Soluciones Numericas EM I Feb 11

8/10/2019 Soluciones Numericas EM I Feb 11

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EXAMEN de ELECTROMAGNETISMO I

4 de Febrero de 2011

SOLUCIONES NUMRICAS

PROBLEMAS

1. Una esfera conductora de radio R se carga a un potencial V0 y se asla. A continuacin se sita

sobre ella una capa esfrica de radios R y 2R de un material dielctrico de permitividad = 02R/r,

siendo r la distancia al centro de la esfera. Calcular:

a) las cargas de polarizacin.

b) el potencial elctrico en cualquier punto del espacio y, en particular, el potencial de la esfera.

c) la energa elctrica del sistema.

a)

La esfera adquiere una carga Q= 40RV0 que produce un campo D = Q

4r2en el interior del

dielctrico. En funcin de los datos, las densidades superficial y volmica de cargas de polarizacin

son:

D=0RV0

r2

E=D

=

V0

2r

P= 0( )E= 0V02Rr

2r2

P r=R( ) = P= 0V0

2R y P r= 2R( ) = 0

P= P= 1

r2

rr2Pr( ) =

0V0

2r2

La carga total de polarizacin es

QP= 4R2P r=R( )+ P 4r2drR

2R

= 0


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como era de esperar.

b) El potencial en los distintos puntos es

Si rR = Q

40r=

RV0

r

Si Rr 2R =RV0

2R

V0

2r2R

r

dr=V02

1+ ln2R

r

Si r=R =V0

21+ ln2( )

c) La energa elctrica del sistema es

Ue=1

2Qr=R( )= 0RV02 1+ ln2( )o bien

Ue=1

2DEdv+0 E

2dv2R

R

2R

{ }= 0RV02 1+ ln2( )

2. Por un solenoide de radio b, longitud l(l>>b) y Nespiras, circula una corriente elctrica I. El interior del solenoide est

totalmente relleno con dos materiales aislantes, magnticamente lineales, de permeabilidades 1y 2, respectivamente.El primero ocupa el espacio 0 < r < a; el segundo el espacio a < r < b(a < b). Calcular:

a) Los camposH,ByMen todo el espacio.

El solenoide es muy largo (infinito), luego no hay polos magnticos. La nica fuente de H es la corriente de transporte

que circula por las espiras del solenoide, de modo que (Ampre):

zuIlNH r

r

=

ziii uIl

N

HB

r

rr

==

z

o

i

o

ii uI

l

NHM

r

rr

=

= 11

b) Las corrientes de imanacin.


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Como la imanacin es constante, no hay corrientes de imanacin en volumen MJmrrr

= . En cuanto a las

corrientes superficiales de imanacin, aparecen, como su nombre indica, en las superficies del material imanado. En la

frontera r = aentre los dos materiales, la imanacin de ambos contribuye a la corriente superficial de imanacin.

( ) ( )

uI

l

NuuI

l

NuuI

l

NanaManaManaMaK

o

z

o

z

o

totalm

rrrrr

r

r

r

r

r

rr

=

+

=

=+==2121

2211

)(11

)()()()()()()(

( )

uI

l

NuuI

l

NbnbMbK

o

z

o

m

rrrr

rr

=

== 11)()()( 22

c) El coeficiente de autoinduccin.

+=+=+= 11)()( 2

2

1

22

2

122

2

22

2

122

22

1abaI

lNabI

lNaI

lNabNBaNBm

+== 11

2

2

1

222

1a

ba

l

N

IL m

d) La energa magntica almacenada en el interior del solenoide.

2

2

2

1

22

2

1

2

1122

1Ia

bal

NLIUm

+==

e) Si la corriente vara de la forma I = Io(t/), calcular el campo elctrico inducido.

=)(CSC

adBt

ldE r

rrr

Para 0 < r < a:

)(

2

)2( 12

1

u

l

rNIEr

I

l

NrE oo

r

r

==

Para a < r < b:

)(111

2)()2(

2

2

1

22

1

22

2

2

1

u

a

r

ra

l

NIEar

I

l

Na

I

l

NrE ooo

r

r

+==


4/5

Para r > b:

)(111

2)()2(

2

2

1

22

1

22

2

2

1

u

a

b

ra

l

NIEab

I

l

Na

I

l

NrE ooo

r

r

+==

f) Comprobar el teorema de Poynting en el interior del solenoide.

Como los materiales magnticos son aislantes, no hay disipacin por efecto Joule en ellos. El campo elctrico inducido

es constante en el tiempo, de modo que la energa elctrica es asimismo constante en el tiempo. As, pues, slo

debemos ocuparnos del flujo del vector de Poynting a travs de la superficie del solenoide ( r = b) y de la variacin

temporal de la energa magntica

=

0t

Ue en el interior del solenoide.

)(111

2)()()(

2

2

1

22

22

22

1

u

a

b

ba

l

tINbHbEbS o

r

rrr

+==

+== 11)2()(

2

2

1

22

2

22

1a

ba

l

tINblbS oS

El flujo del vector de Poynting es entrante. Esto es, en el interior del solenoide la energa electromagntica

aumenta con el tiempo (lgico, pues aumenta el campo magntico mientras que el campo elctrico inducido

es constante). Veamos que el flujo del vector de Pontyng es exactamente igual a la tasa de variacin de la

energa electromagntica.

2

2

2

1

22

2

22

1

2

2

2

1

222

1 11

2

11

2

t

a

ba

l

INI

a

ba

l

NU om

+=

+=

ta

ba

l

IN

t

U om

+=

112

2

1

22

2

22

1

EXAMEN de ELECTROMAGNETISMO I

4 de Febrero de 2011


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CUESTIONES

1. Hallar la energa electrosttica de un sistema de 4 cargas puntuales de valor q, colocadas en los

vrtices de un cuadrado de lado a.

El potencial en cualquiera de las cargas es =2q

40a+

q

40a 2y la energa del conjunto es

Ue=1

2qi i

i

= q2

40a4 + 2( )

2. Hallar las distribuciones de corrientes de imanacin y de polos magnticos en una esfera

uniformemente imanada, indicando qu distribucin utilizara para calcular los campos ByH.

0ycos

0yabsolutoen valor

====

====

MnM

MJnMK

MM

M

M

MsenK

3. Un anillo de cobre de conductividad , radio R y espesor e ( e

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