SUCESIÓN NUMÉRICA

1.¿ Qué observas en las figuras?

2. Completa las figuras que falta

sea / 0 5A x N x

y la función: ( ) 2 1f x x

1.Encuentra los elementos de la función.

2.Grafica de las formas que conoces.

Pon en juego tus

conocimientos previos

1. una sucesión numérica se caracteriza por tener como términos a los números , distribuidos y ordenados de acuerdo a una ley de formación.

Veamos:

1° 2° 3° 4°……… n°

1t 2t 3t 4t nt Término de una sucesión

Donde :nt Término general o enésimo termino.

Ejemplos:

2 3nt n -1 ; 1 ; 3 ; 5 ; ….. 2

( ) 1nf n 2 ; 5 ; 10 ; 17 ; ……

DEFINICIÓN .-una sucesión de números reales es una función f: N en R

definida en el conjunto N = { 1 ; 2 ; 3 ; ….} de números naturales y que va

formando valores en el conjunto R de los números reales.

12

34

N Rt

113

5

2 3nt n

1 2 3 4

1

3

5

N

2 3nt n t

- 1

Ejemplo 1

La sucesión para el cual : 22 1nt n

Los términos son: 1 ;7 ; 17 ; 31 ; …..

Ejemplo 2

La sucesión para el cual: 2

1nt

n

Los términos son: 1 1 1

1; ; ; ;......4 9 16

nt

Ejemplo 3

La sucesión para el cual: 3 1n

nt

Los términos son: 2 ; 8 ; 26 ; 80 ; ……..

Ejemplo 4

Es cribe el término enésimo o ley de formación de las sucesiones:

a) 2 ; 5 ; 8 ; 11 ; …..

b) 7 ; 12 ; 17 ; 22 ; ….

c) – 6 ; - 1 ; 4 ; 9 ; 14 ; …..

d) 3 11 9

3; ; ; ;.....4 27 32

e) 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; ….. 2n

nt

2

3

2n

nt

n

3 1nt n

5 2nt n

5 11nt n

SUCESIONES NUMÉRICAS NOTABLES ESPECIALES

1; 2; 3 ; 4 ;………..n De los números naturales

2; 4; 6; 8; 10;……..

1 ; 3 ; 5; 7 ; 9; ……

1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; ……

2n De los números pares

2n - 1 De los números impares

2n De los números cuadrados

1; 8 ; 27 ; 64 ; 125 ; …..3n De los cubos perfectos

1 ; 3 ; 6 ; 10 ; 15 ; 21 ; ….. 1

2

n n De los números triangulares

1; 4; 10; 20; 35; ………. 1 2

6

n n n De los números tetraédricos

1; 5; 12; 22; ……..

3 1

2

n n De los números pentagonales

0 ;1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; …… Sucesión de FIBONACCI

SUCESIÓN ARITMÉTICA LINEAL O DE PRIMER ORDEN

Es aquella en el cual fijado el primer término; cada término siguiente; a

partir del segundo, se obtiene sumando al término anterior un número

llamado «diferencia común» o razón aritmética constante de la

sucesión

Ejemplo 1:

Elijamos un primer termino: 3 y una razón 4

3; 7; 11; 15; 19,……….

La ley de formación es: 4 1n

t n

Ahora encuentra la ley de formación o termino enésimo de las siguientes

sucesiones.

a) 9; 16; 23; 30; 37;…..

b) 33; 21; 9; - 3; - 15; …..

c) - 3; 2; 7; 12;…….

Ejemplo 2 :

En la sucesión:

145; 141; 137; 133; ……… 69

a) El término enésimo.

b) Encuentra la cantidad de términos de la sucesión.

c) El primer término negativo.

Desarrollo:

a) 4 149n

t n

b) 4 149n

t n

69 = 4n + 149

n = 20

c) Cálculo del término negativo.

como: 4 149n

t n

Entonces:

- 4n + 149 < 0

149

4n 37,254 n

384(38) 149 3t

Ejemplo 3:

Dada la sucesión: - 147; -139 ; - 131; ……..1035

Encuentra:

a) El término enésimo.

b) Cantidad de términos de la sucesión.

c) El segundo término positivo.

SUCESIÓN CUADRÁTICA O DE SEGUNDO ORDEN

La sucesión cuadrática o de segundo orden son aquellas cuyo término

enésimo es de la forma:

2

nt an bn c 0a n ¥

Ejemplo 1:

encuentra los términos para : 22 3 1

nt n n

n 1 2 3 4 …..

0 3 10 21 …….. nt

0; 3 ; 10 ; 21 ; …………..

Ejemplo 2:

Encuentra los términos para: 2 2

nt n n

23 1

nt n y

Ejemplo 3:

Encuentra el término enésimo o ley de formación de la siguiente

sucesión:

0 ; 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; ………

Desarrollo:

0 ; 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; ………

+ 1 + 3 + 5 + 7

+2 +2 +2+2

- 1

1

r

l

to

Como es de segundo orden, será de la forma:

2

nt an bn c

2

ra b l a

0c t

21

2a 1 1b c = 1

Entonces:

2 2 1

nt n n

Ejemplo 2 :

Encuentra el término enésimo de la siguiente sucesión:

a) 5; 11; 19; 41; ………….

b) 3; 2; 3; 6; 11; 18; …….

c) 2; 7; 13; 20; 28; ……..

Conocimiento previo:

Se tiene las siguientes sucesiones:

a) 2; 5; 8; 11;……….

b) 7; 12; 17; ………..

c) - 6; - 1 ; 4; 9; 14;……

1 4 9 16; ; ; ;.........

2 3 4 5

7 9 11 13; ; ; ;........

2 3 4 5

d)

e )

1. Encuentra el término enésimo o ley de formación.

2. ¿ Que puedes afirmar de los tres primeros sucesiones?

PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Es una sucesión lineal de primer orden, en la cual fijado el primer término; cada

término siguiente , a partir del segundo, se obtiene sumando al termino anterior

un número llamado: diferencia o razón aritmético constante de la sucesión.

Ejemplo 1 :

Se tiene la sucesión :

3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; ……

+2 +2 +2 +2

Es lineal y se denomina progresión aritmética, pues tiene su razón aritmético

constante r = 2

Ejemplo 2

-2 ; - 5 ; - 8 ; - 11 ; ……… r = - 3

Ejemplo 3

3 ; 1 ; - 1 ; - 3 ; - 5 ; …. r = - 2

Cálculo del término enésimo de una P.A.

Sea la P.A:

1 2 3 4; ; ; ;.... nt t t t t

+r +r +r

Se observa lo siguiente:

2 1t t r

3 1 2t t r

4 1 3t t r

1 ( 1)nt t n r

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Donde:

1 :t

:ntPrimer término

Último término, término

general o enésimo término

n : número de términos

r : es la razón aritmético

Ejemplo 1

En cada caso encuentra la ley de formación:

a) 8 ; 3 ; - 2 ; - 7 ; - 12 ; … r = - 5 5 13nt n

b) - 18 ; - 15 ; - 12 ; - 9 ; …. 3 21nt n

Ejemplo 2

En la P.A . encuentra la cantidad de términos:

9 ; 16 ; 23 ; 30 ; 37 ; ….. ; 142

Desarrollo:

Sabemos que:

1 ( 1)nt t n r

142 = 9 + ( n – 1 ) 7

142 – = 9 + 7n - 7

142 - 2 = 7n

20 = n

Otra forma: ley de formación

7 2nt n

142 = 7n + 2 n = 20

Calculo de la suma de los términos de una P.A.

Se tiene la P.A.

1 2 3 4; ; ; ;.... nt t t t t

1 2 3 4 .... nS t t t t t

Aplicaremos la siguiente fórmula:

1( )

2

nt t nS

Ejemplo 1

Encuentra la suma de los 20 primeros términos de las

siguientes P.A:

a) 4 ; 7 ; 13 ; …..

Demostración: (Método gaussiano)

Sumemos los 100 primeros números naturales

S = 1 + 2 + 3 + ….. … 98 +99 + 100

S= 100 + 99 + 98…….. + 3 + 2 + 1

2S = 101 + 101 + 101 + ….. 101 + 101 + 101

2S = 101( 100 )

101 100

2S

1( )

2

nt t nS

Desarrollo:

1( )

2

nt t nS

Hallando el último término:

3 4nt n

20 3(20) 4t

20 64t

(4 64)20

2S

680S

Ejemplo 2

Halla la suma de los 25 primeros términos

En la P.A.

7 ; 12 ; 17 ; 22 ; ….

Desarrollo:

Hallando el último término:

5 2nt n

25 5(25) 2t

25 127t

(7 127)25

2S

1675S

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

Es la sucesión en la cual, dado un primer término diferente de cero, cada término

que continúa a partir del segundo, se obtiene del inmediato anterior al

Multiplicarlo por un número diferente de cero llamado cociente común o razón

geométrica de la sucesión.

Ejemplo 1

2 ; 6 ; 18 ; 54 ; 162 ; ….

3 3 3 3

-3 ; - 6 ; - 12 ; - 24 ; ….

Ejemplo 2

r = 3

r = 2

2 2 2

Término enésimo de una progresión geométrica

Se tiene la siguiente P.G:

5 ; 15 ; 45 ; 135 ; ….

3 3 3Se observa que:

1

2 5 3t 2

3 5 3t 3

4 5 3t .

.

.

.

.

.

.

.

.1

1

n

nt t r

Donde:

:nt Término enésimo.

1t : primer término

r : razón

n : número de términos.

Ejemplo 1

Encuentra el término 10 de la P.G. siguiente:

2 ; 8 ; 32 ; 128 ; ….

Desarrollo:

Sabemos :

1

1

n

nt t r

1 2t , r = 4 y n = 10

10 1

10 2 4t

9

10 2 4t

Ejemplo 2

Halla el término enésimo de la P.G

1/3 ; 1 ; 3 ; 12 ; ……

Desarrollo:

11.3

3

n

nt

Se tiene:

1

1

n

nt t r

Ejemplo 3

Halla el término enésimo de la P.G

60 ; 15 ; 15/4 ; 18/8 ; …

Desarrollo:

Se tiene:

11

604

n

nt

Ejemplo 4

En una P.G. se tiene que el término 6 es 1/32 y r = 1/2. Halla el primer término.

Desarrollo:

1

1

n

nt t r

6 1

1

1 1

32 2t

1

1 1

32 32t

1 1t

Suma de los términos de una P.A.

1.

1

nt r tS

r

Ejemplo 1

Halla la suma de los ocho términos de la siguiente P.G.

1 ; 2 ; 4 ; 8 ; …

Desarrollo:

1

1

n

nt t r 7

8 1.2t

8 128t

Entonces :

128 2 1

2 1S

S = 255