SUPERVISIÓN DE PROCESOS, DETECCIÓN Y DIAGNÓSTICO DE …

SUPERVISIÓN DE PROCESOS, DETECCIÓN Y DIAGNÓSTICO DE FALLAS

Combinación de métodos analíticos y basados en el conocimiento.

ANDRES ESCOBAR DIAZ 200229030

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRONICA

SANTAFE DE BOGOTA, DC.

AGOSTO DE 2005

SUPERVISIÓN DE PROCESOS, DETECCIÓN Y DIAGNÓSTICO DE FALLAS

Combinación de métodos analíticos y basados en el conocimiento.

PROYECTO DE GRADO PARA OPTAR AL TITULO DE MAGÍSTER EN

INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y DE COMPUTADORES

ANDRES ESCOBAR DIAZ 200229030

Director: ALAIN GAUTHIER

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRONICA

SANTAFE DE BOGOTA, DC.

AGOSTO DE 2005

TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCION.........................................................................................................................4

OBJETIVOS ..................................................................................................................................6

GENERAL ....................................................................................................................................6

ESPECIFICOS..............................................................................................................................6

1. MODELOS DISCRETOS CON ESTRUCTURA LINEAL..................................................7

1.1 RESUMEN DE IDENTIFICACIO N LINEAL DE SISTEMAS................................................7

1.2 ESTRUCTURA GENERAL DE LOS MO DELOS LINEALES DISCRETO S.........................9

1.5 APLICACIONES DE UN MO DELO .....................................................................................16 1.5.1 SIMULACION.......................................................................................................................16 1.5.2 PREDICCION.......................................................................................................................18

1.5 MODELO S MAS UTILIZADO S...........................................................................................19 1.5.1 ARX......................................................................................................................................19 1.5.2 ARMAX................................................................................................................................21 1.5.3 OE........................................................................................................................................22 1.5.4 COMENTARIOS SOBRE LOS DEMAS MODELOS.................................................................23

2 ESTIMACION DE PARAMETROS EN TIEMPO REAL ..................................................24

2.1 ELEMENTO S PRINCIPALES EN UN SISTEMA DE IDENTIFICACIO N..........................24

2.2 MINIMOS CUADRADOS (LS) Y MO DELO S DE REGRESION. ........................................25 3.2.1 ESTIMACION MINIMOS CUADRADOS ................................................................................27 2.2.2 INTERPRETACION ESTADISTICA.......................................................................................30

2.2.2.1 Propiedades estadísticas de la estimación de mininos cuadrados. ............................................ 31 2.2.3 CALCULOS RECURSIVOS....................................................................................................32

2.2.3.1 Teorema. Matriz de inversión........................................................................................... 33 2.2.3.2 Estimación de mínimos cuadrados recursiva (RLS).............................................................. 34 2.2.3.3 Condiciones iniciales para P(t) y para θ(t)........................................................................... 35

2.2.4 PARAMETROS VARIANTES EN EL TIEMPO........................................................................36 2.2.4.1 Mininos cuadrados recursivos con olvido exponencial........................................................... 37

2.3 ESIMACION DE PARAMETROS EN SISTEMAS DINAMICOS........................................37 2.3.1 MODELO DE RESPUESA FINITA AL IMPULSO (FIR)...........................................................37 2.3.2 MODELOS DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA...............................................................39 2.3.3 MODELOS ESTOCASTICOS.................................................................................................41 2.3.4 GENERALIZACION..............................................................................................................42

2.4 SIMULACIO N DE ES TIMACIO N RECURSIVA.................................................................43

3. NIVELES DE CONTROL......................................................................................................64

4. DETECCIÓN Y DIAGNÓSTICO DE FALLAS ................................................................65

4.1. GENERACIÓ N ANALÍTICA DE RESIDUO S....................................................................65

4.2 GENERACIÓ N HEURÍSTICA DE RESIDUOS...................................................................65

4.3. DIAGNOSTICO DE FALLAS ............................................................................................ 66

4.4. MÉTO DOS DE DETECCIO N DE FALLAS BASADOS EN MO DELO S............................ 66

4.5. MO DELAMIENTO DE FALLAS.........................................................................................67

4.6. DETECCIÓ N DE FALLAS CO N ESTIMACIÓ N DE PARÁMETRO S ............................. 68

4.6.1. GENERACIÓ N DE RESIDUOS ........................................................................................68

4.7. MÉTO DO DE DIAGNÓSTICO DE FALLAS ..................................................................... 69

5. DESARRO LLO DE LA APLICACIÓN ...............................................................................75

5.1 PROCESO ............................................................................................................................ 75

5.2 INSTRUMENTACIÓ N......................................................................................................... 76

5.3 CONTRO L........................................................................................................................... 78

5.4 GENERACIO N DE RESUDUOS Y CO MPO RTAMIENTO CO N FALLAS........................ 79

5.5 DIAGNOSTICO DE FALLAS .............................................................................................. 80

CONCLUSIONES .......................................................................................................................85

ANEXO C.....................................................................................................................................88

C.1 NO TACION..........................................................................................................................88

C.2 ABREVIATURAS.................................................................................................................88

BIBLIOGRAFIA .........................................................................................................................90

SUPERVISION, DETECCION Y DISTICION DE FALLAS

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 Resumen de los métodos de identificación de sistemas lineales.....................................7

Figura. 1.2. Modelo lineal general. (a) definición de las funciones de transferencia. (b) Definición

de los polinomios de las funciones de transferencia. (c) y (b) Diferenciación de.las dinámicas

estocástica y determinística......................................................................................................10

Figura. 1.5 Un modelo de serie de tiempo general lineal. La entrada del modelo )(kv es una señal

de ruido blanco.........................................................................................................................11

Figura. 1.6. Modelo determinístico general lineal. La entrada del modelo )(ku es una señal

determinística. No hay influencia estocástica. .........................................................................11

Figura. 1.7. Resumen de los modelos de series de tiempo. Autoregressive (auto regresivo) AR,

Moving average (promedio móvil) MA, y autoregressive moving average (promedio móvil

y autoregresivo) ARMA...........................................................................................................11

Figura. 1.8. Resumen de los modelos dinámicos lineales comunes. (a) ARX (b) ARMAX (c)

ARARX (d) OE (e) BJ (f) FIR.................................................................................................13

Figura. 1.9. Clasificación de los modelos lineales según: (a) su respuesta al impulso. (b) tipo de

error (c) si tiene entradas. (d) las propiedades de ruido. Dinámica igual se refiere a que los

denominadores de la parte determinística y estocástica son iguales........................................17

Figura. 1.10. Concepto de simulación ............................................................................................18

Figura. 1.11. Concepto de predicción.............................................................................................19

Figura 2.1. Los círculos en azul representan datos medidos. Los resultados de la estimación, rojo

para parábola, negro para recta. (a) Datos contaminados con ruido con desviación estándar

0.05.(b) con desviación estándar 0.3........................................................................................29

Figura 2.2 Diagrama de bloques de un estimador paramétrico recursivo para un modelo FIR. ....38

Figura. 2.3 Diagrama de bloques del estimador de mínimos cuadrados basado en el modelo error

de salida (OE)...........................................................................................................................41

Figura 2.5. La línea roja es la salida el proceso real, la azul es la salida contaminada con ruido,

media 0 y desviación estándar 0.001. La línea negra es la salida predicha en cada instante de


muestreo. (a) Salida del sistema ante un impulso. (b) Salida del sistema ante un paso.(c)

amplicion de la Fig 3.5(b) alrededor del tiempo 29.................................................................45

Figura 2.6 Evolución parámetros en el tiempo. Las líneas negras horizontales corresponden a los

parámetros reales. el parámetro a corresponde es rojo y b corresponde a azul.(a) parámetros

estimados , entrada impulso.(b) parámetros estimados, entrada escalón.................................46

Figura 2.7. Velocidad de convergencia de los parámetros dependiendo la condición inicial de

P..(a) P=1, (b) P=10, (c)P=50, (d)P = 1000.............................................................................47

Figura 2.8. Estimación de un modelo OE primer orden. (a) λ=1, (b) λ=0.98, (c) λ=0.978, (d)

λ=0.9745. Las líneas negras horizontales son los parámetros reales, las líneas de color son los

parámetros estimados...............................................................................................................49

Figura 2.9. Preedición de la salida del sistema; línea azul salida real , línea negra salida predicha.

(a) Estimación para el modelo ARX (b) Estimación para el modelo OE (c) Estimación para el

modelo ARMAX......................................................................................................................51

Figura 2.10. Evolución de los parámetros. Líneas negras horizontales son los parámetros reales.

línea roja parámetro a , línea azul parámetro b, verde parámetro c, magenta parámetro d. (a)

Parámetros modelo ARX (b) Parámetros modelo OE (c) parámetros modelo ARMAX........52

Figura 2.11. Comportamiento de los residuos de estimación con el paso del tiempo. (a) para el

modelo ARX (b) Para el modelo OE (c) Para el modelo ARMAX.........................................53

Figura 2.12. Estimación de los parámetros en el tiempo para un modelo ARMAX. Con

P(0)=100000. Mejora la velocidad de convergencia con respecto a Fig. 3.10 (c)...................54

Figura 2.13. Estimación de los parámetros en el tiempo para un modelo OE. Con P(0)= 1010 .

Mejora la velocidad de convergencia con respecto a Fig. 3.10 (b)..........................................54

Figura 2.14. Preedición de la salida del sistema. Línea Roja salida real del sistema, línea azul.

salida contaminada con ruido, línea negra la salida predicha. (a) Comportamiento en todo el

tiempo. (b) ampliación alrededor del tiempo 40s. ...................................................................56

Figura 2.15. Estimación de los parámetros en el tiempo. Parámetro a es la línea roja, parámetro b

es la línea azul. Parámetros reales iniciales líneas negras horizontales. Segundos parámetros

reales líneas verdes horizontales..............................................................................................57

Figura 2.16. Comportamiento de los residuos de estimación en el tiempo....................................57

Figura 2.17. Predicción de la salida del sistema en cada instante de muestreo. Línea roja salida

real del sistema. Línea azul contaminación con ruido. Línea negra predicción de los


algoritmos. (a) para el modelo ARX (b) para el modelo OE (c) para el modelo ARMAX.

Línea verde es la salida de la parte determinística del modelo ARMAX................................60

Figura 2.18. Estimación de los parámetros. Líneas continua negras horizontales son los

parámetros reales. La estimación para el parámetro d es una línea magenta, para c es verde,

para b es azul y para a es roja. (a) para el modelo ARX. (b) para el modelo OE (c) para el

modelo ARMAX......................................................................................................................61

Figura 2.19. Comportamiento en el tiempo de los residuos de estimación. (a) para el modelo

ARX (b) para el modelo OE (c) para el modelo ARMAX......................................................62

Figura 4.1. Esquema General de Detección de Fallas Basado en Modelos...................................67

Figura 4.2 Dependencia de Tiempo de las Fallas ...........................................................................67

Figura 4.3. Esquema de estimación de parámetros……………………………………………...65

Figura 4.4. Diagnóstico de Fallas usando Métodos de Clasificación……………………………67

Figura 4.5. Red adaptiva………………………………………………………………………….68

Figura 4.6. Red adaptiva ANFIS modelo Sugeno……………………………………………….69

Figura 5.1. Sistema de Tanques .....................................................................................................75

Figura 5.2. Sistema de Tanques. Acercamiento Bomba…………………………………………79

Figura 5.3. Válvula on / off………………………………………………………………………80

Figura 5.4. Sistema de Conexiones………………………………………………………………80

Figura 5.5. Interfaz Tarjeta de Adquisición………………………………………………………81

Figura 5.6. Interfaz Tarjeta de Adquisición. Figura 5.7. Subsistema 1…………………………..81

Figura 5.8. Subsistema 2………………………………………………………………………….82

Figura 5.9. Subsistemas del proceso……………………………………………………………..82

Figura. 5.10. Esquema Control…………………………………………………………………...82

Figura 5.11. Sistema de dos entradas una salida. 25 reglas………………………………………83

Figura 5.12. Funciones de pertenencia para la entrada de error………………………………….84

Figura 5.13. Funciones de pertenencia para la entrada la integral del error…………………...…84

Figura 5.14. Funciones de pertenencia del universo de salida señal de control………………….85

Figura 5.15. Superficie de control………………………………………………………………..86

Figura 5.16. Comportamiento de los residuos ante la falla………………………………………87

Figura. 5.17. Modelo de diagnostico de fallas……………………………………………………87

Figura 5.18. Respuesta del modelo de diagnóstico de fallas…………………………………….88


INTRODUCCION

El control automático ha sido el soporte del acelerado proceso de industrialización en la segunda

mitad del siglo XX, ha hecho posible que la máquina sustituya al hombre en los trabajos más

difíciles y peligrosos así como en la posibilidad de efectuar cada vez trabajos mas complejos.

Esto ha derivado en una mejora significativa de nuestra calidad de vida a través de mejoras en los

procesos de producción, manufactura y la vida cotidiana.

En este sentido la electrónica ha jugado un papel fundamental en el desarrollo del control, al

prácticamente reemplazar a las familias precedentes de controladores neumáticos, hidráulicos y

mecánicos. Esto sin mencionar las ventajas económicas de la implementación electrónica tanto en

la instalación de sensores como en todo el proceso de control.

Las operaciones de procesos industriales requieren ampliamente supervisión avanzada y el

diagnostico de fallas para incrementar su seguridad, confiabilidad y economía. Es por esto que la

detección y distinción de fallas es un área importante porque convierte grandes sistemas y

procesos en mecanismos muchos más autónomos y automáticos. También es posible considerar

hoy, por las herramientas tecnológicas disponibles, la integración de sistemas de diagnostico en el

diseño de controladores industriales.

La detección y distinción de fallas basados en métodos combinados, analíticos y cualitativos han

venido tomando un papel importante en supervisión y control automático moderno. Hay dos

pasos importantes en la detección y distinción de fallas, la generación de residuos: indicación de

los cambios en el proceso; y la evaluación residual: concluir que falla hay en el proceso. En el

primer paso muchos métodos analíticos son usados, puesto son las características del proceso las


que determinan que método utilizar. El segundo paso es un problema de decisión; Es por eso que

los métodos de razonamiento cualitativo son los más usados.

Estos dos pasos que hay que seguir para realizar con eficiencia un proceso de supervisión

completo; diagnostico: detección y distinción de fallas, representa un desafió para encontrar

teorías que cumplan con eficiencia la generación y evaluación de los residuos. La combinación de

métodos analíticos y basados en el conocimiento han demostrado que son una mezcla eficaz para

resolver el problema básico de supervisón, con el objetivo de lograr resultados robustos en todo

sentido.


OBJETIVOS

GENERAL

Estudiar y desarrollar un sistema de supervisión que ejecute en tiempo real la detección y

evaluación de cambios de un proceso, encontrando la mejor combinación entre técnicas

analíticas y las basadas en conocimiento para realizar estas tareas y que finalmente especifique

fallas que ocurran en un proceso.

ESPECIFICOS

• Estudiar los conceptos y modelos de la teoría de supervisión de procesos.

• Estudiar los conceptos y teorías sobre la generación de residuos.

• Estudiar los conceptos y métodos de razonamiento cualitativo, que sirva para la evaluación de los

residuos.

• Implementar el sistema de generación de residuos.

• Implementar el sistema de evaluación de residuos.

• Desarrollar e implementar un sistema completo de supervisión.

CAPITULO 1 MODELOS LINEALES DISCRETOS

1. MODELOS DISCRETOS CON ESTRUCTURA LINEAL

En el momento que se quiere representar el comportamiento de un proceso, es necesario tener

modelos predefinidos. Al conocer estos modelos, se analizan y se comparan entre ellos con el

objetivo de decidir cual puede representar el proceso que se este estudiando. En un controlador

auto ajustable la definición del modelo con que se representa el proceso es parte fundamental,

puesto que define la naturaleza del estimador de parámetros del modelo, como toda la estrategia

de control para definir la ley de control que actuará sobre el proceso.

En este capitulo se hará un pequeño resumen de sistemas de identificación lineal y se estudiara un

poco mas a fondo los modelos discretos de estructura lineal, haciendo énfasis en los modelos

mas utilizados.

1.1 RESUMEN DE IDENTIFICACION LINEAL DE SISTEMAS

En la figura 2.1 se observa un resumen sobre los métodos de identificación de sistemas lineales.

Figura 1.1 Resumen de los métodos de identificación de sistemas lineales.

Los métodos de identificación se clasifican en paramétricos y no paramétricos; por consiguiente

estos ayudan a distinguir claramente el modelo y el tipo de método a utilizar para determinar los

Identificación de sistemas lineales

Métodos de estimación paramétricos Métodos de estimación no paramétricos

Dominio del tiempo Dominio frecuencial Dominio del tiempo Dominio frecuencial

Mínimos

cuadrados.

Optimización no

Análisis respuesta al

impulso.

Análisis repuesta

transciente.

Análisis re spuesta en

frecuencia.

Análisis de Fourier

Mínimos cuadrados.

Optimización no

lineal.

Repetido mínimos


grados de libertad del modelo a utilizar para representar un proceso. Los modelos pueden ser

paramétricos y no paramétricos.

• Modelos paramétricos se asume que son capaces de describir el verdadero

comportamiento de un proceso con un número finito de parámetros. Las ecuaciones

diferenciales o en diferencias son ejemplos de este tipo de modelos. En ocasiones los

parámetros tienen una relación directa con cantidades físicas del proceso, Ej., masa,

volumen, longitud, etc.

• Modelos no paramétricos. Generalmente requieren un número infinito de parámetros

para describir exactamente el proceso. Un modelo FIR es un ejemplo de estos modelos.

Los métodos de estimación son clasificados como.

• Métodos paramétricos. Determina un pequeño número relativo de parámetros.

Usualmente estos parámetros son optimizados según algún objetivo. Una regresión lineal

es un ejemplo de estos métodos. Un modelo paramétrico puede usarse para determinar

una aproximación a un modelo no paramétrico, el cual el numero de parámetros ha sido

reducido a un numero finito. Tal como un modelo FIR, quizá sea estimado con un método

paramétrico, si la serie infinita es aproximada a un número finito de parámetros.

• Métodos no parametritos. Son más flexibles que los métodos paramétricos. Estos son

utilizados cuando ninguna estructura es impuesta sobre el modelo. Un típico ejemplo de

estos métodos es el análisis de Fourier, el cual lleva a funciones de frecuencia, el cual no

determina un número finito de parámetros. Incluso en una implementación, los métodos

no parametritos muestran un numero finito de “parámetros“, este numero es grande e

independiente de cualquier estructura de modelo, Ej. Las magnitudes complejas para

todos los intervalos de frecuencia discretizados, en un análisis de Fourier de tiempo

discreto. Así entonces el número de parámetros en los métodos no paramétricos, depende

de algún factor tal como el número de muestras o la cuantificación.

Los modelos no paramétricos, tal como un modelo FIR, quizá sea estimado con un método

paramétrico, si la serie infinita es aproximada a un numero finito de parámetros.


1.2 ESTRUCTURA GENERAL DE LOS MODELOS LINEALES DISCRETOS

Al principio se define una estructura general para los modelos lineales y sobre esta se puede

derivar por simplificación todos los casos particulares de estos modelos. Normalmente el modelo

general no se utiliza mucho en la práctica, pero sirve para unificar todos los modelos lineales.

La salida )(ky de un sistema determístico linear en el tiempo k puede ser calculada filtrando las

entradas )(ku a través de un filtro lineal )(qG , q es el operador de desplazamiento.

)()(~)(~

)()()( kuqAqB

kuqGky == (1.1)

)(~ qB y )(~ qA son el numerador y el denominador de la función de transferencia lineal )(qG

respectivamente. En adición a la parte determinística, un parte estocástica puede ser introducida.

Si se filtra un ruido blanco )(kv a través de un filtro lineal )(qH cualquier característica de

frecuencia de ruido puede ser modelada. El filtro )(qH desde el punto de vista estocástico en

llamado un filtro de forma. Así una señal arbitraria )(kn de ruido puede ser modelada.

)()(~)(~

)()()( qvqDqC

qvqHkn == (1.2)

Un modelo lineal general describiendo influencias determinísticas y estocásticas es obtenido

combinando las dos partes como el la Fig. 2.2 (a).

).()()()()( kvqHkuqGky += (1.3)

El filtro )(qG es llamado la función de transferencia de entrada, desde que esta relacione la

entrada )(ku con la salida )(ky , y el filtro )(qH es llamado función de transferencia del ruido,

desde que esta relacione el ruido con la salida. Las funciones de transferencia )(qG y )(qH

pueden ser divididas en polinomios que representan sus numeradores y sus denominadores, Fig.

2.2 b. Es necesario a veces separar las dinámicas de la parte estocástica y de la determinística,

que se reflejan en la representación de los polinomios denominadores de cada parte. Fig. 2.2 c y

Fig. 2.2 d. Entonces se define AqAqF ~)()( = y DqAqD ~)()( = .


Figura. 1.2. Modelo lineal general. (a) definición de las funciones de transferencia. (b) Definición de los polinomios de las funciones de transferencia. (c) y (b) Diferenciación de.las dinámicas estocástica

y determinística.

Si )(~ qA y )(~ qD no comparten factores comunes entonces 1)( =qA . Entonces el modelo general

lineal puede ser escrito.

)()()(

)()(

)()()(

)( kvqAqD

qCku

qAqFqB

ky += (1.4)

o también se puede escribir.

)()()(

)()()(

)()( kvqDqC

kuqFqB

kyqA += (1.5)

Asumiendo ciertas cosas especiales sobre los polinomios FDCBA ,,,, ; los modelos lineales

ampliamente aplicados son obtenidos de la forma general de los modelos lineales.

1.3. CLASIFICACION Y TERMINOLOGIA

Analizando el modelo general desde el punto de vista de las series de tiempo, la terminología

usada es lógica y clara. Se empieza analizando las series de tiempo, es decir no se toma en

cuenta la entrada en el modelo, =)(ku 0, entonces los modelos analizados serán totalmente


estocásticos como se ve en la Fig. 2.5 en oposición al modelo totalmente determinístico de la Fig.

2.6.

Una serie de tiempo con solo el polinomio del denominador. Fig. 2.7. es llamado un modelo

Autoregressive (Autoregresivo) AR.

Figura. 1.5 Un modelo de serie de tiempo general lineal. La entrada del modelo )(kv es una señal de

ruido blanco.

Figura. 1.6. Modelo determinístico general lineal. La entrada del modelo )(ku es una señal

determinística. No hay influencia estocástica.

Un modelo de serie de tiempo solo con el polinomio del numerador, Fig. 2.7, es llamado un

modelo Moving average (promedio móvil) MA.

Una modelo de serie de tiempo con polinomio numerador y denominador, Fig 2.7, es un modelo

llamado autoregressive moving average (promedio móvil auto regresivo) ARMA.

Figura. 1.7. Resumen de los modelos de series de tiempo. Autoregressive (auto regresivo) AR, Moving average (promedio móvil) MA, y autoregressive moving average (promedio móvil y

autoregresivo) ARMA.

Es obvio que un modelo basado únicamente en una serie de tiempo, sin tener en cuenta las

variables de entrada, no puede ser preciso. Por esto, modelos más precisos pueden ser construidos

incorporando las variables de entrada dentro del modelo. Esta entrada )(ku es llamada una


entrada exogenous (exógena). Teniendo en cuenta lo anterior, los modelos de series de tiempo

pueden ser extendidos, Fig. 2.7, pueden ser extendidos incorporando una “X” por la entrada

exógena. El modelo “MAX” derivado del modelo de serie de tiempo MA, incorporando la

variable exógena, es muy raro y es muy poco usado.

La Fig. 2.8 esta un resumen de los mas importantes modelos entrada/salida lineales. Los modelos

del lado izquierdo de la Fig. 2.8, denominados AR…, pertenecen a la clase de modelos equation

error (error de ecuación). Su característica es que el filtro )(/1 qA es común a ambos, al modelo

del proceso determinístico y al modelo de ruido estocástico. Todos los modelos del lado derecho

de la Fig 2.8 pertenecen a la clase de modelos output error (error de la salida), los cuales son

caracterizados por un modelo de ruido que es independiente del modelo del proceso

determinístico.

El modelo ARX, autoregressive with exogenous input, (auto regresivo con variable

exógena) es una extensión del modelo AR, Fig. 2.8 (a). En una considerable parte de la literatura

y en viejas publicaciones, el modelo ARX es llamado modelo “ARMA” para expresar el factor

que ambos el polinomio numerador y un denominador existe.

)()(

1)(

)()(

)( kvqA

kuqAqB

ky += (1.6)


Figura. 1.8. Resumen de los modelos dinámicos lineales comunes. (a) ARX (b) ARMAX (c) ARARX (d) O E (e) BJ (f) FIR.

El termino “auto regresivo” se relaciona a que la función de transferencia esta afectada desde la

entrada )(ku a la salida )(ky tan bien como la función de transferencia del ruido desde )(kv a

)(ky . La parte estocástica y la parte determinística del modelo ARX tienen dinámicas con

idéntico denominador.

El modelo autoregressive moving average with exogenous input (promedio móvil auto regresivo

con variable exógena) ARMAX, es un extensión del modelo ARMA. Fig.2.8 (b).


)()()(

)()()(

)( kvqAqC

kuqAqB

ky += (1.7)

Como para el modelo ARX, el modelo ARMAX asume igual dinámica con idéntico denominador

para la entrada y la función de transferencia del ruido. Sin embargo la función de transferencia

del ruido es más flexible debido al polinomio de promedio móvil )(qC .

El modelo autoregressive autoregressive with exogenous input (auto regresivo auto regresivo

con variable exógena) ARARX, es una extensión del modelo AR. Fig. 2.8 (d).

)()()(

1)(

)()(

)( kvqAqD

kuqAqB

ky += (1.8)

Este es un modelo ARX con flexibilidad adicional en el denominador de la función de

transferencia del ruido. Así, en vez de un filtro adicional de promedio móvil )(qC como en el

modelo ARMAX, el modelo ARARX tiene un filtro adicional auto regresivo )(/1 qD .

El ultimo de este tipo es el modelo autoregressive autoregresive moving average with exogenous

input. (Promedio móvil Auto regresivo auto regresivo con variable exógena) ARARMAX, es

definido como.

)()()(

)()(

)()(

)( kvqAqD

qCku

qAqB

ky += (1.9)

Todos los modelos AR… comparten el polinomio )(qA como dinámica en el denominador en la

función de transferencia de entrada y la función de transferencia del ruido. Estos modelos

también son llamados modelos equation error (error de ecuación). Esto corresponde a que el

ruido no influye directamente a la salida )(ky del modelo, pero en cambio se introduce al modelo

antes por medio del filtro )(/1 qA . Estos modelos adoptados son razonables si verdaderamente el

ruido se introduce al proceso primero, entonces sus características de frecuencia son

determinadas por la dinámica del proceso. Si el ruido es principalmente medidas de ruido que

típicamente y directamente perturba la salida, los llamados modelos output error (error de salida)

son mas realistas.

Los modelos output error son caracterizados por modelos de ruido que no contienen la dinámica

del proceso. Así, el ruido se asume que afecta la salida del proceso directamente.


El mas evidente de los modelos entrada/salida es el output error (error de salida) OE. Fig.2.8 (d).

)()()()(

)( kvkuqFqB

ky += (1.10)

Este modelo OE es un modelo especial de la clase de los modelos output error. No hay que

confundir la clase de modelos output error con el caso especial de modelo output error, por causa

que tienen el mismo nombre. Para aclarar, la abreviatura OE siempre se refiere a el caso especial

de modelo output error EC 2.10. En comparación con el modelo ARX, el ruido blanco se

introduce al modelo OE directamente sin ningún filtro.

Este modelo OE puede ser aumentado en flexibilidad, filtrando el ruido blanco a través de un

filtro ARMA. Esto define el modelo Box-Jenkins BJ. Fig. 2.8 (e).

)()()(

)()()(

)( kvqDqC

kuqFqB

ky += (1.11)

El modelo BJ se relaciona al modelo ARARMAX como el modelo OE se relaciona al modelo

ARX. La entrada y la función de transferencia del ruido son parametrizados separadamente y por

lo tanto independientes. El caso especial de 1)( =qC o 1)( =qD no tiene nombres especiales.

Finalmente un modelo bastante diferente pertenece a la clase de modelos output error. El

modelo respuesta al impulso finita, FIR es definido por.

)()()()( kvkuqBky += (1.12)

El modelo FIR es un modelo OE o ARX sin realimentación de salida, esto es, 1)( =qF o

,1)( =qA respectivamente. Una extensión del modelo FIR es el modelo orthonormal basis

functions (funciones de base orthonormal) OBF.

Note que por simplicidad los procesos y los modelos se asumen que no tienen tiempo muerto. Sin

embargo, en cualquier ecuación el tiempo muerto puede ser fácilmente introducido reemplazando

la entrada )(ku con la entrada retrasada d pasos ( )dku − . A demás, esto supone que los procesos

y los modelos no tienen camino directo desde la entrada a la salida, entonces )(ku no afecta


inmediatamente la salida. Entonces, los términos como )(kbou no aparecen en las ecuaciones de

diferencia. Estas suposiciones son cumplidas por casi cualquier proceso del mundo real.

Tabla 1.1 Ecuaciones de los modelos lineales mas comunes.

1.5 APLICACIONES DE UN MODELO

La aplicación más común de un modelo es pronosticar el comportamiento futuro de un proceso.

Para esto se tienen dos conceptos diferentes simulación y predicción.

1.5.1 SIMULACION

Si la respuesta del modelo a una secuencia de entrada se calcula mientras la salida de proceso es

desconocida, a esto se le llama simulación. En la Fig. 2.10. se observa el concepto de simulación.

La simulación puede ser completamente determinística EC.2.13.

)()()(ˆ kuqGky = (1.13)

También la simulación puede tener en cuenta la parte estocástica EC. 2.14

)()()()()(ˆ kwqHkuqGky += (1.14)


(a)

(b)

(c)

(d)

Figura. 1.9. Clasificación de los modelos lineales según: (a) su respuesta al impulso. (b) tipo de error (c) si tiene entradas. (d) las propiedades de ruido. Dinámica igual se refiere a que los denominadores

de la parte determinística y estocástica son iguales.


Figura. 1.10. Concepto de simulación

Donde )(kw es ruido blanco. La EC 2.14. es solo una mejor salida que la EC 2.13. El menor

error de simulación debe esperarse de la EC 2.13. desde que )(kw sea una señal de ruido

diferente que la original pero no medible )(kv .

1.5.2 PREDICCION

Si las salidas del proceso son conocidas en algún instante de tiempo, por decir 1−k , y este valor

es utilizado para calcular la salida del modelo l pasos en el futuro; a este proceso se le llama

predicción. Esto quiere decir que la información de salidas anteriores del proceso son utilizadas.

Entonces un óptimo predictor debe combinar las entradas y salidas anteriores del proceso en

alguna forma. Entonces un predictor lineal óptimo puede ser definido como la combinación

lineal de entradas filtradas y de salidas del proceso filtradas. EC 2.15.

)()1()()1()()(ˆ 110 ntkytkytnskuskuskusky ntns −++−+−++−+= ΛΛ (2.15)

)()()()()(ˆ kyqTkuqSky += (2.16)

El termino )()( kuqS contiene información sobre la parte determinística y el termino

)()( kyqT introduce la parte estocástica en el predictor, desde que )(ky sea contaminada con

ruido. En la Fig. 2.11 se observa el concepto de predicción.


Figura. 1.11. Concepto de predicción.

1.5 MODELOS MAS UTILIZADOS

Los modelos con realimentación de la salida son los mas conocidos y aplicados; se dicen que

estos son con realimentación de la salida debido a que el modelo utiliza para calcular la salida,

salidas anteriores del modelo; esto se hace especialmente evidente cuando se observa la ecuación

en diferencias del modelo. Especialmente los modelos ARX, ARMAX, y OE; particularmente

son los que se estudiaran y utilizaran a fondo.

1.5.1 ARX

El modelo ARX es el más ampliamente aplicado de los modelos lineales dinámicos. Usualmente

un modelo ARX es tratado primero y solo si su desempeño no es satisfactorio, se examinan

modelos con estructuras más complejas. Sin embargo el modelo ARX es especialmente realista

puesto que coincide con estructuras de muchos procesos del mundo real. La popularidad del

modelo ARX es debido a la facilidad de cálculo de sus parámetros. Los parámetros es este

modelo pueden estimarse con la técnica lineal de mínimos cuadrados, esto si el error de

predicción es lineal en los parámetros.


El modelo ARX esta dibujado en la Fig 2.8 (a) y descrito por la EC 2.6.

)()(

1)(

)()(

)( kvqA

kuqAqB

ky += (1.16)

El predictor es.

)())(1()()()(ˆ kyqAkuqBky −+= (1.17)

El cual puede ser escrito de la forma.

)()1()()1()()(ˆ 110 nkyakyamkubkubkubky nm −++−+−++−+= ΛΛ (1.18)

Donde n es el orden de )(qA y m-1 es el orden )(qB . La EC 2.18 es también la representación

de la ecuación en diferencias del modelo ARX. El predictor ARX es estable, si y solo si no tiene

realimentación, incluso si el polinomio )(qA y por consiguiente el modelo ARX es inestable.

Esto permite modelar procesos que son inestables con modelos ARX. Esta característica la tienen

todos los modelos equation error (error de ecuación) puesto que el polinomio )(qA solo aparece

en el denominador de sus predictores, entonces los predictores son estables incluso si )(qA es

inestable.

Con la EC 2.17. el error de predicción de un modelo ARX es.

)()()()()( kuqBkyqAke −= (1.19)

El término )()( kyqA actúa como un filtro blanqueador sobre las perturbaciones correlacionadas.

La salida medida )(ky puede dividirse en dos partes: la salida no contaminada del proceso )(kyu

y las perturbaciones )(kn , donde )()()( knkyky u += . Desde que )()(/1)( kvqAkn = con

)(kv siendo ruido blanco )()()()()( kvkyqAkyqA u += . Entonces, el filtro )(qA en la EC 2.19

hace las perturbaciones y consecuentemente )(ke es blanco.

Como se observa en la Fig. 2.8 (a), una de las características del modelo ARX es que las

perturbaciones, Ej. Ruido blanco )(kv , se asume que entra al proceso antes que la dinámica del


denominador )(qA . También se puede decir que el modelo ARX tiene un modelo de ruido

)(/1 qA . Entonces el denominador del modelo de ruido es idéntico al modelo de ruido del

proceso. Lo que se asume puede ser justificado si la perturbaciones entran al proceso antes,

incluso también en este caso las perturbaciones podrían pasar a través de alguna parte de la

dinámica del numerador )(qB . Sin embargo algunas veces lo que se asume del modelo de ruido

se viola en la practica. Perturbaciones en la salida del proceso se analizan con el modelo OE.

1.5.2 ARMAX

El modelo ARMAX es probablemente el segundo modelo lineal más popular después del

modelo ARX. Comparada con ARX, el modelo ARMAX es más flexible porque posee una

extensión en modelo de ruido. A pesar de esto con esta extensión el modelo ARMAX llega a ser

no linear en sus parámetros. El algoritmo de mínimos cuadrados extendidos ELS, se utiliza para

estimar sus parámetros.

El modelo ARMAX es dibujado en la figura 2.8 (b) esta descrito por la EC. 2.7.

)()()(

)()()(

)( kvqAqC

kuqAqB

ky += (1.7)

El predictor óptimo ARMAX es.

)())()(

1()()()(

)(ˆ kyqCqA

kuqCqB

ky −+= (1.20)

El predictor es estable incluso si el polinomio )(qA y por consiguiente el modelo ARMAX es

inestable. Sin embargo, el polinomio )(qC se requiere que sea estable.

Con la EC 2.20. el error de predicción de un modelo ARMAX es.

)()()(

)()()(

)( kuqCqB

kyqBqA

ke −= (1.21)


Viendo las anteriores ecuaciones el modelo ARMAX es una extensión del modelo ARX debido a

la introducción del filtro )(qC . Si el filtro 1)( =qC ARMAX se simplifica al modelo ARX.

Debido al adicional filtro )(qC el modelo ARMAX es más flexible. Ej. Si )()( qAqC = el modelo

ARMAX puede imitar el modelo OE. Como el filtro de ruido )(/)( qAqC contiene el polinomio

de la dinámica del modelo determinístico, el modelo ARMAX pertenece a la clase de modelos

equation error (error de ecuación).

1.5.3 OE

Juntos con los modelos ARX y ARMAX, el modelo OE es la estructura mas ampliamente usada.

Este modelo es la mas simple representación de la clase de modelos output error (error de salida).

El ruido se asume que contamina aditivamente al proceso en la salida, no en alguna parte

interior en el proceso como se asume en modelos equation error. Muchas veces lo modelos

output error son mas realistas, y estos usualmente de desempeñan mejor que los modelos

equation error. Sin embargo, porque los modelos de ruido no incluyen el denominador de la

dinamica del proceso )(/1 qA , todos los modelos output error son no lineales en sus parámetros

y consecuentemente sus parámetros son mas duros de estimar.

El modelo OE es dibujado en Fig. 2.8 (d) y esta descrito por.

)()()()(

)( kvkuqFqB

ky += (1.10)

El predictor optimo es de hecho un simulador puesto que este no utiliza ninguna de la mediciones

de salida de proceso )(ky .

)()()(

)(ˆ kuqFqB

ky = (1.22)

Desafortunadamente el predictor es inestable si el polinomio )(qF es inestable. Como

consecuencia el modelo OE no puede ser usado para modelamiento de sistemas inestables. Lo

mismo se mantiene para todos los modelos pertenecientes a la clase de modelos output error.

Con la EC 2.22. el error de predicción para un modelo OE es.


)()()(

)()( kuqFqB

kyke −= (1.23)

Para ilustrar porque la salida predicha, EC 2.23, de un modelo OE es no linear es sus parámetros

se analiza lo siguiente.

)(ˆ)1(ˆ)()1()(ˆ 10 nkyfkyfmkubkubky nm −++−−−++−= ΛΛ (1.24)

Comparando con el modelo ARX, la salida medida en EC 2.17. es reemplazada con la salida

predicha o simulada, para el caso de OE es lo mismo. Entonces aquí esta la razón de la no

linealidad de los parámetros en la EC 2.24. Las salidas del modelo predichas )(ˆ iky − dependen

de ellas mismas sobre es modelo de parámetros. Entonces en los términos )(ˆ ikyfi − ambos

factores dependen de los parámetros del modelo, lo cual resulta en una dependencia no lineal.

Para superar estas dificultades una forma es aproximar en la EC 2.24 las salidas del modelo

)(ˆ iky − por las salidas del proceso medidas )( iky − . Entonces el modelo OE se simplifica al

modelo ARX, el cual es verdaderamente lineal en sus parámetros.

1.5.4 COMENTARIOS SOBRE LOS DEMAS MODELOS

Los modelos ARARX, BJ, ARARMAX, como tienen muchos mas parámetros que se tiene que

estimar, en la practica no son muy utilizados. Los modelos OBF los cuales contienen los modelos

FIR, son ampliamente utilizados. Ej. cuando un modelo ARX o ARMAX o OE no representa

satisfactoriamente un proceso estudiado, se intenta representar el modelo con una estructura

OBF. Sin embargo los modelos OBF no son estudiados en este trabajo, porque se hace énfasis en

los modelos mas utilizados. Los modelos MA, AR, ARMA no tienen mucha importancia desde

el punto de vista de control, puesto que los modelos no tienen entrada con la cual se pueda

modificar el comportamiento del proceso. Sin embargo pueden ser utilizados para estudiar y

analizar el comportamiento estocástico de un proceso estudiado.

CAPITULO 5 DESARROLLO DE LA APLICACIÓN

2 ESTIMACION DE PARAMETROS EN TIEMPO REAL

La determinación en línea o en tiempo real de los parámetros de un proceso, es el elemento clave

que permite el desarrollo del control adaptativo. En un controlador auto ajustable un estimador

recursivo de parámetros del proceso es un componente indispensable y explícito en su estructura

básica.

En este capitulo se desarrolla un método de estimación de parámetros llamado mininos

cuadrados, LS, empezando con una conceptualización bás ica de sistemas de identificación, hasta

llegar a una estimación en tiempo real. El método LS es ampliamente utilizado por su eficacia,

sencillez y eficiencia computacional. Se trabaja con sistemas SISO.

2.1 ELEMENTOS PRINCIPALES EN UN SISTEMA DE IDENTIFICACION.

La identificación paramétrica es un método ampliamente utilizado en sistemas de identificación.

Los elementos principales de un sistema de identificación son:

a. Selección de la estructura del modelo.

b. Diseño de experimento.

c. Estimación paramétrica.

d. Validación.

El objetivo de un sistema de identificación en sistemas adaptativos es que se ejecute

automáticamente, por esto es necesario tener un entendimiento total de todos los aspectos del

problema y de los elementos del sistema de identificación.

La selección de la estructura del modelo y la parametrización son partes irrelevantes en la

identificación. Los problemas de identificación se simplifican significativamente si los modelos


que se utilizan son lineales en sus parámetros. El diseño del experimento es vital para un sistema

de identificación exitosa, esto se refiere en el campo del control, a la selección de una señal de

entrada adecuada al proceso, esta elección requiere de algún conocimiento previo del proceso y

del uso proyectado del modelo a utilizar.

Hay una complicación en sistemas adaptativos aplicados en sistemas de control, puesto que las

señales de entrada al proceso son generadas por realimentación, y en algunos casos por esta

razon, los parámetros no pueden ser calculados singularmente. Esta situación tiene consecuencias

indeseables, llevando en algunos casos a introducir señales de perturbación.

En control adaptativo los parámetros del proceso cambian continuamente, lo que hace necesario

tener métodos de estimación que actualicen recursivamente los parámetros. Por esto en la

resolución de problemas de control es muy importante la validación de resultados, especialmente

en control adaptativo, en el cual la identificación es hecha automáticamente.

El método de mínimos (LS) cuadrados es la técnica básica de identificación parametrica, es

simple si el modelo tiene la propiedad de ser lineal en sus parámetros, así las estimación de los

parámetros por este método puede ser calculado analíticamente.

2.2 MINIMOS CUADRADOS (LS) Y MODELOS DE REGRESION.

Karl Friedrich Gauss formulo el principio de LS al final del siglo XVIII. El principio dice que

parámetros no conocidos de un modelo matemático deben ser escogidos de forma que:

La suma de los cuadrados de las diferencias entre valores observados y valores calculados,

multiplicados por números que midan el grado de precisión; sea un mínimo.

El método de mínimos cuadrados puede aplicarse a una gran variedad de problemas. El modelo

matemático es particularmente simple y puede ser escrito de la siguiente manera.

)(*)()(*)()(2*)(2)(1*)(1)( iiininiiiiiy oT θϕθϕθϕθϕ =+⋅⋅⋅++= (2.1)


Donde y es la variable observada, que en términos de control es el valor de salida de un

proceso en un instante i; nθθθ ,...,2,1 son los parámetros del modelo para ser determinados, y

nϕϕϕ ,...,2,1 son funciones conocidas que quizás dependan de otras funciones conocidas. En

términos de control estas funciones son datos de entrada y salida pasados.

Definiendo los siguientes vectores como:

[ ])(......)....(2)(1)( iniiiT ϕϕϕϕ = (2.2)

=oθ [ ]Tinii )(......)....(2)(1 θθθ (2.3)

El modelo es indexado por la variable i, la cual generalmente denota la variable tiempo. Se asume

que el conjunto indexado es un conjunto discreto. Las variables i.ϕ son llamadas variables de

regresión o regresores, y el modelo de la EC 3.1 es llamado modelo de regresión. La pareja de

observaciones y regresores ( ) }{ tiiiy ,...2,1,)(),( =ϕ son obtenidos en un experimento.

El problema es entonces determinar los parámetros de tal forma que las salidas calculadas del

modelo de la EC 3.1 concuerde tan cerca como se posible con la medida de las variables )(iy

en el sentido de mínimos cuadrados. Esto es, los parámetros oθ deben ser escogidos para

minimizar la función de perdida mínimos cuadrados.

2

1

)*)()((21

),( θϕθ ∑=

−=t

i

T iiytV (2.4)

Desde que la variable medida )(iy es lineal en parámetros oθ y el criterio de mínimos

cuadrados es cuadrático, el problema admite una solución analítica. Introduciendo la notación.

[ ])(...)...2()1()( tyyytY = (2.5)

[ ])(....)...2()1()( teeeeeet =Ε (2.6)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=Φ)(

)1(

tT

T

ϕ

ϕΜ (2.7)


1

1

1 ))(*)(())(*)(()( −

=

− ∑=ΦΦ= iitttPt

i

TT ϕϕ (2.8)

Donde los residuos )(iee son definidos por.

θϕ *)()()()()( iiyiyiyiee T−=−=∧

(2.9)

Con esta notación la función de perdida EC 3.4 se puede escribir.

2

1

2

21

21

)(21

),( Ε=ΕΕ== ∑=

Tt

i

ietV θ (2.10)

Donde Ε puede ser escrito como.

θΦ−=−=Ε∧

YYY (2.11)

La solución para el problema de mínimos cuadrados es dada por el siguiente teorema.

3.2.1 ESTIMACION MINIMOS CUADRADOS

La función de la EC 3.4 es mínimo para parámetros ∧

θ tal que.

YTT Φ=ΦΦ∧

θ (2.12)

Si la matriz ΦΦT es no singular, el mínimo es único y es dada por.

YTT ΦΦΦ= −∧

1)(θ (2.13)

Comentarios.

• La ecuación EC 3.12 es llamada ecuación normal. La EC 3.13 puede ser escrita como.

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= ∑∑∑==

−

=

∧ t

i

t

ii

t

i

T iyttPiyiii1

1

1

)()()()()()()( ϕϕϕϕθ (2.14)

• La condición que la matriz ΦΦT sea invertible es llamada condición de excitación.

• El criterio de mínimos cuadrados pondera todos los errores )(ie igualmente, y esto es

consecuencia de asumir que todas las medidas tienen la misma importancia o precisión.


Diferentes ponderación del error puede ser considerados cambiando la función de perdida

EC 3.4 por

ΕΕ= WV T

21

(2.15)

Donde W es una matriz diagonal, con los diferentes pesos en la diagonal. La estimación de

mínimos cuadrados es dada por.

WYW TT ΦΦΦ= −∧

1)(θ (2.16)

Ejemplo 2.1. Estimación mínimos cuadrados de un sistema estático.

Se supone unos datos medidos de entrada salida de un sistema como se observa en la figura 3.1.

Los datos son generados con el siguiente sistema.

)()(*)(*)( 2 ieiuaiubciy +++= (2.17)

y es la salida del sistema , u es la entrada del sistema y e es un ruido Gaussiano con media cero y

desviación estándar 0.05 o 0.3. El sistema es linear en los parámetros entonces puede ser escrito

como la EC 3.1. El objetivo es estimar los parámetros de un modelo que se define antes, para

representar el comportamiento de los datos.

La salida es medida para 41 diferentes entradas como se observa en los círculos en la figura 3.1.

En la practica el modelo no es conocido, pero se debe decidir un apropiado modelo. Se toman los

siguientes modelos para estimar sus parámetros.

Modelo 1: ciubiy += )(*)(

Modelo 2: ciubiuaiy ++= )(*)(*)( 2


-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-3

-2

-1

0

1

2

3

Sal

ida

(a) Entrada

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-3

-2

-1

0

1

2

3

Sal

ida

(b) Entrada Figura 2.1. Los círculos en azul representan datos medidos. Los resultados de la estimación, rojo

para parábola, negro para recta. (a) Datos contaminados con ruido con desviación estándar 0.05.(b) con desviación estándar 0.3.

Para la estimación se define el vector regresor para construir la EC 3.7, el vector de parámetros

y el vector de datos de salida EC 3.13.

[ ]1)()()( 2 iuiuiT =ϕ

[ ]cbao =θ


Desviación

estándar del

ruido

modelo ∧

a ∧

b ∧

c V

0.05 1 - 2.000626 -0.644439 0.198150

0.05 2 0.968499 2.000626 -0.983414 0.002172

0.3 1 - 2.065230 -0.638333 0.221543

0.3 2 1.024074 2.065230 -0.996759 0.010829

Tabla 2.1. Estimación de mínimos cuadrados, la función de pérdida, para los modelos

del ejemplo 2.1.

Construida la EC 3.7 se calculan los parámetros estimados mediante la EC 3.13. La tabla 3.1

muestra la estimación de mínimos cuadrados de los diferentes modelos con la función de pérdida

resultante. La función de perdida es una medida de la precisión de la estimación. Se estimaron

parámetros para datos medidos contaminados con ruido con desviación estándar 0.05 y 0.3. En la

figura 3.1 se muestra la estimación para los diferentes modelos. Por supuesto el modelo 2 que

equivale a la ecuación de una parábola representa mejor el comportamiento de los datos medidos.

El modelo 1 que equivale al de una recta, no puede reproducir muy bien el comportamiento de

los datos medidos. Lo anterior demuestra la importancia de escoger el modelo apropiado, es decir

la cantidad de parámetros a calcular, para poder representar el comportamiento deseado. Si

embargo también se pudo haber escogido un modelo que involucrara un término cúbico a demás

en el modelo 2, es decir un parámetro a demás par calcular, pero no fue necesario porque la

estimación arrojo muy buenos resultados utilizando el modelo2. Cuando se utiliza un modelo

para representar un tipo determinado de comportamiento pero este mismo resultado se logra con

un modelo que tiene menos parámetros para estimar, a este fenómeno se le conoce como sobre

ajuste. Lo anterior resalta la importancia de escoger bien el modelo.

2.2.2 INTERPRETACION ESTADISTICA


El método de mínimos cuadrados puede ser interpretado en términos estadísticos. Entonces es

necesario asumir algunas cosas sobre como fueron generados los datos. Se asume que el proceso

es.

)()(*)()( ieiiiy oT += θϕ (2.18)

Donde )(ioθ es el vector de parámetros “verdaderos” y e(i) { i=1,2,…} es un secuencia de

independientes variables aleatorias igualmente distribuidas y con media cero. También se asume

que e(i) es independiente de ϕ . Entonces la EC 3.11 puede ser escrita.

Ε+Φ= oY θ

Multiplicando por ( ) TT ΦΦΦ−1

resulta.

( ) ( ) ΕΦΦΦ+==ΦΦΦ−∧∧− TToTT Y

11θθ (2.19)

Con tal que Ε sea independiente de TΦ , lo cual es equivalente a decir que e(i) es independiente

de )(iϕ , la expectativa matemática de ∧

θ es igual a oθ . Una estimación con esta propiedad es

llamada imparcial.

2.2.2.1 Propiedades estadísticas de la estimación de mininos cuadrados.

Considere la estimación de la EC 3.13 y se asume que los datos son generados de la EC 3.18,

donde e(i), { i=1,2,…} es un secuencia de variables aleatorias independientes con media cero y

varianza 2σ . E denota la expectativa matemática y cov la covarianza de una variable aleatoria. Si

ΦΦT es no singular, entonces.

(i) E∧

θ (t)= oθ

(ii) Cov 12 )()( −∧

ΦΦ= Tt σθ

(iii) )/(),(*2)(2

nttVt −=∧∧

θσ es una estimación imparcial de 2σ .


Donde n es el numero de parámetros en oθ y ∧

θ y t es el numero de datos puntuales. Todo lo

anterior manifiesta que la estimación es imparcial, esto es, E∧

θ (t)= oθ . A demás, es deseable que

una estimación converja a los verdaderos valores de los parámetros cuando el número de

observaciones tiende hacia infinito. Esta propiedad es llamada consistencia. Hay muchas

nociones de consistencia correspondiente a diferentes conceptos de convergencia para variables

aleatorias. La convergencia media cuadrática es una posibilidad, la cual puede ser investigada

simplemente analizando la varianza de la estimación. El resultado (ii) puede se usado para

determinar como la varianza de la estimación decrece con el numero de observaciones.

2.2.3 CALCULOS RECURSIVOS

En controladores adaptativos las observaciones son obtenidas secuencial mente en tiempo real.

Por esto es necesario hacer cálculos recursivos para ahorrar tiempo de cálculo. El cálculo de la

estimación de mínimos cuadrados puede ser reconfigurada de tal forma que los resultados

obtenidos en el tiempo t-1, puedan ser usados para la estimación en el tiempo t. La solución de

la EC 3.13 para el problema de mínimos cuadrados se puede re-escribir de forma recursiva. Sea

θ̂ la estimación de mínimos basada en las medidas hasta el tiempo t-1. Se asume que la matriz

ΦΦT es no singular para todo el tiempo. Se trabaja con la EC 3.8 entonces.

)()()()()(*)()(*)()(1

11

1 itiiiitttP Tt

i

Tt

i

TT ϕϕϕϕϕϕ ∑∑−

==

− +===ΦΦ=

)()()1(1 tttP Tϕϕ+−= − (3.20)

La estimación de mínimos cuadrados es dada por la EC 3.14

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= ∑∑−

==

∧ 1

11

)()()()()()()()(t

i

t

i

tytiyitPiyttP ϕϕϕθ

Trabajando con la anterior EC y la EC 3.20 se tiene.

)1()()()1()()1()1()()( 111

1

−−−=−−=∧∧

−∧

−−

=∑ tttttPttPiyi Tt

i

θϕϕθθϕ


La estimación en el tiempo t puede ser ahora escrita.

)()()()1()()()()1( tyttPttttPt T ϕθϕϕθθ +−−−=∧∧∧

))1()()()(()()1( −−+−=∧∧

tttyttPt T θϕϕθ

)()()1( teetKt +−=∧

θ

Donde

)()()( ttPtK ϕ=

)1()()()( −−=∧

tttytee T θϕ

El residuo )(tee puede ser interpretado con el error de predicción de la señal )(ty un paso

adelante basado en la estimación. Es necesario también deducir una ecuación recursiva para )(tP

preferiblemente que para 1)( −tP . Utilizando el siguiente teorema.

2.2.3.1 Teorema. Matriz de inversión.

Sea la matriz C , A , y BDAC 11 −− + matices cuadradas no singulares. Entonces BCDA + es

invertible, y. 1111111 )()( −−−−−−− +−=+ DABDACBAABCDA

Aplicando el teorema anterior a )(tP y usando la EC 3.20, se tiene.

( ) 11 )()()1()1())()(()(−− +−Φ−Φ=ΦΦ= tttttttP TTT ϕϕ

( ) 11 )()()1(−− +−= tttP Tϕϕ

)1()())()1()()(()1()1( 1 −−+−−−= − tPtttPtIttPtP TT ϕϕϕϕ

Esto implica que. 1))()1()()(()1()()()( −−+−== ttPtIttPttPtK T ϕϕϕϕ


Note que una matriz de inversión es necesaria para calcular P . De cualquier forma, la matriz es

invertida y es de dimensión igual al número de medidas. Sin embargo, si el sistema es de una

sola salida este cálculo da como resultado un escalar.

2.2.3.2 Estimación de mínimos cuadrados recursiva (RLS).

Se asume que la matriz )(tΦ tiene rango completo, esto es, )()( ttT ΦΦ es no singular, para todo

el tot ≥ . Dado )(to∧

θ y ( ) 1)()()(

−ΦΦ= tttoP T , la estimación de mínimos cuadrados )(t

∧

θ debe

satisfacer las ecuaciones recursivas.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+−=

∧∧∧

)1()()()()1( tttytKt T θϕθθ (2.21)

1))()1()()(()1()()()( −−+−== ttPtIttPttPtK T ϕϕϕϕ (2.22)

)1())()(()( −−= tPttKItP Tϕ (2.23)

Comentarios.

• La EC 3.21 tiene una gran apariencia intuitiva. La estimación ∧

θ (t) es obtenida

adicionando una corrección a una previa estimación )1( −∧

tθ . La corrección es

proporcional a )1()()( −−∧

ttty T θϕ , Donde el ultimo termino puede ser interpretado como

el valor de y en el tiempo t predicho por el modelo de la EC 3.1. El termino de la

corrección es así proporcional a la diferencia entre el valor medido de )(ty y la predicción

de )(ty basado en los previos parámetros estimados. Los componentes del vector

)(tK son los factores de ponderación que dicen como la corrección y la previa estimación

deben ser combinados.

• La estimación mínimos cuadrados pueden ser interpretados como un filtro de Kalman

para el proceso.


)()()()(

)()1(

tettty

ttT +=

=+

θϕ

θθ (2.24)

2.2.3.3 Condiciones iniciales para P(t) y para θ(t).

La matriz )(tP es definida solo cuando la matriz )()( ttT ΦΦ es no singular. Desde que.

∑=

=ΦΦt

i

TT iitt1

)()()()( ϕϕ

Entonces la matriz ΦΦT es siempre no singular si nt < . Para obtener la condición inicial para

P , es necesario escoger tot = tal que )()( totoT ΦΦ es no singular. Las condiciones iniciales son.

( ) 1)()()(

−ΦΦ= tototoP T

)()()()( toYtotoPto TΦ=∧

θ

Las ecuaciones recursivas pueden ser usadas para tot > . Es entonces, es conveniente

usualmente usar ecuaciones recursivas en todos los pasos. Si las ecuaciones recursivas son

inicializadas con la condición inicial.

PoP =)0(

entonces Po es definida y positiva, entonces.

( ) 11 )()()(−− ΦΦ+= ttPotP T

Se ve que )(tP puede ser hecho arbitrariamente cerca de ( ) 1)()(

−ΦΦ ttT escogiendo Po

Lo suficientemente grande.

En términos prácticos, el algoritmo recursivo requiere aproximar el valor inicial del vector de

parámetros y de la matriz P(t). Si es posible realizar una primera estimación del vector de los

parámetros, por ejemplo utilizando LS no recursivo. La matriz P(0) debe reflejar la confianza de

los parámetros estimados. En el caso en que P(0) sea pequeño, K(t) será pequeño para los

distintos t y los parámetros estimados no variaran mucho del valor inicial. Mientras que, si P(0)

es grande la estimación de los parámetros variará rápidamente del valor inicial. En ausencia de


información previa para realizar una primera estimación de los parámetros, se acostumbra a

considerar: 0)0(ˆ =θ , kIP =)0( , donde k es un número grande.

Usando la interpretación del filtro de Kalman del método de mínimos cuadrados, esto puede

verse que la forma como la inicialización del calculo recursivo corresponde a la situación el la

cual los parámetros tiene una distribución inicial con media oθ y covarianza Po .

2.2.4 PARAMETROS VARIANTES EN EL TIEMPO

En el modelo de mínimos cuadrados EC 3.1 los parámetros oiθ se asumen que son constantes. En

muchos problemas de control adaptativo es importante considerar la s ituación en la cual los

parámetros son variantes en el tiempo. Dos casos son cubiertos con una simple extensión del

método de los mínimos cuadrados. Uno es el caso en que los parámetros cambian abruptamente

pero no con mucha frecuencia. El otro caso es que los parámetros cambien continuamente pero

lentamente. El caso en que los parámetros cambian abruptamente la solución es

reestablecimiento. La matriz P en el algoritmo de mínimos cuadrados es periódicamente

reestablecida a Iα , donde α es un numero grade. Esto implica que la ganancia )(tK en el

estimador llega a ser grande y la estimación puede ser actualizada con un paso más grande. El

caso en el cual los parámetros varían en el tiempo pero lentamente puede ser trabajando con un

simple modelo matemático. Una aproximación simple es cambiar el criterio de mínimos

cuadrados de la EC 3.4 con.

( )2

1

)()(21

),( θϕλθ iiytV Tt

i

it −= ∑=

− (2.25)

Donde λ es un parámetro tal que 10 ≤< λ . El parámetro λ es llamado factor de olvido o factor

de descuento. La función de perdida de la EC 3.25 implica que una ponderación variante en el

tiempo es introducida. El más reciente dato se la da una ponderación de uno, pero el dato que esta

n unidades de tiempo antes es ponderado por nλ . El método es llamado olvido exponencial o

descuento exponencial.


2.2.4.1 Mininos cuadrados recursivos con olvido exponencial.

Se asume que la matriz )(tΦ tiene rango completo para tot ≥ . Los parámetros θ , los cuales

minimizan la EC 3.25 son dadas recursivamente como.

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+−=

∧∧∧

)1()()()1( tttytKt T θϕθθ (2.21)

( ) 1)()1()()()1()()()(

−−+−== ttPtIttPttPtK T ϕϕλϕϕ (2.26)

λϕ /)1())()(()( −−= tPttKItP T (2.27)

Una desventaja del olvido exponencial es que el data es descontado incluso si 0)()( =ttP ϕ . Esta

condición implica que )(ty no contiene alguna nueva información sobre los parámetros θ . En

este caso la matriz P se incrementa exponencialmente con rata λ .

2.3 ESIMACION DE PARAMETROS EN SISTEMAS DINAMICOS

El método de mínimos cuadrado puede ser usado para estimar los parámetros en modelos de

sistemas dinámicos. Esto depende de las características del modelo y de su parametrización. Esto

quiere decir que todas las ecuaciones antes formuladas pueden ser utilizadas con estos modelos

haciendo unos pequeños ajustes.

2.3.1 MODELO DE RESPUESA FINITA AL IMPULSO (FIR)

Un sistema dinámico lineal variante en el tiempo es singularmente caracterizado por su respuesta

al impulso. La respuesta al impulso es en general dimensional-infinita. Para sistemas estables la

respuesta al impulso tendera a cero exponencialmente rápido y quizá entonces sea trucada.

Entonces, de cualquier forma, un numero grande de parámetros debe ser necesario para

representar el modelo, si el tiempo de muestreo es pequeño en comparación con la constante de


tiempo mas lenta del sistema. Esto resulta en el llamado modelo FIR, el cual es llamado un filtro

transversal. El modelo puede ser descrito por la EC en diferencias.

)()2(2)1(1)( ntbnutubtubty −++−+−= Λ

ó

θϕ )1()( −= tty T

Donde el vector de parámetros a estimar y el vector regresor son respectivamente.

( )bnbT Λ1=θ

( ))()1()1( ntututT −−=− Λϕ

Este modelo es idéntico al modelo de regresión de la EC 3.1. El modelo claramente encaja con

toda la formulación de mínimos cuadrados, y el estimador esta entonces determinados por las

ecuaciones del método de RLS.

El estimador de parámetros puede ser representado por el diagrama de bloques de la figura 3.2.

Este estimador puede ser considerado como un sistema con entradas u y y y salida θ . Desde

que la señal sea

)()1()1()1(1 ntutnbtutby −−++−−=∧∧∧

Λ

y este disponible en el sistema , también se puede considerar )(ty∧

como una salida. Desde que

)(ty∧

sea una estimación de y , el estimador recursivo puede ser interpretado como un filtro

adaptativo para predecir y .

Figura 2.2 Diagrama de bloques de un estimador paramétrico recursivo para un modelo FIR.


2.3.2 MODELOS DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA

Dado el sistema descrito por el modelo.

)()()()( tutBtyqA = (2.28)

donde q es el operador de desplazamiento de adelanto y )(qA y )(qB son los polinomios.

anqaqqA nn +++= − Λ11)(

bmqbqbqB mm +++= −− Λ21 21)(

La EC 3.28 como EC de diferencias es.

)1()1(1)()1(1)( −++−++=−++−+ tbmunmtubntanytyaty ΛΛ

Se asume que la secuencia de entrada { )(,),2(),1( tuuu Λ } ha sido aplicada a el sistema y la

correspondiente secuencia de salida )}(,),2(),1({ tyyy Λ ha sido observada. El vector de

parámetros es.

( )bnbanaT ΛΛ 11=θ (2.29)

y el vector de regresión.

( ))()1()()1()1( ntunmtuntytytT −−−+−−−−=− ΛΛϕ (2.30)

Se nota que la señal de salida aparece retrazada en el vector de regresión. El modelo es entonces

llamado modelo auto regresivo. La forma en la cual los elementos son ordenados en la matiz θ

es arbitrario, de tal forma que ϕ (t-1) es también reordenada. En control adaptativo será natural

reordenar los términos. La convención de que el indice de tiempo del vector ϕ se refiere a el

tiempo cuando todos los elementos en el vector están disponibles es también muy utilizada. El

modelo puede ser escrito formalmente como el modelo de regresión.

θϕ )1()( −= tty T


La estimación de parámetros puede ser hecha aplicando la estimación de mininos cuadrados, LS

o RLS y con olvido exponencial. La matriz Φ es.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=Φ

)1(

)(

t

n

T

T

ϕ

ϕΜ

Si se usa interpretación estadística de la estimación de mínimos cuadrados, el método descrito

trabajara bien cuando las perturbaciones puedan ser caracterizadas con ruido blanco sumado al

lado derecho de la EC 3.28. Esto lleva al modelo.

)()()()()( ntetuqBtyqA ++=

que tiene el mismo formato de la EC 3.18 y que en un modelo ARX. El método es llamado Error

de la ecuación (equation error).

Una pequeña variación del método es mejor si las perturbaciones son descritas como ruido

blanco sumado a la salida del sistema, esta implica el modelo OE.

)()()()(

)( tetuqAqB

ty +=

el método obtenido es llamado error de salida (output error). El método es el siguiente, sea u la

entrada y ∧

y la salida de un sistema con la relación entrada salida.

)()1(1)()1(1 ntbmunmtubntyantyay −++−−+=−++−+∧∧∧

ΛΛ

Entonces

)()()(

tuqAqB

y =∧

Determine los parámetros que minimice el criterio

2

1

))()((∑=

∧

−t

k

kyky

Donde )()()( tetyty +=∧

. Así el problema puede ser interpretado como problema de mínimos

cuadrados donde la solución esta dada por


)()1()()1( teettPt −+−=∧∧

ϕθθ

Donde el vector regresor y los residuos son respectivamente.

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−−+−−−−=−

∧∧

)()1()()1()1( ntunmtuntytytT ΛΛϕ

)1()1()()( −−−=∧

tttytee T θϕ

El estimador recursivo obtenido esta representado en diagrama de bloques en la Fig. 3.3.

Figura. 2.3 Diagrama de bloques del estimador de mínimos cuadrados basado en el modelo error de

salida (O E)

2.3.3 MODELOS ESTOCASTICOS

La estimación de mínimos cuadrados es parcial cuando es usado sobre datos generados por la

ecuación EC 3.18, cuando el error )(ie este correlacionado. La razón es que .0)()( ≠Ε ieiTϕ Una

posibilidad de solucionar este problema con el método de estimación de mínimos cuadrados es

modelar la correlación de las perturbaciones y estimar los parámetros describiendo la correlación.

Considere el modelo.

)()()()()()( teqCtuqBtyqA += (2.31)

Donde )(),(),( qCqBqA son polinomios y )(te es ruido blanco. Los parámetros del polinomio

C describe la correlación de las perturbaciones. El modelo de la EC 3.31 no puede ser convertido

directamente a un modelo de regresión, puesto que las variables relacionadas con el ruido no se


conocen. Un modelo de regresión puede ser definido con apropiadas aproximaciones de todas

formas. Para describir esto se define.

)1()1()()( −−−=∧

tttytee T θϕ (2.32)

Donde el vector de parámetros y el vector regresor son respectivamente.

( )cncbnbana ΛΛΛ 111=θ (2.33)

( ))()1()()1()()1()1( nteeteentutuntytytT −−−−−−−−=− ΛΛΛϕ

(2.34)

Las variables del )(te son aproximadas por la predicción del error )(tee . El modelo puede ser

aproximado a.

)()1()( tetty T +−= θϕ

y entonces se puede aplicar la estimación recursiva de mínimos cuadrados. El método obtenido es

llamado mínimos cuadrados extendidos (ELS). Las ecuaciones para la actualización de la

estimación queda definida por.

)()1()()1()( teettPtt −+−=∧∧

ϕθθ (2.35)

)1()1()1()( 11 −−+−= −− tttPtP Tϕϕ (2.36)

Otra posibilidad para modelar el ruido correlacionado es usar el modelo.

)()()(

)()()(

)( teqDqC

tuqAqB

ty +=

en vez de la EC 3.31. La estimación recursiva paramétrica para este modelo puedes ser derivado

de la misma forma como para el modelo de la EC 3.31.

2.3.4 GENERALIZACION

Los diferentes métodos recursivos tratados para trabajar los diferentes modelos son similares.

Todos pueden ser definidos por las EC.


)()1()()1()( teettPtt −+−=∧∧

ϕθθ (2.37)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−+

−−−−−−=

)1()1()1()1()1()1()1(

)1(1

)(ttPt

tPtttPtPtP T

T

ϕϕλϕϕ

λ (2.38)

Donde θ ,ϕ , y ee son diferentes para los diferentes métodos. λ es el factor de olvido, θ el vector

de parámetros,ϕ vector de regresores y eeson los residuos.

NOTA: Los algoritmos recursivos para la identificación de parámetros, para los modelos ARX,

ARMAX y OE son detallados en el anexo del libro. Los algoritmos están escritos para que sean

corridos en el software Matlab.

2.4 SIMULACION DE ESTIMACION RECURSIVA

Las diferentes propiedades del método de mínimos cuadrados recursivos (RLS) o mínimos

cuadrados recursivos extendidos (RLS) son ilustrados en esta sección. Los datos entrada-salida se

generan con un sistema de primer orden continuo más tiempo muerto, además los datos son

contaminados con ruido Gaussiano, con media cero y alguna desviación estándar. El sistema es:

SesK

sUsY θ

τ−

+= *

1)()( (2.39)

Donde K es la ganancia del sistema, τ es la constante de tiempo del sistema y θ es el retardo del

sistema.

También se utiliza otro sistema para generar datos de entrada-salida. Es un sistema de segundo

orden puro, más tiempo muerto. También los datos de salida pueden contaminarse con ruido. El

sistema es:

SewnSwnS

wnsUsY θ

ξ−

++= *

***2)()(

2

2 (2.40)

Donde wn es la frecuencia natural no amortiguada, ξ es el factor de amortiguamiento del

sistema.

Ejemplo 2.2. Excitación


Se obtienen datos de entrada salida del sistema de primer orden con estas características,

ganancia de uno, la constante de tiempo y retardo igual a 10s. El periodo de muestreo es de 0.5s.

En el ejemplo se observara la necesidad de persistencia en la excitación. Primero se excita el

sistema con entrada tipo impulso, y luego con una entrada tipo paso. Para cada caso se observara

la salida predicha en cada instante de muestro del sistema y la convergencia de los parámetros a

medida que pasa el tiempo. El algoritmo RLS se inicializa con P(0)=100 y θ(0)=0 y λ=0.99 y se

identifica un modelo ARX con un polo y un cero. El sistema de primer orden discretizado es:

2020 **9512.0

0487.0)()( −−

+=

−= z

azbz

znUnY

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

(a) Tiempo

Sal

ida

del s

iste

ma


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

(b) Tiempo

Salid

a de

l sis

tem

a

28.6 28.8 29 29.2 29.4 29.6 29.8 30 30.2

0.84

0.845

0.85

0.855

0.86

0.865

0.87

0.875

(c ) Tiempo

Salida del sistema

Figura 2.5. La línea roja es la salida el proceso real, la azul es la salida contaminada con ruido, media 0 y desviación estándar 0.001. La línea negra es la salida predicha en cada instante de

muestreo. (a) Salida del sistema ante un impulso. (b) Salida del sistema ante un paso.(c) amplicion de la Fig 3.5(b) alrededor del tiempo 29.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

(a) Tiempo

Val

or d

e lo

s pa

ram

etro

s


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

(b) Tiempo

Valo

r de

los

para

met

ros

Figura 2.6 Evolución parámetros en el tiempo. Las líneas negras horizontales corresponden a los

parámetros reales. el parámetro a corresponde es rojo y b corresponde a azul.(a) parámetros estimados , entrada impulso.(b) parámetros estimados, entrada escalón.

En la anterior ecuación se observa que parámetros que se deben estimar: b=0.0487 y

a=-0.9512. En la Fig 3.6 están dibujados con línea negra. La estimación para b esta azul y la

estimación para a esta roja.

Como se ve en la Fig. 3.5 se logra una mejor predicción de la salida del sistema con la entrada

tipo paso que con la entrada impulso. A demás los parámetros convergen a sus valores reales con

la entrada tipo paso, mientras que los parámetros con entrada impulso tienen una desviación

grande de los valores reales. Aquí se evidencia que los parámetros varían dependiendo la entrada

al sistema y si esta entrada no tiene grande variaciones para poder excitar todos los modos del

sistema (componentes en todas las frecuencias), los parámetros estimados se alejaran de los

valores reales.

Ejemplo 2.3. Importancia de inicialización de la matriz P(0).


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

(a)Tiempo

Valo

r de

los

par

amet

ros

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

(b) Tiempo

Valo

r de

los

par

amet

ros

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

(c) Tiempo

Valo

r d

e lo

s pa

ram

etro

s

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

(d) Tiempo

Valor de los parametros

Figura 2.7. Velocidad de convergencia de los parámetros dependiendo la condición inicial de P..(a)

P=1, (b) P=10, (c)P=50, (d)P = 1000.

Se tiene tienen los mismos datos de entrada salida del ejemplo anterior. En el ejemplo anterior se

utilizo P(0)=100. Se utilizara la entrada tipo paso al sistema pero en el algoritmo RLS para

identificar un modelo ARX se utilizara P(0)=1, 10, 50 y 1000. Se verificara la velocidad de

convergencia de los parámetros a medida que avanza el tiempo.

En definitiva como conclusión de analizar la Fig 3.7. entre mas alto se puede inicializar la matriz

P en el algoritmo RLS , mas rápido los parámetros convergerán a sus valores reales. Es decir que


la identificación del modelo también se hará más rápido. Esto también aplica para el algoritmo

ERLS, como también si se hubiera identificado otro modelo como un OE o un ARMAX.

Ejemplo 2.4. Efecto factor de olvido.

Se tiene los mismos datos de entrada-salida del ejemplo 3.1 con todas las características allí

mencionadas. Pero ahora no se identificara un modelo ARX si no uno OE. Y además se variara el

factor de olvido con los siguientes valores 0.9745, 0.978 ,0.98, 1. En este ejemplo se observara

que la identificación del modelo OE llega a los mismos resultados de estimación de los

parámetros del sistema de primer orden trabajado en el Ej. 3.1 y además como el factor de olvido,

afecta la estimación de parámetros.

Como se observa en la Fig. 3.8(a) el algoritmo de identificación de parámetros para un modelo

OE obtuvo los mismos resultados, que el algoritmo de identificación de parámetros de un

modelo ARX, Fig. 3.6 (b) pero con la matriz P(0) inicializada en 1000 en el algoritmo RLS. Sin

embargo en la Fig. 3.8 se observa el comportamiento que tiene el factor de olvido del algoritmo

recursivo cuando se varía. Cuando se disminuye mucho este valor Fig. 3.8 (d), la estimación de

los parámetros a media que pasa el tiempo no se mantiene sobre los valores reales. Esto se debe a

que la excitación del sistema no varia y el algoritmo empieza a descartar los mas viejos valores

de entrada salida donde se encuentra realmente de la información del sistema. Recordando que la

señal de excitación es una señal paso, que tiene variación o ocurre en el tiempo cero. Esto quiere

decir que el factor de olvido puede disminuirse tanto como se asegure que la señal de excitación

al sistema siempre este variando, o que el sistema al cual se le quiera calcular los parámetros se

altamente variante en el tiempo. Este es un indicativo para escoger el factor de olvido en un

experimento.


0 50 100 150 200 250 300-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

(a) Tiempo

Val

or d

e lo

s pa

ram

etro

s

0 50 100 150 200 250 300-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

(b) TiempoV

alor

de

los

para

met

ros

0 50 100 150 200 250 300-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

(c) Tiempo

Valo

r de

los

para

met

ros

0 50 100 150 200 250 300-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

(d) Tiempo


Figura 2.8. Estimación de un modelo O E primer orden. (a) λ=1, (b) λ=0.98, (c) λ=0.978, (d) λ=0.9745. Las líneas negras horizontales son los parámetros reales, las líneas de color son los

parámetros estimados.


Ejemplo 2.5 Capacidad de identificación algoritmos y residuos.

Se obtienen datos de entrada salida del sistema de segundo orden con estas características:

frecuencia natural no amortiguada de 5, el factor de amortiguamiento de 0.1 y retardo igual a 1s.

El periodo de muestreo es de 0.05s.

En el ejemplo se observara la capacidad de identificación de los diferentes algoritmos para

modelos ARX, ARMAX y OE, y el comportamiento de los residuos de estimación. El sistema se

excita con entrada tipo paso. Para cada caso se observa la salida predicha en cada instante de

muestro del sistema, la convergencia de los parámetros a mediada que pasa el tiempo y los

residuos de estimación. El algoritmo de estimación para cada modelo se inicializa con

P(0)=1000 y θ(0)=0 y λ=0.99. El sistema de segundo orden discretizado es:

202

202

**

**9512.0*891.1

0307.0*03058.0)()( −−

+++

=+−

+= z

bzazdzcz

zzz

nUnY

En la anterior ecuación se observa que parámetros se tienen que estimar son: d=0.0307,

c=0.03058, b=0.9512, a=-1.891, en las Fig. 3.10 están dibujados con líneas horizontales negras.

La estimación para d es una línea magenta, para c es verde, para b es azul y para a es roja

Al observar los resultados de la figura 3.9, 3.10, 3.11, al parecer la identificación de un modelo

OE no arroja muy buenos resultados, la predicción de la salida en cada instante de muestreo no es

muy buena Fig 3.9 (b), los parámetros no convergen a los valores reales Fig. 3.10 y como es de

esperarse los residuos de estimación tienen valores altos que no se pueden aceptar. Por otro lado

los resultados para la identificación de un modelo ARMAX son un poco mejores. La predicción

de la salida en cada periodo de muestreo es buena Fig. 3.9(c) y los residuos de estimación

también Fig 3.11(c); sin embargo los parámetros estimados no convergen a los valores reales,

aunque se acercan mas a los valores reales que la estimación hecha para el modelo OE.


0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 00

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

1 . 2

1 . 4

1 . 6

1 . 8

( a ) T ie m p o

Salid

a de

l sis

tem

a

0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 00

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

1 . 2

1 . 4

1 . 6

1 . 8

( b ) T ie m p o

Salid

a de

l sis

tem

a

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

(c) Tiempo

Salida del sistema

Figura 2.9. Preedición de la salida del sistema; línea azul salida real , línea negra salida predicha. (a)

Estimación para el modelo ARX (b) Estimación para el modelo O E (c) Estimación para el modelo ARMAX.


0 2 4 6 8 10 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0-2

-1 .5

-1

-0 .5

0

0 .5

1

(a ) T ie m p o

Valo

r de

los

para

met

ros

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

(b) Tiempo

Valor de los para

metros

0 2 4 6 8 10 12 14 1 6 1 8 20- 2

- 1. 5

- 1

- 0. 5

0

0. 5

1

( c) T ie m p o

Valo

r de

los

para

met

ros

Figura 2.10. Evolución de los parámetros. Líneas negras horizontales son los parámetros reales. línea roja parámetro a , línea azul parámetro b, verde parámetro c, magenta parámetro d. (a)

Parámetros modelo ARX (b) Parámetros modelo O E (c) parámetros modelo ARMAX


0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 18 2 0- 0 .0 6

- 0 .0 4

- 0 .0 2

0

0. 0 2

0. 0 4

0. 0 6

0. 0 8

0. 1

0. 1 2

0. 1 4

( a ) T ie m p o

Co

mpo

rtam

ient

o de

los

resi

duos

de

estim

acio

n

0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0- 0. 4

- 0. 3

- 0. 2

- 0. 1

0

0. 1

0. 2

0. 3

( b ) T ie m p o

Com

port

amie

nto

de lo

s re

sidu

os d

e es

timac

ion

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

(c) Tiempo

Comportamiento de los residuos de estimacion

Figura 2.11. Comportamiento de los residuos de estimación con el paso del tiempo. (a) para el

modelo ARX (b) Para el modelo O E (c) Para el modelo ARMAX.


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

(a) Tiempo


Figura 2.12. Estimación de los parámetros en el tiempo para un modelo ARMAX. Con P(0)=100000.

Mejora la velocidad de convergencia con respecto a Fig. 3.10 (c)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

Tiempo


Figura 2.13. Estimación de los parámetros en el tiempo para un modelo O E. Con P(0)= 1010 . Mejora

la velocidad de convergencia con respecto a Fig. 3.10 (b)

Se pensaría en primera instancia que los algoritmos para identificar los modelos OE y ARMAX

tienen algún problema; sin embargo lo que esta pasando es que se necesita condiciones mas

estrictas para la convergencia mas rápida, es decir que estos algoritmos necesitan que la

inicialización de la matriz P(0) en el algoritmo de identificación, RLS para OE y ERLS para

ARMAX, deba ser mas alta, para lograr los mismos resultados que el algoritmo que identifica un

modelo ARX. Es una gran ventaja que un algoritmo de identificación converja con rapidez, y

más, si este es utilizado para una identificación en tiempo real.


Esto quiere decir que el algoritmo que identifica un modelo ARX por definición converge más

rápido que los algoritmos que identifican un modelo OE o ARMAX.

En la Fig. 3.12 se observa la mejora de la identificación de los parámetros al aumentar el valor de

la matriz P(0) en la identificación de un modelo ARMAX, con P(0)=100000. En la Fig. 3.13 se

observa la mejora de la identificación de los parámetros al aumentar el valor de la matriz P(0) en

la identificación de un modelo OE, con P(0)=1 1010 .

También es evidente que una identificación es buena cuando los residuos tiendan a cero en el

menor tiempo posible y al mismo tiempo que los parámetros estimados convengan tan rápido

como sea posible a los valores reales.

Ejemplo 2.6. Parámetros variantes en el tiempo.


mencionadas, aunque el ruido tiene una desviación estándar de 0.005. Se identificara un sistema

que varia en el tiempo con modelo ARX. El modelo empieza con los parámetros como los

mostrados en es siguiente modelo.

2020 **9512.0

0487.0)()( −−

+=

−= z

azbz

znUnY

En la anterior ecuación se observa que parámetros que se deben estimar: b=0.0487 y

a=-0.9512. En la Fig. 3.15 están dibujados con línea negra. La estimación para b esta en azul y la

estimación para a esta rojo. Sin embargo en el tiempo 50s los parámetros b y a pasan a tener estos

valores a=-0.5 y b=0.1, Están dibujados con líneas verdes en la Fig. 3.15; Aunque en el tiempo

100s estos parámetros vuelven a sus valores iniciales. La idea es ver como el algoritmo de

identificación detecta parámetros cuando estos son variantes en el tiempo. También la entrada

cambia; es un paso unitario que ocurre en cero hasta el tiempo 150s, porque en este tiempo pasa a

tener el valor de 2 .Fig 3.14.


0 50 100 1500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

( a) Ti em po

Sal

ida

de

l sis

tem

a

30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50

0.92

0.94

0.96

0.98

1

1.02

1.04

(b) Tiem po

Salid

a de

l sis

tem

a

Figura 2.14. Preedición de la salida del sistema. Línea Roja salida real del sistema, línea azul. salida contaminada con ruido, línea negra la salida predicha. (a) Comportamiento en todo el tiempo. (b)

ampliación alrededor del tiempo 40s.


0 50 10 0 150-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

Tiempo

Valo

r de

los

para

met

ros

Figura 2.15. Estimación de los parámetros en el tiempo. Parámetro a es la línea roja, parámetro b es la línea azul. Parámetros reales iniciales líneas negras horizontales. Segundos parámetros reales

líneas verdes horizontales.

0 50 10 0 150-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

Tiempo

Com

porta

mie

nto

de lo

s re

sidu

os d

e es

timac

ion

Figura 2.16. Comportamiento de los residuos de estimación en el tiempo.


Como los parámetros cambian abruptamente en el tiempo, no se utiliza el factor de olvido,

puesto que este es utilizado para sistemas que varían con el tiempo pero lentamente. En vez de

esto se detecta cuando los parámetros varían en el tiempo y se reinicialaza la matriz P en el

algoritmo de identificación RLS.

En la figura 3.15, se observa que la predicción de la salida es muy buena, que los residuos de

estimación son pequeños Fig. 3.16, con unas pequeñas fluctuaciones en el momento que varían

los parámetros. La más interesante es que los parámetros estimados convergen a los parámetros

reales aun cuando varían en el tiempo Fig. 3.15. Esto demuestra que el algoritmo es bueno para

detectar sistemas que varían en el tiempo abruptamente.

Ejemplo 2.7. Identificación en presencia de ruido.


mencionadas, aunque el ruido tiene una desviación estándar de 0.01, y el sistema no tiene retardo.

Se identifica parámetros para un modelo ARX, uno OE y uno ARMAX. El sistema de segundo

orden discretizado es:

bzazdzc

zzz

nUnY

+++

=+−

+=

**

9512.0*891.10307.0*03058.0

)()(

22

En la anterior ecuación se observa que parámetros se tienen que estimar: d=0.0307, c=0.03058,

b=0.9512, a=-1.891. En las Fig. 3.18 están dibujados con líneas horizontales negras. La

estimación para d es una línea magenta, para c es verde, para b es azul y para a es roja.

La idea es ver como los algoritmos de identificación para cada modelo, detectan los parámetros

del sistema, cuando los datos entrada-salida del proceso están contaminados con una cantidad

considerable de ruido Fig. 3.18. También ver la predicción de la salida en cada instante de

muestreo Fig. 3.17. y el comportamiento de residuos de estimación Fig. 3.19.


0 5 10 15-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

(a) Tiempo

Salid

a de

l sis

tem

a

0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

(b) Tiempo

Salida del siste

ma


0 5 10 15-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

(c) Tiempo

Salida del sistema

Figura 2.17. Predicción de la salida del sistema en cada instante de muestreo. Línea roja salida real

del sistema. Línea azul contaminación con ruido. Línea negra predicción de los algoritmos. (a) para el modelo ARX (b) para el modelo O E (c) para el modelo ARMAX. Línea verde es la salida de la

parte determinística del modelo ARMAX.

El comportamiento de la estimación de los parámetros para el modelo ARX, tiene inconvenientes

cuando la salida del sistema no tiene variaciones y las variaciones que ocurren son por culpa del

ruido, o que el ruido hace confundir las variaciones de la salida con variaciones de ruido, Fig.

3.17(a). Esto ocurre en el ejemplo alrededor del tiempo 4, donde los parámetros estimados se

empiezan alejar de los valores reales, Fig. 3.18(a), y se pierde capacidad de identificación sobre

el sistema. Aunque la predicción de la salida, Fig. 3.17(a), muestra un buen comportamiento; los

residuos de estimación Fig.3.19(a) empiezan a ser un poco grandes.

El comportamiento de la estimación de los parámetros para el modelo OE, tiene una mejoría

sobre la estimación del ARX. Los parámetros estimados no divergen a medida que pasa el

tiempo, pero no convergen tan cerca de los parámetros reales. Fig. 3.18 (b).


0 5 1 0 1 5- 2

- 1 . 5

- 1

- 0 . 5

0

0 . 5

1

1 . 5

( a ) T ie m p o

Val

or d

e lo

s pa

ram

etro

s

0 5 1 0 1 5-2 . 5

- 2

-1 . 5

- 1

-0 . 5

0

0 . 5

1

1 . 5

2

( b ) T i e m p o

Va

lor

de

lo

s p

ara

me

tro

s

0 5 1 0 1 5- 2

- 1 . 5

- 1

- 0 . 5

0

0 . 5

1

( c ) T i e m p o

Va

lor

de

lo

s p

ar

am

etr

os

Figura 2.18. Estimación de los parámetros. Líneas continua negras horizontales son los parámetros reales. La estimación para el parámetro d es una línea magenta, para c es verde, para b es azul y

para a es roja. (a) para el modelo ARX. (b) para el modelo O E (c) para el modelo ARMAX.


0 5 1 0 1 5- 0 . 1

-0 . 0 5

0

0 . 0 5

0 . 1

0 . 1 5

(a ) T i e m p o

Com

port

amie

nto

de lo

s re

sidu

os

de e

stim

acio

n

0 5 10 15-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

(b) Tiempo

Comportamiento de los residuos de estimacion

0 5 1 0 1 5-0 . 0 2

0

0 . 0 2

0 . 0 4

0 . 0 6

0 . 0 8

0 . 1

0 . 1 2

(c ) T i e m p o

Com

porta

mie

nto

de lo

s re

sidu

os d

e es

timac

ion

Figura 2.19. Comportamiento en el tiempo de los residuos de estimación. (a) para el modelo ARX

(b) para el modelo O E (c) para el modelo ARMAX.


Los residuos de estimación son menores a medida que pasa el tiempo, Fig. 3.19 (b), para el

modelo OE que para el modelo ARX, pero la predicción de la salida, si es bastante mala

especialmente en los primeros segundos, Fig. 3.17(b).

Ahora observando la estimación de parámetros para el modelo ARMAX, los parámetros

estimados no convergen a los parámetros reales y ni siquiera cerca de los parámetros reales, pero

si convergen rápido. Los parámetros de la parte estocástica del modelo ARMAX no se muestran

el la Fig. 3.18(c). Sin embargo como el modelo contiene una parte estocástica, la predicción de la

salida es igual a la salida contaminada con ruido; Fig. 3.17(c) línea negra predicción, línea azul

salida contaminada con ruido. Ahora bien la salida del proceso determinístico del modelo

ARMAX, es decir del sistema que nos interesa identificar se ve en la Fig. 3.17(c) de color verde,

muestra un comportamiento similar respecto a al salida del sistema real, línea roja en la Fig.

3.17(c). El mejor comportamiento de los residuos de identificación los da la estimación del

modelo ARMAX, los cuales convergen rápidamente a cero y además se mantienen muy cerca a

cero.

A juzgar por los resultados el mejor modelo para identificar un modelo a partir de datos entrada y

salida contaminados con ruido, es el modelo ARMAX, aunque los parámetros estimados no

convergen a los parámetros reales, esto juzgando por la preedición de la salida y por los residuos

de estimación. Si embargo el modelo OE al utilizarlo para identificar un proceso a partir de datos

de entrada y salida contaminados con ruido; los parámetros estimados convergen cerca de los

valores reales del proceso, cualidad que es muy importante si estos parámetros se pretenden

utilizar para el diseño de un control sobre el proceso que se esta identificando. Por ultimo,

definitivamente cuando los datos de entrada y salida de un proceso que se pretende identificar

están considerablemente contaminados con ruido, el modelo ARX con su algoritmo de

identificación de parámetros, no muestran buenos resultados para representar el proceso que se

esta analizando.


3. NIVELES DE CONTROL

La figura 3.1 muestra los diferentes niveles entre el proceso y un operador. Se tiene en

principio un proceso que se quiere controlar, sobre este sistema se toman medidas en las

variables de interés a través de sensores y se afecta el proceso mediante actuadores.

En general los niveles se pueden dividir en dos grupos:

Control: Son los órganos de control que emplean informaciones numéricas o análogas que

han de ser procesadas por programas procedimentales y secuenciales. Las acciones

directas de control se toman después de un tiempo de calculo en tiempo real.

Supervisión: Este grupo manipula la información simbólica dentro de programas

declarativos. Las decisiones son respuestas dadas después de un tiempo de razonamiento.

Fig.3.1. Niveles de control


4. DETECCIÓN Y DIAGNÓSTICO DE FALLAS

4.1. GENERACIÓN ANALÍTICA DE RESIDUOS

El conocimiento analítico de un proceso es utilizado para la producción de información

analítica, cuantificable. Para hacer esto, tiene que realizarse un procesamiento de datos

basado en variables medidas del proceso, generando primero los valores característicos

para:

• La comprobación de valor de límite de señales medibles directas. Los valores

característicos son los que exceden las tolerancias de la señal.

• Análisis de señales de las señales medibles directamente, utilizando modelos de

señales como funciones de correlación, espectros de frecuencia, promedio móvil auto

regresivo (ARMA) o los valores característicos (ej. Varianzas, amplitudes, frecuencias o

parámetros del modelo).

• Análisis del proceso usando modelos matemáticos de procesos junto con

estimación de parámetros, estimación de estados y métodos de igualación matemática.

Los valores característicos son parámetros, variables de estado o residuales.

En algunos casos, pueden ser extraídas características especiales de estos valores

característicos, por ejemplo coeficientes del proceso definidos físicamente, o filtrados

especiales o residuos transformados. Estas características se comparan con características

normales del proceso sin falla. Para esto se aplican métodos de detección de cambios e

identificación. Los cambios resultantes (discrepancias) en las señales medidas

directamente, descritas, modelos de señales o modelos de procesos son considerados como

residuos analíticos.

4.2 GENERACIÓN HEURÍSTICA DE RESIDUOS

Además de la generación utilizando información cuantificable, pueden producirse residuos

heurísticos usando información cualitativa de los operadores humanos. A través de la


observación humana y la inspección, se obtienen valores heurísticos característicos en

forma de ruidos especiales, colores, olores, desgaste natural, etc. La historia del proceso en

la forma de llevar a cabo el mantenimiento, reparaciones, antiguas fallas, tiempo de vida,

medidas de carga, constituye también una fuente de información heurística. Datos

estadísticos (ej. Probabilidad de falla) logrados de experiencias con el mismo proceso o

similares también pueden tenerse en cuenta. De esta manera son generados residuos

heurísticos, los que pueden ser representados por variables lingüísticas (ej. Pequeño,

mediano, grande) o números difusos (ej. Alrededor de un valor).

4.3. DIAGNOSTICO DE FALLAS

La tarea del diagnóstico de fallas consiste en determinar el tipo, el tamaño y la localización

de la falla, así como su tiempo de detección, basada en los residuos analíticos y

heurísticos observados.

Si no hay conocimiento adicional de causas de residuos de falla disponible, pueden ser

aplicados métodos de clasificación, lo que permite un mapeo de vectores de residuos en

vectores de falla. Al finalizar esto, pueden usarse métodos como clasificación estadística o

geométrica o redes neuronales o agrupamiento difuso. Sin embargo si hay disponible

conocimiento a-priori de causas de residuos de falla, pueden usarse estrategias de

diagnostico con razonamiento.

4.4. MÉTODOS DE DETECCION DE FALLAS BASADOS EN MODELOS.

La tarea consiste en la detección de fallas en el proceso, en actuadores y sensores usando la

dependencia entre las diferentes señales medibles. Estas dependencias son expresadas por

modelos matemáticos de procesos. La figura 4.1 muestra la estructura de detección de

fallas basado en modelos. Con base en las señales de entrada U y señales de salida Y, los

métodos de detección generan residuos r los cuales son llamados características. Al

comparar con las características normales, son detectados cambios en las características,

logrando síntomas analíticos.


Actuadores PROCESO Sensores

Modelo del Proceso

Generación de Características

Detección deCambios

FALLAS

UN

Y

DETECCIÓN DE FALLAS BASADO EN MODELO

COMPORTAMIENTONORMAL

Actuadores PROCESO Sensores

Modelo del Proceso

Generación de Características

Detección deCambios

FALLAS

UN

Y

DETECCIÓN DE FALLAS BASADO EN MODELO

COMPORTAMIENTONORMAL

Figura 4.1. Esquema General de Detección de Fallas Basado en Modelos

4.5. MODELAMIENTO DE FALLAS

Una falla es definida como una desviación no permitida de al menos una propiedad

característica de una variable a partir de un comportamiento aceptable. Así una falla es un

estado de mal funcionamiento o de falla del sistema.

La dependencia de tiempo de las fallas pueden ser distinguidas como:

a. Fallas abruptas

b. Fallas incipientes o crecientes

c. Fallas intermitentes

a b

c

P r o c e s o

F a l l aC a r a c te r ís t i c a f

t

t

f

f a b

c

P r o c e s o

F a l l aC a r a c te r ís t i c a f

t

t

f

f

Figura 4.2 Dependencia de Tiempo de las Fallas


4.6. DETECCIÓN DE FALLAS CON ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS

En la mayoría de los casos prácticos los parámetros del proceso no son conocidos, o no son

conocidos con exactitud. Entonces estos pueden ser determinados con métodos de

estimación de parámetros tomando medidas de entrada y la salida del proceso si la

estructura básica del modelo es conocida.

4.6.1. GENERACIÓN DE RESIDUOS

Las fallas son modeladas como cambios en el sistema de parámetros

( )Tmθθθθ ,...,, 21= (4.1)

La operación de libre falla es caracterizada por un vector nominal •

nθ el cual se supone

conocido.

Los residuos son generados usando estimación paramétrica basados en los parámetros

nominales nθ .

Figura 4.3. Esquema de estimación de parámetros

Sea 1̂θ la estimación del parámetro 1θ , dado el estimador de parámetros, el residuo es

entonces definido como:

111ˆ θθ −=r (4.2)

Así para cada parámetro estimado se tiene un residuo


mmmr θθ −= ˆ (4.3)

En ausencia de fallas en el sistema todos los residuos tienden a cero. Entonces se puede

considerar que todos los residuos son cero prácticamente después de un transciente del

estimador de parámetros. La aparición de una falla modifica el comportamiento de varios

residuos. Una falla es detectada si cualquiera de los residuos rn dejo de ser cero.

4.7. MÉTODO DE DIAGNÓSTICO DE FALLAS

La tarea de diagnostico de fallas consiste en la determinación del tipo de falla con tantos

detalles como sea posible tales como el tamaño de la falla, la localización y el tiempo de

detección.

Para solucionar este problema se utiliza clasificación sobre los residuos generados.

Después de que los residuos son generados, estos pueden representarse sobre un vector de

características

[ ]mT rrrR ...,, ,21= (4.4)

Las correspondientes fallas se asumen conocidas y también se pueden representar en un

vector.

[ ]hT FFFF ...,, ,21= (4.5)

Los elementos de F son binarios Fh є [0,1] tomando presencia de fallas “1” y no

existencia “0”.

Si no hay conocimiento disponible sobre las fallas se pueden hallar relaciones entre los

residuos y las fallas utilizando métodos de clasificación.


PATR ON D E RE FE RE N CIA

C LASIF IC A CION S F S n

S1

S2

F 1

F2 Figura 4.4. Diagnóstico de Fallas usando Métodos de Clasificación

En la figura 6, los vectores RnT son determinados para comportamiento normal del sistema.

Otros vectores RT son generados experimentalmente para ciertas fallas. La relación entre

RnT y R son aprendidas o entrenadas experimentalmente y almacenadas formando una base

de conocimiento explicita. Por comparación de los vectores RT observados y el vector

normal de referencia RnT las fallas F pueden ser concluidas.

La metodología de clasificación que se utiliza son redes adaptivas basadas en sistemas de

inferencia difuso.

4.7.1. REDES ADAPTIVAS

Las redes adaptivas son una serie de nodos interconectados en las cuales, durante el

proceso de aprendizaje, se adaptan las funciones que se realizan en los nodos. El término

“adaptivo” hace referencia a que el comportamiento entrada salida de la red está

determinado principalmente por los valores de un conjunto de parámetros que son

modificables.

a. Estructura

En la figura siguiente se presenta la estructura de una red adaptiva, en la cual los nodos

con parámetros adaptivos se presentan como cuadrados y los no adaptivos como círculos.

Esta es una red de tipo Feed Forward puesto que todos los flujos de información van hacia

la salida; en los desarrollos subsecuentes se hará referencia a este tipo de redes porque


redes con lazos de retroalimentación se pueden convertir en redes Feef Forward sin perder

la esencia de los algoritmos deaprendizaje.

Figura 4.5. Red adaptiva

Una de las características más importantes de estas redes es que no tienen que existir pesos

en las interconexiones de los nodos, como si sucede en las redes neuronales, sino que en

este caso el objetivo de la adaptación son los parámetros al interior de cada nodo.

b. Algoritmo de aprendizaje

Para el aprendizaje de estas redes, es decir, el cálculo de los parámetros óptimos de las

funciones que realizan los nodos adaptivos, se emplean algoritmos de optimización que

tienen como objetivo la minimización de una función de error. Para estos algoritmos de

entrenamiento existen dos parámetros que deben fijarse exógenamente: Tamaño de los

pasos y tasa de aprendizaje.

1. Aprendizaje Off-line

Para la actualización de los parámetros se deben conocer todos los datos de entrenamiento.

Si la salida de la red es lineal en algunos de los parámetros, éstos se pueden calcular

mediante el método clásico de estimación de mínimos Cuadrados (LSE).

2. Aprendizaje On-line Los parámetros se actualizan de forma iterativa cada que se

presenta un dato de entrada-salida mediante el método del descenso del gradiente (GD).

3. Aprendizaje híbrido

Debido a que el método de descenso del gradiente puede converger erróneamente a una

solución local y la estimación de mínimos cuadrados es computacionalmente más


compleja que el descenso del gradiente, Jang propone un algoritmo híbrido para el

aprendizaje que consiste en una combinación de descenso del gradiente con la estimación

de mínimos cuadrados y permite combinar las ventajas de los dos algoritmos.

En general, dependiendo del proceso que se esté diseñando, de la capacidad computacional

con la que se cuente y del nivel de desempeño deseado, se pueden establecer distintos

algoritmos de aprendizaje híbrido combinando GD y LSE en distintos grados:

− Si se usa solo LSE los parámetros no lineales quedan fijo y solo se pueden identificar

los parámetros lineales.

− Si se usa GD todos los parámetros de la red son actualizados iterativamente por el

algoritmo.

− Uso de LSE como proceso inicial para estimar los parámetros lineales y después se usa

el método GD para actualizar iterativamente todos los parámetros.

− Se usa el algoritmo GD para actualizar los parámetros no lineales de la red mediante el

cálculo del error en las salidas solo con k datos de entrenamiento y luego se usa el LSE

para identificar los parámetros lineales.

− Uso de una aproximación de LSE, linealizando las salidas de la red y luego usando el

algoritmo de Kalman para actualizar los parámetros.

B. Arquitectura de red adaptiva basada en sistemas de inferencia difusa, ANFIS.

Se tiene un conjunto de reglas que conforman un sistema de inferencia de tipo Sugeno de

primer orden como el presentado en la Fig siguiente:

Regla 1: Si x es A1 y y es B1 entonces f = p1x+q1y+r1

Regla 2: Si x es A2 y y es B2 entonces f =p2x+q2y+r2

Figura 4.6. Red adaptiva ANFIS modelo Sugeno


Este sistema de inferencia es equivalente a la red adaptiva que se presenta en la Fig.

anterior y la función de cada una de las capas es:

Capa 1: Los nodos de la capa 1 entregan el valor de la función de pertenencia evaluada en

el valor de x o y. Para el iesimo nodo de la capa 1 la salida está dada por:

(4.6)

Los nodos de esta capa son adaptivos y los parámetros necesarios son los parámetros de la

función de pertenencia correspondiente, por ejemplo, si se tiene una función gaussiana

como la de la ecuación 2, los parámetros a ajustar son a, b y c, los cuales modifican la

forma de la función.

(4.7)

Capa 2: Los nodos de la capa 2 realizan una T-norma entrelas entradas. Son nodos no

paramétricos puesto que la operación de intersección se escoge a priori antes de comenzar

el aprendizaje. La salida del i-ésimo nodo de la capa 2 es:

(4.8)

Capa 3: Los nodos de la capa 3 son no paramétricos y realizan una normalización de las

entradas, la salida del iésimo nodo de la capa 3 está dada por:

(4.9)

Capa 4: Los nodos de la capa 4 son nodos paramétricos que

realizan una operación lineal entre todas las entradas, dada

por:

(4.10)

donde los parámetros p, q y r son los que se deben ajustar a la

hora de hacer el entrenamiento.


Capa 5: Finalmente en la capa 5 se realiza la sumatoria de las entradas, que corresponden

a:

(4.11)

Se puede ver que esta salida es exactamente la misma que se tiene después de emplear el

modelo difuso Sugeno (presentado en la Fig. 4.6).


5. DESARRO LLO DE LA APLICACIÓN

5.1 PROCESO

En la siguiente figura se muestra el proceso sobre el cual se hace experimentación.

Se tienen cuatro tanques acoplados. En el tanque 1 se introduce agua para controlar el

nivel en cualquiera de los otros tanques.

Figura 5.1. Sistema de Tanques

TANQUE 4

TANQUE 1 TANQUE 2

TANQUE 3


5.2 INSTRUMENTACIÓN

Figura 5.2. S istema de Tanques. Acercamiento Bomba.

Cada uno de los tanques cuenta con una bomba (Figura 10). Solo en el primer tanque la

bomba introduce agua, para los demás las bombas funcionan sacando el agua y permiten

simular fallas. Cada bomba tiene su circuito actuador que permite manipularla desde el

computador por medio de una tarjeta de adquisición de datos (Figura 13).

Figura 5.3. Válvula on / off

BOMBA

VALVULA


Figura 5.4. S istema de Conexiones.

Figura 5.5. Interfaz Tarjeta de Adquisición.

Los tanques están conectados entre sí por medio de válvulas on/off (figura 9). Éstas son

manejadas a través de relevos con la tarjeta de adquisición de datos (figura 13). Cada uno

de los tanques cuenta también con una válvula on/off permitiendo desagües (figura 11).

Para la medición del nivel de los tanques se utilizan sensores de presión (figura 14)

acoplados a amplificadores que permiten mejorar las señales diferenciales que luego son

llevadas por la tarjeta al computador para ser procesadas.

INTERFAZ TARJETA DE ADQUISIC IÓN

RELEVOS CONEXION


Figura 5.6. Interfaz Tarjeta de Adquisición.

5.3 CONTROL

Sobre el sistema de tanques se configuran los siguientes subsistemas.

Subsistema 1.

Figura 5.7. Subsistema 1

Subsistema 2.

Figura 5.8. Subsistema 2

Sensor de presión


Para calcular las funciones de transferencia de cada subsistema se realizaron procesos de

identificación numérica y estas están calculadas desde el voltaje de entrada al actuador de

la planta hasta el voltaje de salida del amplificador del sensor de nivel.

ActuadorBomba Subsistema Sensor/

AmplificadorActuadorBomba Subsistema Sensor/

Amplificador Figura 5.9. Subsistemas del proceso.

En el proceso de identificación son necesarios datos de entrada y de salida.

En primer lugar se excitaron los subsistemas utilizando entradas tipo paso y se observó la

respuesta para cada uno. Las amplitudes de la entrada tipo paso se hicieron variables.

Esto permite decidir el periodo de muestreo para el sistema Ts = 1s.

También se generaron señales pseudo-aleatorias para excitar los subsistemas y obtener

datos de salida que permitan excitar lo mas posible los subsistemas y obtener funciones de

transferencia mas precisas.

Funciones de transferencia bajo un esquema de modelo lineal ARX .VS: Voltaje sensor.

VB: Voltaje Bomba

Subsistema 1.

32

22

11

1

1 −−− +++=

zazazab

VV

B

S

b1 =0.0013

a1 =-0.6932

a2 =-0.2162

a3 ==-0.0895

Subsistema 2.

44

32

22

11

121

1 −−−−

−

+++++

=zazazaza

zbbVV

B

S

b1 = 0.0006839

b2 =0.0006839


a1 =- 0.6898

a2 =- 0.2243

a3 =- 0.08314

a4 =- 0.001645

El tipo de controlador escogido para controlar los subsistemas es PI difuso, tomando el

siguiente esquema de control:

Control PI Difuso

Planta r e

y Figura. 5.10. Esquema Control

El control para el primer subsistema es:

La entrada al sistema difuso es el error y la integral del error.

Figura 5.11. S istema de dos entradas una salida. 25 reglas


Figura 5.12. Funciones de pertenencia para la entrada de error

Figura 5.13. Funciones de pertenencia para la entrada la integral del error

Figura 5.14. Funciones de pertenencia del universo de salida señal de control


Figura 5.15. Superficie de control

5.4. GENERACIÓN DE RESIDUOS Y COMPORTAMIENTOS CON FALLAS

Se toma el primer subsistema para mostrar el cálculo de los residuos y el comportamiento

de fallas.

Los parámetros de condición normal del sistema sin falla son:

b1 =0.0013 a1 =-0.6932 a2 =-0.2162 a3 ==-0.0895

Los residuos son:

111 ˆ aar −= 222 ˆ aar −= 333 ˆ aar −= 444 ˆ aar −=

Sobre el subsistema 1, se llenado hasta una altura de 25cm. Sobre este sistema se hacen

ocurrir diferentes fallas. Falla 1: Válvula on/off se cierra. Falla 2. Fuga en el tanque

abrupto. Fuga 3. Fuga creciente en el tanque.

CONCLUSIONES

Figura 5.16. Comportamiento de los residuos ante la falla

En el sistema se generaron repetidamente estas fallas para generar muchos datos entrada salida

para entrenar un sistema de clasificación; Es decir redes adaptivas basados en sistemas de

inferencia difuso.

5.5. DIAGNOSTICO DE FALLAS

Para los residuos fueron etiquetados con las fallas correspondientes. Para cada falla se entrena

una red adaptiva basada en un sistema de inferencia difuso (FIS). Cada red adaptiva produce un

sistema de inferencia difuso que sirve para diagnosticar fallas. También se entrena un sistema de

inferencia difuso para el caso del sistema libre de falla.

Figura. 5.17. Modelo de diagnostico de fallas

CONCLUSIONES

.

Figura 5.18. Respuesta del modelo de diagnóstico de fallas

El resultado que el sistema de diagnostico detecta los diferentes eventos de fallas que se simulan

en el sistema. La línea verde representa el resultado del diagnostico del sistema de inferencia

difuso que es sensible a detectar la falla 1 , la línea roja es para la falla 2 y la línea naranja es

para la falla 3. Por ultimo los parámetros de libre falla se detectan la respuesta del sistema de

inferencia difuso cuyo diagnostico en la línea negra.

Los sistemas de clasificación tienen un error del 18%

CONCLUSIONES

CONCLUSIONES

• En un proceso de estimación de parámetros es muy importante escoger el modelo con se

quiere representar el comportamiento de un proceso o unos datos de entrada-salida. Si se

escoge un modelo con pocos parámetros para estimar, este no representará fielmente el

comportamiento del proceso; De oro lado, si se escoge un modelo con demasiados

parámetros, se pueden obtener los mismos resultados que representando el proceso con un

modelo de menos parámetros. A esto último se le conoce como sobre ajuste del modelo.

• La función de perdida definida por la estimación de mínimos cuadrados, es una medida

muy importante que permite evaluar que tan precisa ha sido la estimación. Esta puede

indicarnos si es necesario subir o bajar la cantidad de parámetros del modelo que se

escogió para mejorar la identificación o reducir cálculos innecesarios. También puede decir

que definitivamente la identificación que se esta haciendo no puede representar el

comportamiento que se esta estudiando.

• La estimación de mínimos cuadrados se puede utilizar en una infinidad de aplicaciones;

ecuaciones algebraicas, ecuaciones que representen modelos de sistemas, ecuaciones no

lineales, ecuaciones discretas, ecuaciones continuas etc. Lo realmente importante es que las

ecuaciones utilizadas sean lineales en sus parámetros.

• El algoritmo de estimación de mínimos cuadrados puede utilizarse para identificar los

parámetros de cualquier modelo paramétrico, lo trascendental es identificar la estructura de

los vectores, parámetros de estimación y regresión, para cada tipo de estructura

paramétrica, todo con el fin estar seguro de los datos necesarios para el calculo de la

CONCLUSIONES

estimación. Así como el conocimiento y ubicación exacto de los parámetros que se están

calculando.

• La estimación recursiva es vital en la síntesis de controladores adaptativos, puesto que los

datos de entrada salida de un sistema son obtenidas secuencialmente en tiempo real. Esta

estimación debe estar comprometida con el tiempo de muestreo del sistema, ya que

compromete la estabilidad del sistema.

• El método RLS con olvido exponencial, en procesos en que sus parámetros varían con el

tiempo, tiene validez si sus parámetros cambian lentamente. Para parámetros que cambian

abruptamente pero no con mucha frecuencia, se utiliza el método RLS simple, pero

inicializando la matriz )(tP a Iα , donde α es un numero grande.

• Los resultados sobre los datos reales del sistema muestran un desempeño bueno del sistema

de diagnostico de fallas. La generación de residuos fue basada en estimación parametrica

los cuales fueron desarrollados usando estimación recursiva de mínimos cuadrados

recursivos modificados.

• La detección y diagnostico de fallas aplicando metodologías de identificación de

parámetros es altamente dependiente de la identificación correcta de los parámetros del

proceso (actuador-proceso-sensores). Si los parámetros no representan no representan el

proceso mucho menos la metodología de detección y diagnostico de fallas no puede

realizarse de la mejor forma.

• La metodología de clasificación permite encontrar relaciones escondidas entre los

parámetros de la planta y los eventos que ocurren en ella como fallas, perturbaciones, etc.

• La generación de residuos permite tener referencia con respecto a los parámetros reales del

proceso. Cualquier cambio con respecto a los parámetros reales del proceso se detecta

como falla. Las relaciones entre los cambios detectados y las fallas ocurridas definen

CONCLUSIONES

modelos de clasificación (FIS) que se utilizan como sistema para hacer diagnostico de

fallas.

• Se implementaron todos los niveles de control; se toma como proceso un sistema de

tanques acoplados. El sistema fue instrumentado; se hicieron los actuadores que manejan

las bombas y las válvulas como también los circuitos acondicionadores para los sensores.

Se implementaron sistemas de control difuso para manipular el proceso, de esta forma se

monitorean todas la variables que interesan para implementar el sistema de supervisión

basado en estimación de parámetros del proceso para detectar fallas y métodos de

clasificación con sistemas ANFIS para hacer diagnostico de fallas.

ANEXO C

ANEXO C

C.1 NOTACION

( )TΜ : Matriz o vector que se debe transponer.

I : Matriz identidad

C.2 ABREVIATURAS

AR Autoregressive ( auto regresivo)

ARMA Autoregressive moving average ( promedio móvil y auto regresivo)

ARX Autoregressive with exogenous input (auto regresivo con variable exógena)

ARMAX Autoregressive moving average with exogenous input ( auto regresivo y

promedio móvil con variable exógena)

ARARX Autoregressive autoregressive with exogenous input (auto regresivo auto

regresivo con variable exógena)

ARARMAX Autoregressive autoregresive moving average with exogenous input. (auto

regresivo auto regresivo y promedio móvil con variable exógena)

BJ Box-Jenkins

Ec Ecuación.

Ej Ejemplo.

ANEXO C

ESL Mínimos cuadrados extendidos.

Fig Figura.

FIR Respuesta finita al impulso.

LS Least squares. Mínimos cuadrados.

SISO Single input single output. Una sola entrada una sola salida.

RLS Recursive least squares. Mínimos cuadrados recursivos.

RELS Recursive Extended least squares. Mínimos cuadrados extendidos

recursivos.

MA Moving average (promedio móvil)

OE Output error (error de salida)

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identificación y modelos parametricos lineales, métodos de estimación parametrica temporales.

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