del nivel alto HCGHI=higen .lo loG

HCGLO


5.6 Supervisión Jerárquica5.6 Supervisión Jerárquica( ) HCGLO=hiconsis loG


5.6 Supervisión Jerárquica5.6 Supervisión Jerárquica( ) HCGHI=higen HCGLO

3"Si ocurren dos fallas consecutivas ( ) permita que TU opere una vez más y luego apagUna posible espe

ue el sistema".cificación para el nivel alto podría ser:

τ 3

Esta especificación se puede modela como se muestra en SPECHI.

( )El supervisor resultante será: HCGHISUP=supcon ,HCGHI SPECHI



SPECHI

HCGHISUP

Se puede ver que en el estado marcado de HCGHISUP (estado 7), una ejecución del evento62 por parte de la unidad de prueba TU provocará que HCGLO sea detenida en su estadomarcado (estado 0).


Supervisión Jerárquica de Sistemas de Eventos Discreto _s

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