Solucionario Tarea de Analisi Real ,

8/12/2019 Solucionario Tarea de Analisi Real ,

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0

U P N F M

C U E D S . B .

ALUMNOS: Registro

1. Alan Yobany Claros .9917524

2. Elsy Magdalena Pea Cruz..9927260

3. Marysabel Barillas Arita ..402197900245

4. Ramon Anibal Hernandez ..0501197704532

5. Rut Yoana Turcios .0420198300049

II PERIODO 2012

EJERCICIOS RESUELTOS

ANALISIS REAL

UNIVERSIDAD PEDAGOGICA NACIONAL FRANCISCO MORAZAN


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1

Dedicatoria

El presente solucionario es un trabajo elaborado por los

alumnos de la universidad Pedaggica Francisco Morazn

en el sistema de educacin a distancia C.U.E.D, con sede en

Santa Brbara, con el propsito de aportar a los lectores

los conocimientos adquiridos en la asignatura de Anlisis

Real durante el presente periodo.

El mismo est dedicado a nuestro tutor que con tanto

esmero, paciencia y dedicacin nos brind parte de su

intelecto; Licenciado: Cruz Florentino Jurez

Rodrguez, guindonos para que de esta forma se

evidencie nuestra prctica en tal asignatura, para l

nuestro esfuerzo y admiracin.

Srvase leerlo.
http://www.bing.com/images/search?q=IMAGENES+SIGNOS+MATEMATICOS+griegos&view=detail&id=3360D4CA0833BF751C10930A0DA31897802212C2&first=31&FORM=IDFRIR


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INDICE

Pagina N1.Dedicatoria Pagina N44,45,46 Ejercicio (3)Pagi na N2 ....ndice

Pagi na N3 Capitulo 1 Ejercicio 1

Pagi na N4 ...Ej erci cios N(2,3,4 )

Pagi na N5 ...Ej erci cios N(5,9,10 )

Pagi na N6 Ej erci cios N( seccin 1.2)( 1 )

Pagi na N7 Ej erci cios N(2,3,4)

Pagi na N8,9 .Ej erci cios N(5 )

Pagi na N10 .Ej erci cios N(6,7 )

Pagi na N11 ......seccin 1.3 (1 )

Pagina N12,13 ..Ej erci cios N(2,3 )

Pagina N14,15 ...Ej erci cios N(5 )

Pagi na N16 Ej ercicios N(7,8,9 )

Pagi na N17 ....seccin 1.4 Ej ercicios N(1)

Pagi na N18 .Ejercicio (2)

Pagi na N19 ........................Ej erci cios N( 3,4 )

Pagi na N20 .Ej erci cios N( 6,9 )

Pagina N21.Captu lo 2

Pagi na N22,23,24,25,26.

Ej erci cios N( 1,2 )


Pagi na N28 .Ej erci cios N( 4,5)

Pagi na N29 Ejerci cios (7,8)


Pagi na N31 Ej ercicios N(11,12 )

Pagina N32,33 ..Ej erci cios N( 14,25 )

Pagi na N34 ...Ej erci cios N( 26 )

Pagina N35 Ejercicio(27,22)

Pagina N37capitulo 3

Pagina N38Ejercicios(1,2)

Pagina N39 ..Ejercicio(1) seccin 3.3,3.4

Pagi na N40,41 .Ejercicios (4,5) seccin 3.5 Ejercicio 1

Pagina N42,43 .Ejercicio(2)


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EJERCICIOS CAPITULO 1

Seccin 1.1

Ejercicio N 1Sea S= . Determinar sup S e Inf S.Desarrollo.

Para determinar el Sup S e Inf S Probaremos cuando n es par y cuando n

es impar, para esto se har una tabla de valores.

1.- n es par 2.- n es impar

n par Sn n impar Sn2 1 3 4/34 3/4 5 6/56 5/6 7 8/78 7/8 9 10/910 9/10 11 12/11. . . .. . . .. . . .. . . .+ +

Viendo la relacin de la tabla anterior se puede determinar que elSup S= 2 y el Inf S=1/2


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Ejercicio N 2Demostrar que el conjunto S = tiene cotas inferiores pero nosuperiores.El conjunto S= tiene cotas inferiores y el conjunto de las cotas inferioreses C=

- 0 +No est acotada superiormente por tanto no existe un Ejercicio N 3

Sea *= Sup de S suponiendo que es y que S demostrar que elsupremo del conjunto S es el mayor de los dos nmeros y .Si .Por hiptesisY = Sup S .. Por hiptesisSea Entonces 0 De esta forma demostramos que S tiene un Sup el cual sera Sup S = ya que

Ejercicio N 4Sea es cota superior de S.Demostrar que

0 Supongamos que como hiptesis es la cota superior de S, implica que

lo cual contradice la hiptesis ya que

es la cota superior de S.

Por tanto: Si


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5

Ejercicio N 5Sea Demostrar que es la cota superior deS i) Si es cota superior de S.por hiptesis

Si es cota superior de S .por definicinSupongamos que .por hiptesis es

cota superior.

Implica que y esto contradice la hiptesis que ii) es la cota superior de S

0 Ejercicio N 9

Sea acotado, S0 S0 Demostrar que: inf S inf S0Sup S0Sup S

S0

0

S

El conjunto S tiene cotas inferiores y superiores tales que:C= El conjunto S0 por lo tanto el conjunto de las cotas inferiores seriaN= El conjunto de las cotas superiores seria

L= Si

Ejercicio N 10Sea S es acotado. Para un dado considrese el conjunto

a) Demostrar que si =/


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6

Por el teorema 2, el infimo del conjunto a S existe probando que es Llamamos definicin, teorema 2 .por

es cota inferior del conjunto

Por tanto: Probemos ahora que es la mayor de las cotas de , si V es cualquier cota inferior delconjunto .sustitucin Puesto que inf S es la mayor de las cotas inferiores de S

despejando es la cota mayor de las cotas inferiores delconjunto .

Seccin 1.2

Ejercicio N 1Dado cualquier elemento de x, x R

Probar que existe un nico numero n, n Z/ n-1


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7

Ejercicio N 2Si probar que existen tal que

Por reduccin a lo absurdo Si y > 0

pero

lo cual es una contradiccin ya que un nmero

natural es mayor que cualquier nmero real negativo.

Ejercicio N3Si x es un numero racional diferente de cero y y es un numero irracional.Demostrar entonces que x+t, x-y, xy, x/y, y/x son todos irracionales

Sea ^ donde

Ejercicio N4

Cul es la suma o el producto de dos nmeros irracionales, un numero irracional?

Sea + b


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8

( ) ( ) + b

la suma y el producto de dos nmeros irracionales da un numero irracional.

Ejercicio N5Un entero n se llama par si n=2m para cierto entero m y se llama impar si n=2m+1para cierto entero mDemostrar que:

a) Un entero impar no puede ser a la vez par e imparPor contradiccin

Supongamos que un entero puede ser par e impar, implica n=2m para algn Tambin es impar por lo que se tiene loque implica que 0=1

es una contradiccin.

c) La suma y el producto de dos enteros pares es par Qu se puede decir acerca dela suma o del producto de dos enteros impares?

Demostracin: la suma de dos enteros pares es par.

i) Sean dos enteros pares..hiptesisxes par . z es par . .

ii)Sean

dos enteros pares..hiptesis

Sean dos enteros paresxes par .b ^ es par ya que Demostrar la suma de dos enteros impares es imparSeax y zdos enteros impares

x es impar z es impar =2(a+b)+2

=2(y)+2 y=(a+b) no es un nmero impar ya que lo forma de un nmero impar es h=2m+1Demostrar: el producto de dos enteros impares es impar

Sea a ^ b dos enteros impares

aes impar ^


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d) si

es par, tambin lo es n

sea n un entero par algebra Sea un entero pares par suponer n=2m+1 n

n =2m .simp.

lo cual contradice la

hiptesis

e) Si Demostracin: ^

f) Todo nmero racional puede expresarse de la forma

donde a y b son elementos unode los cuales por lo menos es impar.

Supongamos que a y b son pares

a=2n y b=2m


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EJERCICIO N 6Modificar el razonamiento empleado en la demostracin del teorema 7 para

demostrar los siguientes enunciadosa) Existe un nmero real positivo ytal que

Si tres nmeros reales cualesquiera satisface que3 Demostracin:

a) z


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, para x,y

Seccin 1.3 EJERCCIO N1

Escribir por comprensin los conjuntos dados y representarlos geomtricamente en larecta real.

a) V0.5(5)= | | = = = =

b) V0.25(-2)= | | = = =

=

c) V2 (a)= | | = =

-2 x a +2


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13

6)En cada uno de los siguientes casos decir si A es un conjunto cerrado,

abierto o ninguno de ellos. Determinar tambin los conjuntos , A, , Fr A.

a)

U = U A = U abierto no es cerrado = U FrA = b) A = U U A = U U A = U = A No es abierto ni cerrado

FrA = Puntos aislados c) A = U U U U A =

U

U

U

A` = U U U = A U 0

FrA =


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Puntos aislados = No es abierto, ni cerrado

EJERCICIO N5Sean demostrar:

a) Ip abierto/ Ip CA def punto inferior .....................def .punto interior AB.def de inclusin.

b) A=Ai) AAii) AA

Demostracin:

i) AA A A..Punto interior. A ya que Ip AAA.def de inclusinii) AA

A

A..Punto interior.

A ya que Ip AAA.def de inclusinPor paso i, ii, A=Ac) ABi) AB

AB .. Punto inferior

A ^ P

B ya que Ip

A

B

AB.def de inclusinii) AB

PAB ..Punto inferior ya que Ip


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EJERCICIO N7

Si A= Entonces Determinar Fr A y Ext A.Desarrollo

1.- A= .............................................................................................PorHiptesis

2.- A=

.........................................................................

Sustitucin de valores en n

3.- Fr A= A...........................................................................................

Definicin de Punto Frontera y paso 2

4.- Ext A= ....................................Definicion de Punto exterior y paso 2 y 3 EJERCCIO N8

Determinar el conjunto de puntos de acumulacin de los siguientes numerales

b). (a,b] su punto de acumulacin es [a,b]

d) [a,b] su punto de acumulacin es [a,b]

EJERCCIO N9Determinar los puntos de acumulacin en


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/n N* los puntos de acumulacin son

A,= 0

SECCIN 1.4

EJERCICIO 1

Desarrollo

a) Compruebe que nes una cubierta de A=]0,1[, donde = 1.- Sea

n

..........................................................................................Hiptesis

2.- = .................................................................Dato3.- = ........................ Sustitucin de Valores4.- ............................................. Definicin de Cubierta paso 1 y 3b) Use a) para comprobar que A no es compacto

1.- Sea ..............................Por parte a, dato2.- si ......................................................Por pas 13.- ...................................................................................... Por paso 24.- ................................Unin de paso 1 y 25.- Son disjuntos...................................................Definicin de Unin(conjuntos disjuntos)

6.-

no es un recubrimiento de A.............................................Definicin de recubrimiento

paso 4 y 5

7.- no es compacto.............................................................. .Definicin de compacto ypaso 6

c)De quotra manera se justi f ica que A no es compacto?c) Del hecho de que A no es cerrado y por el Teorema de Heine Borel.


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EJERCICIO 2

Si Son compactos de R, demostrar que es un compacto de R.

Dar un ejemplo que ilustre que la unin infinita no siempre es un compacto.

Desarrollo

1.- Sea compactos de R .Dato2.-es Cerrado y Acotado ...........................................................Pordefinicin de Compacto y paso 1

3.- ............................................................................................Definicionde Compacto

4.- Sea ........................................................................Por paso 35.- ...............................................................................................Definicinde conjunto acotado6.- es acotado........................................................................................... Por serAcotado y paso 5

7.- es compacto.........................................................................................Teorema deHeine Borel

EjemploSea= entonces = No es acotado y por lo tanto no es compacto (Segn el teorema de HeineBorel).


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EJERCICIO 3

Justificar si el conjunto A es o no compacto, si

A= [0,1]U{2}.

Desarrollo

1.- A= [0,1]U{2} ........................................................................................Hiptesis

2.- R-A= ],0 [ U ]1,2[U]2,[.............................Definicin de punto exterior y paso 13.- R-A es abierto...........................................................................Por definicin y paso 2

4.- A es Cerrado.............................................................................. por paso 1

5.- A esta acotado por ........................................................... Definicin de Vecindario6.- A es Compacto......................................................................... Teorema de Heine Borel

EJERCICIO 4La familia de intervalos es una cubierta de . Demostrar sin hacer uso delteorema de Heine-Borel que ninguna subfamilia finita de recubre el intervalo .Desarrollo

1.- Sea

n

. .....................................................................................................Dato

2.- ........................................................................................................Hiptesis3.- = .............................................................Sustitucionde valores en paso 2


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4.- si .............................................................Definicion dey paso 35.- es una subcoleccion finita de G.................................................................Por paso 46.- p=max .............................................................................. Definicin deExistencia7.-

..................................................................... por paso 3,4 y6

8.- ...................................................................................................... Definicin

Cubierta de un conjunto

9.-

subcoleccion finita de G que no recubre a

...................................L.Q.Q.D

De modo que tampoco es compacto. EJERCICIO N6

Dado el conjunto de intervalos abiertos G={]-(2-),(2-)[\nN*}

Dado que G={]-(2-),(2-) entoces

G1=]-(2-

), (2-

) [ = ]-1,1 [

G2=]-(2-), (2-) [ = ]-, [

G3=]-(2-), (2-) [ = ]-, [

K = ]-2,2 [

EJERCICIO N9Demostrar que una familia arbitraria de conjuntos compactos en R es compactasea ACR se dice que A es compacta si es cerrado y acotado [0,2] es compacta

(2,4] no es compacta

Sea Ui compacto^Vjcompacto cerrados y acotados Ui Vj es compacto en R


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EJERCICIO N 1Encontrar los diez primeros trminos de la sucesin dada por el criterio indicado.

a)

b)


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23

c)

d)

e)


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24

f) () = (

m=1( = 2m=2(

= (

=

m=3( = (= m=4( = m=5( =

g) () =(1 - )m =1(1 - ) = -1m =2(1 -

)= 1- = m =3(1 -

)= 1- =


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25

m =4(1 -)= 1- = =

m =5(1 -)= 1- =

h) (= ------------- No tiene solucin

i)

=1 ;

= 3

+ 1

m = 1= 3+ 1= 3(1) + 1= 4

m = 2= 3+ 1= 3(4) + 1

= 13

m =3 = 3+ 1= 3(13) + 1

= 40

m =4 = 3+ 1= 3(40) + 1

= 121


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26

m =5 = 3+ 1= 3(121) + 1

= 364

j) =1 ; = m= 1 == 3m= 2 == 5m= 3 == 7m = 4 == 11m = 5 == 15

k) =3 ; = m =1

= 7

m =2 = 5 + 6 =13m =3 = 7 + 8 =15m =4 = 23m =5 = 40

EJERCICIO N2e las sucesiones del punto anterior seale cuales de ellas corresponden asucesiones de nmeros racionales.

R= a), f) y g)


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EJERCICIO N2De las sucesiones del punto anterior seale cuales de ellas corresponden asucesiones de nmeros racionales.

R= a), f) y g)

EJERCICIO N3Determine cules de las siguientes sucesiones son nulas.

a) = = b)

c) = d) ) =

=

= Es nula


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EJERCICIO N 4Comparar que | | Sea

50< n Los trminos se encuentran en el entorno del centro y radio, excepto los primeroscincuenta.

EJERCICIO 5Demostrar que las siguientes sucesiones de nmeros racionales son convergentes.

a) =

Sea =33


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EJERCICIO 7

Dar un ejemplo de sucesin no acotada que posea una sucesin convergente

+e =0

EJERCICIO 8Demostrar que (

) no es convergente s:

a) ) = Supongamos que tenemos que| | ; Para m=L L > 0 obtenemos ; No existe nmero natural que contenga ladesigualdad

b) ) = | | 01+L 0.06 tenemos L 0.01.....no existe numero natural que verifique laDesigualdad

0.2 para m por

) = m

2Supongamos que (

| | Para m=L L>0 no existen nmeros reales que verifican la desigualdad


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30

EJERCICIO 9Si = Demostrar que entonces convergenlas sucesiones:

b)()Solucin: = 0 = = = =

-

= 10-1

= 0 EJERCICIO 10

Sean > 1 ; = 2 - m N*, m 2Demostrar que

) es acotada y montona. Hallar su lmite.

= 1 - = 2 - - = 1 - - 2 +

= -1

-1 < 0 Es creciente montona

= 1 - = 2


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31

= 1 - =

|| < M m N* EJERCICIO 11

sea s1>1; sm+1=2- para todo mN*,M>2

Demostrar que es acotada y montona

Si s1>1 entonces s1=2

|sm|


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33

= <

= <

2 < = < m< m=

b) (

) =

= =

= - 1

< < < < < < 1 < m


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34

< m = EJERCICIO 26Estudiar si

= y = +

< +

< >

>

= = = R

- - = 0 0 0 = 0

Puesto que el = 0 entonces R = =


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35

EJERCICIO 27Estudiar si dan lugar a nmeros iguales

=

EJERCICIO 22Demostrar que la sucesin n de cauchy ||

por hiptesis


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36

[]


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37

EJERCICIOS CAPITULO 3

LMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE DOS Y TRESVARIABLES
http://i248.photobucket.com/albums/gg198/jumper_2008/MENSAJESVISUALES.jpg


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38

EJERCICIO N 1Sean V=

, V=

a)Veri f icar si l a sig. Expresin es un producto in terno en b) Para quvalores de K es el sigu iente un producto interno

Por tanto por K=4 es un producto interno en

EJERCICIO 2

Sean X,Y Demostrar queb)

c) ||||- ||||= 4

= - = - [ ]


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39

= + + + - [ - - ]=||+ 2 + ||- ||+ 2 - ||=4 ||||- ||||= 4

EJERCICIOS 3.3-3.4

EJERCICIO N1Sean A, B demostrar que

a) AB i) AC, Sea X un punto inferior de A si

Tal que Entonces

Sea un punto inferior de B si Tal que Entonces

Si A BX que es punto inferior de A tambin lo es de Por lo tanto A B

i) A B A , X e Se llama punto adherente de A si VG, G,Abierto tal que X G G A 0 X Si A B X tambin punto adherente de B y; G abierto tal que X GG B 0

Como

Entonces por lo tanto AB


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41

|| || Entonces =

b) || || || || Entonces

c) < | |< < | | | | ||

| |

1-|| | | || ||2 >

||

-| | || z


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42

d) * tal que = | | | | =

| |

- | | | | = 2 = =

EJERCICIO N 2Determinar si existen:

a) La funcin est definida en Haciendo

Como No existe el lmi teb)

F est definida en Si

Como


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43

Como el lmite existe y es igual a 0

c) Si Como y , F est definida en y f

=

f Como f f lmite no existe

d) =0= f = f 0

Como f , y f Convergen al mismo limite entonces el lmite existe y es igual a 0


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44

EJERCICIO N 3Identificar las superficies siguientes.

a)

Cono Cuadrtico

b)

ELIPSOIDE

e)

Hiperboloide de una hoja


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45

g)

Hiperboloide de una hoja

h) Hiperboloide de 2 hojas

i) Paraboloide hiperblico


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j) Cilindro hiperblico

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