Parametrización “natural”: longitud de arco

Dada una representación paramétrica regular de una curva C se define su longitud L

entre los puntos de la curva

Si usamos el parámetro nos estaremos moviendo por la curva

según la distancia que hemos recorrido por la curva, así:

Geometría diferencial: Curvas y Superficies

2:

( ( ), ( ))

r I

t x t y t

• Curvas planas 3:

( ( ), ( ), ( ))

r I

t x t y t z t

• Curvas alabeadas

1

0

'( )t

t

L r l dlr

0 1( ) y ( )comor t r t

0

'( ) ; ( )t

t

s r l dl s s t : 0,

( )

mr J L

s r s

Curvas planas “interesantes”

• Cicloide

Ecuación: ( ) ( ( ), ( )) ( ( sen( )), (1 cos( )))

0,2

r t x t y t R t t R t

t

• Propiedades

- Isocrona

- Marcha atrás

Curvas planas “interesantes”

• Braquistocrona:( griego tiempo menor)

Ecuación: ( ) ( ( ), ( )) ( ( sen( )), (cos( ) 1))

0,2

r t x t y t R t t R t

t

• Aplicaciones: Half-pipe perfecto

Curvas planas “interesantes”

• Catenaria: Ecuación: ( ) cosh

1 sen( ) ln

cos( ) ; ,

2 2( )

cos

xy x a

a

tx t a

tr t t

ay t

t

• Aplicaciones: Curva que no ejerce ninguna tensión transversal.

Arcos

Otras Curvas planas

• Persecución: Curva que describe un objeto que se desplaza a velocidad w constante, y que persigue de manera óptima a otro que se desplaza en línea recta a velocidad v también constante

• Clotoide Se utiliza en trazados de carreteras, especialmente ferroviarios, para minimizar los efectos de la aceleración centrípeta sobre los vehículos.

Curvas alabeadas “interesantes”

• Ventana de Viviani

cartesianas:

parametrizadas:

Proyección sobre el plano OZX es la lemniscata de Bernuilli

Curvas alabeadas “interesantes”

• Loxodromia: Curva que corta a los meridianos de una esfera con un ángulo constante.

En el siglo XIX se pensaba que eran las curvas que minimizaban distancias en una esfera, así que se usaban mucho para la navegación (falso geodésicas)

es el ángulo de corte constante

Escher 1958

Espirales esféricas

Curvas alabeadas “interesantes”

• Hélice circular: Ecuación:

( ) sen

( ) ( ) cos

( )

x t a t

r t y t a t

z t bt

Cadenas de ADN: dos hélices circulares

Tornillos

Escaleras de caracol

Muelles

…

Curvas alabeadas “interesantes”

• Costura de la pelota de tenis

• …..

Superficies interesantes.Pringles potato chips are designed using [supercomputing] capabilities to assess their aerodynamic features so that on the manufacturing line they don’t go flying off the line.

Dave Turek, vicepresidente del departamento de computación en IBM

Paraboloide hiperbólico

El paraboloide hiperbólico es la estructura

bidimensional que mejor resiste los esfuerzos de presión-tensión