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CAPITULO 1. CURVAS Y SUPERFICIES 1.1. Curvas en el plano Definición 1 .Definimos curva en el plano t y , t x t α t R R b , a : α C 2 que nos lleva a la ecuación paramétrica de la curva C : t [a,b] ,curva que une el punto A con el punto B del plano En este punto definimos las características más importantes de las curvas o caminos. • Una curva C es continua si x (t), y (t) son continúas. • Una curva C es cerrada si A = B, es decir, si empieza y termina en el mismo punto. • Una curva C es simple si no pasa dos veces por el mismo punto. • Una curva C es regular si existen x'(t) y’(t) y son continuas. Cuando ocurre esto salvo en un número finito de puntos se dice que la curva es regular a trozos. Salvo que se indique lo contrario trabajaremos con curvas regulares a trozos. • Una curva C es rectificable si tiene longitud finita. • Una curva C es de Jordan si es cerrada y simple. 1.2. Superficies: primeros conceptos El estudio de las superficies exige una representación analítica de ellas. Vamos a ver diversas representaciones comenzando por el caso de coordenadas cartesianas. Consideremos una referencia afín, k , j , i , 0 en R 3 donde los vectores k , j , i forman base ortonormal. Definición 2 .Una superficie es una aplicación 3 2 R R D : r , es decir ) v , u z( , ) v , y(u , v) , x(u v , u r , D v , u

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CAPITULO 1. CURVAS Y SUPERFICIES

1.1. Curvas en el plano

Definición 1 .Definimos curva en el plano

ty,txtαt

RRb,a:αC 2

que nos lleva a la ecuación paramétrica de la curva C : t[a,b] ,curva que une el punto A con el punto B del

plano

En este punto definimos las características más importantes de las curvas o caminos.

• Una curva C es continua si x (t), y (t) son continúas.

• Una curva C es cerrada si A = B, es decir, si empieza y termina en el mismo punto.

• Una curva C es simple si no pasa dos veces por el mismo punto.

• Una curva C es regular si existen x'(t) y’(t) y son continuas. Cuando ocurre esto salvo en un número finito

de puntos se dice que la curva es regular a trozos. Salvo que se indique lo contrario trabajaremos con curvas

regulares a trozos.

• Una curva C es rectificable si tiene longitud finita.

• Una curva C es de Jordan si es cerrada y simple.

1.2. Superficies: primeros conceptos

El estudio de las superficies exige una representación analítica de ellas. Vamos a ver diversas

representaciones comenzando por el caso de coordenadas cartesianas. Consideremos una referencia afín,

k,j,i,0 en R3 donde los vectores k,j,i forman base ortonormal.

Definición 2 .Una superficie es una aplicación 32 RRD:r , es decir

)v,uz(,)v,y(u,v),x(uv,ur , Dv,u

La expresión kv),uz(jv),y(uiv),(uxv,ur recibe el nombre de ecuación vectorial de la

superficie. Descomponiendo dicha expresión en sus funciones componentes se obtiene

D)v,u(

v),z(uz

v),y(uy

v),x(ux

Denominadas ecuaciones paramétricas de la superficie. Los parámetros u y v reciben el nombre de

coordenadas curvilíneas de la superficie. Se denomina ecuación explícita de la superficie aquella en que los

parámetros son dos las variables por ejemplo (x, y) obteniéndose z = f (x, y) Una relación entre las variables

x, y, z de la forma F(x, y, z) = 0 recibe el nombre de ecuación implícita de la superficie.

Una superficie se dice de clase C k si la función r (u, v) es de clase C

k , o lo que es lo mismo, si las

funciones x (u, v), y (u, v), z (u, v) son de clase C k .Si no se dice otra cosa se supondrá que la superficie es

de clase C k

1.3. Algunas superficies importantes

Describiremos aquí las superficies más importantes que aparecen en la práctica. Empezaremos con las

principales cuádricas canónicas: Esfera, elipsoide, hiperboloides, paraboloides, y algunos casos de cilindros y

conos. A continuación analizaremos las superficies de revolución y traslación para acabar con una pincelada

sobre las superficies regladas, que serán analizadas con más detenimiento posteriormente. Esta clasificación

que hemos realizado no es excluyente. Por ejemplo un cilindro circular es una superficie de revolución y

reglada.

La esfera de ecuación implícita x 2 +y

2 + z

2 = a

2, admite como ecuaciones paramétricas

usenaz

π2v0vsenucosay

2

πu

2

πvcosucosax

El elipsoide (Fig.1) de ecuación implícita 1c

z

b

y

a

x2

2

2

2

2

2

, admite como ecuaciones paramétricas

usencz

π2v0vsenucosby

2

πu

2

πvcosucosax

Fig. 1. Elipsoide

Paraboloide elíptico: Tiene por ecuación explicita:2

2

2

2

b

y

a

xz .Las ecuaciones paramétricas son

2uz

2πv0vsenuby

u0vcosuax

Fig. 2. Paraboloide elíptico

Si a = b el paraboloide se denomina circular.

Paraboloide Hiperbólico: 2

2

2

2

b

y

a

xz es la ecuación del paraboloide hiperbólico (Fig.3). La

intersección de esta superficie con planos z = Cte. son hipérbolas. Unas ecuaciones paramétricas son

22 vuz

vvby

uuax

Fig.3.Paraboloide hiperbólico

Hiperboloide de una hoja: 1c

z

b

y

a

x2

2

2

2

2

2

(Fig. 4). Unas posibles ecuaciones paramétricas son

uhsencz

2πv0vsenuhcosby

uvcosucoshax

Fig. 4. Hiperboloide de una hoja

Hiperboloide de dos hojas: 1a

x

b

y

c

z2

2

2

2

2

2

.Unas ecuaciones paramétricas de la primera hoja son

uhcoscz

2πv0vsenuhsenby

u0vcosuhsenax

y unas ecuaciones paramétricas de la segunda hoja son

ucosc.z

2πv0vsenuhsenby

u0vcosuhsenax

Cilindro circular con generatrices paralelas al eje OZ, tiene por ecuación implícita x 2

+ y2

= a2. Unas

posibles ecuaciones paramétricas son

uz

2πv0vsenay

uvcosax

Cono circular de vértice el origen puede expresarse en forma x 2 + y

2 - a

2z

2 =0

Fig. 5: Cono circular

Unas posibles ecuaciones paramétricas son

uz

π2v0vsenuay

uvcosuax

1.4. Primeros conceptos sobre superficies

Definición 3 .Sea la superficie S definida en forma implícita por F(x, y, z) = 0, donde la función F es al

menos de clase Cl. Sea P0(x0, y0, z0) un punto de la superficie S, esto es, verifica F (x0, y0, z0) =0 .El punto P0

se dice punto singular de S sí

│F x (x0, y0, z0)│+ │F y (x0, y0, z0)│+ │F z (x0, y0, z0)│=0

En caso contrario el punto P0(x0, y0, z0) recibe el nombre de punto regular.

Sea la superficie S de ecuaciones paramétricas

v),z(uz

v),y(uy

v),x(ux

v,ur

donde r (u, v) es al menos de clase C l en un entorno de (u, v) D.

El punto P0(x0, y0, z0) =(x (u0, v0),y(u0,v0),z(u0,v0)) es un punto regular de S si se verifica 0rr00 v,uvu

que es equivalente a decir que la matriz tiene rango dos.

Un punto de la superficie S es punto singular de S si no es regular.

El que un punto sea singular para una superficie expresada en forma implícita es algo inherente a la

superficie. Así por ejemplo, el punto (0, 0, 0) es un punto singular para el cono de ecuación x2

+ y2

- z2 = 0,

que corresponde a su vértice.

Sin embargo, ser punto singular para una superficie expresada en forma paramétrica puede depender de la

parametrización elegida, pudiendo un punto ser singular para una parametrización y regular para otra.

Los dos ejemplos anteriores muestran que hay dos tipos de puntos singulares: Esenciales, que son debidos a

la "geometría" de la superficie y que son independientes de la parametrización de la superficie y artificiales,

que se deben a la parametrización elegida para la superficie.

En todo lo que sigue supondremos que todos los puntos de una superficie son regulares. En caso de

existencia de puntos singulares se pondrá de manifiesto de forma explícita.

1.5. Vectores normales a una superficie. Plano tangente

Un vector normal a la superficie v,urr en un punto regular P, correspondiente a los valores (u0, v0) de

los parámetros, es cualquier vector que tenga la dirección del vector

vvv

uuu

v,u zyx

zyx

kji

v

r

u

r

0o

Si la superficie viene expresada en la forma implícita, F(x, y, z) = 0, un vector normal a la superficie, en un

punto regular P0(x0, y0, z0) de ella, viene dado por el vector (F x(x0, y0, z0), F y (x0, y0, z0), F z(x0,y0,z0) )

Un vector normal unitario será el vector

00

00

00

v,uvu

v,uvu

v,u

rr

rrν

El plano tangente a la superficie v,urr en un punto regular P de coordenadas (x0, y0, z0)

correspondiente a los valores (u0, v0) de los parámetros, es el plano que pasa por P y tiene como vector

característico un vector normal a la superficie en P. Siendo )zy,(x,r una ecuación del plano tangente

será

.v,urr 00 00 v,uvu rr =0

que puede expresarse en la forma

0

zyx

zyx

zzyyxx

vvv

uuu

000

El plano tangente contiene a los vectores vu r,r lo que nos permitirá deducir, en el apartado siguiente, que

dicho plano contiene a todas las rectas tangentes a curvas que estén contenidas en la superficie y pasen por el

punto 00 v,ur

Se denomina recta normal a la superficie en un punto regular P, correspondiente a los valores (u0, v0) de los

parámetros, a la recta que pasa por P y tiene como vector director un vector normal a la superficie en P. Una

ecuación vectorial de la recta normal será

0000 v,urλv,urR

1.6. Expresiones de una curva sobre una superficie

Sea la superficie v,urr .Una curva sobre dicha superficie viene dada por una relación entre los

parámetros u y v. Esta relación puede adoptar diversas formas:

1. Forma implícita: (u, v)=0 con │ u│+│ v │=0

2. Forma explícita: u = (v)

3. Forma paramétrica: u=u(λ) , v=v(λ)

4. Forma diferencial: v,ufud

vd

La forma diferencial representa una familia de curvas, ya que su integración dará lugar a una expresión de la

forma (u, v, k)=0, debiéndose fijar alguna condición para determinar la constante k.

5. Forma cuadrática diferencial: A(u,v)du2+2B(u,v)du dv+C(u,v)dv

2=0 . Vamos a suponer C ≠ 0.

Resolviendo 0Adu

dvB2

ud

vdC

2

se obtienen dos familias de curvas en forma diferencial que son:

v,ufdu

dv,v,uf

du

dv21 para valores (u, v) tales que B

2 - AC > 0.Representa pues dos familias de

curvas sobre la superficie.

1.7. Curvas coordenadas sobre una superficie

Las relaciones u=C1 (Cte.), v=C2 determinan al variar v y u respectivamente, dos familias de curvas sobre

la superficie que reciben el nombre de curvas coordenadas o paramétricas

Fig. 8

Las curvas 21 Cv,Cu fibran la superficie

Si queremos prever el futuro de la matemática, el camino adecuado para conseguirlo es el de estudiar la

historia y el estado actual de esta ciencia.

Henri Poincaré

CAPITULO 2.INTEGRALES MULTIPLES

2.1. Integral doble

Sea D un dominio acotado del plano XOY, limitado por una curva cerrada C que se supondrá

rectificable. Supongamos que dicho dominio D tiene un área A. Sea f(x,y) una función acotada en el

dominio D . Dividamos de forma arbitraria D en n dominios parciales, 1, 2……n de áreas

ω1,ω2…….ωn . Cualquiera que sea la forma en que se ha hecho la partición, se

n

1p

pωA (1)

Consideremos ahora en cada dominio parcial p un punto arbitrario de coordenadas ( ωp , p) y

formemos la siguiente suma

p

n

1p

pp ω η ,ψf Ω

(2)

Llamemos diámetro del dominio al extremo superior de la distancia entre dos cualesquiera de sus puntos.

Diremos que la función f(x ,y) es integrable en D si el límite de la expresión (2) tiende a un límite

finito I cuando n -> ∞ de modo que el mayor de los diámetros de los dominios parciales tienda a

cero.

dxdyyx,fω η,ψf limID

p

n

1p

ppn

2.2. Clase de funciones integrables

1.Toda función continua en un dominio D es integrable en este dominio.

2.Si f(x,y) permanece acotada en D y tiene en dicho dominio un número finito o infinito de puntos de

discontinuidad , estando estos puntos distribuidos sobre un número finito de arcos rectificables de

curvas planas contenidas en D , la función es integrable en el citado dominio.

2.3. Propiedades de la integral doble

1.Si la función f(x,y) es acotada e integrable en los dominios D y E teniendo estos dominios una

parte de frontera común , también es integrable en D+E

ED D E

dxdy yx,fdxdy yxfdydx yxf

2.Si las funciones f(x,y) y g(x,y) son acotadas e integrables en D , se verifica

D D D

dxdy y,xgdxdy y,xfdxdyy,xgyx,f

3.Si f(x,y) es acotada e integrable en D y k es una constante, se verifica

dxdy yx,f kdxdy yx,fk D D

4.Si f(x,y) es integrable en D , también lo es │f(x,y)│ verificándose

DD

dxdyy,xfdxdy y,xf

2.4. Teorema de la media

Si f(x,y) y g(x,y) son funciones acotadas e integrables en un dominio D y g(x,y) tiene signo

constante en el citado dominio, se verifica

D D

dxdy y),g(xμdxdy y),g(x y)f(x, (3)

es un número comprendido entre los extremos m y M de f(x,y) en D

Casos particulares

1.Si f(x,y) es continua en el dominio D , tomara el valor (ψ ,) del dominio

y de la expresión ( 3 ) se obtiene

D D

dxdy y)g(x,η)f(ψ(dxdy y),g(x y)f(x, (4)

Si f(x,y) es continua en el dominio D y g(x,y)=1 en las fórmulas (3) y (4), se verifica

DD

ηψ,Afdxdyy)f(x, Aμdy dxy)f(x,

f(ψ , ) es el valor medio de f(x,y) en el dominio D

D

y),medio(x dydx )y ,f(xA

1f

2.5. Calculo de integrales dobles

Si D es un dominio de integración horizontalmente simple o verticalmente simple , la integral doble

sobre D de una función continua es una integral iterada. Es decir, sea

xf y xf ,b xa / y ,xD 21

Siendo f1(x) y f2(x) funciones continuas en [a,b].Entonces

b

a

x2f

x1fD dy y ,xf dx dxdy y ,xf (5)

Análogamente, sea

yg x yg ,d yc / y ,xD 21

Siendo g1(y) y g2(y) funciones continuas en [c, d] . Se verifica

dx y ,xf dy dxdy y ,xf

d

c

y2g

y1gD

Ejercicios de aplicación

1. Calcular dydx y 4x ID

22

D es el dominio limitado por el triángulo de lados x =1, y = 0, y =x

dyy4xdxIx

0

221

0

Calculemos la integral x

0

221 dyy4xI

Cambio de variable: y =2 x sen t 0t,6

πt

2

3

3

π x dt tcos x 4dt cost cost x 4I 2

π/6

0

22π/6

0

21

Por tanto.18

π233 dx x

2

3

3

π I 2

1

0

2. Calcular D

dxdy yx I donde D es el área limitada por la recta y= x y la curva y= x2

24

1dx xx

2

1dy y dx x I

1

0

x

2x

1

0

53

2.6. Suplicación del cálculo de integrales dobles

Sea f(x,y) integrable en un dominio D acotado

1. Si D es simétrico respecto al eje OX y f(x,-y)=-f(x,y) , entonces I=0

2. Si D es simétrico respecto al eje OX y f(x,-y) = f(x,y)

dydx y)f(x,2I

extendida a la mitad inferior o superior del dominio D

3. Si D es simétrico respecto al eje OY y f(-x , y)= -f(x ,y) , entonces I=0

4. Si D es simétrico respecto al eje OY y f(-x , y)=f(x,y)

dydx )y,f(x2I

extendida a la mitad izquierda o derecha del dominio D

5. Si D es simétrico respecto al origen de coordenadas y f(- x ,-y)=-f(x,y) , I=0

6. Si D es simétrico respecto al origen de coordenadas y f(- x ,-y)=f(x,y)

dydx)y,(xf2I

Ejercicios de aplicación

1. Calcular dxdy x y yx ID

3

donde D es el dominio x2+y

2-1≤0 , x≥0

D es un dominio simétrico respecto al eje OX

D D D

3 dxdy xdxdy ydxdy yxI

___I1 __ __I2 __ __I3__

Cálculo de I1: 0 1Iy)f(x,y)f(x,

Cálculo de I2

0Iy)f(x,y)f(x, 2

Calculo de I3

1

0

2x1

0

1

0

23

3

2x1 x2 dy dx x2I

Luego 3

2I

2. Calcular D

33 dxdy yxsen I donde D es el dominio 19

y

4

x22

.

D es un dominio simétrico respecto al origen de coordenadas, verificándose:

)ysen(x]y)(x)sen[( 3333

Luego, I=0

2.7. Cambio de variables en integrales dobles

Sea la integral doble D dxdy yx,f extendida a un dominio plano D limitado por la curva cerrada C.

Se quiere cambiar las variables (x, y) por otras (u ,v) mediante las ecuaciones

) 6 ( v ,uyy

v ,uxx

La nueva integral se extenderá a un dominio R limitado por una curva T imagen de C . La

correspondencia definida por las ecuaciones (6) es biunívoca cuando a cada punto del dominio D limitado

por C , le corresponde un único punto del dominio R limitado por T y recíprocamente. Para que la

correspondencia sea biunívoca es preciso que el determínate Jacobiano sea ≠0

Se denomina determinante Jacobiano (x,y) con respecto a u y v y se simboliza por v)D(u,

y)D(x,al determinante

v

y

u

y

v

x

u

x

v)D(u,

y)D(x,

Si f(x,y) es continua en D y las funciones x(u ,v) , y(u,v) son derivables con derivadas continuas en R y el

Jacobiano anteriormente definido es ≠0 en R , entonces se tiene

ΔD)(7 dudv

v,uD

y,xDv,uy,v,uxfdxdy yx,f

El elemento diferencial dx dy se ha tomado positivo . Si queremos considerar positivo du dv , será

preciso tomar positivo el jacobiano , lo cual implica que la expresión (7) adopta la forma

Δ dv du J vu,y,vu,xf (8)

Coordenadas Polares: x=ρ Cos θ , y =ρ Sin θ

dθ dρ ρ v ,uD

y ,xD

dθdρ ρ θsen ρ ,θ cos ρf dxdy y ,xf ΔD

Ejercicios de aplicación

1. Calcular dxdyyx ID

22

donde D es el área de la lemniscata cos2θ2aρ 22 .

Coordenadas polares

2

aπdθ2θcosa4dρρθd4dθdρρρ4I

4

D

0

2θcos2a

0

0

2432

2.8. Calculo de volúmenes

Se trata de calcular el volumen del cuerpo limitado por la superficie z=f(x,y) el plano XOY y una

superficie cilíndrica de generatrices paralelas a O Z , cuya directriz es la curva C del dominio D ,

en el cual se supondrá f(x,y) positiva e integrable. Este volumen viene dado por la integral doble

D

dydx yx,fV

El volumen comprendido entre dos superficies z1=f1(x,y) y z2=f2(x,y) siendo f2(x,y) > f1(x,y)

contenido en un cilindro de base D y generatrices paralelas a OZ viene dado por

D

12 dydxyx,fyx,fV

Ejercicios de aplicación

1. Calcular el volumen limitado por (x-c)2+ (y-d)

2=R

2 , z=0 y x y =a z

Cambio de variables

1

1 0

0 1

Y ,XJ

y ,xJ

YdyYdy

XcxXcx

El plano z=0 se transforma en z=0 , la superficie x y = a z se ha transformado en (X+c) (Y + d)= a Z y

el cilindro (x-c)2+(y-d)

2=R

2 se ha transformado en X

2 +Y

2 =R

2 . Por tanto, el volumen será

D

,dxdy z V

Siendo D= X2 +Y

2 =R

2

DDDD

dY X a

c d dXdY Y

a

c dXdY X

a

ddXdY Y X

a

1V

Calculemos D

2 dY dX X a

dI :

f(-X ,Y)=-f(X,Y) y el dominio es simétrico respecto del eje OY. Por tanto I2=0

De la misma forma

D

3 0dY X d Y a

cI

f(X ,-Y)=- f(X,Y) y el dominio es simétrico respecto al eje OX . Igualmente

D

1 0dY dX Y X a

1I

f(-X ,Y)=f(X,Y) y el dominio es simétrico respecto al eje OY.

El valor del volumen será

a

c d R πdY X d

a

c dV

2

D

2. Calcular el volumen del sólido determinado por las superficies x=y2 , y=0 , z=0 y z + x=1

15

4 dy dx x1 dy dx x1 dy dx z V

x

0

1

0D D

3. Calcular el volumen común a la esfera y al cilindro de ecuaciones x2+y

2+z

2=R

2 , x

2+y

2-R x= 0.

Coordenadas polares:

dθ dρ ρ ρR 4 dxdy z 4VD D

22

D es el primer cuadrante del círculo de ecuación: ρ=R cos θ

3

4 π

3

R 2dρ ρ ρR dθ 4V

3θ cosR

0

222

π

0

2.9.Integrales triples

Sea K un dominio acotado del espacio limitado por una superficie cerrada que constituye su contorno.

Sea V el volumen de K y consideremos la función f(x,y,z) acotada en K . Descompongamos de

forma arbitraria mediante superficies auxiliares el dominio K en n dominios parciales 1 , 2……n

de volúmenes v p y elijamos en cada dominio parcial p un punto de coordenadas (ψ p , p , θ p) .

Diremos que f(x, y, z) es integrable en K si la suma

n

1p

pppp vθ,η,ψ f σ

tiene limite finito cuando n → ∞ de forma que el mayor de los diámetros de los dominios parciales

tienda a cero , cualquiera que sea la forma de realizar la partición y elegir un punto (ψ p , p , θ p) en

cada uno de los dominios parciales. El valor I es

V

dzdydx)zy,f(x,I

2.10. Cálculo de integrales triples

Vamos a suponer que el dominio K que se proyecta en el dominio D del plano XOY , está

limitado superior e inferiormente por las superficies S1 y S2 de ecuaciones z=z1(x,y) , z=z2(x,y) , con

z2≥z1 , siendo ambas superficies continuas en D . El dominio D está limitado por una curva simple

cerrada C . K se supondrá limitado lateralmente por una superficie cilíndrica de generatrices

paralelas a OZ

Supongamos que toda paralela a OZ trazada desde un punto (x ,y) interior a C corta al contorno C

en dos puntos de cotas z1(x,y) y z2(x,y) siendo z1< z2 y suponiendo que toda paralela a OY que

corte al eje OX en un punto x comprendido entre a y b , corta a la curva C en sólo dos puntos

de coordenadas f1(x) , f2(x) con f1(x) < f2(x) siendo estas funciones continuas. El cálculo de la integral se

reduce a tres integraciones reiteradas.

K

b

a

(x)2f

(x)1f

y)(x,2z

y)(x,1z

y)(x,2z

y)(x,1zDz)dzy,f(x,dy dxz)dzy,f(x,dydxz)dxdydzy,f(x,

Ejercicios de aplicación

1. Calcular la integral D32 dz dy dx z yx extendida al volumen comprendido entre el plano X Z y

las dos superficies cilíndricas y2= a x - x

2 , z

2 = 4 a x

a

0

9242

xa4

0

a

0

2xax

0

4232

21

a2 dxxaxx2ady y dxx 4adzzdxdyx2I

2. Calcular

D

2

2

2

dz dy dxz x z1

yx donde D es el paralelepípedo construido sobre los ejes de

longitudes 1, 2, 1.

3

1

6

πdz z x

z1

yx dy dx dz dy dx z x

z1

yx 2

2

21

o

2

0

1

0D

2

2

2

3. Calcular D dz dy dx z donde D es el primer octante positivo limitado por los planos y=0 , z=0 , x+

y=2 , 2y + x = 6 y el cilindro y2+z2=4

. 3

26dz z dx dy dz dy dx z

D

2

0

2y6

y2

2y4

0

2.11 .Cambio de variables en integrales triples

Sea la integral dxdydzzy,x,fK extendida al dominio K. Se quieren cambiar las variables x, y, z

por otras u, v, w mediante las ecuaciones:

9

w v,u, zz

w v,u, yy

w v,u, xx

La nueva integral se extenderá a un dominio K’ imagen de K por las ecuaciones (9) . La

correspondencia que definen las ecuaciones (9) es biunívoca cuando a cada punto de K le corresponde

un único punto de K’. Recíprocamente, para que la correspondencia sea biunívoca es preciso que el

jacobiano

En estas condiciones se tiene

dwdvdu J wv,u, z ,wv,u, y ,wv,u, x fdzdydxzy,x,fK ,K

Coordenadas Cilíndricas

zzsenθρycosθoρx

dzdθdρρzθ,ρ,J

zy,x,J

Coordenadas Esféricas

sen ρz

cos θsen ρy

cos cosθ ρx

a 0 de varíaρ ,2

π a

2

π de varía ,2π a 0 de varíaθ

En estas condiciones se barre todo el espacio. Cálculo del jacobiano

cos ρ ,θ ,ρJ

zy, ,xJ 2

Ejercicios de aplicación

1. Calcular D

2222 dz dy dx9z4yxsenxI donde D es es el dominio limitado por la elipse

x2 + 4y

2 + 9z

2 =1

Transformemos el elipsoide en una esfera mediante el cambio

Z 3

1 z ,Y

2

1 y ,X x

El elipsoide se ha transformado en la esfera X2+Y

2+Z

2=1

6

1

Z ,Y ,XJ

z ,y ,xJ

Por tanto: dXdYdZZYXsenX6

1I 2222

Pasando a coordenadas esféricas

]21sen21[cos9

π2dρ ρsenρ d cos dθ θcos

6

1I 2

π

2

π

1

0

432π

0

2

2. Calcular D 22 yx

dz dy dx D es el dominio limitado por la superficie esférica de ecuación x

2 + y

2 +z

2

– 2 R y =0

Pasando a coordenadas esféricas

D

2

cos ρ

dθ dρ d cosρ I

Donde D’ es el dominio de ecuación: senθsenR2D'

222RsenθRse

0

π/2

π/2

0RπρdρddθI

2.12. Simplificación en el cálculo de integrales triples

1. f(-x,y,z)=-f(x,y,z) y dominio simétrico respecto al plano x = 0 I=0

2. f(x,-y, z)=-f(x, y, z) y dominio simétrico respecto al plano y = 0 I=0

3. f(x, y,-z)=-f(x, y, z) y dominio simétrico respecto al plano z=0 I=0

4. f (-x,-y, z)=-f(x, y, z) y dominio simétrico respecto al eje O Z I=0

5.f(-x,y,-z)=-f(x,y,z) y dominio simétrico respecto al eje OY I=0

6. f(x,-y,-z)=-f(x, y, z) y dominio simétrico respecto al eje OX I=0

7. f(-x,-y,-z)=-f(x,y,z) y dominio simétrico respecto al origen I=0

Ejercicios de aplicación

1. Calcular K

222 dzdydx1zyxcoszy,x,senx siendo K: 93

z

2

yx

222

f(x,-y ,z)=-f(x,y,z) y el dominio es simétrico respecto al plano y=0 .Por tanto I= 0

Ejercicios de aplicación

1. Calcular el volumen del elipsoide 1(z/c)(y/b)(x/a) 222

Al ser el elipsoide simétrico respecto a los planos coordenados, podemos hallar la octava parte del

volumen y el volumen total será

dxdydz8V

Cambio de variables: 1/21/2y

1/2 cwz,bv,aux

El nuevo dominio es el limitado por los planos: u=0 ,v=0 , w=0 , u+v+w=1

dwdvduw vuc b a 8

1 8dzdydx8I

w v u c b a 8

1

wv,u,J

zy,x,J

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

Por tanto:

cbaπ

3

4

2

1Γ2

2

2

cbaI

2.13. Teoremas de Guldin

Primer Teorema El área engendrada por una línea plana al girar alrededor de un eje de su plano, es

igual al producto de la longitud de la línea por la circunferencia descrita por su centro de gravedad.

El área engendrada por una curva regular al girar alrededor del eje OX viene dada por

L2πyds2πAb

a

Segundo Teorema El volumen engendrado por un recinto plano al girar alrededor de un eje de su

plano es igual al producto del área de dicho recinto por la circunferencia descrita por su c. d. g .

ηAπ 2V

Ejercicios de aplicación

1. Hallar el centro de gravedad de un cuadrante de círculo.

Hay simetría respecto de la bisectriz y = x , con lo cual ηξ Apliquemos el teorema de Guldín

R4

4

R π 2π

Rπ 3

2

A π 2

VηA η π 2V

2

3

ya que al girar alrededor del eje OX , el cuadrante de círculo engendra media esfera de volumen

3Rπ3

2.

2. Hallar el c. d. g del recinto formado por el eje OX, la parábola y=x2 y las rectas x = -1 , x=1

Por ser el eje OY de simetría 0ξ . Apliquemos el segundo teorema de Guldin:

10

3

dxx

dxx

2

1

dx y π2

dx y π

A π 2

V η A η π 2V

1

1

2

1

1

42

Ejercicios de aplicación

1. Calcular

dy dx

yx1

yx1I

22

22

extendida al primer cuadrante del círculo 1yx 22 .

Coordenadas polares

dρρρ1

ρ1 dθ I

1

0 2

22

π

0

Calculemos la integral dρ ρ ρ1

ρ1 I

1

0 2

2

1

Cambio ρ2 = u

1

0

1

0

1

0

1

0 2221

u1

duu

2

1

u1

du

2

1

u1

du u1

2

1du

u1

u1

2

1I

1 2

π

2

1u1usenarco

2

1 1

0

2

1

2

π

4

π dθ 1

2

π

2

1I 2

π

0

2. Calcular el volumen limitado por la superficie 1z y x 3

2

3

2

3

4

La superficie es simétrica respecto a los tres ejes de coordenadas.

2

3

3

2

3

4

2

341

5

1

yxz

z1

5

3

2

1 x

4

3 4y

2

3

3

2

Al realizar la integral sobre el octante positivo, adoptamos el signo positivo.

dydx4yx1

5

8dydxz8V

2

3

3

2

3

4

2

3

Transformemos la integral en una de Dirichlet mediante el cambio de variables

2

3

3

2

4

3

3

4

v4

1 y vy 4 ,u x u x

Adoptaremos el signo (+) ya que en el primer octante x≥0 , y≥0 . Por otra parte la proyección de

la superficie sobre el plano z=0 se transforma en el recinto u≥0 , v≥0 , u+v=1

2

1

4

1

v u 64

9

vu,J

yx,J

51925

π9

)4

19Γ(

)2

5Γ( )

2

3Γ( )

4

3Γ(

8dvduv)u(1 v u

5 320

72 V

2

3

5

2

3

2

1

4

1

3. Hallar el volumen común al paraboloide 22 y2xz y al cilindro z= 4-y

2

Primer método

dxdyzV

22222eparaboloidcilindro 2y2x4y2xy4zzz

conoeparaboloid zz

Recinto proyección sobre el plano X Y: 2x2+2y

2=4 . Pasando a coordenadas polares el nuevo dominio

es 2ρ

dθdρ ρρ244dydx 2yx244V 222

= π 4 dρρ dθ 8dρρ dθ 16 2

π

0

2

0

2

π

0

2

0

3

Segundo método

dydxzV

42y2xzzz 22cilindroeparaboloid

dθ dρ ρ 42ρ 4 dy dx 42y2x V 222

= 4 dθ dρρ 4dθ dρ2ρ 42

0

2

π

0

2

π

0

2

0

3

4. Calcular el volumen engendrado por la superficie 1z yx 3

2

3

2

3

2

y los planos x≥0 , y≥0 , z≥0 .

dzdydxV , extendida al primer octante de dicha superficie.

Pongamos ahora la superficie en la forma siguiente

1

2/32/32/3

a

z

a

y

a

x

Cambio de variables

3/2,

3/23/2 awzavy,aux

2

1

2

1

2

13 wvua

8

27

wv,u,J

zy,x,J

dwdudvw vu a 8

27dzdydx V 2

1

2

1

2

13 , donde el dominio es el limitado por los planos u=0

, v=0 , w=0 , u+v+w=1 .

70

2

11Γ

)1(Γ 2

2

2

a 8

27V

33

5. Calcular dxdydzzyxI 333 extendida al interior de la curva x

2+y

2+z

2-2 a(x+y+z)+2 a

2=0

El recinto pertenece a la esfera: (x-a)2+(y-a)

2+(z-a)

2=a

2 (10)

Hagamos una transformación de ejes al punto (a ,a ,a)

ZazZaz

YayYay

XaxXax

La ecuación (10) se transforma en la esfera X2+Y

2+Z

2=a

2

dXdYdZZaYaXaI 333

Por simetría, los términos de potencia de grado impar se anulan y, por tanto, el valor de la integral será

dZdYdXZaYaXaa3I 2223, extendida a la esfera X

2+Y

2+Z

2=a

2

Transformemos la esfera mediante el cambio

2

1

2

1

2

13

2

1

2

1

2

1

w v u a 8

1

w v,u, J

Z Y, X, J

w aZ, v aY, u aX

Podemos calcular la integral extendida al recinto limitado por los planos u=0 , v=0 w=0 , u+v+w=1 y

multiplicar por 8

662223 a π 4

2

1Γ2

2

2

a3dXdYdZaZaYaXa24I

15

a π 12 dwdvduw u va3dYdZdXX a 24I

62

1

2

1

2

162

2

De la misma forma se obtiene: 15

12π2I,

15

12π2I

6

4

6

3

Por tanto: 5

aπ32I

6

6. Un sólido está limitado por los planos x=0 , y=0 , z=0 , 1z/cy/bx/a . La densidad del sólido

en el punto (x,y,z) es ,

4

1c

z

b

y

a

xk

donde k es una constante. Calcular la masa del sólido.

V

4

Vdxdydz 1

c

z

b

y

a

xk dv z y ,xδ m

Primer cambio de variables: x= a X , y= b Y , z= c Z

c b aZY,X,J

z , y ,xJ

dXdYdZ 1ZYX abck m4

D

: D es el volumen limitado por los planos: X=0 , Y=0 , Z=0 ,

Z+X+Y+1=0

Segundo cambio de variables

W VUZ

W1 VUY

V1UX

VdUdVdWUWV,U,J

ZY,X,J 2

D

24 dUdVdW VU 1U abck m

D’ es el volumen limitado por los planos U=0 ,V=0 W=0 y por los planos U=1 ,V=1 ,W=1 . Por tanto

48

cbakdW dV V dU

1U

U abck m

1

0

1

0

1

0 4

2

Ejercicios propuestos

1. Calcular D dxdyyx extendida a la parte del cuadrado 0x1 , 0y1 situada entre la diagonal y=x

y la curva y=x3

SOLUCION: 1

16

2. Calcular D/y2x- dxdyex extendida a la porción de plano limitada por x=0 , y= x

2 , y =1, y=2

SOLUCION: 4e

1e3

3. Calcular dxdyxaD

22

a lo largo del primer cuadrante del círculo x2+y

2=a

2 .

SOLUCION: 3

2a 3

4. Calcular D dydxx siendo D el recinto plano limitado por las líneas x =0, y =0, x 2+y

2 =10 , x y=3.

SOLUCION: 10008

3

5. Calcular ydxd1y2xD

22

siendo D el cuadrante de vértices (1,0), (2,1), (1,2) y (0,1).

SOLUCION: 9

6. Calcular ρdρdθρ4aD

22

extendida al círculo de centro (a,0) y radio a , 2acosθρ

SOLUCION:

3

2

2

π

3

16a3

7. Calcular dxdyy

2ayyx

D

22

extendida al dominio D limitado por la semicircunferencia x2+y

2-2 a y=0,

( 0ya) y por el diámetro y=a ( -a x a).

SOLUCION: 3π49

a3

8. Calcular D2 dθdυcosθρ siendo D el recinto plano limitado por la cardiode cosθ1ρ .

SOLUCION: 4

9. Calcular D xydxdy extendida al recinto D limitado en el primer cuadrante por los círculos x2+y

2-2

x=0, x2+y

2-4 x=0 y el eje OX.

SOLUCION: 10

10. Hallar las áreas de las figuras limitadas por las siguientes curvas:

a) x y =a2 , x+y = 5 a/2 , (a >0)

b) 222 axyx , ( 0a )

SOLUCION: a) 2a2L2

8

15

b)

2πa

11. Calcular

dy dx

yx

xy2)xy(x22

222

donde D es el primer cuadrante del círculo de centro el origen y

radio 3.

SOLUCION: -3

12. Calcular el volumen comprendido entre z ayx 22 , axyx 22 y el plano z=0

SOLUCION: 32

3ππ3

13.Calcular el volumen del cuerpo limitado por el paraboloide : x2-y

2=2 a z y el cilindro

(x2+y

2)

2=a

2(x

2-y

2) y el plano XY

SOLUCION: 6

a 3

14. Calcular D

22 dydxyxcosarcI extendida al dominio θ cosρ

SOLUCION: π-2

15. Dado el cambio de variables: v=x+y , u=- x + y , calcular

yd dx e D

xy

xy

, siendo D el triángulo de vértices (0, 0) , (0, 1) , (1, 0).

SOLUCION: Sh12

1

16. Calcular el volumen común a los dos cilindros circulares x2+y

2=a

2 , x

2+z

2=a

2

SOLUCION: 3

16a 3

17. Calcular yd dx yax bx 2

1

D

22222

donde D es el área encerrada por la elipse 1b

y

a

x2

2

2

2

.

SOLUCION: 5

bπa 24

18. Calcular dy dx 2 y2yD

2

donde D es el dominio que representa la elipse de ecuación 4 x2+9

y2-16 x+18 y+24=0 .

SOLUCION: 181

216

19. Calcular el volumen limitado por el paraboloide q 2

y

p 2

xz

22

y los planos x=0 ,y=0 , a x + b y =c

SOLUCION:

qb

1

pa

1

24ab

c22

4

20. Calcular el volumen limitado por el conoide 22 xa yz c ,el plano XOY y los planos x=0 ,x=a ,

y=0 , y=b .

SOLUCION: 8c

bπa 22

21. Calcular el volumen limitado por el plano XY, el cilindro x2+y

2-2 a x =0 y el cono circular recto que

tiene su vértice en O, siendo su eje OZ y su ángulo en el vértice de 90 grados

SOLUCION: 9

32a 3

22. Hallar el volumen comprendido entre el paraboloide x2+y

2=a(a-z) y el plano z=0 .

SOLUCION: 2

πa 3

23. Hallar el área limitada por las parábolas de ecuaciones y2=x , y

2=2 x , x

2=y , x

2=3 y .

SOLUCION: 2/3

24. Calcular dy dx y9x 4sen D

22

siendo D es el dominio limitado por la elipse 4 x2+9 y

2=1 .

SOLUCION: cos1sen13

π

25. Calcular el volumen encerrado por la superficie de ecuación x2+y

2=4 a z y el plano x+y+2z=4 a

SOLUCION: 25a3

2

26 Calcular el volumen encerrado por las superficies z=0 y

2y2x2 e yz .

SOLUCION:

8

27. Calcular el volumen comprendido entre los planos x=0 , y=0 ,z=0 y los cilindros x2+z

2=25

y2+z

2=25

SOLUCION: 250

3

28. Calcular D

22 dy dx yx siendo D el dominio limitado por la astroide de ecuación

3

2

3

2

3

2

a y x .

SOLUCION: 8

4

2

a π 21I

29. Calcular D

dy dx yx 22 donde D es el área del triángulo limitado por los ejes y la recta

1b

y

a

x .

SOLUCION: 22 ba12

b a I

30. Calcular

D 22

3

dy dx yx

x I donde D es el primer cuadrante del círculo de ecuación x

2+y

2=9 .

SOLUCION: I= 27 / 2

31. Calcular el volumen limitado por los planos z =0 , z =x+y , x=0 , y=a ,y=2a y el cilindro

parabólico y2= a x .

SOLUCION: 20

137a 3

32. Calcular dy dx y1

x 2 yx

D 2

5

donde D es el dominio limitado por el cuadrilátero de vértices ( 0, 0),

(2 ,0), (2 ,1) y (0,1).

SOLUCION: π 2 L 3

16I

33. Calcular dy dx yx1 yx ID

2222

donde D es el dominio definido por x≥0 , y≥0 , x2+y

2 1 .

SOLUCION: 210

πI

34. Calcular D

22 dy dx yxI donde D es el segmento parabólico de ecuación xa , y22p x .

SOLUCION:

15

p 2

7

a a p 2 a 4I 2

35. Calcular dy dx yx1 yx I 222

D

2 donde D es el área del triángulo limitado por las rectas

x=0 , y=0 , x+y=1 .

SOLUCION: 225

1282 L 140I

36. Hallar el volumen comprendido entre la superficie xyz1 y los planos x≥0 , y≥0 x≥0 .

SOLUCION: 1

90

37. Calcular la integral

222 zyx1

dzdydxI extendida al dominio x

2+y

2+z

2=1 , x≥0 , y≥0 x≥0 .

SOLUCION: 2

8

38. Calcular

V 3zyx

dz dy dx extendida al volumen V limitado por los planos x≥0 , y≥0 x≥0 , x+y+z1

SOLUCION:

8

5 2 L

2

1I

39. Calcular V dz dy dx z , extendida al octante positivo de la esfera de ecuación x2+y

2+z

2=1

SOLUCION:

16

40. Calcular el centro de gravedad de la sección comprendida entre la semielipse de semiejes a y b y el

semicírculo de radio b .

SOLUCION: 3π

ba4