Sucesiones gráficas (Havel & Hakimi) 

Este método desarrollado por Havel y Hakimi será el que implementemos en el

proyecto. Es gráfico y está basado en la reconstrucción del grafo, el cual obtenemos tras ir

insertando vértices y aristas en sucesivas iteraciones.

Condiciones

Las condiciones para que una sucesión de grados de un grafo sea gráfica son:

        La suma debe ser par

        El valor máximo debe ser menor que la longitud. Por ejemplo la sucesión

6,4,4,2,1,1 no es gráfica pues el valor mayor de la sucesión (6) es igual que la

longitud de esta (6).

        Si la sucesión t1-1, t2-1, t3-1,....., ts-1, d1, d2,......, dk es gráfica entonces también lo es la

sucesión s, t1, t2, t3,....., ts, d1, d2,......, dk.

 

Si dos grafos son isomorfos entonces tienen la misma sucesión de grados, pero que dos

grafos tengan la misma sucesión de grados no quiere decir que sean isomorfos.Por ejemplo

los dos siguiente grafos tienen la misma sucesión 4,4,3,2,2,2,1. Pero no son isomorfos

porque por ejemplo en el grafo G los nodos de grado 4 no están unidos, mientras que en el

grafo G' los nodos de grado 4 si lo están.

Caracterización

La sucesión s, t1, t2, t3,....., ts, d1, d2,......, dk es gráfica  lo es la sucesión t1-1, t2-1, t3-1,.....,

ts-1, d1, d2,......, dk

Demostración

 Sea G el grafo cuya sucesión es s, t1, t2, … , ts, d1, … ,dk y sean S, T1, T2, …Ts , D1,

… , Dk los vértices correspondientes

        Si S es adyacente a T1, T2, …Ts, borramos S y el grafo H=G-{S} es el grafo

buscado.

        Si no es así, S no es adyacente a un Ti pero SÍ es adyacente a un vértice Dj con  ti ≥

dj

Si ti= dj , basta intercambiar los papeles de Ti y de Dj                           

Si ti >dj,

Ti tiene más vecinos que Dj. Sea Z vecino de Ti pero no vecino de Dj. Eliminamos

las aristas dibujadas con líneas continuas ( SDj, ZTi ) y creamos las discontinuas

( STi, ZDj). Este grafo G1 tiene la misma sucesión grados en el vértice S pero tiene

un vecino entre los Ti más que en el grafo G.

Si en G' ya es S adyacente a T1, T2,…Ts, se procede como antes. Y si no lo es se

repite el cambio discontinuas-continuas. Como s es finito se alcanza en algún

momento un grafo Gm cuya sucesión es la dada.

 

Algoritmo

Partiendo de una sucesión no creciente de enteros positivos o nulos para decidir si ésta

es gráfica o no, lo que hay que hacer es aplicar la caracterización vista en el apartado

anterior 2.2.2.2 hasta que suceda alguna de las dos situaciones siguientes:

        Se alcanza una sucesión de 0's  la sucesión si es gráfica.

 

        Se obtiene un número negativo  la sucesión no es gráfica.