MAT1512CALCULO2Ayudanta2: LaintegraldenidaFecha:10/03/2008Ayudante:JuanCarlosTiznadoAitkenProblema1Calcular,utilizandoladeniciondeintegral,_bacos xdx.Solucion:Tenemos quef(x) = cos x,es una funcioncontinua en[a, b],porloque es integrable endichointervalo. Necesitamoscalcularlasumaparcial Sn=

ni=1 f(i)xi, dondeiesunpuntodemuestracualquieradentrocadaunodelossubintervalosenquedividiremoseldominiodeintegracion.As,paracadai,obtendremoselareadelrectangulodebasexiyalturaf(i).Entonces, paraestecaso, procedemosahacerlaparticionde[a, b] enprogresionaritmetica,demodoque:xi=b an= lx0= a, x1= a + l, x2= a + 2l, . . . , xi= a + il, . . . , xn= a + nl = bEscogeremos como puntos de muestra ai, los extremos derechos de cada peque no subintervalo.As:Sn=n

i=1cos(a + il)l = ln

i=1cos(a + il)Paracalcularestasumatoria,debemosllevarlaalformatodeunaprostaferesis.Notemosquecomo a priori sabemos que el resultado de la integral que se nos pide debe involucrar la funcionsen(verproblema3),seraadecuadomultiplicararribayabajoporsen l.Estoqueda:Sn=lsen ln

i=1cos(a + il) sen lAhoradebemosrecordarlaconocidaidentidad:2 cos_c + d2_sen_c d2_ = sen c sen dSn=l2 sen ln

i=1_sen[(a + (i + 1)l)] sen[a + (i 1)l]_1Esto se parece demasiadoa una telescopicacomoparano aprovecharlo.Nos basta consumaryrestarelterminosen[a + il].Estoresulta:Sn=l2 sen ln

i=1_sen[(a + (i + 1)l)] sen[a + il] + sen[a + il] sen[a + (i 1)l]_=l2 sen l_sen[a + (n + 1)l] sen(a + l) + sen(a + nl) sen(a)_Por ultimo,debemoscalcular:lmnSn= lmnl2 sen l_sen[a + (n + 1)l] sen(a + l) + sen(a + nl) sen(a)_=12(2 sen b 2 sen a)= sen b sen aProblema2Si0 < a < b,calcular,utilizandoladeniciondeintegral,_badxx.Solucion:Enestecaso, convienerealizar unaparticiongeometricaderazonr del intervalo[a, b], demaneraque:x0= a, x1= ar, . . . , xi= ari, . . . , xn= arn= b ; xi= ari ari1= ari1(r 1).Conestaeleccion, respetamosel hechodeque = arn1(r 1)0, cuandon, yaquecomor=n_ba>1, lmnr=1. Entonces, eligiendolosextremosderechosdecadasubintervalo:Sn=n

i=1f(xi)xi=n

i=1_1ari_ari1(r 1) =n

i=1r 1r=_r 1r_nLlamaremosba= u,paracalcular:lmn_r 1r_n =lmn_u1/n 1u1/n_n =lmnn_u1/nu1/n 1_2Tenemosunaformaindeterminadadeltipo,porloqueaplicaremoslaregladeLhospital.lmnn_u1/nu1/n 1_= lmn11n2_u1/nln u(u1/n 1) u1/nu1/nln u(u1/n 1)2_= lmnn2(u1/n 1)2u1/nln u()Comoeneldenominadorellmiteestajo,nosocupamosdelnumerador:lmnn2(u1/n 1)2= lmn(u1/n 1)21n2= lmn1n22(u1/n 1)u1/nln u2n3= lmnu1/n(u1/n 1)nln u (nuevamenteLhospital)= ln ulmn1n2_u1/nln u(u1/n 1) + u1/nu1/nln un2_= ln2u(2u2/n u1/n)= ln2uColocandoestoen(*),obtenemoselresultado:_badxx=lmnSn= ln u = lnba= ln b ln aProblema3Seaf:[a, b]RcontinuayseaF:[a, b]R, tal queF(x)=f(x)en[a, b]. Seaademas,{xk}nk=0,unaparticionde[a, b].Demostrarque:_baf(x)dx = F(b) F(a)Solucion:El objetivo de este problema es ilustrar la importancia de la eleccion de los puntos de muestraienelcalculodelasumaparcialSn=

ni=1 f(i)xi.Peroantesderesolverelejercicio,debemosrecordarunimportanteteorema:3Teorema1(delvalormediodiferencial). Seaf: [a, b] Runafunci ontal queescontinuaen[a, b] yesdiferenciableen]a, b[,entoncesexisteunn umeroc ]a, b[ tal que:f(c) =f(b) f(a)b aEntonces, dadaslascaracteristicasdelafuncionF, podramoselegir, paracadai, unpuntodemuestraienelsubintervalo[xi, xi+1],talque:F(xi+1) F(xi) = F(i)(xi+1 xi), omejor:F(xi+1) F(xi) = f(i)(xi+1 xi)Conestaeleccion,tenemosque:Sn=n1

i=0f(i)(xi+1 xi) =n1

i=0F(xi+1) F(xi) = F(b) F(a) (Porpropiedadtelescopica)Porlotanto,_baf(x)dx =lmnSn=lmn_F(b) F(a)_ = F(b) F(a)Esteresultado, esconocidocomoteoremafundamental del calculo(parte1). Dicequeparaencontrarlaintegral denidadeunafuncionf, debemosencontrarunaprimitivaFdeella,esdecir,unafunciontalqueF=f,yentoncesevaluarladiferenciadeellaenlosextremosdelintervalodeintegracion.Sencillamentemaravilloso...Problema4CalcularL =lmn1m+ 2m+ 3m+ ... + nmnm+1Solucion:Laideadeesteproblema,consisteenllevarestelmitedesumas,alformatodeunaintegraldenida. Paraacercarnosaeseproposito, recordemosquesi hacemosunaparticionde[a, b]enprogresionaritmetica,setieneque:_baf(x)dx =lmnn

k=1f_a +b ank_b an4Deacuerdoaloanterior,podemosescribir:L = lmn1n__1n_m+_2n_m+ +_nn_m_= lmnn

k=1_(1 0)kn_m1 0nDadoloanterior, podemospensarqueestamosfrenteaunintervalodeintegracion, tal quea = 0yb = 1,demodoquexk=b an=1n,yxk= a +(b a)nk =kn.Entonces,podemosdecirque:L =_10xmdx=xm+1m + 110=1m + 1Problema5CalcularL =lmn1n_1a+1a +bn+1a +2bn+ ... +1a +(n1)bn_Solucion:Procedemosdeigualmodoqueenelproblemaanterior:L = lmn(1 0)n_1a +b (10) 0n+1a +b (10) 1n+1a +b (10) 2n+ ... +1a +b (10) (n1)n_= lmnn1

k=01a +b (10) kn1 0n5Porlotanto,L =_101a + bxdx=1b ln(a + bx)10=1b_ln(a + b) ln(a)_=1b ln_a + ba_6