UNIDAD DOS: BASES NUMÉRICAS

Introducción:

Como estudiantes del programa Técnico Profesional en Sistemas de la Fundación Universitaria del Área Andina, podríamos tener inquietudes respecto a la utilidad que podamos dar al conocimiento adquirido en relación con las bases numéricas, una primera respuesta al posible interrogante apunta al hecho que los sistemas digitales, fundamentales en los modernos sistemas de información y comunicación, manejan información almacenada, transportada y procesada en formato binario, esto en razón a que los elementos de procesamiento sólo tiene la capacidad de reconocimiento de dos posibles estados en una señal, estados que por ejemplo pueden clasificarse como prendido o apagado, voltaje alto o voltaje alto, luz de alta intensidad o de baja intensidad. El carácter binario de las señales digitales implica la necesidad de comprensión del sistema de numeración binaria si se está cercanamente involucrado en el diseño y/o manejo de sistemas digitales. Esta unidad se centra de manera general en los sistemas de diferentes bases numéricas, iniciando con el sistema de numeración decimal con el fin de generalizar sus principios al manejo de otras bases y haciendo énfasis posterior en los sistemas de numeración binario y hexadecimal, por su amplia aplicación directa a sistemas digitales. Sistema de numeración decimal o base 10: Seguramente para todos es muy claro que al sistema que comúnmente usamos se le llame sistema decimal, en razón a que cualquier número en este sistema se puede escribir usando una combinación de diez números dígitos. El conjunto de símbolos o dígitos utilizados en el sistema decimal es: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ¿Por qué decimos sistema de base 10? La respuesta a ello, y lo que a su vez constituye los fundamentos del resto del desarrollo de la presente unidad, la podemos ver en la consideración del siguiente ejemplo: El número decimal 5794 (cinco mil setecientos noventa y cuatro) corresponde a la suma: 5794 = 5000 + 700 + 90 + 4, la que a su vez se puede escribir de las siguientes formas: 5794 = 5 x1000 + 7 x 100 + 9 x 10 + 4 x 10 5794 = 5 x103 + 7 x 102 + 9 x 101 + 4 x 100

La última expresión corresponde a la notación polinomial del número dado, en la cual puede verse que se fundamenta en múltiplos de potencias de la base 10. De forma similar podemos escribir la expresión polinomial del número 4023.

4023 = 4 x103 + 0 x 102 + 2 x 101 + 3 x 100 En ambos casos podemos observar que, el peso o influencia de cada cifra depende de su posición u orden en el mismo, y esta posición está directamente relacionada con el exponente correspondiente de la base en la expresión polinomial. El orden o peso de un número, según su posición, se incrementa de derecha a izquierda; el dígito de menor orden o menos significativo es el que se encuentra en el extremo derecho y el más significativo se encuentra en el extremo izquierdo. Un detalle importante en el sistema decimal es que cualquier cantidad inferior al número de dígitos, se puede representar mediante uno de ellos, mientras que una cantidad superior debe ser representada mediante la combinación de dos o más dígitos, esto lo sabemos desde nuestros estudios primarios, pero poco nos detenemos a pensar en los fundamentos que ello encierra.

En el anterior dibujo tenemos a la izquierda un conjunto de puntos que representan una cantidad de objetos, si queremos escribir el correspondiente número en base decimal, vemos que la cantidad a representar es mayor que la cantidad de símbolos con que contamos, por tanto formamos grupos de 10 objetos (decenas) hasta donde sea posible, obteniéndose la configuración mostrada en la figura central; como la cantidad de decenas también supera a la cantidad de símbolos, formamos grupos de 10 decenas (centenas), obteniéndose la configuración de la figura derecha, en la que finalmente encontramos que hay 3 unidades, 2 decenas y 1 centena, con lo cual el número resultante es 124.

Las diferentes operaciones que realizamos también reflejan este hecho. Las siguientes figuras muestran ejemplos del real significado de la acción de “llevar” cuando sumamos.

En la primera suma, la cantidad total de objetos es superior al número de dígitos, por tanto se hace necesario formar una unidad de orden superior (decena) y quedando 3 unidades. En el segundo caso, al sumar 7 y 6 se genera una unidad de orden superior, y como ya hay unidades de este orden mayor, la nueva unidad se suma a las existentes, esto es lo que corresponde a la acción de “llevar”. Al sumar 1, 6 y 4 decenas, la cantidad resultante es superior al número de dígitos, por tanto se crea una unidad de orden superior a las decenas (centenas). Lo anterior significa, en el sistema de base 10, que siempre que se tiene 10 unidades de cualquier orden se genera una de orden inmediatamente superior. Sistema de numeración binario o base 2: Al ser un sistema de base 2, sólo existen dos símbolos para escribir cualquier número, estos son el 0 (cero) y el 1 (uno). Siguiendo los razonamientos realizados en el caso del sistema de numeración decimal, lo anterior significa que siempre que se tiene una cantidad que supera el número de símbolos se genera una de orden superior. El siguiente dibujo ilustra las ideas que estamos expresando:

No es posible emplear sólo uno de los símbolos del sistema para representar la cantidad de puntos de la figura a), entonces formamos parejas o binas, como se ilustra en la figura b), notando que queda fuera de las binas una cantidad que puede representarse por el símbolo “1”, pero la cantidad de binas resultante no puede representarse con uno de los dos símbolos, por lo que se hace necesario formar binas de binas, es decir cuádruplas como se ilustra en la figura c), la cantidad de cuádruplas se deben agrupar en octetos

como se ilustra en la figura d), donde podemos ver que resulta una unidad (orden 1), 0 binas o unidades de orden 2, una cuádrupla o unidad de orden 4 y un octeto o unidad de orden 8. Como los dígitos se escriben de izquierda a derecha en orden descendente, el número que representa la cantidad de puntos es: 1101(2) (se lee uno, uno, cero, uno, base 2). Siguiendo las mismas ideas, podemos verificar que la representación de los 53 puntos (en sistema decimal) de la parte a) de la siguiente figura, corresponden al número binario 110101(2) Al leer números dados en binario se debe tener cuidado de no estar influenciado por la lectura de números decimales, por ejemplo, el número 110(2) se lee uno, uno, cero en base dos y no ciento diez en base 2, puesto que la última lectura está usando términos propios del sistema decimal.

Conversión de números decimales a binarios: Si analizamos el procedimiento de agrupamiento por binas, en el primero ejemplo notamos que sobra un elemento y resultan 6 binas, esto corresponde a dividir 13 por 2, obteniéndose como resultado 6 y residuo 1; al agrupar de a dos las 6 binas resultan 3 cuadruplas y no sobren binas, lo que corresponde a dividir 6 por 2, resultando cociente 3 y residuo 0; Al agrupar de a dos las 3 cuadruplas resultan 3 octetos y sobra una cuadrupla, lo que corresponde a dividir por 2 el 3, resultando cociente 1 y residuo 1.

Lo anterior permite comprender que la conversión de un número decimal a binario obedece a un proceso de sucesivas divisiones por 2 hasta donde sea posible. El número binario correspondiente es la secuencia de residuos, siendo el primer residuo obtenido es el bit menos significativo. La siguiente figura esquematiza el proceso y el resultado con los números 13 y 53.

Conversión de números binarios a decimales: La conversión de un número binario a decimal a hace uso del valor posicional de cada dígito. Al dígito menos significativo, el del extremo derecho, le corresponde la posición cero, al siguiente a la izquierda le corresponde la posición uno y así sucesivamente, si un número tiene n bits, el de mayor orden ocupa la posición n - 1. El resultado de la conversión se obtiene de la notación polinomial, donde la base 2 se eleva al exponente correspondiente a la posición del dígito binario. Los siguientes ejemplos ilustran el proceso:

El sistema binario y las direcciones de internet de los computadores: Todo computador que participe en una red requiere ser configurado con un identificador conocido como dirección IP, la cual corresponde a una secuencia de 32 bits, divididos en cuatro grupos de ocho, conocidos como octetos o bytes. La escritura en formato binario es la representación interna de la dirección en el hardware de los dispositivos, para facilitar la lectura y escritura por parte de los usuarios, cada octeto se convierte a número decimal y la dirección IP se escribe como cuatro números decimales separados por puntos, esta representación se conoce como notación decimal punteada.

Ante la importancia de las direcciones IP en la comunicación entre computadores, vale la pena resaltar algunos aspectos en cuanto al valor de cada octeto en aras de facilitar la conversión decimal-binario. Valor mínimo de un octeto:

Valor máximo de un octeto:

En la terminología IP se acostumbra decir que un bit en “1” está “prendido” y en cero, “apagado”. Por tanto para convertir un octeto a binario basta con sumar los valores posicionales de los bits “prendidos”. Dado que el valor máximo de un octeto es 255, en ocasiones resulta más fácil restar de 255 los valores de los bits apagados, tal como lo muestran los siguientes ejemplos: 11101110(2) = 255 –16 – 1 = 238 10111100(2) = 255 – 64 – 2 – 1 = 188 Operaciones entre números binarios: Tomando en consideración las reflexiones presentadas al introducir el sistema binario, definimos a continuación las siguientes operaciones en este sistema numérico:

Suma en binario: la suma entre dos números binarios se fundamenta en la siguiente tabla:

+ 0 1

0 0 1

1 1 0 + 1

Es evidente que las sumas 0 + 0, 0 + 1 y 1 + 0 corresponden a las presentadas en la tabla, pero en el caso de la suma 1 + 1, (2 en decimal), es necesario utilizar dos cifras (10), por tanto 1+1 se interpreta como 0 y se arrastra una unidad, que se suma a la posición siguiente a la izquierda (llevo 1). Los siguientes ejemplos muestran sumas en binario y el equivalente decimal.

Posición 7 6 5 4 3 2 1 0

Valor 128 64 32 16 8 4 2 1

Complemento a uno de un número binario: El complemento a uno, C1N de de un número binario N, se obtiene invirtiendo el valor de sus dígitos. Por ejemplo, el complemento a uno de 11001011(2) (203 en decimal) es 00110100(2) (52 en decimal). Complemento a dos de un número binario: El complemento a 2, C1N de un número binario N, se obtiene al sumarle una unidad al complemento a uno, por ejemplo el complemento a 2 del número 11001011(2) (203 en decimal) es:

Sustracción en binario: El fundamento de la sustracción en binario corresponde a la siguiente tabla.

- Minuendo

0 1

Su

st 0 0 1

1 1 + 1 0

Resulta claro que las restas 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 corresponden a las mostradas en la tabla, pero la resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad

prestada de la posición siguiente: 10 - 1, es decir, 210 – 110 = 1. Esa unidad prestada debe devolverse, sumándola, a la posición siguiente. Veamos algunos ejemplos:

Pese a lo sencillo del procedimiento, la costumbre de restar en el sistema decimal nos puede conducir a cometer errores sin pensar en la realidad del arrastre. A continuación presentamos mediante ejemplos variantes del desarrollo de la operación con las que se reduce las posibilidades de error:

Dividir números largos en grupos cortos. Ejemplo.

100110011101 1001 1001 1101

010101110010 0101 0111 0010

010000101011 0100 0010 1011

Sumar el complemento a 2 del sustraendo:

Ejemplos: hallar la sustracción en cada caso usando la suma de complemento a 2.

En la última suma el bit sobrante se descarta.

Multiplicación en binario:

La multiplicación en binario se realiza según la siguiente tabla.

x 0 1

0 0 0

1 0 1

Veamos un ejemplo:

Sistema de numeración octal o base 8: Sólo emplea los símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 para escribir cualquier número. Siguiendo razonamientos anteriores, siempre que se tiene una cantidad que supera el número de símbolos se genera una de orden superior. El siguiente dibujo ilustra las ideas que estamos expresando:

Conversión de decimal a octal: De manera similar a lo presentado en la conversión de números decimales a binarios, la conversión a sistema octal se fundamenta en la división sucesiva por la base correspondiente, en este caso por la base 8, veamos el siguiente ejemplo:

Conversión de octal a decimal: La conversión de un número octal a decimal se realiza también teniendo en cuenta el valor posicional de cada dígito, siendo el dígito menos significativo el de la posición cero, al siguiente a la izquierda le corresponde la posición uno y así sucesivamente, para un número con n dígitos octales, el de mayor orden ocupa la posición n -1. El número decimal en la conversión se obtiene a partir de la notación polinomial, donde la base 8 se eleva al exponente asociado a la posición del dígito los siguientes ejemplos muestran el proceso:

Sistema de numeración hexadecimal o base 16: El sistema hexadecimal emplea 16 símbolos para representar cantidades que en decimal corresponde a los números 0 a 15, los símbolos y su correspondencia decimal son:

Símbolo Hexadecimal

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Equivalente decimal

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Utilidad del sistema de numeración hexadecimal: Existen numerosas situaciones en las cuales se utiliza el sistema hexadecimal para representar cantidades, una de ellas es la escritura de los números de identificación de las tarjetas de de red de los computadores, conocidos como direcciones MAC o dirección

física. La dirección MAC es una secuencia de 48 bits, pero normalmente la encontramos escrita en formato hexadecimal de 12 dígitos. Conversión de decimal a hexadecimal: la conversión de un número decimal a hexadecimal se realiza con base en divisiones sucesivas por la base 16, para indicar que un número dado está expresado en el sistema hexadecimal se antepone “OX” al conjunto de sus dígitos, el siguiente ejemplo ilustra el proceso de conversión y la notación:

Conversión de hexadecimal a decimal: La conversión de un número hexadecimal a decimal se obtiene a partir de la notación polinomial, donde la base 16 se eleva al exponente asociado a la posición del dígito, a continuación presentamos un ejemplo:

Conversión de hexadecimal a binario y de binario a hexadecimal: Ilustramos esta temática mediante los siguientes ejemplos: a) Convertir a hexadecimal el número binario 101011(2) b) Convertir a binario el número 0XA5 Solución: a) Un procedimiento valido es convertir el número 101011(2) a decimal, obteniéndose como resultado 43, y luego convertir 43 a hexadecimal obteniéndose 0X2B, resultando que: 101011(2 = 0X2B. b) Al convertir a decimal el número 0XA5, el resultado del proceso nos da 161, convirtiendo a binario el 161 obtenemos 10100001, por tanto se tiene que: 0XA5 = 10100101(2)

Puede pensarse que, dado un número en uno de los sistemas, primero se debe convertir a decimal y luego el resultado convertirlo al otro sistema, sin embargo vale la pena retomar los mismos ejemplos para el siguiente análisis: En el caso a) el número binario es 101011(2), el cual se puede escribir en forma tal que su número de bits sea múltiplo de 4, completando a la izquierda con ceros, obteniéndose: 101011(2 = 00101011(2) Considerando por separado dos grupos de 4 bits, vemos que los cuatro bits de la izquierda corresponden al decimal 2, que en hexadecimal también es 2, mientras que los cuatro de la derecha corresponden al decimal 11, que en hexadecimal es B. El resultado de la conversión binario a hexadecimal es precisamente 0X2B.

En el caso b) el número hexadecimal es 0XA5, dado que el dígito “A” en hexadecimal es 10, al cual le corresponde el binario de 4 bits 1010(2), y que al hexadecimal 5, (5 en decimal), le corresponde el binario de 4 bits 0101(2), vemos también que concatenando los equivalentes binarios se obtiene la conversión binaria del número completo.

Lo anterior permite concluir que la conversión entre binario y hexadecimal, se puede llevar a cabo de manera directa realizando sustituciones según la siguiente tabla, aclarando que de ser necesario el número binario se debe escribir en formato múltiplo de 4 bits.

Decimal Hexadecimal Binario de 4 bits

0 0 0000

1 1 0001

2 2 0010

3 3 0011

4 4 0100

5 5 0101

6 6 0110

7 7 0111

8 8 1000

9 9 1001

10 A 1010

11 B 1011

12 C 1100

13 D 1101

14 E 1110

15 F 1111

Ejemplos: a) Según la tabla anterior, tenemos que: 10010001110010(2) = 0010 0100 0111 0010(2)

=0X2472. b) El número 0X75F2 convertido a binario es 0111 0101 1111 0010(2) = 111010111110010(2)