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1Soluciones a los ejercicios y problemas

PÁGINA 34

ú l t i p l o s y d i v i s o r e s

1 Encuentra cuatro parejas múltiplo-divisor entre los siguientes números:

• 143 y 13

• 124 y 31

• 364 y 13

• 364 y 52

2 Responde justificando tu respuesta.

a) ¿Es 132 múltiplo de 11?

b) ¿Es 11 divisor de 132?

c) ¿Es 574 múltiplo de 14?

d)¿Es 27 divisor de 1 542?

a) Sí, 132 = 12 · 11

b) Sí, 132 : 11 = 12

c) Sí, 574 = 41 · 14

d) No, 1542 = 57 · 27 + 3 8 división con resto.

3 Calcula.

a) Los cinco primeros múltiplos de 10.

b)Los cinco primeros múltiplos de 13.

c) Los cinco primeros múltiplos de 31.

a) 10, 20, 30, 40 y 50.

b) 13, 26, 39, 52 y 65.

c) 31, 62, 93, 124 y 155.

4 Calcula.

a) Todos los divisores de 18.

b)Todos los divisores de 23.

c) Todos los divisores de 32.

a) 1, 2, 3, 6, 9 y 18.

b) 1 y 23.

c) 1, 2, 4, 8, 16 y 32.

135231180

36412412143

M

Pág. 1

Unidad 1. Divisibilidad y números enteros


5 Copia estos números y selecciona:

a) Los múltiplos de 2.

b)Los múltiplos de 3.

c) Los múltiplos de 5.

a) 66, 90, 156, 220 y 708.

b) 66, 90, 105, 156 y 708.

c) 90, 105, 220 y 315.

6 Copia estos números, rodea con un círculo los múltiplos de 3 y tacha losmúltiplos de 9:

33 41 54 87 108

112 231 341 685

33 41 54 87 108

112 231 341 685

ú m e r o s p r i m o s y c o m p u e s t o s

7 Escribe:

a) Los diez primeros números primos.

b)Los números primos comprendidos entre 50 y 60.

c) Los números primos comprendidos entre 80 y 100.

d)Los tres primeros números primos mayores que 100.

a) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29.

b) 53 y 59.

c) 83, 89 y 97.

d) 101, 103 y 107.

8 Mentalmente, sin lápiz ni papel, separa los números primos de los com-puestos:

• Primos: 7, 17, 31, 41 y 67.

• Compuestos: 4, 10, 15, 24 y 51.

6751413124

17151074

N

708421315220156

105103907166

Pág. 2



9 Descompón, mentalmente, en el máximo número de factores las siguien-tes cantidades:

• 6 = 2 · 3 • 8 = 23 • 10 = 2 · 5

• 14 = 2 · 7 • 15 = 3 · 5 • 18 = 2 · 32

• 20 = 22 · 5 • 24 = 23 · 3 • 25 = 52

• 27 = 33 • 30 = 2 · 3 · 5 • 42 = 2 · 3 · 7

10 Descompón en factores primos.

a) 48 b)54 c) 90

d)105 e) 120 f ) 135

g) 180 h)200 i) 250

a) 48 = 24 · 3 b) 54 = 2 · 33 c) 90 = 2 · 32 · 5

d) 105 = 3 · 5 · 7 e) 120 = 23 · 3 · 5 f ) 135 = 33 · 5

g) 180 = 22 · 32 · 5 h) 200 = 23 · 52 i) 250 = 2 · 53

11 Descompón en el máximo número de factores:

a) 378 b)1 144 c) 1 872

a) 378 = 2 · 33 · 7 b) 1 144 = 23 · 11 · 13 c) 1 872 = 24 · 32 · 13

í n i m o c o m ú n m ú l t i p l o y m á x i m o c o m ú n d i v i s o r

12 Calcula.

a) Los diez primeros múltiplos de 10.

b)Los diez primeros múltiplos de 15.

c) Los primeros múltiplos comunes de 10 y 15.

d)El mínimo común múltiplo de 10 y 15.

a) 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 y 100.

b) 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135 y 150.

c) 30, 60, 90, …

d) 30

13 Calcula mentalmente.

a) mín.c.m. (2, 3) b)mín.c.m. (6, 9) c) mín.c.m. (4, 10)

d)mín.c.m. (6, 10) e) mín.c.m. (6, 12) f ) mín.c.m. (12, 18)

a) mín.c.m. (2, 3) = 6 b) mín.c.m. (6, 9) = 18 c) mín.c.m. (4, 10) = 20

d) mín.c.m. (6, 10) = 30 e) mín.c.m. (6, 12) = 12 f ) mín.c.m. (12, 18) = 36

M

423027252420

1815141086

Pág. 3



14 Calcula.

a) mín.c.m. (12, 15) b)mín.c.m. (24, 60)

c) mín.c.m. (48, 54) d)mín.c.m. (90, 150)

e) mín.c.m. (6, 10, 15) f ) mín.c.m. (8, 12, 18)

a) mín.c.m. (12, 15) = 60 b) mín.c.m. (24, 60) = 120

c) mín.c.m. (48, 54) = 432 d) mín.c.m. (90, 150) = 450

e) mín.c.m. (6, 10, 15) = 30 f ) mín.c.m. (8, 12, 18) = 72

15 Escribe:

a) Todos los divisores de 18.

b)Todos los divisores de 24.

c) Los divisores comunes de 18 y 24.

d)El máximo común divisor de 18 y 24.

a) 1, 2, 3, 6, 9 y 18.

b) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.

c) 1, 2, 3 y 6.

d) 6

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a) máx.c.d. (4, 8) b)máx.c.d. (6, 9)

c) máx.c.d. (10, 15) d)máx.c.d. (12, 16)

e) máx.c.d. (16, 24) f ) máx.c.d. (18, 24)

a) máx.c.d. (4, 8) = 4 b) máx.c.d. (6, 9) = 3

c) máx.c.d. (10, 15) = 5 d) máx.c.d. (12, 16) = 4

e) máx.c.d. (16, 24) = 8 f ) máx.c.d. (18, 24) = 6

17 Calcula.

a) máx.c.d. (36, 45) b)máx.c.d. (48, 72)

c) máx.c.d. (105, 120) d)máx.c.d. (135, 180)

e) máx.c.d. (8, 12, 16) f ) máx.c.d. (45, 60, 105)

a) máx.c.d. (36, 45) = 9 b) máx.c.d. (48, 72) = 24

c) máx.c.d. (105, 120) = 15 d) máx.c.d. (135, 180) = 45

e) máx.c.d. (8, 12, 16) = 4 f ) máx.c.d. (45, 60, 105) = 15

Pág. 4



r o b l e m a s

18 ¿De cuántas formas distintas se pueden envasar 80 botes de mermeladaen cajas iguales? Indica, en cada caso, el número de cajas necesarias y el núme-ro de botes por caja.

Los 80 botes se pueden envasar de las 10 formas distintas que corresponden a las di-ferentes formas de descomponer 80 en dos factores.

80 = 24 · 5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 5 8 las descomposiciones en 2 factores son:

2 · 40 16 · 5

4 · 20 1 · 80

8 · 10

19 Un rollo de cable mide más de 150 m y menos de 200 m. ¿Cuál es su lon-gitud exacta, sabiendo que se puede dividir en trozos de 15 m y también en tro-zos de 18 m?

La longitud del rollo es de 180 m.

mín.c.m. (15, 18) = 90 8 El primer múltiplo de 90 comprendido entre 150 y 200es 180.

20 Un agricultor riega su campo cada 10 días y lo fumiga cada 18. ¿Cadacuánto tiempo le coinciden ambos trabajos en la misma jornada?

Cada 90 días.

mín.c.m. (10, 18) = 90

21 De cierta parada de autobús parten dos líneas, A y B, que inician su acti-vidad a las 7 h de la mañana. La línea A presta un servicio cada 24 minutos, yla línea B, cada 36 minutos. ¿A qué hora vuelven a coincidir en la parada losautobuses de ambas líneas?

A las 8 h 12 min.

mín.c.m. (24, 36) = 72

72 min = 1 h + 12 min 8 7 h + (1 h + 12 min) = 8 h + 12 min

22 Se desea dividir dos cuerdas de 20 m y 30 m en trozos iguales, lo másgrandes que sea posible, y sin desperdiciar nada. ¿Cuánto medirá cada trozo?

Cada trozo medirá 10 metros.

máx.c.d. (20, 30) = 10

8 cajas de 10 botes10 cajas de 8 botes

1 caja de 80 botes80 cajas de 1 bote




PPág. 5



23 Para pavimentar el suelo de una nave de 12,3 m de largo por 9 m de an-cho, se han empleado baldosas cuadradas, que han venido justas, sin necesidadde cortar ninguna. ¿Qué medida tendrá el lado de cada baldosa, sabiendo quese han empleado las mayores que había en el almacén?

30 cm de lado.

8 máx.c.d. (90, 123) = 3

3 dm = 30 cm = 0,3 m

24 Julia ha formado el cuadrado más pequeño posible uniendo piezas rec-tangulares de cartulina, de 12 cm por 18 cm. ¿Cuánto mide el lado del cuadra-do? ¿Cuántas piezas ha empleado?

El lado del cuadrado mide 36 cm y se han empleado 6 piezas.

mín.c.m. (12, 18) = 36

(36 cm) : (12 cm) = 3 8 Caben 3 anchos del rectángulo en el lado del cuadrado.

(36 cm) : (18 cm) = 2 8 Caben 2 largos del rectángulo en el lado del cuadrado.

3 · 2 = 6 piezas

25 Se desea envasar 125 botes de conserva de tomate y 175 botes de conser-va de pimiento en cajas del mismo número de botes, y sin mezclar ambos pro-ductos en la misma caja. ¿Cuál es el mínimo número de cajas necesarias?¿Cuántos botes irán en cada caja?

• Se necesitan 12 cajas como mínimo.

• Habrá 25 botes en cada caja.

Los divisores comunes de 125 y 175 son 5 y 25. Podemos envasar en cajas de 5 ode 25 botes. Para utilizar un mínimo número de cajas envasaremos en cajas de 25botes.

8 5 + 7 = 12 cajas en total

26 En un horno de bollería se han fabricado 2 400 magdalenas y 2 640 man-tecados, que se desean comercializar en bolsas con el mismo número de unida-des y sin mezclar ambos productos. ¿Cuántas magdalenas o cuántos manteca-dos se pueden poner en cada bolsa, teniendo en cuenta que el número debe sersuperior a 15 e inferior a 30?

Se pueden poner 16, 20 ó 24 unidades por bolsa.

8

8 24 = 16 23 · 3 = 24 22 · 5 = 20

Divisores comunes de 2 400 y 2 640 que son mayores de 15 y menores de 30

°¢£

2 400 = 25 · 3 · 52

2 640 = 24 · 3 · 5 · 11

°¢£

125 : 25 = 5 8 5 cajas de tomates175 : 25 = 7 8 7 cajas de pimientos

°¢£

12,3 m = 123 dm9 m = 90 dm

Pág. 6



r o f u n d i z a

27 Se dice que dos números son primos entre sí cuando su único divisor co-mún es la unidad. Por ejemplo:

Son primos entre sí.

Escribe otras tres parejas de números primos entre sí.

Por ejemplo:

• 4 y 15

• 14 y 15

• 22 y 39

28 Justifica la siguiente afirmación:

Si a es múltiplo de b y b es múltiplo de c, entonces a es múltiplo de c.

8 a = ? · c

a = (k · h ) · c

8 a = k · b = k · (h · c ) = (k · h ) · c 8 a es múltiplo de c.

29 Demuestra que si a es divisor de b y b es divisor de c, entonces a esdivisor de c.

8 c = ? · a

c = (m · n) · a

8 c = b · n = (a · m) · n = (m · n) · a 8 a es divisor de c.

30 Si m es múltiplo de n, calcula:

a) mín.c.m. (m, n)

b)máx.c.d. (m, n)

a) mín.c.m. (m, n) = m

b) máx.c.d. (m, n) = n

°¢£

b = a · mc = b · n

°¢£

b = a · mc = b · n

°¢£

a = k · bb = h · c

°¢£

b = k · bb = h · c

22 = 2 · 1139 = 3 · 13

°¢£

14 = 2 · 715 = 3 · 5

°¢£

4 = 22

15 = 3 · 5°¢£

°¢£

32 = 2 · 2 · 2 · 2 · 235 = 5 · 7

PPág. 7



PÁGINA 36

u m a y r e s t a d e n ú m e r o s e n t e r o s


a) 5 – 9 b)5 – 11 c) 13 – 9

d)22 – 30 e) 21 – 33 f ) 46 – 52

g) –8 – 14 h)–21 – 15 i) –33 – 22

j) –13 + 18 k)–22 + 9 l) –37 + 21

a) –4 b) –6 c) 4

d) –8 e) –12 f ) –6

g) –22 h) –36 i) –55

j) 5 k) –13 l) –16

32 Calcula.

a) 5 – 8 – 4 + 3 – 6 + 9 b)10 – 11 + 7 – 13 + 15 – 6

c) 9 – 2 – 7 – 11 + 3 + 18 – 10 d)–7 – 15 + 8 + 10 – 9 – 6 + 11

a) –1 b) 2 c) 0 d) –8

33 Quita paréntesis y calcula.

a) (+5) – (–3) – (+8) + (–4)

b)–(–7) – (+5) + (–6) + (+4)

c) +(–9) – (+13) – (–11) + (+5)

d)–(+8) + (–3) – (–15) – (+6) – (+2)

a) –4 b) 0 c) –6 d) –4

34 Calcula.

a) 3 – (5 + 7 – 10 – 9)

b)4 + (8 – 6 – 10) – (6 – 10 + 4)

c) (7 – 11 – 4) – (9 – 6 – 13)

d)–(6 – 3 – 5) – (–4 – 7 + 15)

a) 10 b) –4 c) 2 d) –2

35 Opera.

a) 16 + [3 – 9 – (11 – 4)]

b)8 – [(6 – 9) – (7 – 13)]

c) (6 – 15) – [1 – (1 – 5 – 4)]

d)(2 – 12 + 7) – [(4 – 10) – (5 – 15)]

e) [9 – (5 – 17)] – [11 – (6 – 13)]

a) 3 b) 5 c) –18 d) –7 e) 3

S

Pág. 8



36 Quita paréntesis y calcula.

a) 6 – (5 – [4 – (3 – 2)])b)6 – (7 – [8 – (9 – 10)])c) 10 + (11 – [12 + (13 – 14)])d)10 – (9 + [8 – (7 + 6)])e) [(3 – 8) – 5] + (–11 + [7 – (3 – 4)])a) 4 b) 8 c) 10 d) 6 e) –13

u l t i p l i c a c i ó n y d i v i s i ó n d e n ú m e r o s e n t e r o s

37 Opera aplicando la regla de los signos.

a) (–5) · (–6) b) (–21) : (+3)

c) (–4) · (+7) d)(+42) : (–6)

e) (–6) · (–8) f ) (+30) : (+5)

g) (+10) · (+5) h)(–63) : (–9)

i) (–9) · (–5) j) (+112) : (–14)

a) 30 b) –7 c) –28 d) –7 e) 48

f ) 6 g) 50 h) –8 i) 45 j) –8

38 Obtén el valor de x en cada caso:

a) x · (–9) = +9 b)(–5) : x = –1 c) (–5) · x = –45

d)x : (–4) = +3 e) x · (+6) = –42 f ) (+28) : x = –7

a) x = –1 b) x = 5 c) x = 9

d) x = –12 e) x = –7 f ) x = –4

39 Calcula.

a) (–2) · [(+3) · (–2)] b) [(+5) · (–3)] · (+2)

c) (+6) : [(–30) : (–15)] d)[(+40) : (–4)] : (–5)

e) (–5) · [(–18) : (–6)] f ) [(–8) · (+3)] : (–4)

g) [(–21) : 7] · [8 : (–4)] h)[6 · (–10)] : [(–5) · 6]

a) 12 b) –30 c) 3 d) 2

e) –15 f ) 6 g) 6 h) 2

p e r a c i o n e s c o m b i n a d a s c o n n ú m e r o s e n t e r o s

40 Calcula.

a) 5 – 4 · 3 b)2 · 9 – 7 c) 4 · 5 – 6 · 3

d)2 · 8 – 4 · 5 e) 16 – 4 · 7 + 2 · 5 – 19 f ) 5 · 6 – 21 – 3 · 7 + 12

a) –7 b) 11 c) 2

d) –4 e) –21 f ) 0

O

M

Pág. 9



41 Opera dentro del paréntesis y, después, multiplica.

a) 3 · (9 – 11)

b)–5 · (4 – 9)

c) 5 · (9 – 4) – 12

d)1 + 4 · (6 – 10)

e) 6 · (8 – 12) – 3 · (5 – 11)

f ) 4 · (13 – 8) + 3 · (9 – 15)

a) 3 · (9 – 11) = 3 · (–2) = –6

b) –5 · (4 – 9) = –5 · (–5) = 25

c) 5 · (9 – 4) – 12 = 5 · 5 – 12 = 25 – 12 = 13

d) 1 + 4 · (6 – 10) = 1 + 4 · (–4) = 1 – 16 = –15

e) 6 · (8 – 12) – 3 · (5 – 11) = 6 · (–4) – 3 · (–6) = –24 + 18 = –6

f ) 4 · (13 – 8) + 3 · (9 – 15) = 4 · 5 + 3 · (–6) = 20 – 18 = 2

42 Calcula y observa que el resultado varía según la posición de los paréntesis.

a) 17 – 6 · 2 b) (17 – 6) · 2

c) (–10) – 2 · (–3) d)[(–10) – 2] · (–3)

e) (–3) · (+5) + (–2) f ) (–3) · [(+5) + (–2)]

a)17 – 6 · 2 = 17 – 12 = 5

b) (17 – 6) · 2 = 11 · 2 = 22

c) (–10) – 2 · (–3) = –10 + 6 = –4

d) [(–10) – 2] · (–3) = (–12) · (–3) = 36

e) (–3) · (+5) + (–2) = –15 – 2 = –17

f ) (–3) · [(+5) + (–2)] = (–3) · (+3) = –9

PÁGINA 37

43 Calcula paso a paso.

a) 5 · (–4) – 2 · (–6) + 13

b)–6 · (+4) + (–3) · 7 + 38

c) (–2) · (+8) – (–5) · (–6) + (–9) · (+4)

d)–(–9) · (+5) · (–8) · (+7) – (+4) · (–6)

a) 5 · (–4) – 2 · (–6) + 13 = –20 + 12 + 13 = –20 + 25 = 5

b) –6 · (+4) + (–3) · 7 + 38 = –24 – 21 + 38 = –45 + 38 = –7

c) (–2) · (+8) – (–5) · (–6) + (–9) · (+4) = –16 – 30 – 36 = –82

d) –(–9) · (+5) · (–8) · (+7) – (+4) · (–6) = –2 496

Pág. 10



44 Opera.

a) 5 · [11 – 4 · (11 – 7)]

b) (–4) · [12 + 3 · (5 – 8)]

c) 6 · [18 + (–4) · (9 – 4)] – 13

d)4 – (–2) · [–8 – 3 · (5 – 7)]

e) 24 – (–3) · [13 – 4 – (10 – 5)]

f ) 6 · (7 – 11) + (–5) · [5 · (8 – 2) – 4 · (9 – 4)]

a) 5 · [11 – 4 · (11 – 7)] = 5 · [11 – 4 · 4] = 5 · [11 – 16] = 5 · (–5) = –25

b) (–4) · [12 + 3 · (5 – 8)] = (–4) · [12 + 3 · (–3)] = (–4) · [12 – 9] = (–4) · 3 = –12

c) 6 · [18 + (–4) · (9 – 4)] – 13 = 6 · [18 + (–4) · 5] – 13 = 6 · [18 – 20] – 13 =

= 6 · (–2) – 13 = –12 – 13 = –25

d) 4 – (–2) · [–8 – 3 · (5 – 7)] = 4 + 2 · [–8 – 3 · (–2)] = 4 + 2 · [–8 + 6] =

= 4 + 2 · [–2] = 4 – 4 = 0

e) 24 – (–3) · [13 – 4 – (10 – 5)] = 24 + 3 · [13 – 4 – 5] = 24 + 3 · 4 = 24 + 12 = 36

f ) 6 · (7 – 11) + (–5) · [5 · (8 – 2) – 4 · (9 – 4)] = 6 · (–4) + (–5) · [5 · 6 – 4 · 5] =

= –24 – 5 · [30 – 20] = –24 – 5 · 10 = –24 – 50 = –74

45 Calcula paso a paso.

a) 10 : [8 – 12 : (11 – 9)]

b)6 : (13 – 15) – [(8 – 4) : (–2) – 6 : (–3)]

a) 10 : [8 – 12 : (11 – 9)] = 10 : [8 – 12 : 2] = 10 : [8 – 6] = 10 : 2 = 5

b) 6 : (13 – 15) – [(8 – 4) : (–2) – 6 : (–3)] = 6 : (–2) – [4 : (–2) + 2] =

= –3 – [–2 + 2] = –3

o t e n c i a s d e n ú m e r o s e n t e r o s

46 Calcula.

a) (–2)1 b) (–2)2 c) (–2)3

d)(–2)4 e) (–2)5 f ) (–2)6

g) (–2)7 h)(–2)8 i) (–2)9

a) –2 b) 4 c) –8

d) 16 e) –32 f ) 64

g) –128 h) 256 i) –512

47 Calcula.

a) (–5)4 b) (+4)5 c) (–6)3

d)(+7)3 e) (–8)2 f ) (–10)7

a) 625 b) 1 024 c) –216

d) 343 e) 64 f ) –10 000 000

P

Pág. 11



48 Observa…

(–2)3 = (–2) · (–2) · (–2) = –8 (+2)3 = (+2) · (+2) · (+2) = +8

–23 = –2 · 2 · 2 = –8 +23 = +2 · 2 · 2 = +8

…y calcula.

a) (–3)4 b) (+3)4 c) –34 d)+34

a) 81 b) 81 c) –81 d) 81

49 Expresa como potencia de un único número.

a) 104 : 54 b)127 : (–4)7 c) (–9)6 : 36

d)26 · 26 e) (–4)5 · (–2)5 f ) 24 · (–5)4

a) 104 : 54 = (2 · 5)4 : 54 = (24 · 54) : 54 = 24

b) 127 : (–4)7 = (3 · 4)7 : (–4)7 = (37 · 47) : (–4)7 = –37

c) (–9)6 : 36 = 312 : 36 = 36

d) 26 · 26 = 212

e) (–4)5 · (–2)5 = –(45) · (–25) = 45 · 25 = 210 · 25 = 215

f ) 24 · (–5)4 = 24 · 54 = (2 · 5)4 = 104

50 Reduce a una sola potencia.

a) x4 · x6 b)m3 · m4

c) m8 : m6 d)x7 : x6

e) (x2)5 f ) (m4)3

g) [a10 : a6]2 h)(a · a3)3

i) (x5 : x2) · x4 j) (x6 · x4) : x7

a) x4 · x6 = x10 b) m3 · m4 = m7

c) m8 : m6 = m8 : m6 = m2 d) x7 : x6 = x

e) (x2)5 = x10 f ) (m4)3 = m12

g) [a10 : a6]2 = a8 h) (a · a3)3 = a12

i) (x5 : x2) · x4 = x7 j) (x6 · x4) : x7 = x3

51 Expresa como una potencia única.

a) 43 · 4 b)52 · (–5)3

c) (–6)8 : (–6)5 d)78 : (–7)

e) (52 · 54) : 53 f ) [74 · (–7)4] : (–7)6

g) (24)3 : 29 h)(–4)7 : (42)2

i) [(–3)4]3 : [(–3)3]3 j) (52)5 : [(–5)3]2

a) 43 · 4 = 44 b) 52 · (–5)3 = –55

c) (–6)8 : (–6)5 = –63 d) 78 : (–7) = –77

e) (52 · 54) : 53 = 53 f ) [74 · (–7)4] : (–7)6 = 72

g) (24)3 : 29 = 23 h) (–4)7 : (42)2 = –43

i) [(–3)4]3 : [(–3)3]3 = –33 j) (52)5 : [(–5)3]2 = 54

Pág. 12



52 Opera y calcula.

a) [29 : (23)2] · 53

b)102 : [(52)3 : 54]

c) 63 : [(27 : 26) · 3]2

d)[(62)2 · 44] : (23)4

a) [29 : (23)2] · 53 = [29 : 26] · 53 = 23 · 53 = 103 = 1 000

b) 102 : [(52)3 : 54] = 102 : [56 : 54] = 102 : 52 = (10 : 5)2 = 22 = 4

c) 63 : [(27 : 26) · 3]2 = 63 : [2 · 3]2 = 63 : 62 = 6

d) [(62)2 · 44] : (23)4 = [64 · 44] : (23)4 = [6 · 4]4 : (23)4 = [3 · 23]4 : (23)4 =

= [(3 · 23) : 23]4 = 34 = 81

a í c e s d e n ú m e r o s e n t e r o s

53 Calcula.

a) b) c)

d) e) f )

g) h) i)

a) ±7 b) ±7 c) No existe.

d) ±15 e) ±15 f ) No existe.

g) ±50 h) ±50 i) No existe.

54 Calcula las raíces siguientes:

a) b) c)

d) e) f )

g) h) i)

a) ±x b) ±x c) No existe.

d) ±a2 e) ±a2 f ) No existe.

g) ±m3 h) ±m3 i) No existe.

55 Calcula, si existen, estas raíces:

a) b) c)

d) e) f )

a) 1 b) –1 c) 4

d) ±5 e) No existe. f ) ±10

4√10 0004√–6254√625

3√643√–13√1

√–m6√(–m)6√m6

√–a4√(–a)4√a4

√–x2√(–x)2√x2

√–2 500√502√2 500

√–225√225√152

√–49√72√49

R

Pág. 13



56 Calcula.

a) b) c)

a) a b) ±x c) m

57 Observa el ejemplo y razona, en cada caso, de manera similar.

• = x3, puesto que (x3)4 = x3 · 4 = x12

a) b) c)

a) = a4, ya que (a4)3 = a4 · 3 = a12

b) = m2, ya que (m2)5 = m2 · 5 = m10

c) = ±x5, ya que (x5)2 = x10 y (–x5)2 = x10√x10

5√m10

3√a12

√x105√m103√a12

4√x12

5√m54√x43√a3

Pág. 14



PÁGINA 76

p l i c a c i ó n d e c o n c e p t o s

1 El cubo pequeño está construido con dados amarillos. Para formar elcubo grande, recubrimos el anterior de dados rojos.

¿Qué fracción de los dados del cubo grande son amarillos? ¿Y rojos?

de los dados del cubo grande son amarillos y son rojos.

• Cubo pequeño: 33 = 27 dados, todos amarillos.

• Cubo grande: 53 = 125 dados en total:


a) de 60 b) de 90 c) de 120

d) de 35 e) de 18 f ) de 100

a) de 60 = 40 b) de 90 = 9 c) de 120 = 90

d) de 35 = 10 e) de 18 = 10 f ) de 100 = 60

3 ¿Cuántos gramos son?

a) de kilo b) de kilo c) de kilo

a) de kilo = 750 g b) de kilo = 600 g c) de kilo = 350 g720

35

34

720

35

34

35

59

27

34

110

23

35

59

27

34

110

23

27• 27 de 125 dados son amarillos 8 —125

98• resto: 125 – 27 = 98 de 125 son rojos 8 — de dados rojos125

°§§¢§§£

98125

27125

A

Pág. 1

Unidad 3. Las fracciones


4 ¿Cuántos minutos son?

a) de hora b) de hora c) de hora

a) de hora = 50 min b) de hora = 15 min c) de hora = 48 min

5 ¿Qué fracción de hora son?

a) 5 minutos b)24 minutos c) 360 segundos

a) 5 min = de h = de hora

b) 24 min = de h = de hora

c) 360 s = de h = de hora

r a c c i o n e s y d e c i m a l e s

6 Expresa en forma decimal.

a) b) c)

d) e) f )

a) = 3,5 b) = 0,54 c) = 0,104

d) = 1,1)6 e) = 0,

)4 f ) = 0,

)45

7 Pasa a forma fraccionaria.

a) 1,1 b)0,13 c) 0,008

d)0,)8 e) 1,

)8 f ) 2,

)8

g) 0,)24 h)0,0

)2 i) 0,1

)3

a) 1,1 = b) 0,13 = c) 0,008 =

d) 0,)8 = e) 1,

)8 = f ) 2,

)8 =

g) 0,)24 = h) 0,0

)2 = i) 0,1

)3 = 2

15145

2499

269

179

89

81 000

13100

1110

511

49

76

13125

2750

72

511

49

76

13125

2750

72

F

110

3603 600

25

2460

112

560

45

312

56

45

312

56

Pág. 2



q u i v a l e n c i a d e f r a c c i o n e s

8 Escribe:

a) Una fracción equivalente a 4/10 que tenga por numerador 6.

b)Una fracción equivalente a 15/45 que tenga por denominador 12.

c) Una fracción que sea equivalente a 35/45 y tenga por numerador 91.

a) , ya que = =

b) , ya que = =

c) , ya que = =

9 Calcula x en cada caso:

a) = b) = c) = d) =

a) = 8 x = 55 b) = 8 x = 15

c) = 8 x = 117 d) = 8 x = 42

10 Reduce a común denominador.

a) 1, , , b) , , ,

a) 1, , , 8 , , , b) , , , 8 , , ,

11 Ordena de menor a mayor.

a) ; 0,6; ; ; 1,)1 b) ; ; ;

a) 0,6 < < 1,)1 < <

ya que 0,6 < 0,9 = < 1,1 < 1,4 = < 1,5 =

b) < < <

ya que = ; = ; = ; = 4530

32

3530

76

2030

23

1830

35

32

76

23

35

)32()7

5()910(

32

75

910

76

32

35

23

75

32

910

430

530

630

1030

215

16

15

13

1424

924

2024

2424

712

38

56

215

16

15

13

712

38

56

91169

x78

1199

13x

x35

2149

15x

622

91169

x78

1199

13x

x35

2149

15x

622

79

13 · 713 · 9

91117

91117

13

4 · 14 · 3

412

412

25

3 · 23 · 5

615

615

EPág. 3



u m a y r e s t a d e f r a c c i o n e s


a) 1 – b)1 + c) –

d)1 – e) 1 + f ) –

g) – h) – i) +

a) 1 – = b) 1 + = c) – =

d) 1 – = e) 1 + = f ) – =

g) – = h) – = i) + =

13 Calcula y simplifica.

a) – + b) + –

c) – + d) – 2 + –

a) – + = = b) + – = =

c) – + = = d) – 2 + – = = 0


a) – + – b) – + –

c) – + – d) – – +

e) – – – f ) – + –

a) – + – = = =

b) – + – = = – = –

c) – + – = = – = – 512

50120

51 – 44 + 78 – 135120

98

1320

1130

1740

132

396

39 – 20 + 34 – 5696

712

1748

524

1332

124

372

22 – 30 + 32 – 2172

724

49

512

1136

25117

2378

526

2378

215

427

15

23

1112

1322

3166

2144

98

1320

1130

1740

712

1748

524

1332

724

49

512

1136

06

56

32

43

19

218

12

59

16

25

615

215

15

13

25

410

110

15

12

56

32

43

12

59

16

215

15

13

110

15

12

38

18

14

18

18

14

16

13

12

16

16

13

43

13

23

13

110

110

15

1110

110

910

110

18

14

18

14

13

12

16

13

13

13

110

15

110

110

SPág. 4



d) – – + = = =

e) – – – = = =

f ) – + – = =

PÁGINA 7715 Opera.

a) 2 – 1 + b) 1 – – 2 –

c) – – – d) 3 – – – + –

e) – 2 – – f ) 3 – – – 2 – +

g) – – – – –

h) – – + – + –

a) 2 – 1 + = 2 – = =

b) 1 – – 2 – = – = – = – = –

c) – – – = – = – = =

d) 3 – – – + – = – + = = =

e) – 2 – – = – 2 – = – 2 + = = =

f ) 3 – – – 2 – + = 3 – – 2 – = – = =

g) – – – – – = – – – = – =

= = =

h) – – + – + – = – – – + =

= – – = + – = = 1130

2260

930

560

712

930

–560

712

]–830

1730[]11

151320[7

12])2330

12(17

30[])815

15(13

20[712

2330

92120

135 – 43120

43120

2724]1

2425[]5

2443[])5

678(2

5[])16

38(4

3[1724

58 – 4124

4124

2912]7

24[]712[])1

816([])1

634([

13

26

7 – 12 + 76

76

76]7

6[76])1

332([7

6

3415

13660

160 – 9 – 1560

–520

320

83)7

20110()3

534()1

3(1321

8 + 521

–521

821

9 – 1421

15 – 721)2

337()1

357(

12

24

34

14

8 – 54

4 – 34)5

4()34(

25

10 – 85

85)3

5(])23

3012(17

30[])815

15(13

20[712

])56

78(2

5[])16

38(4

3[])1

816([])1

634([])1

332([7

6

)720

110()3

534()1

3()23

37()1

357(

)54()3

4()35(

43234

69 – 45 + 69 – 50234

25117

2378

526

2378

527

25135

90 – 27 – 20 – 18135

215

427

15

23

13

44132

63 – 62 – 78 + 121132

1112

1322

3166

2144

Pág. 5



ultiplicación y división de fracciones


a) · 14 b) : 4 c) ·

d) : e) · f ) :

g) · h) : i) :

a) · 14 = b) : 4 = = c) · = – = –2

d) : = – e) · = = f ) : = =

g) · = = h) : = =

i) : =

17 Resuelto en el libro de texto.

18 Calcula y reduce.

a) b) c) d)

a) = 1 : = 6 b) = 6 : = = 9

c) = : = = d) = : = =

19 Opera y reduce.

a) · 3 · b) : 5 :

c) · : d) : ·

a) · 3 · = = 2 b) : 5 : = : = = 13

70210

10510

72)10

21(72

330165)22

15(511

49)14

15720()20

131526(8

9

)1021(7

2)2215(5

11

310

620

43

25

2—54—3

12

510

15

110

1—101—5

182

23

62—3

16

11—6

2—54—3

1—101—5

62—3

11—6

27224

28(–9)

–38

–45

–528660

1211

(–48)55

–1130

–3961 260

(–77)36

635

23

2030

25

415

310

1860

920

23

35

(–5)11

311

42

4(–7)

72

110

220

25

427

37

28(–9)

–38

1211

(–48)55

(–77)36

635

25

415

920

23

(–5)11

311

4(–7)

72

25

37

MPág. 6



c) · : = · = =

d) : · = · = =

peraciones combinadas

20 Calcula.

a) 7 – 6 · b)3 · – c) – ·

d) · – e) · – f ) · –

a) 7 – 6 · = 7 – 2 = 5 b) 3 · – = – = =

c) – · = – = = d) · – = – =

e) · – = – = 0 f ) · – = · = =

21 Calcula y compara los resultados de los cuatro apartados.

a) · – · b) · – ·

c) · – · d) · – ·

a) · – · = – =

b) · – · = · · = =

c) · – · = – · = · =

d) · – · = · – = · =

Los resultados son diferentes. La situación de los paréntesis altera el resultado de laoperación.

22 Opera y reduce.

a) 1 – · 2 – b) 1 – : 1 +

c) – · 1 + d) – : + )25

14()1

235()2

3()35

23(

)18()1

4()35()5

7(

2948

2924

12)3

2443(1

2)34

16

43(1

2

38

34

36

34)1

646(3

4)16

43

12(

716

2148

34

76

12

34)1

643(1

2

1324

324

46

34

16

43

12

)34

16

43(1

234)1

643

12(

34)1

643(1

234

16

43

12

110

660

215

34)2

5815(3

425

2460

25

815

34

421

27

1021

27

57

23

58

1524

1524

54

56

34

54

910

1820

320

2120

320

720

13

)25

815(3

425

815

34

27

57

23

56

34

54

320

720

13

O

16

4202 520

49

105280

49)14

15720(

13

1 5604 680

195520

89)20

131526(8

9

Pág. 7



e) – – · + f ) 1 + – : –

g) – – + · h) – + – :

a) 1 – · 2 – = · = =

b) 1 – : 1 + = : = =

c) – · 1 + = · = =

d) – : + = : = =

e) – – · + = – · = + = =

f ) 1 + – : – = 1 + : = 1 – = =

g) – – + · = – · = – = =

h) – + – : = – + : = – + = = =


PÁGINA 7824 Opera paso a paso.

a) 4 · 1 – – : 3 b) – : 7 + · 2

c) 5 · + – 2 : d) + · – – : –

e) 1 – · – – · 1 + f ) – – : – 1 : –

a) 4 · 1 – – : 3 = 4 · – : 3 = – : 3 = 3 : 3 = 1

b) – : 7 + · 2 = : 7 + · 2 = + · 2 = · 2 = 1

c) 5 · + – 2 : = 5 · – 2 : = – 2 : = : = 132

32

32]7

2[32]7

10[32])2

5310([

12]1

316[]1

376[]1

3)12

53([

]12

72[]1

278[]1

2)18([

)314

12(])3

10()25

14(2

7[])37()2

534(2

3[)25(

])14

23()3

456(3

5[)12

13(3

2])25

310([

]13)1

253([]1

2)18([

512

175420

–35 + 210420

70140

112

710

720

112

710)2

534()1

314(

18

1651 320

3388

1530

311

118

1530

311)5

834()3

15710(

37

45105

60105)–3

20()335()2

514()1

527(

23

440660

55220

512)11

10()–522(5

12)710

25()1

2311(5

12

213

20130

1320

110)2

514()1

235(

19

545

53

115)2

3()35

23(

23

2436

98

34)1

8()14(

25

1435

75

27)3

5()57(

710)2

534()1

314(3

11)58

34()3

15710(

)25

14()1

527()7

1025()1

2311(5

12

Pág. 8



d) + · – – : – = · – : = · – =

= · =

e) 1 – · – – · 1 + = · – · = · – =

= · =

f ) – – : – 1 : – = – : : =

= – : = : =


26 Opera y reduce.

a) b) c) d)

a) = = : = 2

b) = = : = =

c) = = =

d) = = = : = 43

14

13

1—31—4

1 1— : —15 57 7— : —12 3

2 1 1(— – —) : —5 3 55 2 7(— – —) : —4 3 3

12

1/21

5 3— · —6 53 4— · —4 3

1 1 3(— + —) —2 3 51 1 4(— + —) —2 4 3

110

660

56

112

1—125—6

1 1— – —3 4

11 – —6

720

710

7—107—20

31 – —10

3 2— – —4 5

2 1 1(— – —) : —5 3 55 2 7(— – —) : —4 3 3

1 1 3(— + —) —2 3 51 1 4(— + —) —2 4 3

1 1— – —3 4

11 – —6

31 – —10

3 2— – —4 5

14

414

114

414]3

1427[

414])–7

10()–320(2

7[)314

12(])3

10()25

14(2

7[110

16

35

]12

23[3

5]107

720

23[3

5])37()2

534(2

3[)25(

13

25

56

]15

35[5

6])512()1

12(35[5

6])14

23()3

456(3

5[)12

13(

Pág. 9



otencias y fracciones

27 Calcula el valor de estas potencias, entregando el resultado en forma defracción o, si es el caso, de número entero:

a)2

b)2

c)0

d)–1

e)–2

f )–1

a)2

= = b)2

= = c)0

= 1

d)–1

= e)–2

= 32 = 9 f )–1

= 10

28 Calcula.

a) 2–2 b) (–2)–2

c)–2

d) ––2

e) 2–3 f ) (–2)–3

g)–3

h) ––3

a) 2–2 = = b) (–2)–2 = =

c)–2

= 22 = 4 d) ––2

= (–2)2 = 4

e) 2–3 = = f ) (–2)–3 = = –

g)–3

= 23 = 8 h) ––3

= (–2)3 = –8

29 Expresa sin usar potencias negativas.

a) x–2 b)x–3 c) x–4

d) e) f )

a) x–2 = b) x–3 = c) x–4 =

d) = x2 e) = x3 f ) = x31x–4

1x–3

1x–2

1x4

1x3

1x2

1x–4

1x–3

1x–2

)12()1

2(18

1(–2)3

18

123

)12()1

2(14

1(–2)2

14

122

)12()1

2(

)12()1

2(

)110()1

3(43)3

4()3

4(116

142)1

4(14

122)1

2()1

10()13()3

4()3

4()14()1

2(

PPág. 10



30 Reduce a una potencia única.

a) a5 · a2 b)a · a2 · a3 c) x5 · x–3

d)x–2 · x5 e) a2 · f ) · a–3

g) x3 · x–2 · x h)x–2 · x–2 · x–2 i)

j) k) l)

a) a5 · a2 = a7 b) a · a2 · a3 = a6 c) x5 · x–3 = x2

d) x–2 · x5 = x3 e) a2 · = a2 · a2 = a4 f ) · a–3 = a2 · a–3 = a–1

g) x3 · x–2 · x = x2 h) x–2 · x–2 · x–2 = x–6 i) = = a2

j) = = a–3 k) = = x l) = = x

31 Simplifica.

a) x3 ·5

b)x3 :5

c)4

· b4

d)3

: a3 e) (a2)3 · 7

f )3

:3

a) x3 ·5

= = x–2 b) x3 :5

= x3 · x5 = x8

c)4

· b4 = = a4 d)3

: a3 = = b–3

e) (a2)3 · 7

= = a–1 f )3

:3

= : = = a3

32 Escribe con todas sus cifras estas cantidades:

a) 37 · 107 b)64 · 1011

c) 3,5 · 1013 d)26 · 10–5

e) 5 · 10–7 f ) 2,3 · 10–8

a) 37 · 107 = 370 000 000 b) 64 · 1011 = 6 400 000 000 000

c) 3,5 · 1013 = 35 000 000 000 000 d) 26 · 10–5 = 0,00026

e) 5 · 10–7 = 0,0000005 f ) 2,3 · 10–8 = 0,000000023

a9

a61a9

1a6)1

a3()1a2(a6

a7)1a(

a3

b3 · a3)ab(a4 · b4

b4)ab(

)1x(x3

x5)1x(

)1a3()1

a2()1a()a

b()a

b()1x()1

x(

x–1

x–2x–1

x2 · x–4x–2

x–3x2 · x–4

x–3a5

a8a · a4

a3 · a5

a7

a5a3 · a4

a5

1a–2

1a–2

x–1

x2 · x–4x2 · x–4

x – 3a · a4

a3 · a5

a3 · a4

a5

1a–2

1a–2

Pág. 11



33 Expresa en forma abreviada como se ha hecho en los ejemplos.

• 5 300 000 000 = 53 · 108

• 0,00013 = 13 · 10–5

a) 8 400 000 b)61 000 000 000

c) 0,0007 d)0,00000025

a) 8 400 000 = 84 · 105 b) 61 000 000 000 = 61 · 109

c) 0,0007 = 7 · 10–4 d) 0,00000025 = 25 · 10–8

roblemas con números fraccionarios

34 Un barco lleva recorridas las tres décimas partes de un viaje de 1 700 mi-llas. ¿Cuántas millas le faltan todavía por recorrer?

Le faltan por recorrer 1 190 millas.

• Recorridas: 8 Faltan: de 1 700 = = 1 190 millas.

35 Por tres cuartos de kilo de cerezas hemos pagado 1,80 €. ¿A cómo está elkilo?

El kilo de cerezas está a 2,40 €.

• de kg son 1,80 € 8 de kg son = 0,60 €

• 1 kg = de kg son 4 · 0,60 = 2,40 €

36 Julio ha contestado correctamente a 35 preguntas de un test, lo que su-pone 7/12 del total. ¿Cuántas preguntas tenía el test?

El test tiene 60 preguntas.

• son 35 preguntas 8 son = 5 preguntas.

• El total son 8 12 · 5 = 60 preguntas.

37 Amelia ha gastado 3/8 de sus ahorros en la compra de un teléfono móvilque le ha costado 90 €. ¿Cuánto dinero le queda todavía?

Le quedan 150 €.

• son 90 € 8 son = 30 €

• Le quedan , que son 5 · 30 € = 150 €58

903

18

38

1212

357

112

712

44

1,803

14

34

7 · 1 70010

710

310

P

Pág. 12



PÁGINA 79

38 Durante un apagón de luz, se consumen tres décimas partes de una velade cera. Si el cabo restante mide 21 cm, ¿cuál era la longitud total de la vela?

La longitud de la vela era de 30 cm.

• Consume 8 quedan , que son 21 cm.

• es = 3 cm, y el total es 8 10 · 3 = 30 cm

39 El muelle de un resorte alcanza, estirado, 5/3 de su longitud inicial. Si es-tirado mide 4,5 cm, ¿cuánto mide en reposo?

El resorte en reposo mide 2,7 cm.

• de la longitud son 4,5 cm 8 es = 0,9 cm

• El total, , es 3 · 0,9 = 2,7 cm

40 La tercera parte de los 240 viajeros que ocupan un avión son europeos, y2/5, africanos. El resto son americanos. ¿Cuántos americanos viajan en el avión?

Viajan 64 americanos.

• Europeos y africanos: + = de 240 pasajeros.

• El resto serán de 240 8 · 240 = 64 americanos.

41 Bernardo tiene 1 500 € en su cuenta y gasta 2/5 en una cadena musical yla cuarta parte de lo que le queda en una colección de discos. ¿Qué fracción lequeda del dinero que tenía? ¿Cuánto le queda?

Le queda del dinero, que son 675 €.

1— del resto, discos 4

2— cadena 5

9 9Quedan — de 1500 8 — · 1500 = 675 € 20 20

920

415

415

1115

25

13

33

4,55

13

53

1010

217

110

710

310

Pág. 13



42 Un granjero tiene a finales de mayo unas reservas de 2 800 kg de piensopara alimentar a su ganado. En junio gasta 3/7 de sus existencias, y en julio, 3/4de lo que le quedaba. ¿Cuántos kilos de pienso tiene a primeros de agosto?

Tiene 400 kg de pienso.

43 Dos problemas similares.

a) De un tambor de detergente de 5 kg se han consumido 3 kg. ¿Qué fracciónqueda del contenido original?

b)De un tambor de detergente de 5 kg se han consumidos dos kilos y tres cuar-tos. ¿Qué fracción queda del contenido original?

a) Quedan del tambor.

b) Quedan del tambor.

2 kg

9Quedan — del total 20

3 3— de kg 8 Gasta 2 y — kg 4 4

920

5 kg

2Quedan — del total 5

3Gasta 3 kg, — del total 5

25

3— resto 4

3— Julio 7

4 1 1Quedan — = — del total 8 — · 2800 = 400 kg 28 7 7

Pág. 14



44 Un frasco de perfume tiene una capacidad de 1/20 de litro. ¿Cuántos fras-cos se pueden llenar con un bidón que contiene tres litros y medio?

Se pueden llenar 70 frascos.

• 3,5 l = 3 + l = l en el bidón.

• : = 70 8 70 frascos.

45 Una empresa comercializa jabón líquido en envases de plástico con unacapacidad de 3/5 de litro. ¿Cuántos litros de jabón se necesitan para llenar 100envases?

Se necesitan 60 l.

• (100 envases) · l cada envase = = 60 l

46 La abuela ha hecho dos kilos y cuarto de mermelada y con ella ha llena-do seis tarros iguales. ¿Qué fracción de kilo contiene cada tarro?

Cada tarro contiene de kg.

• 2 kg y cuarto 8 2 + kg = kg

• kg : (6 tarros) = = de kg cada tarro.

47 Virginia recibe el regalo de un paquete de discos. En la primera semanaescucha 2/5 de los discos, y en la segunda, 4/5 del resto. Si aún le quedan tressin escuchar, ¿cuántos discos había en el paquete?

Había 25 discos.

42.ª semana: — del resto 5

38 Quedan —, que son 3 discos 8 Había 25 discos 25

21.ª semana: — del total 5

38

94 · 6)9

4(94)1

4(38

100 · 35)3

5(

120

72

72)1

2(

Pág. 15



48 Un jardinero poda el lunes 2/7 de sus rosales; el martes, 3/5 del resto, yel miércoles finaliza el trabajo podando los 20 que faltaban. ¿Cuántos rosalestiene en total en el jardín?

El jardín tiene 70 rosales.

8 total, ; que son 35 · 2 = 70 rosales.

49 Una familia gasta 2/5 de su presupuesto en vivienda y 1/3 en comida.Cubiertos estos gastos, aún le quedan 400 € cada mes. ¿A cuánto ascienden susingresos mensuales?

Los ingresos mensuales son de 1 500 €.

• Vivienda y comida: + =

• Quedan 1 – = , que son 400 € 8 serán = 100 €

• El total, , son 15 · 100 = 1 500 €.

50 Una amiga me pidió que le pasase un escrito al ordenador. El primer díapasé 1/4 del trabajo total; el segundo, 1/3 de lo restante; el tercero, 1/6 de loque faltaba, y el cuarto lo concluí, pasando 30 folios. ¿Puedes averiguar cuán-tos folios tenía el escrito?

El escrito tenía 72 folios.

308 Quedan 30 folios, — = 6 folios cada cuadro 8 58 Total = 6 · 12 = 72 folios

11.er día, — 6 4

12.º día, — del resto 3

18 3.er día, — del resto 6

6 6

6 6 6

1515

4004

115

415

1115

1115

13

25

3535

3Martes, — del resto 5

10 1 20Miércoles, —; que son 20 rosales 8 — serán — = 2 rosales 35 35 10

2Lunes, — 7

Pág. 16



tros problemas

51 María recoge en su huerta una cesta de manzanas. De vuelta a casa, se en-cuentra a su amiga Sara y le da la mitad de la cesta más media manzana.Después, pasa a visitar a su tía Rosa y le da la mitad de las manzanas que le que-daban más media manzana. Por último, se encuentra con su amigo Francisco yvuelve a hacer lo mismo: le da la mitad más media.

Entonces se da cuenta de que tiene que volver a la huerta porque se ha queda-do sin nada.

¿Cuántas manzanas cogió, teniendo en cuenta que en ningún momento partióninguna?

Cogió 7 manzanas.

Comprobamos:

• Sara recibe: 7 + = 4 manzanas 8 sobran 3

• Rosa recibe: 3 + = 2 manzanas 8 sobra 1

• Francisco recibe: 1 + = 1 manzana 8 sobra 0

52 En el baile, tres cuartas partes de los hombres están bailando con tresquintas partes de las mujeres. ¿Qué fracción de los asistentes no está bailando?

No bailan de los asistentes.

(*) Teniendo en cuenta que el n.° de hombres y mujeres que baila ha de ser igual, yaque bailan por parejas.

6— del total bailan 9

3 1— = — del total no bailan 9 3

HOMBRES

BAILAN (*)

MUJERES

3— de hombres bailan 4

3— de mujeres bailan 5

13

12

12

12

12

12

12

OPág. 17


°§§§§¢§§§§£


53 Un arriero tiene en su cuadra una mula, un burro y un caballo. Cuandolleva a trabajar la mula y el caballo, pone 3/5 de la carga en la mula y 2/5 en elcaballo. Sin embargo, cuando lleva el caballo y el burro, pone 3/5 de la cargaen el caballo y 2/5 en el burro.

¿Cómo distribuirá la carga hoy si lleva los tres animales y tiene que transpor-tar una carga de 190 kg?

La mula llevará 90 kg, el burro, 40 kg, y el caballo, 60 kg.

• Si el burro lleva una carga de 1:

— Carga del caballo, carga del burro = · 8

— Carga de la mula, carga del caballo 8

La proporción es: burro 4, caballo 6, mula 9.

Total: 4 + 6 + 9 = 19 8 burro , caballo , mula .

• Mula: de la carga = · 190 = 90 kg

• Caballo: de la carga = · 190 = 60 kg

• Burro: de la carga = · 190 = 40 kg419

419

619

619

919

919

919

619

419

94

32

32)2

532

35(3

2

Pág. 18


°§§§§¢§§§§£


PÁGINA 54

i s t e m a d e n u m e r a c i ó n d e c i m a l

1 Copia y completa.

a) 5 décimas = … milésimas

b)2 milésimas = … millonésimas

c) 6 cienmilésimas = … centésimas

d)8 millonésimas = … milésimas

a) 5 décimas = 500 milésimas

b) 2 milésimas = 2 000 millonésimas

c) 6 cienmilésimas = 0,006 centésimas

d) 8 millonésimas = 0,008 milésimas

2 Ordena de menor a mayor en cada caso:

a) 5,1; 5,099; 4,83; 4,9; 4,99

b)0,21; 0,03; 0,15; 0,209; 0,101; 0,121

a) 4,83 < 4,9 < 4,99 < 5,099 < 5,1

b) 0,03 < 0,101 < 0,121 < 0,15 < 0,209 < 0,21

3 Escribe el número asociado a cada letra:

A = 2,20 B = 2,26 C = 2,38 D = 2,40

M = –0,18 N = –0,10 P = 0,05 R = 0,20

4 Copia y completa la tabla.

N Ú M E R O 2,)7 5,

)29 4,6

)51

A P R OX I M AC I Ó N

A L A S U N I D A D E S


A L A S D É C I M A S


A L A S C E N T É S I M A S


A L A S M I L É S I M A S

A B C D2,23 2,3

M N P R0,10

S

Pág. 1

Unidad 2. Sistema de numeración decimal y sistema sexagesimal


perac i ones con números dec ima l es

5 Calcula.

a) 3,2 – 1,63 – 0,528 b)0,85 + 1,23 – 0,638 – 0,4

c) 3,458 – (6,7 – 4,284) d)5,2 – (2,798 + 1,36)

a) 3,2 – 1,63 – 0,528 = 3,2 – 2,158 = 1,042

b) 0,85 + 1,23 – 0,638 – 0,4 = 2,08 – 1,038 = 1,042

c) 3,458 – (6,7 – 4,284) = 3,458 – 2,416 = 1,042

d) 5,2 – (2,798 + 1,36) = 5,2 – 4,158 = 1,042

6 Multiplica con la calculadora y aproxima el producto a las centésimas.

a) 2,63 · 0,84 b)4,11 · 3,13

c) 0,635 · 4,22 d)0,27 · 0,086

a) 2,63 · 0,84 = 2,21 b) 4,11 · 3,13 = 12,86

c) 0,635 · 4,22 = 2,68 d) 0,27 · 0,086 = 0,02

7 Divide con la calculadora y aproxima el cociente a las milésimas.

a) 62,35 : 12 b)5,27 : 153

c) 48,542 : 2,1 d)5,7 : 0,045

a) 62,35 : 12 = 5,196 b) 5,27 : 153 = 0,034

c) 48,542 : 2,1 = 23,115 d) 5,7 : 0,045 = 126,667

8 Opera.

a) 5,8 – 3,2 · 1,6 – 0,29 b)(5,8 – 3,2) · 1,6 – 0,29

c) 5,8 – 3,2 · (1,6 – 0,29) d)5,8 – (3,2 · 1,6 – 0,29)

a) 5,8 – 3,2 · 1,6 – 0,29 = 5,8 – 5,12 – 0,29 = 5,8 – 5,41 = 0,39

b) (5,8 – 3,2) · 1,6 – 0,29 = 2,6 · 1,6 – 0,29 = 4,16 – 0,29 = 3,87

c) 5,8 – 3,2 · (1,6 – 0,29) = 5,8 – 3,2 · 1,31 = 5,8 – 4,192 = 1,608

d) 5,8 – (3,2 · 1,6 – 0,29) = 5,8 – (5,12 – 0,29) = 5,8 – 4,83 = 0,97

O

N Ú M E R O 2,)7 5,

)29 4,6

)51


A L A S U N I D A D E S3 5 5


A L A S D É C I M A S2,8 5,3 4,7


A L A S C E N T É S I M A S2,78 5,29 4,65


A L A S M I L É S I M A S2,778 5,293 4,652

Pág. 2



9 Obtén con la calculadora y aproxima el resultado a las centésimas.

a) b) c)

a) = 29,17 b) = 3,65 c) = 16,20

peraciones en el sistema sexagesimal

10 Expresa en horas.

a) 48 min b)66 min c) 6 120 s

a) 48 min = (48 : 60) h = 0,8 h

b) 66 min = (66 : 60) h = 1,1 h

c) 6 120 s = (6 120 : 3 600) h = 1,7 h

11 Pasa a forma compleja.

a) 12 639'' b)756,25' c) 45,15°

a) 12 639'' = 3° 30' 39''

b) 756,25' = 12° 36' 15''

c) 45,15° = 45° + (0,15 · 60)' = 45° 9'

12 Pasa a horas, minutos y segundos.

a) 8,42 h b)123,45 min c) 12 746 s

a) 8,42 h = 8 h + (0,42 · 60)min = 8 h 25,2 min = 8 h 25 min + (0,2 · 60)s =

= 8 h 25 min 12 s

b) 123,45 min = 2 h 3 min 27 s

c) 12 746 s = 3 h 32 min 26 s

12 746 s 60

26 s 212 min 60

32 min 3 h

123,45 min 60

3,45 min 2 h

3,45 min = 3 min + (0,45 · 60)s = 3 min 27 s

756,25' 60

36,25' 12°

36,25' = 36' + (0,25 · 60)'' = 36' 15''

12 639'' 60

39'' 210' 60

30' 3°

O

√262,3√13,29√851

√262,3√13,29√851

Pág. 3



13 Calcula.

a) 37° 50' 18'' + 25° 39'

b)53° 27' 46'' + 39° 43' 32''

c) (3 h 13 min) – (1 h 52 min 28 s)

d)(4 h 16 min 24 s) – (2 h 39 min 51 s)

a) 37° 50' 18'' + 25° 39' = 62° 89' 18'' = 63° 29' 18''

b) 53° 27' 46'' + 39° 43' 32'' = 92° 70' 78'' = 93° 11' 18''

c) (3 h 13 min) – (1 h 52 min 28 s) = (2 h 72 min 50 s) – (1 h 52 min 28 s) =

= 1 h 20 min 32 s

d) (4 h 16 min 24 s) – (2 h 39 min 51 s) = (3 h 75 min 84 s) – (2 h 39 min 51 s) =

= 1 h 36 min 33 s

14 Calcula.

a) (14 min 16 s) · 8

b) (26° 52' 10'') · 5

c) (59° 46' 18'') : 6

d)(2 h 25 min 36 s) : 12

a) (14 min 16 s) · 8 = 112 min 128 s = 1 h 54 min 8 s

b) (26° 52' 10'') · 5 = 130° 260' 50'' = 134° 20' 50''

c) (59° 46' 18'') : 6 = 9° 57' 43''

d) (2 h 25 min 36 s) : 12 = 0 h 12 min 8 s

2 h 25 min 36 s 12|Ä8· 60 120 min 0 h 12 min 8 s

145 min

1 min|Ä8· 60 60 s

96 s

0 s

59° 46' 18'' 6

5° 9° 57' 43''|Ä8· 60 300'

346'

4'|Ä8· 60 240''

258''

0''

Pág. 4



a r a i r m á s l e j o s

15 Continúa en tres términos cada serie:

a) 2,37 - 2,16 - 1,95 - 1,74 - …

b)5 - 1 - 0,2 - 0,4 - …

c) 0,24 - 1,2 - 6 - 30 - …

a) 2,37 - 2,16 - 1,95 - 1,74 - 1,53 - 1,32 - 1,11

b) 5 - 1 - 0,2 - 0,4 - 0,008 - 0,0016 - 0,00032

c) 0,24 - 1,2 - 6 - 30 - 150 - 750 - 3 750

16 Calcula cada resultado con un error menor que una centésima:

a) 4,)6 + 6,4

)8 b)6 – 2,

)29

c) 4,2864 · 0,03 d)6,28 : 9

Redondeando a las centésimas el error será < 0,005:

a) 4,)6 + 6,4

)8 = 4,67 + 6,49 = 11,16

b) 6 – 2,)29 = 6 – 2,29 = 3,71

c) 4,2864 · 0,03 = 0,13

d) 6,28 : 9 = 0,70

r o b l e m a s c o n n ú m e r o s d e c i m a l e s

17 ¿Cuánto cuestan dos kilos y ochocientos gramos de manzanas a 1,65 € elkilo?

Cuestan 4,62 €.

2 kg + 800 g = 2,8 kg 8 (2,8 kg) · (1,65 €/kg) = 4,62 €

PÁGINA 55

18 ¿Cuánto pagaré si compro 1,083 kg de salmón a 9,75 €/kg? (Atención alredondeo).

Pagaré 10,56 €.

(1,083 kg) · (9,75 €/kg) = 10,55925 € 8 10,56 €

19 Una llamada telefónica a Canadá de 13,5 min ha costado 9,45 €. ¿Cuáles el precio por minuto?

El precio es de 0,70 €/min.

(9,45 €) : (13,5 min) = 0,70 €/min

P

(· 5)Ä8

(: 5)Ä8

(–0,21)ÄÄ8

PPág. 5



20 Para fabricar 3 500 dosis de cierto medicamento, se necesitan 1,96 kg deprincipio activo. ¿Cuántos gramos de principio activo lleva cada dosis?

Cada dosis lleva 0,56 g de principio activo.

1,96 kg = 1 960 g 8 (1 960 g) : (3 500 dosis) = 0,56 g/dosis

21 Hemos gastado 6,08 € en la compra de un trozo de queso que se vende a12,80 €/kg. ¿Cuánto pesa la porción adquirida?

Pesa 475 g.

(6,08 €) : (12,80 €/kg) = 0,475 g

22 Una sandía de 2 kilos y 625 gramos ha costado 4,2 €. ¿A cómo sale el kilo?

1,6 €/kg

(4,2 €) : (2,625 kg) = 1,6 €/kg

23 Para celebrar una fiesta, trece amigos adquieren:

— 6 botellas de refresco a 1,65 € la botella.

— 1,120 kg de jamón a 27,75 €/kg.

— 5 barras de pan a 0,85 € la barra.

— 350 g de cacahuetes a 9,60 €/kg.

— 0,8 kg de patatas fritas a 5,80 €/kg.

¿Cuánto debe poner cada uno?

Cada uno debe poner 4,10 € y sobrarán 0,07 €.

— Refrescos: 6 · 1,65 € = 9,9 €

— Jamón: (1,120 kg) · (27,75 €/kg) = 31,08 €

— Pan: 5 · 0,85 € = 4,25 €

— Cacahuetes: (0,350 kg) · (9,60 €/kg) = 3,36 €

— Patatas fritas: (0,8 kg) · (5,80 €/kg) = 4,64 €

Total: 53,23 €

53,23 : 13 = 4,0946…

Si cada uno pone 4,09 €, el total no es suficiente 8 cada uno tiene que poner4,10 € y sobrarán 0,07 €.

24 Una empresa inmobiliaria adquiere un terreno rectangular de 125,40 mde largo y 74,60 m de ancho por 350 000 €. Después, lo urbaniza, con un cos-te de 62 528,43 €. Y, por último, lo divide en parcelas y lo pone a la venta a52,75 € el metro cuadrado. ¿Qué beneficio espera obtener?

Espera obtener un beneficio de 80 939,38 €.

• Paga por terrenos: 350 000 €

• Paga por urbanizar: 62 528,43 €

• Gana en venta: (52,75 €/m2) · (125,40 m · 74,60 m) = 493 467,81 €

Beneficio = 493 467,81 € – 350 000 € – 62 528,43 € = 80 939,38 €

Pág. 6



25 Una furgoneta transporta 250 docenas de huevos que cuestan 0,98 € la do-cena. En una curva se vuelca una caja y se rompen 60 huevos.

¿Cuánto hay que aumentar el precio de la docena para que la mercancía siga va-liendo lo mismo?

Hay que aumentar la docena a 1 € (o en 0,02 €).

• 250 docenas · (0,98 €/docena) = 245 €

• Se rompen 60 huevos = 5 docenas

• Quedan 250 – 5 = 245 docenas 8 Para seguir ganando 245 € hemos de subirla docena a 1 €, es decir, aumentarla en 0,02 €.

r o b l e m a s c o n a m p l i t u d e s a n g u l a r e s y t i e m p o s

26 Una cadena de radio inicia a las 18 h 45 min 13 s la emisión de un pro-grama de música, pregrabado, que tiene una duración de 1 h 16 min 52 s.

¿A qué hora terminará el programa?

Terminará a las 20 h 2 min 5 s.

(18 h 45 min 13 s) + (1 h 16 min 52 s) = 19 h 61 min 65 s = 20 h 2 min 5 s.

27 Se ha pasado por TV una película que tiene una duración de 1 h 53 min23 s, pero con las cuñas publicitarias la emisión ha durado 2 h 12 min 15 s.

¿Cuánto tiempo se ha dedicado a publicidad?

Se han dedicado a publicidad 18 min 52 s.

(2 h 12 min 15 s) – (1 h 53 min 23 s) = (1 h 71 min 75 s) – (1 h 53 min 23 s) =

= 0 h 18 min 52 s.

28 Un camión ha realizado un viaje de 169,29 km en 2 h 42 min. ¿Cuál hasido su velocidad media?

La velocidad media es de 62,7 km/h.

2 h 42 min = 2 h + (42 : 60) h = 2 h + 0,7 h = 2,7 h

vMEDIA

= (159,29 km) : (2,7 h) = 62,7 km/h

29 Un autobús urbano da una vuelta a su recorrido cada hora y doce minu-tos. ¿Cuántas vueltas dará en las 12 horas que dura su servicio?

Dará 10 vueltas.

1 h 12 min = 1 h + (12 : 60) h = 1 h + 0,2 h = 1,2 h

12 : 1,2 = 10 8 10 vueltas


P

Pág. 7



31 Un ciclista ha recorrido 51 km a una velocidad media de 24 km/h.¿Cuánto tiempo ha invertido?

Habrá invertido 2 h 7 min 30 s.


33 Calcula el ángulo que forman las agujas del reloj a las:

a) 2 h 24 min b)7 h 42 min c) 13 h 18 min

a) 2 h 24 min 8 72°

2 h 24 min = 2 h + (24 : 60) h = 2,4 h

b – a = 144° – 72° = 72°

b) 7 h 42 min 8 21°

7 h 42 min = 7 h + (42 : 60) h = 7,7 h

b – a = 252° – 231° = 21°

c) 13 h 18 min 8 69°

13 h 18 min = 1 h 18 min = 1 h + (18 : 60) h = 1,3 h

b – a = 108° – 39° = 69°°¢£

• aguja pequeña: a = (1,3 h) · (30°/h) = 39°• aguja grande: b = (18 min) · (6°/min) = 108°

°¢£


°¢£


51 24

3 2 h 7 min 30 s|Ä8· 60 180

12|Ä8· 60 720

0

Pág. 8



PÁGINA 119

e n g u a j e a l g e b r a i c o

1 Llamando x a un número cualquiera, escribe una expresión algebraicapara cada uno de los siguientes enunciados:

a) El triple de x.

b)La mitad de su anterior.

c) El resultado de sumarle tres unidades.

d)La mitad de un número tres unidades mayor que x.

e) El triple del número que resulta de sumar a x cinco unidades.

f ) Un número cinco unidades mayor que el triple de x.

a) 3x b) c) x + 3

d) e) 3 · (x + 5) f ) 3x + 5

2 Escribe la expresión del término enésimo en cada una de estas series:

a) 2 - 4 - 6 - 8 - 10 - … 8 an = ?

b)3 - 5 - 7 - 9 - 11 - … 8 bn = ?

c) 5 - 10 - 15 - 20 - 25 - … 8 cn = ?

d)4 - 9 - 14 - 19 - 24 - … 8 dn = ?

a) an = 2n b) bn = 2n + 1 c) cn = 5n d) dn = 5n – 1

3 Copia y completa las casillas vacías.

4 El término enésimo de una serie viene dado por la expresión an = 5n – 4.Escribe los cinco primeros términos de dicha serie.

an = 5n – 4 8 a1 = 1; a2 = 6; a3 = 11; a4 = 16; a5 = 21

1 2 3 4 5 … n

1 3 6 10 15 …n(n + 1)—

2

1 2 3 4 5 … n

2 –7 –22 –43 –70 … 5 – 3n2

1 2 3 4 5 … n

10 …n(n + 1)—

2

1 2 3 4 5 … n

–22 … 5 – 3n2

x + 32

x – 12

L

Pág. 1

Unidad 5. Álgebra


5 El término enésimo de una serie viene dado por esta expresión:

an =

Calcula los términos a5, a9 y a15.

an = 8 a5 = 7; a9 = 13; a15 = 22

6 Sabiendo que los valores a, b y c se relacionan mediante la fórmula

a =

completa la tabla.

7 Llamando x al sueldo mensual de un trabajador, expresa algebraica-mente:

a) El valor de una paga extraordinaria, sabiendo que equivale al 80% del sueldo.

b) Su nómina de diciembre, mes en el que percibe una paga extraordinaria.

c) Sus ingresos anuales, sabiendo que cobra dos pagas extras: en verano y enNavidad.

a) 0,8x

b) x + 0,8x 8 1,8x

c) 12x + 2 · 0,8x 8 13,6x

8 Traduce a una igualdad algebraica cada uno de estos enunciados:

a) Si aumentas un número, x, en 15 unidades y divides entre dos el resultado,obtienes el triple de dicho número.

b)Si triplicas la edad de Jorge, x, y al resultado le sumas 5 años, obtienes laedad de su padre, que tenía 33 años cuando nació Jorge.

Edad de Jorge ÄÄ8 x

Edad del padre ÄÄ8 x + 33

a) = 3x

b) 3x + 5 = x + 33

x + 152

b 0 0 2 3 4

c 0 5 7 3 9

a 0 2 4 3 6

b 0 0 2 3 4

c 0 5 7 3 9

a

3b + 2c5

3n – 12

3n – 12

Pág. 2

Unidad 5. Álgebra


o n o m i o s

9 Copia y completa.

10 Opera.

a) 2x + 8x b)7a – 5ac) 6a + 6a d)15x – 9xe) 3x + x f ) 10a – ag) a + 7a h)2x – 5xi) 9x + 2x j) 9a – 9a

a) 2x + 8x = 10x b) 7a – 5a = 2a

c) 6a + 6a = 12a d) 15x – 9x = 6x

e) 3x + x = 4x f ) 10a – a = 9a

g) a + 7a = 8a h) 2x – 5x = –3x

i) 9x + 2x = 11x j) 9a – 9a = 0

11 Reduce.

a) 3x + y + 5x b)2a + 4 – 5ac) 7 – a – 5 d)3 + 2x – 7

e) 2x + 3 – 9x + 1 f ) a – 6 – 2a + 7

g) 8a – 6 – 3a – 1 h)5x – 2 – 6x – 1

a) 3x + y + 5x = 8x + y b) 2a + 4 – 5a = –3a + 4

c) 7 – a – 5 = –a + 2 d) 3 + 2x – 7 = 2x – 4

e) 2x + 3 – 9x + 1 = –7x + 4 f ) a – 6 – 2a + 7 = –a + 1

g) 8a – 6 – 3a – 1 = 5a – 7 h) 5x – 2 – 6x – 1 = –x – 3

M O N O M I O 8a2—xy3 a3b

C O E F I C I E N T E 82—3

1

PA RT E L I T E R A L a xy a3b

G R A D O 1 2 4

M O N O M I O 8a2—xy3

C O E F I C I E N T E 1

PA RT E L I T E R A L a3b

G R A D O

MPág. 3

Unidad 5. Álgebra


PÁGINA 120

12 Quita paréntesis y reduce.

a) x – (x – 2) b)3x + (2x + 3)

c) (5x – 1) – (2x + 1) d)(7x – 4) + (1 – 6x)

e) (1 – 3x) – (1 – 5x) f ) 2x – (x – 3) – (2x – 1)

g) 4x – (2x – 1) + 5x – (4x – 2) h)(x – 2) + (2x – 3) – (5x – 7)

a) x – (x – 2) = 2

b) 3x + (2x + 3) = 5x + 3

c) (5x – 1) – (2x + 1) = 3x – 2

d) (7x – 4) + (1 – 6x) = x – 3

e) (1 – 3x) – (1 – 5x) = 2x

f ) 2x – (x – 3) – (2x – 1) = –x + 4

g) 4x – (2x – 1) + 5x – (4x – 2) = 3x + 3

h) (x – 2) + (2x – 3) – (5x – 7) = –2x + 2

13 Opera y reduce.

a) 5x · 2 b)6x : 2

c) 3x · 4x d)12x : 3x

e) x · 6x f ) x2 : x

g) x2 · x3 h)x5 : x2

i) 3x · 5x3 j) 15x6 : 5x4

k) (–2x2) · (–3x4) l) (–20x8) : 5x7

m) x3 · (–3x3) n) x2 : (–2x3)

ñ) x · x2 o) x : x3

a) 5x · 2 = 10x b) 6x : 2 = 3x

c) 3x · 4x = 12x2 d) 12x : 3x = 4

e) x · 6x = 4x2 f ) x2 : x = 3x

g) x2 · x3 = x5 h) x5 : x2 = x3

i) 3x · 5x3 = 15x4 j) 15x6 : 5x4 = 3x2

k) (–2x2) · (–3x4) = 6x6 l) (–20x8) : 5x7 = –4x

m) x3 · (–3x3) = –4x6 n) x2 : (–2x3) = –

ñ) x · x2 = o) x : x3 = 9x2

16

32

x3

323

12

15x

25

43

14

34

23

16

32

23

12

25

43

14

34

23

Pág. 4

Unidad 5. Álgebra


o l i n o m i o s

14 Indica el grado de cada uno de los siguientes polinomios:

a) x3 + 3x2 + 2x – 6 b)4 – 3x2

c) 2x5 – 4x2 + 1 d)7x4 – x3 + x2 + 1

a) Grado 3. b) Grado 2.

c) Grado 5. d) Grado 4.

15 Reduce.

a) x2 – 6x + 1 + x2 + 3x – 5 b)3x – x2 + 5x + 2x2 – x – 1

c) 2x2 + 4 + x3 – 6x + 2x2 – 4 d)5x3 – 1 – x + x3 – 6x2 – x2 + 4

a) x2 – 6x + 1 + x2 + 3x – 5 = 2x2 – 3x – 4

b) 3x – x2 + 5x + 2x2 – x – 1 = x2 + 7x – 1

c) 2x2 + 4 + x3 – 6x + 2x2 – 4 = x3 + 4x2 – 6x

d) 5x3 – 1 – x + x3 – 6x2 – x2 + 4 = 6x3 – 7x2 – x + 3

16 Quita paréntesis y reduce.

a) (3x2 – 5x + 6) + (2x – 8) b) (6 – 3x + 5x2) – (x2 – x + 3)

c) (9x2 – 5x + 2) – (7x2 – 3x – 7) d)(3x2 – 1) – (5x + 2) + (x2 – 3x)

a) (3x2 – 5x + 6) + (2x – 8) = 3x2 – 3x – 2

b) (6 – 3x + 5x2) – (x2 – x + 3) = 4x2 – 2x + 3

c) (9x2 – 5x + 2) – (7x2 – 3x – 7) = 2x2 – 2x + 9

d) (3x2 – 1) – (5x + 2) + (x2 – 3x) = 4x2 – 8x – 3

17 Copia y completa.

18 Considera los polinomios siguientes:

A = 3x3 – 6x2 + 4x – 2 B = x3 – 3x + 1 C = 2x2 + 4x – 5

Calcula.

a) A + B b)A + B + C c) A – Bd)B – C e) A + B – C f ) A – B – C

a) A + B = 4x3 – 6x2 + x – 1 b) A + B + C = 4x3 – 4x2 + 5x – 6

c) A – B = 2x3 – 6x2 + 7x – 3 d) B – C = x3 – 2x2 – 7x + 6

e) A + B – C = 4x3 – 8x2 – 3x + 4 f ) A – B – C = 2x3 – 8x2 + 3x + 2

2x3 – 3x2 + 4x – 8+ 4x3 + 5x2 – 5x – 2

6x3 + 2x2 – x – 10

3x2 – 5x – 5+ 2x2 + 4x – 1

5x2 – x – 6

■■x3 – 3x2 + ■■x – 8+ 4x3 + ■■x2 – 5x – ■■

6x3 + 2x2 – x – 10

3x2 – 5x – 5+ ■■x2 + ■■x – ■■

5x2 – x – 6

PPág. 5

Unidad 5. Álgebra


19 Opera en cada caso igual que se ha hecho en el ejemplo:

• (–x2) · (4x3 – 7x2 – x + 9) =

= 4x3 · (–x2) – 7x2 · (–x2) – x · (–x2) + 9 · (–x2) =

= –4x5 + 7x4 + x3 – 9x2

a) 2 · (x3 – 3x2 + 2x + 2)

b) (–4) · (2x2 – 5x – 1)

c) x · (3x3 – 4x2 – 6x – 1)

d)x2 · (5x2 + 3x + 4)

e) (–2x) · (x3 – 2x2 + 3x + 2)

a) 2 · (x3 – 3x2 + 2x + 2) = 2x3 – 6x2 + 4x + 4

b) (–4) · (2x2 – 5x – 1) = –8x2 + 20x + 4

c) x · (3x3 – 4x2 – 6x – 1) = 3x4 – 4x3 – 6x2 – x

d) x2 · (5x2 + 3x + 4) = 5x4 + 3x3 + 4x2

e) (–2x) · (x3 – 2x2 + 3x + 2) = –2x4 + 4x3 – 6x2 – 4x

20 Reduce.

a) 2(3x – 1) + 3(x + 2)

b)5(x – 2) – 2(2x + 1)

c) 3(x2 – 2x – 1) – 2(x + 5)

d)4(2x2 – 5x + 3) – 3(x2 + x + 1)

e) 6(3x2 – 4x + 4) – 5(3x2 – 2x + 3)

a) 2(3x – 1) + 3(x + 2) = 9x + 4

b) 5(x – 2) – 2(2x + 1) = x – 12

c) 3(x2 – 2x – 1) – 2(x + 5) = 3x2 – 8x – 13

d) 4(2x2 – 5x + 3) – 3(x2 + x + 1) = 5x2 – 23x + 9

e) 6(3x2 – 4x + 4) – 5(3x2 – 2x + 3) = 3x2 – 14x + 9

21 Multiplica.

a) (x – 1) · (2x – 3) b) (3x – 2) · (x – 5)

c) (2x + 3) · (3x – 4) d)(x + 1) · (x2 + x + 1)

e) (2x – 1) · (2x2 – 3x + 2) f ) (3x + 2) · (x3 – 2x2 + 5x + 1)

g) (x2 – 2x – 3) · (2x3 – 5x2 – 4x + 3)

a) (x – 1) · (2x – 3) = 2x2 – 5x + 3

b) (3x – 2) · (x – 5) = 3x2 – 17x + 10

c) (2x + 3) · (3x – 4) = 6x2 + x – 12

d) (x + 1) · (x2 + x + 1) = x3 + 2x2 + 2x + 1

e) (2x – 1) · (2x2 – 3x + 2) = 4x3 – 8x2 + 7x – 2

f ) (3x + 2) · (x3 – 2x2 + 5x + 1) = 3x4 – 4x3 + 11x2 + 13x + 2

g) (x2 – 2x – 3) · (2x3 – 5x2 – 4x + 3) = 2x5 – 9x4 + 26x2 + 6x – 9

Pág. 6

Unidad 5. Álgebra


PÁGINA 121


23 Calcula.

a) (x2 + 1) · (x – 2) b) (2x2 – 1) · (x2 + 3)

c) (2x – 3) · (3x3 – 2x + 2) d)(x2 + 2) · (x3 – 3x + 1)

a) (x2 + 1) · (x – 2) = x3 – 2x2 + x – 2

b) (2x2 – 1) · (x2 + 3) = 2x4 + 5x2 – 3

c) (2x – 3) · (3x3 – 2x + 2) = 6x4 – 9x3 – 4x2 + 10x – 6

d) (x2 + 2) · (x3 – 3x + 1) = x5 – x3 + x2 – 6x + 2

24 Opera como en el ejemplo.

• (x2 + 3) · (x2 – 1) = x2 · (x – 1) + 3 · (x2 – 1) =

= x3 – x2 + 3x2 – 3 = x3 + 2x2 – 3

a) (x + 1) · (x2 + 4) b) (x3 + 1) · (x2 + 5)

c) (x2 – 2) · (x + 7) d)(x3 – 3x + 5) · (2x – 1)

a) (x + 1) · (x2 + 4) = x3 + x2 + 4x + 4

b) (x3 + 1) · (x2 + 5) = x5 + 5x3 + x2 + 5

c) (x2 – 2) · (x + 7) = x3 + 7x2 – 2x – 14

d) (x3 – 3x + 5) · (2x – 1) = 2x4 – x3 – 6x2 + 13x – 5

25 Reduce.

a) (x + 1) · (2x + 3) – 2 · (x2 + 1)

b) (2x – 5) · (x + 2) + 3x · (x + 2)

c) (x2 – 3) · (x + 1) – (x2 + 5) · (x – 2)

d)(4x + 3) · (2x – 5) – (6x2 – 10x – 12)

a) (x + 1) · (2x + 3) – 2 · (x2 + 1) = 5x + 1

b) (2x – 5) · (x + 2) + 3x · (x + 2) = 5x2 + 5x – 10

c) (x2 – 3) · (x + 1) – (x2 + 5) · (x – 2) = 3x2 – 8x + 7

d) (4x + 3) · (2x – 5) – (6x2 – 10x – 12) = 2x2 – 4x – 3


27 Realiza las divisiones siguientes:

a) (8x – 6) : 2 b) (20x – 5) : 5 c) (3x2 – x) : xd)(4x3 – 8x2) : 2x e) (4x3 – 2x2 + 6x) : 2x f ) (12x3 + 9x2) : 3x2

a) (8x – 6) : 2 = 4x – 3 b) (20x – 5) : 5 = 4x – 1

c) (3x2 – x) : x = 3x – 1 d) (4x3 – 8x2) : 2x = 2x2 – 4x

e) (4x3 – 2x2 + 6x) : 2x = 2x2 – x + 3 f ) (12x3 + 9x2) : 3x2 = 4x + 3

Pág. 7

Unidad 5. Álgebra


r o d u c t o s n o t a b l e s y e x t r a c c i ó n d e f a c t o r c o m ú n

28 Extrae factor común en cada uno de los siguientes polinomios:

a) 3x + 3y + 3z b)2x – 5xy + 3xzc) a2 + 3a d)3a – 6be) 2x + 4y + 6z f ) 4x – 8x2 + 12x3

g) 9a + 6a2 + 3a3 h)2a2 – 5a3 + a4

a) 3x + 3y + 3z = 3(x + y + z )

b) 2x – 5xy + 3xz = x (2 – 5y + 3z )

c) a2 + 3a = a (a + 3)

d) 3a – 6b = 3(a – 2b )

e) 2x + 4y + 6z = 2(x + 2y + 3z )

f ) 4x – 8x2 + 12x3 = 4x (1 – 2x + 3x2)

g) 9a + 6a2 + 3a3 = 3a (3 + 2a + a2)

h) 2a2 – 5a3 + a4 = a2(2 – 5a + a2)

29 Calcula sin hacer la multiplicación, utilizando las fórmulas de los pro-ductos notables.

a) (x + 3)2 b) (3 + a)2

c) (2 – x)2 d)(a – 6)2

e) (2x + 1)2 f ) (5 – 3a)2

g) (x – 5) · (x + 5) h)(3x – 5) · (3x + 5)

a) (x + 3)2 = x2 + 6x + 9 b) (3 + a)2 = 9 + 6a + a2

c) (2 – x)2 = 4 – 4x + x2 d) (a – 6)2 = a2 – 12a + 36

e) (2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1 f ) (5 – 3a)2 = 25 – 30a + 9a2

g) (x – 5) · (x + 5) = x2 – 25 h) (3x – 5) · (3x + 5) = 9x2 – 25


31 Descompón en factores.

a) x2 – 6x + 9 b)x3 – 9xc) 3x2 + 6x + 3 d)2x3 – 12x2 + 18xe) x4 – x2 f ) 4x2 + 4x + 1

a) x2 – 6x + 9 = (x – 3)2 = (x – 3) · (x – 3)

b) x3 – 9x = x (x2 – 9) = x · (x + 3) · (x – 3)

c) 3x2 + 6x + 3 = 3(x2 + 2x + 1) = 3 · (x + 1)2 = 3 · (x + 1) · (x + 1)

d) 2x3 – 12x2 + 18x = 2x · (x2 – 6x + 9) = 2x · (x – 3)2 = 2x · (x – 3) · (x – 3)

e) x4 – x2 = x2 · (x2 – 1) = x2 · (x + 1) · (x – 1)

f ) 4x2 + 4x + 1 = (2x + 1)2 = (2x + 1) · (2x + 1)

PPág. 8

Unidad 5. Álgebra


32 Saca factor común en el numerador y en el denominador y, después, sim-plifica.

a) b) c) d)

a) = =

b) = =

c) = =

d) = =

33 Descompón en factores el numerador y el denominador y, después, sim-plifica.

a) b)

c) d)

e) f )

a) = =

b) = =

c) = =

d) = =

e) = =

f ) = = 3(x + 1)5x

3(x + 1)2

5x (x + 1)3x2 + 6x + 3

5x2 + 5x

1x – 3

2x (x – 3)2x (x – 3)2

2x2 – 6x2x3 – 12x2 + 18x

x + 15x

(x + 1)2

5x (x + 1)x2 + 2x + 15x2 + 5x

1x – 1

3(x + 1)3(x + 1)(x – 1)

3x + 33x2 – 3

5x + 3

5(x + 3)(x + 3)2

5x + 15x2 + 6x + 9

x + 3x – 3

(x + 3)(x – 3)(x – 3)2

x2 – 9x2 – 6x + 9

3x2 + 6x + 35x2 + 5x

2x2 – 6x2x3 – 12x2 + 18x

x2 + 2x + 15x2 + 5x

3x + 33x2 – 3

5x + 15x2 + 6x + 9

x2 – 9x2 – 6x + 9

x – 1x2

2x (x – 1)2x3

2x2 – 2x2x3

23x

2x (x + 5)3x2(x + 5)

2x2 + 10x3x3 + 15x2

1x + 2

xx (x + 2)

xx2 + 2x

23

2(x + 1)3(x + 1)

2x + 23x + 3

2x2 – 2x2x3

2x2 + 10x3x3 + 15x2

xx2 + 2x

2x + 23x + 3

Pág. 9

Unidad 5. Álgebra

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