Mecánica de Fluidos

Jean-François DULHOSTE – Escuela de Ingeniería Mecánica - ULA

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PPrrooppiieeddaaddeess ddee ssuuppeerrffiicciieess ppllaannaass

Figura Centroide Area Momento de Inercia

Rectángulo 2hy = bhA = 12

3bhI =

Triángulo 3hy =

2bhA =

36

3bhI =

Círculo ry = 4

2dA π=

64

4dI π=

Semicírculo π34ry =

8

2dA π=

128

4dI xπ

=

Elipse by =

abA π=

4

3abI π=

Semielipse π34by =

2abA π

= 8

3abI xπ

= b

y

2a

y 2b

2a

r y

2r

r y d

b

h y

b

h y

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FFuueerrzzaass hhiiddrroossttááttiiccaass ssoobbrree ssuuppeerrffiicciieess ccuurrvvaass ssuummeerrggiiddaass La diferencia básica en el cálculo de la fuerza que actúa sobre una superficie curva respecto de una plana radica en el hecho de ser dF perpendicular en todo momento a la superficie, entonces cada diferencial de fuerza tiene una dirección diferente. Para simplificar la operación de totalización solo debemos sumar los componentes de los vectores fuerza, referidos a un eje de coordenadas adecuado. Por lo tanto en este caso debemos aplicar 3 veces, como máximo, la ecuación para la superficie.

Componentes de la fuerza Si se tiene la superficie mostrada en la figura.

La fuerza de presión en este caso esta dada por:

PdAdF = La fuerza resultante se determina sumando las contribuciones de cada elemento diferencial:

∫= AR PdAF

Esta fuerza resultante se puede descomponer en componentes: kFjFiFF RzRyRxR ++=

Donde i, j, k son los vectores unitarios de las direcciones x, y, z respectivamente. Cada una de estas componentes de fuerza se puede expresar como:

∫∫∫∫∫∫

==

==

==

A zA zRz

A yA yRy

A xA xRx

PdAdAPF

PdAdAPF

PdAdAPF

θ

θ

θ

cos

cos

cos

Donde xθ , yθ y zθ son los ángulos entre dA y los vectores unitarios i, j y k respectivamente. Por lo tanto dAx, dAy y dAz son las proyecciones del elemento dA sobre los planos perpendiculares a los ejes x, y y z respectivamente.

x

y

z

dA

dAx dAy

dAz

FR

FRz

FRx

FRy

x’

z’

y’

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Aquí se pueden diferenciar dos casos: • Las componentes horizontales de la fuerza de presión sobre una superficie curva es igual a la suma vectorial de

las fuerzas de presión ejercidas sobre la proyección de la superficie curva en los planos verticales. • La componente vertical de la fuerza de presión sobre una superficie curva es igual al peso del líquido que se

encuentra verticalmente por encima de dicha superficie hasta la superficie libre. Esto ya que si analizamos la expresión para la fuerza vertical y tomando en cuenta que hP γ= obtenemos lo siguiente:

∫∫∫ ===VA zA zRz VddAhdAPF γθγθ coscos

Línea de acción de la fuerza Una vez establecidas las componentes de las fuerzas se debe especificar las líneas de acción de cada componente, utilizando el mismo criterio que para las superficies planas. Es decir la sumatoria de momentos de cada componente de la fuerza resultante debe ser igual al momentote la fuerza distribuida, respecto al mismo eje. Así se tiene:

( )

( )

( )∫

∫

∫

++

=

++

=

++

=

A yxRyRx

A zxRzRx

A zyRzRy

dAdAzPFF

z

dAdAyPFF

y

dAdAxPFF

x

1'

1'

1'

Caso de superficie con curvatura en dos dimensiones Para comprender mejor el problema lo vamos a simplificar al caso de una superficie curva en dos dimensiones. Es decir una superficie curva con ancho constante en la dirección x. Por lo tanto no existirán fuerzas hidrostáticas en esa dirección. La figura muestra un corte de la superficie con un plano yz. En este caso las componentes de la fuerza se expresan:

∫∫∫∫

==

==

A zA zRz

A yA yRy

PdAdAPF

PdAdAPF

θ

θ

cos

cos

Y la línea de acción se obtiene con las expresiones:

∫∫

∫

==

=

VAy yRy

Az zRz

VxdV

zPdAF

z

yPdAF

y

11'

1'

Cuando se trabaja con superficies cilíndricas (radio de curvatura constante) es conveniente expresar el dA en función del ángulo de barrido en la circunferencia, es decir:

θWRddA = Donde:

R: radio del cilindro W: ancho de la superficie θ : ángulo de barrido de la circunferencia.

De esta forma se puede utilizar θ como variable de integración, quedando la fuerza expresada de la siguiente forma:

z

y

FR

FRy

FRz

y’

z’

l

dA

θ

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∫∫ ==2

1coscos

θ

θθθθ WRdPdAPF

ARl

Donde θ es el ángulo entre el vector dA y el vector unitario de la dirección l.

EEjjeerrcciicciiooss..

Ejercicio 7 La compuerta mostrada en la figura tiene un ancho constante de W = 5 m. La ecuación que describe la superficie es ayx 2= donde a = 4 m. El nivel del agua en el lado derecho de la compuerta es 4 m. Determine las componentes horizontal y vertical de la fuerza resultante debida al agua y la línea de acción de cada una.

Ejercicio 8 El tanque abierto mostrado en la figura se llena con agua hasta un nivel de 10 pies. Determine las magnitudes y las líneas de acción de las componentes vertical y horizontal de la fuerza resultante que ejerce el agua sobre la parte curva en el fondo del tanque.

Ejercicio 9 La compuerta de la figura que tiene forma de cuarto de cilindro está articulada en el punto A y tiene 2 m de ancho perpendicularmente al plano del papel. El fondo de la compuerta se encuentra 3 m por debajo de la superficie del agua, determine:

a. Magnitudes de la fuerza horizontal y vertical b. Líneas de acción de la fuerza.

z

x

Radio 4 pies

12 pies

10 pies

10 pies

A 3 m