Solu˘c~oes explosivas para a Equa˘c~ao de Ginzburg-Landau ...emed.mat.br › 9emed › inscricao...
1
IX EMED - Nono Encontro Mineiro de Equa¸ c˜ oes Diferenciais De 17 a 19 de Setembro de 2015, UFSJ, S˜ ao Jo˜ao del-Rei, MG Solu¸ c˜ oes explosivas para a Equa¸ c˜ ao de Ginzburg-Landau F. Dickstein Instituto de Matem´atica - UFRJ. e-mail: [email protected] Resumo N´osconsideramosaequa¸c˜aodeGinzburg-Landau e -iθ ∂t u =Δu + |u| α u (1) em R N , onde θ ∈ [0,π/2], α> 0. A equa¸c˜ ao (1) pode ser visto como uma equa¸ c˜ao parametrizada por θ, ligando a equa¸c˜ ao do calor n˜ ao linear (θ = 0) ∂t u =Δu + |u| α u `aequa¸c˜ ao de Schr¨odinger n˜ ao linear (θ = π/2) i∂t u =Δu + |u| α u. ´ E bem sabido [3] que no caso em que θ =0 solu¸c˜oes de energia negativa explodem em tempo finito. Para θ = π/2e α ≥ 4/N solu¸c˜oes de energia negativa (e variˆancia finita) explodem em tempo finito. Por outro lado, para α< 4/N existem solu¸c˜oes de energia negativa que s ao globais, veja [1]. Montraremos que no caso θ < π/2 solu¸ c˜oes de energia negativa explodem em tempo finito. Para u(0) fixado, estudamos ainda o comportamento do tempo de explos˜ ao T θ max quando θ → π/2. Quando θ → π/2, T θ max permanece limitado (respectivamente, vai a infinito) no caso em que a equation limite de Schr¨odinger n˜ao linear explode em tempo finito (respectivement, ´ e global). Estes resultados [2] foram obtidos em parceria com T. Cazenave, da Univ. de Paris VI, e F. Weissler, da Univ. de Paris XIII. Palavras-chave: equa¸ c˜ao de Ginzburg-Landau, explos˜ ao, energia negativa. Referˆ encias [1] Cazenave T. Semilinear Schr¨ odinger equations, Courant Lecture Notes in Mathematics, 10. New York Univer- sity, Courant Institute of Mathematical Sciences, New York; American Mathematical Society, Providence, RI, 2003. [2] Cazenave T., Dickstein F., Weissler F.B., Finite-time blowup for a complex Ginzburg-Landau equation, SIAM J. Math. Anal., 45(1) 2013, 244–266, http://dx.doi.org/10.1137/120878690. [3] P. Quittner and Ph. Souplet, Superlinear parabolic problems. Blow-up, global existence and steady states, Birkh¨auser Advanced Texts, 2007. Agradecimento: Agradecemos o apoio financeiro da PAEP/CAPES e da FAPEMIG.
Transcript of Solu˘c~oes explosivas para a Equa˘c~ao de Ginzburg-Landau ...emed.mat.br › 9emed › inscricao...
![Page 1: Solu˘c~oes explosivas para a Equa˘c~ao de Ginzburg-Landau ...emed.mat.br › 9emed › inscricao › plenarias › flavio.pdf · [3]P. Quittner and Ph. Souplet, Superlinear parabolic](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022052500/5f1058be7e708231d448a846/html5/thumbnails/1.jpg)
IX EMED - Nono Encontro Mineiro de Equacoes Diferenciais
De 17 a 19 de Setembro de 2015, UFSJ, Sao Joao del-Rei, MG
Solucoes explosivas para a Equacao de Ginzburg-Landau
F. Dickstein
Instituto de Matematica - UFRJ. e-mail: [email protected]
ResumoNos consideramos a equacao de Ginzburg-Landau
e−iθ∂tu = ∆u+ |u|αu (1)
em RN , onde θ ∈ [0, π/2], α > 0. A equacao (1) pode ser visto como uma equacao parametrizada por θ, ligando aequacao do calor nao linear (θ = 0)
∂tu = ∆u+ |u|αu
a equacao de Schrodinger nao linear (θ = π/2)
i∂tu = ∆u+ |u|αu.
E bem sabido [3] que no caso em que θ = 0 solucoes de energia negativa explodem em tempo finito. Para θ = π/2 eα ≥ 4/N solucoes de energia negativa (e variancia finita) explodem em tempo finito. Por outro lado, para α < 4/Nexistem solucoes de energia negativa que s ao globais, veja [1].Montraremos que no caso θ < π/2 solucoes de energia negativa explodem em tempo finito. Para u(0) fixado,estudamos ainda o comportamento do tempo de explosao T θmax quando θ → π/2. Quando θ → π/2, T θmax permanecelimitado (respectivamente, vai a infinito) no caso em que a equation limite de Schrodinger nao linear explode emtempo finito (respectivement, e global). Estes resultados [2] foram obtidos em parceria com T. Cazenave, da Univ.de Paris VI, e F. Weissler, da Univ. de Paris XIII.Palavras-chave: equacao de Ginzburg-Landau, explosao, energia negativa.
Referencias
[1] Cazenave T. Semilinear Schrodinger equations, Courant Lecture Notes in Mathematics, 10. New York Univer-sity, Courant Institute of Mathematical Sciences, New York; American Mathematical Society, Providence, RI,2003.
[2] Cazenave T., Dickstein F., Weissler F.B., Finite-time blowup for a complex Ginzburg-Landau equation, SIAMJ. Math. Anal., 45(1) 2013, 244–266, http://dx.doi.org/10.1137/120878690.
[3] P. Quittner and Ph. Souplet, Superlinear parabolic problems. Blow-up, global existence and steady states,Birkhauser Advanced Texts, 2007.
Agradecimento: Agradecemos o apoio financeiro da PAEP/CAPES e da FAPEMIG.
