Tema 2 - Series numericas

7/23/2019 Tema 2 - Series numericas

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1.2 Series numericas

1.2.1 Definicion y propiedades

Introduccion: La suma de una cantidad finita de numeros es algo totalmente familiar yque no ofrece necesidad de aclaraciones. Informalmente podemos decir que una serie es

una suma con un numero infinito de sumandos. Es decir algo as como

a1+ a2+ a3+ . . . + an+ . . . con ak o .Este tipo de sumas han aparecido en ocasiones y, aparentemente, no entranaban dificultad,

1/16

1/8

1/4

1/2

Figure 1.1: Metodo de Nicolas de Oresme

por ejemplo1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ . . .+

1

2n+. . .

adelantando acontecimientos, se utilizo el resultado

S= a1

1 r =

1

2

1 12

= 1.

Podramos haberlo justificado dando una interpretacion grafica de la suma, como hizoNicolas de Oresme en 1360, mediante sucesivas bisecciones de un cuadrado de lado unidad.

Pero esa falta de dificultad es solo aparente pues,

a1+a2+a3+. . .+an+. . .

no esta bien definida. Consideremos el siguiente ejemplo

1 + (1) + 1 + (1) + 1 + (1) +. . .

Que significa aqua1+a2+a3+. . .+an+. . . ?

Es decir Como operamos? Podra pensarse , equivocadamente, que la manera de asociarlos sumandos no importa, pero no es as, ya que

(1 + (1)) + (1 + (1)) + (1 + (1)) + (1 + (1)) +. . .= 0,

1


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mientras que

1 + ((1) + 1) + ((1) + 1) + ((1) + 1) + ((1) + 1) + . . .= 1.Luego

a1+ a2+ a3+ . . . + an+ . . .

no esta, por el momento, libre de ambiguedades. No queda ah la cosa, todava resultapeor, una vez establecida la definicion, mas adelante, veremos que

1 12

+1

31

4+

1

5 1

6. . .= ln 2.

Sin embargo, basta alterar el orden, para que

1 +1

3+

1

51

2+

1

7+

1

9+

1

111

4. . .= 2ln 2.

En general no puede cambiarse el orden de infinitos terminos de una serie sin alterar susuma. En lo que sigue daremos una definicion rigurosa de serie y de suma de una serie.

Definicion 1.1. Sea{

an}

una sucesion de numeros reales o complejos formamos unanueva sucesion{Sn} tal que

S1 = a1

S2 = a1+ a2

S3 = a1+ a2+ a3...

Sn = a1+ a2+ . . . + an...

Se denomina serie al par de sucesiones (

{an

},

{Sn

}). A los elementos de

{an

} se les

denomina terminos, mientras que a los elementos de{Sn} se les llama sumas parciales.Se define entonces la suma

a1+ a2+ a3+ . . . an+ . . .= limnSn,

que se notan=1

an= a1+ a2+ a3+ . . . an+ . . .= limnSn.

Pueden, como sabemos, ocurrir tres cosas, que limn Sn , que limn Sn = oquelimn Snno exista. En el primer caso diremos que la serie converge, en el segundoque diverge y en el tercero que oscila.

Algunos autores llaman sumables a los dos primeros y no sumable el tercero, otros nodistinguen entre los dos ultimos llamandoles a ambos divergentes, nosotros adoptaremosel criterio senalado.

Observacion 1.1. Hagamos notar una pequena incongruencia en la notacion. Hemosdicho que una serie es un par ({an}, {Sn}) y su suma

n=1 an. Esta ultima expresion

es un numero en el mejor de los casos, luego no puede converger ni dejar de hacerlo, sinembargo utilizaremos el smbolo

n=1 an, para referirnos a la serie ({an}, {Sn}) y diremos

que

n=1 an converge o diverge, aunque en realidad sea un abuso de lenguaje.

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Ejemplo 1.1.

1. Sea

n=11

n(n+1). A veces es posible obtener con facilidad la expresion para la suma

parcial n -esima,

Sn= 1

1 2+ 1

2 3+ 1

3 4+ . . . + 1

n(n + 1),

ahora bien 1k(k+ 1)

= 1k 1

k+ 1, luego

Sn =

1

11

2

+

1

21

3

+

1

31

4

+ . . . +

1

n 1

n + 1

= 1 1

n + 1.

Esto no es lo corriente, lo normal es que no sea trivial calcular Sn. En este caso, sinembargo

limnSn = limn

1 1

n + 1

= 1.

Es decir n=1

1

n(n + 1) = 1.

2. Sea

n=1 n. La suma parcial sera

Sn= 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + n= n(n + 1)

2 ,

y tendremos que

limnSn = limn

n(n + 1)

2 = +,

luego n=1 n es divergente.

3. Consideremos la serie de la introduccion

1 + (1) + 1 + (1) + 1 + (1) + . . .=n=1

(1)n+1

Vemos queS2k = 0, S2k+1= 1

luego limn Snno existe, y la serie es oscilante.Proposicion 1.1. (Asociatividad de la suma de terminos)

Si en una serie convergenten=1 an (divergente) se agrupan los terminos sin cam-

biarlos de orden, segun una ley cualquiera, la serie que resultan=1 an es convergente

(divergente). Si es convergente la suma de la nueva serie coincide con la de la serie original.

Dem. Consideremos la serie

a1+ a2+ a3+ . . . + an+ . . .

Asociemos

(a1+ a2+ . . . an1) + (an1+1+ an1+2+ . . . + an2) + (an2+1+ an2+2+ . . . + an3) + . . .

3


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dando la sucesion {n1, n2, n3, . . .} de los puntos donde ponemos los parentesis. Tendremosuna nueva serie

a1+ a2+ a

3+ . . . + a

n+ . . .

Las sumas parciales de la primera serie se pueden relacionar con las de la segunda en formatrivial

S1 = a1

S2 = a1+ a2

S3 = a1+ a2+ a3...

Sn1 = a1+ a2+ . . . + an1 =a1= S

1

...

Sn2 = a1+ a2+ . . . + an2 =a1+ a

2= S

2

...

Sn3 = a1+ a2+ . . . + an3 =a1+ a

2+ a

3 = S

3

...

Es decir {Sn} es una subsucesion de {Sn}, de acuerdo con el teorema sobre convergencia desubsucesiones, si {Sn} es convergente o divergente, tambien lo es {Sn}, y si es convergenteel lmite es el mismo, es decir

n=1 an=

n=1 a

n.

Observacion 1.2.

1. Hagamos notar que lo anterior es cierto para convergentes y divergentes, pero nopara oscilantes. Poner infinitos parentesis en una oscilante puede variar su caracter,como ya vimos con

1 + (1) + 1 + (1) + 1 + (1) + . . .

2. Hemos comprobado que no se verifica, en general, la propiedad disociativa. Sin irmas lejos con la serie convergente

1 + ((1) + 1) + ((1) + 1) + ((1) + 1) + ((1) + 1) + . . .= 1.

Si quitamos parentesis pierde su caracter. Otro ejemplo, algo mas complicado, es laserie

1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ . . . +

1

2n+ . . .= 1,

que podemos reescribir como1 1

2

+

1 3

4

+

1 7

8

+ . . .= 1.

No podemos quitar parentesis, si lo hacemos quedara la serie

4


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1 12

+ 1 34

+ 1 78

+ 1 1516

+ . . .

Es facil ver que

S1 = 1

S2 = 1 12

=12

S3 = 1

2+ 1 =

3

2

S4 = 3

2 3

4=

3

4

S5 = 3

4+ 1 =

7

4

S6 = 7

4 7

8=

7

8...

Comprobamos que

S2m=2m 1

2m , S2m+1= S2m+ 1.

Tomando lmites cuando n resulta que S2m 1 y S2m+1 2. Luegolimn Sn no existe y por tanto la nueva serie es oscilante.

Proposicion 1.2. (Intercalacion y supresion de un numero finito de terminos)

Si en una serie

n=1 an se intercalan (suprimen) un numero finito de terminos, cuyasuma seaB, la nueva serie tiene el mismo caracter que la primera, y si esta era convergentey de suma S, la nueva serie tiene por suma S+ B (S

B).

Dem. Supondremos, para fijar ideas, que intercalamos. Sea la serie

a1+ a2+ a3+ . . . + an+ . . .

e intercalamos p terminos b1, b2, . . . , bp tales que b1+b2+. . .+bp =B , supongamos quela nueva serie queda

a1+ b1+ b2+ a2+ . . . + bp+ am+ am+1+ am+2+ . . .

Si llamamos{an} a los terminos de la nueva serie, tenemos am = ap+m, o lo que es lomismo, que bp = a

p+m1

, etc, por lo que en la suma finita Sp+m, se pueden agrupar sinproblemas y tendramos

Sp+m = a1+ a

2+ a

3+ . . . + a

p+m=

= a1+ a2+ . . . + am+ b1+ b2+ . . . + bp

= Sm+ B.

En general

Sn= Snp+ B.

5


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Por tanto si

n=1 an es una serie convergente de suma S

S = limnS

n= limn(Snp+ B) =S+ B.

Si fuera divergente, la adicion de la constante B no cambiara el caracter de la serie.Analogamente se podra haber probado para la supresion de terminos.

Observacion 1.3. La trivial proposicion anterior, es mas importante por lo que no diceque por lo que dice. No dice, por ejemplo, que este permitido en una serie suprimir, nipor supuesto anadir, una cantidad infinita de terminos aun cuando su suma sea conocida.En general las manipulaciones que involucren una cantidad infinita de terminos modificanel caracter de la serie (lo que tambien tendra sus excepciones en series de particular buencomportamiento).

Proposicion 1.3. (El producto por una constante es distributivo respecto de la sumainfinita)

Sea o , = 0, y sea

n=1 an una serie, entonces:

i)n=1 anes convergente n=1(an) es convergente yn=1(an) =n=1 an.

ii)

n=1 an es divergente

n=1(an) es divergente.

iii)

n=1 an es oscilante

n=1(an) es oscilante.

Dem. Llamaremos{Sn} a la sucesion de las sumas parciales.i) Como

n=1 an es convergente, limn Sn = S. Consideremos la serie

n=1(an)

y llamemos Sn= a1+ a2+ . . . + an, tendremos que Sn= Sn, en consecuenciapor las propiedades de los lmites

limnSn = limn(Sn) = limnSn= S.Es decir

n=1

(an) =n=1

an.

ii) Si

n=1 an es divergente, luego limn Sn =, como en el apartado anteriorSn= Sn, luego

limnS

n = limn(Sn) = limnSn= () = .

iii) Por sern=1 an oscilante, limn Snno existe. Que ocurre con

a1+ a2+ . . . + an+ . . . ?

Procedamos por reduccion al absurdo. Si

n=1(an) fuera convergente, tendra

que serlo tambien 1

n=1

(an), y por la primera propiedad,n=1

an sera convergente,

contra lo supuesto. Analogamente para la divergencia. Luego necesariamente esoscilante.

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Proposicion 1.4. (suma de series)

Si

n=1 an es convergente y

n=1 bn es convergente, entonces

n=1(an+ bn) es con-vergente y se cumple que

n=1

(an+ bn) =n=1

an+n=1

bn.

Dem. Llamemos

Sn = a1+ a2+ . . . + an

Sn = b1+ b2+ . . . + bnSn = (a1+ b1) + (a2+ b2) + . . . + (an+ bn).

Tenemos que Sn =Sn+Sn, comon=1 an es convergente, limn Sn = S , y al ser

n=1 bn es convergente, luego limn Sn= S

. Por las propiedades de los lmites

limnS

n = limnSn + limnS

n= S+ S

.

Es decirn=1

(an+ bn) =n=1

an+n=1

bn.

Observacion 1.4. Esta ultima proposicion tambien es mas importante por lo que nodice que por lo que dice. En otras palabras una serie divergente u oscilante no se puededescomponer en suma de series. Sean las series

n=1 an, con an = 1 y

n=1 bn con

bn =1. La serie

n=1(an +bn) es convergente, sin embargo las series

n=1 an yn=1 bn son divergentes, luego

n=1

(an+ bn) =n=1

an+n=1

bn.

Por el contrario, si puede escribirse

n=1

1

2n+

1

n(n + 1)

=

n=1

1

2n+

n=1

1

n(n + 1),

ya que ambas series son convergentes, recordemos que suman ambas 1, resultara

n=1

1

2n+

1

n(n + 1)

= 2.

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1.2.2 Condicion necesaria para la convergencia

Teorema 1.1. (condicion necesaria pero no suficiente para la convergencia)Sea

n=1 an una serie convergente, entonces

limnan= 0.

Dem.n=1 an es convergente limn Sn= S . Por el correspondiente teorema de

subsucesiones se cumple tambien que limn Sn1= S. Podemos escribir

Sn Sn1= an.Tomando lmites cuando n resulta

limnSn limnSn1= S S= 0 = limnan.

Ejemplo 1.2. En realidad la condicion necesaria es un criterio de no convergencia (o de

divergencia si se trata de series no negativas, como veremos mas adelante). Dada la serien=1

n2

n2 + n + 1=

1

3+

4

7+

9

13+ . . .

se prueba de modo inmediato que no es convergente. Tenemos que

limn

n2

n2 + n + 1= 1 = 0,

no se satisface la condicion necesaria, luego no es convergente (en este caso por tratarsede una serie de terminos positivos es divergente a +).

1.2.3 Divergencia de la armonica. Serie geometrica

Observacion 1.5. La condicion es necesaria pero no suficiente. Para probarlo estudiare-mos a continuacion la divergencia de la serie armonica1

1 +1

2+

1

3+

1

4+

1

5+ . . .

se denomina de este modo porque cada termino es media armonica de los dos adyacentes.

11

1/(n1)+ 1

1/(n+1)

2

= 1

n.

Se tiene quelimnan = limn

1

n = 0,

sin embargo, como veremos a continuacion, la serie es divergente.

1Dadas dos cantidades a y b se denomina media armonica de ambas a Ma = 11a+1b

2

= 2aba+b . La media

armonica aparece con frecuencia. Supongamos que recorremos un trayecto dos veces, a la ida a unavelocidad v1 = 100 Km/hora, y a la vuelta a v2 = 150 Km/hora. Cual es la velocidad media de todoel recorrido? Un calculo elemental nos muestra que se trata de la media armonica de ambas velocidades.Aparece en electronica al estudiar resistencias en paralelo o condensadores en serie, etc,.

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Proposicion 1.5. La serien=1

1

nes divergente a +.

Dem. Llamemos

Hm= 1 +1

2+

1

3+

1

4+

1

5+ . . . +

1

m,

siempre podemos encontrarn tal que 2n m 2n+1. Consideremos ahora

H2n = 1 +1

2+

1

3+

1

4+

1

5+ . . . +

1

2n,

tenemos que

H2n Hm.Por otro lado se cumple que

1 1,12 1

2,1

3 1

4,1

4 1

4,1

5 1

8,1

6 1

8,1

7 1

8,1

8 1

8,1

9 1

16,

1

10 1

16, . . .

1

2n 1

2n

luego

H2n 1 +

1 12

+ 2 14

+ 4 18

+ 8 116

+ . . . + 2n1 12n

= 1 +n

2.

Si m , tenemos n , es obvio que H2n +, en consecuencia Hm + y portanto

n=1

1

nresulta divergente.

Observacion 1.6. La serie armonica es particularmente notable por la lentitud2 de su

divergencia, veremos mas adelante que Hn ln n + K, donde Kes una constante.Ejercicio 1.1. Consideremos las series:

9nn=1

1

n y

p1

p primo

1

p.

La primera es la armonica de la que hemos eliminado todos los terminos que tenganalgun 9 en la cifra del denominador (el dgito 9 no tiene nada de particular). En lasegunda solo consideramos los terminos con denominador primo. Estudiar la convergencia

o divergencia3

de ambas series.2La velocidad de convergencia o divergencia de una serie, es decir de la sucesion Sn, se refiere siempre

a sucesiones tipo, an = n, an = 1/n2, an = ln n, an = 3

n, etc, Dadas dos sucesiones{an} y{bn},se indicara an = O(bn), si y solo si, existe una constante k= 0 tal que|an| k|bn|, a partir de un nsuficientemente grande. Sobre la notacion Bachman-Landau ver la pag. ??. Diremos que una serie convergea su suma a velocidad geometrica si Sn S= O(rn), con r >1, o se dira que diverge logaritmicamentesi Sn = O(ln n), etc,.

3La divergencia de la serie inversa de los primos fue probada por Euler, es l ogicamente mas lenta quela de la armonica. Un resultado de Mertens prueba que

px

1p ln(ln x) +K, ver por ejemplo [3] pag.

35. La solucion de ambos ejercicios puede encontrarse en la p ag. ??.

9


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Proposicion 1.6. (serie geometrica)Sea

n=1 a1r

n1, con a1, r , entonces se cumplen:i) Si|r|


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siendon = numero de dgitos de P, podemos escribir el numero como

A + P

10n+

P

(10n)2+

P

(10n)3+

P

(10n)4+ . . .

lo que hay a la derecha de A es la suma de una serie geometrica de razon 1/10n y cuyoprimer termino es P /10n, luego sera

A +P

10n

1 110n=A +

P

10n 1=(10nA + P) A

10n 1 =(10nA + P) A

99 n. . .9

=AP A

99 n. . .9

.

Si se trata de una fraccion periodica mixta tendremos

ABP P P P . . . , A parte entera, B parte no periodica, P parte periodica,si la parte no periodica tiene m dgitos, podemos convertirla en el caso anterior multipli-cando por 10m y tendremos

10m (ABP P P P . . .) =AB P P P P . . .=ABP AB

99

n

. . .9y despejando finalmente

ABP P P P . . .= ABP AB99

n. . .900

m. . .0

.

Un ejemplo numerico podra ser

1423=

1423 14990

= 1409

990 .

Ejercicio 1.2. Partimos de un triangulo equilatero, se divide cada lado en tres segmentosde igual longitud, y tomando como base el segmento central se construyen tres nuevos

triangulos equilateros (orientados hacia el exterior), eliminandose despues el segmento dela base, este proceso se itera indefinidamente, la curva lmite se denomina curva cerrada deVon Koch. Se pide5, en primer lugar, calcular el area de la region del plano encerrada pordicha curva en funcion del lado l del triangulo. En segundo lugar averiguar, si es posible,la longitud de dicha curva.

1.2.4 Series de terminos no negativos: criterio de comparacion, criterio

de la raz y del cociente

Proposicion 1.7. La serie

n=1 an con an 0,n , es convergente, si y solo si, lasucesion{Sn} de las sumas parciales esta acotada superiormente.

Dem. En el caso de que los terminos sean positivos la sucesion de las sumas parciales esmonotona creciente. En efecto

Sn+1 = a1+ a2+ . . . + an+ an+1,

Sn = a1+ a2+ . . . + an.

Restando queda Sn+1 Sn = an+1 0, es decir Sn Sn+1. En consecuencia al sermonotona acotacion equivale a convergencia.

5La solucion y la grafica estan en la pag. ??.

11


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Observacion 1.7. El que las series de terminos positivos (en realidad series de terminosno negativos) tengan esa propiedad, viene a decirnos que{Sn} no puede ser oscilante.Es decir una serie de terminos positivos puede ser unicamente convergente o divergente a+.

Teorema 1.2. (criterio de comparacion)

Sean

n=1 any

n=1 bntales quean, bn 0, n , y existen0 (frecuentemente1) tal quen n0, se cumplean bn, entonces se verifica:

i)

n=1 bn es convergente

n=1 an es convergente.

ii)

n=1 an es divergente

n=1 bn es divergente.

Dem. Sean

Sn = a1+ a2+ a3+ . . . + an0

1+ an0+ an0+1+ . . . + an,

Sn = b1+ b2+ b3+ . . . + bn01+ bn0+ bn0+1+ . . . + bn.

De la hipotesis resulta

Sn Sn01 Sn Sn01,

ya que

an0+ an0+1+ . . . an bn0+ bn0+1+ . . . bn.

LuegoSn Sn+(Sn01Sn01). DondeSn01Sn01 = cte.. Si n=1 bnes convergente,

por el teorema anterior

{Sn

}esta acotada superiormente, es decir existe K

+ tal que

Sn K,n , por lo queSn cte. +K, luego{Sn} es una sucesion acotada y portanto

n=1 an converge.

Por otro ladoSn+(Sn01Sn01) Sn. Si

n=1 andiverge tenemos que limn Sn=+y en consecuencia limn Sn= +, con lo que

n=1 bn es tambien divergente.

Definicion 1.2. Dadas

n=1 an y

n=1 bn tales quean, bn 0,n , si existen0 tal quen n0, se cumple an bn se dice que la serie

n=1 an es minorante de la

n=1 bn, o tambien que esta ultima es mayorante de la

n=1 an.

Observacion 1.8. Ser mayorante no quiere decir tener suma mayor, consideremos las

seriesn=1

1

n3,

n=1

1

(n + 100)2,

como 1252 = (100 + 25)2 = (5 25)2 = 253 tendremos que (100 +n)2 n3,n 25, esdecir

1

n3 1

(n + 100)2, n 25.

12


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La serie

n=11

(n+100)2 es mayorante de

n=1

1n3

y sin embargo6

n=1

1

(n + 100)2 =

2

6

100n=1

1

n2 0.00995451,

suman mas los 25 primeros terminos de la otra, concretamente

25n=1

1

n3 1.20128 . . .

Observacion 1.9. Desarrollemos un algoritmo para sumar la serie de Bernuilli-Euler,como el resultado es 2/6, utilizamos el valor de para comprobar la mayor o menoraproximacion de Sn, (cada 1000 termino visualizamos el valor de Si, hasta alcanzar Sn).

10 DEFDBL I,S20 INPUT "Indice de la suma parcial maxima";N30 S=040 FOR I=1 TO N50 S=S+1/(I*I)60 IF INT(I/1000)=I/1000 THEN PRINT "suma parcial";I;"-esima";S70 NEXT I80 PRINT "suma de la serie = ";(4*CDBL(ATN(1)))^2/690 PRINT "valor de la suma parcial";N;"-esima = ";S

Ejemplo 1.4.

1. Podemos probar con facilidad que la serie

n=11n2

es convergente (sin utilizar elresultado de Euler)

n=1

1n2

= 1 +n=2

1n2

= 1 +n=1

1(n + 1)2

< 1 +n=1

1

n(n + 1) = 1 + 1 = 2.

Por tanto es convergente.

2. Probemos que la serie

n=11n

es divergente. Sabemos que

n n, (n ), luego1n 1n . Se probo que

n=1

1n era divergente, por tanto, de acuerdo con el teorema

anterior, tambien lo sera n=1

1n

.

6La serie

n=11n2

es la conocida serie de Euler, que durante varios a nos trajo de cabeza a distintosmatematicos de Europa (Oldenburg, Leibniz, Bernuilli, ver [2] pag. 559), y que finalmente fue sumada porEuler. Veamos su obtencion. Si abc = 1, resulta 1

a+ 1

b+ 1

c = ab+ac+bc

abc =ab + ac + bc, que es el coeficiente

del termino de grado 1 en el producto (xa)(xb)(xc) = x3x2(a+b +c)+ x(ab+ac+bc)abc, es decirsi el coeficiente del termino de grado 0 vale 1, el coeficiente del termino de grado 1 es la suma de las inversasde las races cambiada de signo. Esto puede establecerse con caracter mas general. Ahora consideramos

el desarrollo en serie del seno, sen x = x x33! + x5

5! x7

7! +. . ., de donde senx

x = 1 x23! + x

4

5! x6

7! +. . .,

haciendox2 =y, resulta sen

y

y = 1 y3! + y

2

5! y3

7! +. . .. Pero las races de sen

y = 0 seran

y = k , es

deciry = k22, de dondek=1

1k22

= ( 13! ) y resulta finalmente

k=11k2

= 2

6 .

13


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3. Estudiemos ahora las series:

n=1

1

2lnn, y

n=1

1

3lnn.

Tenemos que

2lnn =

eln 2lnn

=eln2 lnn =

elnnln 2

=nln 2.

Lo mismo podemos hacer para 3, como 2 < e < 3, ln2 < 1 < ln3, luego nln 2 < n,

y por tanto 1

nln 2 1

n por lo que la serie

n=1

12lnn

es divergente. Mas adelante

probaremos que la otra serie es convergente, pero todava no tenemos suficientesherramientas para hacerlo.

Corolario 1.1. (criterio de comparacion en el lmite)Sean

n=1 an y

n=1 bn series de terminos positivos, y tales que

limn

anbn

=c = 0, (c ),

entonces ambas convergen o divergen simultaneamente.

Dem. Observese, antes de comenzar, que necesariamente c > 0, puesto que se trata deseries de terminos no negativos. Partimos de que

limn

anbn

=c >0 n0() tal quen n0se cumple que |anbn

c| < .

Tomemos = c/2,n n0(c/2), se cumplira|anbn

c| < c2

, luego

c2

1 la serie diverge,L= 1 el criterio no decide.

Dem.

L >1)

Podemos encontrar unc >1, tal que 1 < c < L. Tenemos que limnn

1 an+1

an

=L,

tomemos = L c, luegon n0(L c) se verifica

L < n

1 an+1an

< L + ,

substituyendo en la desigualdad izquierda, queda

c= L (L c)< n1 an+1an

,

n n0(L c) y con c >1. Escribamos esa ecuacion en la forma

kak kak+1> akc,8La relacion entre el criterio del cociente y el de la raz, se explican a partir de la desigualdad (ver

por ejemplo [6] pag. 170 o pag. 72 [?]) que establecen limnan+1an

limn n

an limn nanlimn

an+1an

. Si existe L mediante el cociente, existe L para la raz. No as al contrario.

18


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y demos valores k = n0, n0+ 1, n0+ 2, . . . , n, tendremos

n0an0 n0an0+1 > an0c,(n0+ 1)an0+1 (n0+ 1)an0+2 > an0+1c,(n0+ 2)an0+2 (n0+ 2)an0+3 > an0+2c,

.

..(n 1)an1 (n 1)an > an1c,

nan nan+1 > anc.Sumando estas desigualdades resulta

n0an0+ (an0+1+ an0+2+ . . . + an) nan+1> an0c + c(an0+1+ an0+2+ . . . + an),agrupando

(n0 c)an0 nan+1 > (c 1)(an0+1+ an0+2+ . . . + an),y finalmente podemos poner como

an0+1+ an0+2+ . . . + an< (n0 c)an0 nan+1

c 1 ,

agregando en ambos terminos a1+ a2+ . . . + an0 , tendremos

a1+ a2+ . . . + an0+ an0+1+ . . . + an < (a1+ a2+ . . . + an0) +(n0 c)an0 nan+1

c 1< (a1+ a2+ . . . + an0) +

(n0 c)an0c 1 = cte. =K.

En consecuencia Sn < K, como se trata de una serie de terminos no negativos, por elteorema 0.1,

n=1an es convergente.

L


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Sumando termino a termino tendremos

(n0 1)an0 < nan+1,

o lo que es lo mismo

(n0

1)an01

n

< an+1.

Sumando desde n = n0 hasta +, queda

[(n0 1)an0 ]

n=n0

1

n1,

luego convergente.

1.2.5 Serie armonica generalizada. Criterio de Pringsheim

Definicion 1.3.

Llamaremos serie armonica generalizada de exponente , a la serien=1

1

n.

El siguiente resultado lo necesitaremos para demostrar el criterio de Pringsheim.

Proposicion 1.8. (convergencia de la armonica generalizada)

Sea la serien=1

1

n, se cumplen:

i) Si 1, entonces la serie es divergente.ii) Si >1, entonces la serie es convergente.

9Estudiemos la serie

n=21

n(log n) , utilizando el criterio de codensacion resulta

22n

2n(log 2n) =n=2

1n(log 2)

= 1log 2

n=21n

, que es la armonica generalizada.

20


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Dem.

i) Si 1, entonces n n, en consecuencia 1n

1n

. La serie

n=11n esta mino-

rada por la armonica, y por tanto diverge.

ii) Si > 1, podemos construir una mayorante de la armonica generalizada, sin mas

que tener en cuenta que

>1 2 1 1> 0 21 >1 121

1 tal que limn nan < +, entonces la serie

n=1 an es

convergente.

ii) Si existe un 1tal quelimn nan> 0, entonces la serie

n=1 anes divergente.

iii) Si no existe un que satisfaga i) o ii), entonces el criterio no decide.

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Dem. Se apoya en los resultados de la proposicion anterior.

i) Supongamos que limn nan +, lo que equivale a afirmar que sucesion {ann}es convergente. Por tanto es una sucesion acotada, es decir, K tal que n ,se cumple que nan K, que tambien se puede escribir como

an Kn

, n .

La serie

n=1Kn es una mayorante de

n=1 an. Si suponemos > 1, por la

proposicion 0.8, la serieK

n=11n es convergente, por tanto tambien lo es la serie

n=1 an.

ii) Supongamos ahora 1 y limn nan > 0, pueden ocurrir dos casos: a) quelimn nan < +. b) que limn nan = +. En el primero tendremos quelimn nan = c . Por tanto > 0n0() tal quen n0 se cumple que

|nan

c

|< . En particular si tomamos = c/2, ya que necesariamente c > 0,

tendremos que

c2

< nan c < c2

, n n0(c/2),

escogiendo la desigualdad de la izquierda, y sumando c, queda

c

2 < nan,

de donde dividiendo porn en ambos miembros resulta

c

2

1

n < an, n n0(c/2).La serie c2

n=1

1n es una minorante de

n=1 an. Al ser 1, por la proposicion

0.8, la serie

n=11n diverge, en consecuencia diverge tambien la serie

n=1 an.

El caso b) se prueba exactamente igual que el primero, pero ahora utilizando ladefinicion de que limn nan = +,K +,K(K) +, tal quen > Kse cumple quenan> K, no se trata mas que de repetir el razonamiento partiendode esta ultima desigualdad.

iii) Es suficiente con mostrar dos series una que converja y otra que diverja y que nosatisfagan i) y ii). En este caso las series son:

n=1

1

n ln(n + 1),

n=1

1

n ln2(n + 1).

La primera diverge por comparacion, la segunda converge por el criterio de conden-sacion ya senalado ([6], pag. 497), ambas fallan con Pringsheim.

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1.2.6 Series alternadas. Criterio de Leibniz

Definicion 1.4. Llamaremos series alternadas a aquellas que tienen los termino alter-nativamente positivos y negativos, o si se prefiere a aquellas cuyo terminon-esimo puedeescribirse como an= (1)n+1|an| o an= (1)n|an|.Ejemplo 1.8.

1. La serie geometrica

1 12

+1

41

8+

1

16+ . . .=

1

1 (12 )=

2

3.

2. La serie conocida como armonica alternada

1 12

+1

31

4+

1

51

6+

1

7 . . .=

n=1

(1)n+11n

.

3. Series del tipo

n=1

(1)n+1 1

3n + 1 , o la ya vista 1 + (1) + 1 + (1) + . . .

Teorema 1.7. (criterio de Leibniz, 1784)Si una serie alternada

n=1 an, cumple la condicion

|a1| > |a2| > |a3| > . . . > |an| > |an+1| > . . .entonces se verifica

limnan= 0

n=1

an converge.

Dem. Hagamos notar que una serie alternada puede satisfacer la primera condici on sinverificar la segunda. Por ejemplo

n=1(1)n+1 n+1n . Tambien puede cumplirse la segunda

sin darse la primera como

n=1(1)n

n+(1)n . Al finalizar la demostracion veremos con detalleestos casos.

Para fijar ideas supondremos que a1 > 0 (no hay ningun inconveniente si no es as,bastara multiplicar la serie por (1), y su caracter no se modificara). Luego an =(1)n+1|an|.

Vamos a probar que{S2n}es una sucesion monotona creciente, mientras que{S2n1}es una sucesion decreciente. En efecto.

S2n = a1+ a2+ . . . + a2n,

S2(n+1) = a1+ a2+ . . . + a2n+ a2n+1+ a2n+2.

Restando tendremos

S2n S2(n+1) = a2n+1 a2n+2 = (1)2n+2|a2n+1| (1)2n+3|a2n+2|= |a2n+2| |a2n+1|.

Pero como|an| > |an+1|,n .|a2n+2| |a2n+1|


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luego{S2n} es monotona creciente.Repitiendo el mismo razonamiento para las impares obtendramos que{S2n1} es

monotona decreciente.

Tenemos que S1= a1. La sucesion{S2n} se puede escribir

S2n = a1+ a2+ a3+ . . . + a2n

1+ a2n

= S1+ (|a2| + |a3|) + (|a4| + |a5|) + . . . + (|a2n2| + |a2n1|) |a2n|.

Todo los parentesis son negativos, as como el ultimo termino, luego S2n < S1. Por tanto{S2n} es una sucesion acotada superiormente.

Un razonamiento analogo nos permitira obtener que S2 < S2n1. En consecuenciaambas sucesiones son monotonas y acotadas, luego convergen. Sean

limnS2n = S

,

limnS2n1 = S

.

Vamos a ver que se cumple la ultima parte de la tesis. Supongamos que limn an= 0.Probaremos queS = S. Tenemos que

S2n S2n1= a2n= (1)2n+1|a2n|.

En su momento vimos que si limn an= 0 tambien limn |an| = 0. Luego se verificara

limnS2n S2n1 = limn(1)

2n+1|a2n| = 0.

Por tanto la sucesion {Sn} es convergente10 y la serie converge. Por otro lado si limn an=0. Falla la condicion general de convergencia y la serie no converge, en este caso (supuesta

la monotona11) como existen S y S cumpliendose S= S, podemos asegurar que os-cila.

Ejemplo 1.9.

1. La serien=1

(1)n+1n

converge por Leibniz, ya que

n n + 1 y por tanto 1n

>

1n+1

, y ademas limn 1n = 0.

2.

n=1

(1)n+1(n + 1)n

no converge por Leibniz, se cumple n + 1

n

>n + 2

n + 1

, sin mas que

partir de (n+ 1)2 = n2 + 2n+ 1 > n2 +n, pero como limn n+1n = 1. Podemosasegurar que es oscilante.

10No es difcil probar que dada una sucesion, si establecemos una particion en subsucesiones disjuntas,y cada una de esas subsucesiones tiene el mismo lmite, la sucesion tiene ese lmite.

11Si no se cumple la monotona una serie alternada no convergente puede ser oscilante pero tambiendivergente. La serie1 + 3 1 + 3 1 + 3 1 + 3 . . ., es alternada pero diverge a +. Es facil probarque si la serie es tal que{|an|} es una sucesion monotona creciente, la serie, aun cuando no existan S yS tambien oscila, por ejemplo

n=1(1)n+1n.

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3. El criterio de Leibniz no resuelve todos los casos de series alternadas. Por ejemploconsideremos las series:

n=2

(1)nn + (1)n ,

n=2

(1)nn + (1)n .

Ninguna de ellas verifica la primera condicion, la monotona decreciente de los valoresabsolutos. La primera se puede probar que converge a ln 2 1 (ver el teorema deKnopp que reproducimos en la pag. ??, que bajo ciertas hipotesis permite quitarparentesis en series arbitrarias sin las catastroficas consecuencias habituales). Encuanto a la segunda es facil probar su divergencia si observamos que

(1)nn

1n + (1)nn =

(1)nnn

n + (1)nn = (1)n

n + (1)n .

El anterior substraendo es el termino general de una serie de terminos no negativos,divergente por Pringsheim, como

n=1

(1)nn

es convergente por Leibniz, necesaria-

menten=2 (1)nn+(1)n , tiene que ser divergente.

1.2.7 Convergencia absoluta y condicional

Observacion 1.12. Consideremos la armonica alternada

n=1(1)n+1

n , que es conver-

gente sin embargo

n=1 | (1)n+1

n | =

n=11n , es la armonica que diverge.

Definicion 1.5. Sea la serie

n=1 an, si converge

n=1 |an| diremos que la primera esuna serie absolutamente convergente. De una serie que converja, pero no lo haga absolu-tamente (como la armonica alternada) diremos que es condicionalmente convergente.

Teorema 1.8. (de la convergencia absoluta)

n=1

|an| es convergente =n=1

an es convergente.

Dem. Lo probaremos paraan (con ligeras modificaciones podra probarse para seriescomplejas). En general se cumple

an |an|,si sumamos|an|en ambos miembros tendremos

0 |an| an 2|an|,

como por hipotesis

n=1 |an| converge, tendremos que la serie de terminos no negativosn=1(|an|an) es convergente. Luego la serie que tiene como termino general la diferencia

de los terminos generales sera convergente, es decir

n=1

|an| n=1

(|an| an) =n=1

an,

converge.

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Ejemplo 1.10. Sea la serie

n=1sennn2

, observamos que no es de terminos positivos ni

tampoco alternada, sin embargo la serie

n=1| senn|n2

, si es de terminos positivos, y obvia-mente esta mayorada por

n=1

1n2

, que sabemos es convergente. En consecuencia la serien=1

| senn|n2

converge, y por el teorema anterior, la serie

n=1sennn2

converge.

Observacion 1.13. A pesar de todo quedan muchos cabos sueltos por aclarar. Es facilincurrir en el error de suponer, que la serie

1 +1

3+

1

5+

1

7 1

2+

1

9+

1

11+

1

13+

1

151

4. . .

es igual a 1 +

1

3+

1

5+

1

71

2

+

1

9+

1

11+

1

13+

1

151

4

+ . . .

y sumar esta ultima que es convergente por existir el lmite de sus sumas parciales yobtener 2 ln 2. Ahora bien, no podemos afirmar con las herramientas hasta aqu estudiadas,que la primera serie sume 2 ln 2 puesto que eso solo sera el valor de la segunda, y no

podemos aplicar Leibniz por no ser alternada, ni tampoco es absolutamente convergente.Unicamente utilizando resultados (ver [8]) no estudiados podramos efectivamente quitarparentesis en la segunda serie.

Observacion 1.14. El llamado criterio integral es, si no se anade nada al contenido deltema IX, equivalente al criterio de Pringsheim, ver pag. ??.

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Bibliography

[1] R.M. Barbolla et all. Introduccion al Analisis Real, Alhambra Universidad, Madrid1981.

[2] Carl B. Boyer, Historia de la matematica, Alianza Universidad Textos, Madrid, 1986.

[3] Javier Cilleruelo, Antonio Cordoba, La teora de los numeros, Biblioteca Mondadori,Madrid 1992.

[4] Miguel de Guzman y Baldomero Rubio, Analisis Matematico (numeros reales, suce-siones y series), Ediciones Piramide, Madrid 1990.

[5] Jesus Fernandez Novoa, Analisis Matematico I, U.N.E.D. Madrid, 1982.

[6] Emanuel Fischer, Intermediate Real Analysis, Spriger-Verlag, 1980.

[7] G. H. Hardy, A Course of Pure Mathematics, Cambridge University Press, (1908),1992.

[8] Konrad Knopp, Infinite Sequences and Series, Dover Publications Inc., New York1956.

[9] Julio Rey Pastor,Elementos de Analisis Algebraico, Madrid 1949.

[10] Michael Spivak,Calculo Infinitesimal, Vol. I, Editorial Reverte, Barcelona 1970.

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Tema 2 - Series numericas

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