Analisi Matematikoa

Deribatuak, aplikazioak, funtzio deribagarrien teoremak

Batezbesteko aldakuntza-tasa Begira dezaiogun honako grafikari:

X

Y

a a+h

f(a)

f(a+h)

y=f(x)

Δx=(a+h)-a =h Δy=

f(a+

h)-

f(a)

Batezbesteko Aldakuntza-tasa: funtzio batek bere balioan izandako aldaketa eta bitartean aldagaiak izandakoaren arteko zatidura.

x

yBAT

Ariketa: f(x) = x2 funtzioa izanik, zenbatbalio du bere aldakuntza tasak [-2,3] tartean?

Galderak: 1.Nola definitzen da zuzen urdinaren malda?2.Zein erlazio dago zuzenaren malda eta funtzioaren BAT-aren artean?3.Zenbat puntutan ebakitzen du irudiko zuzen urdinak funtzio berdea? Nola esaten diogu horrelako zuzenari?

Aldiuneko aldakuntza - tasaAurreko grafikarekin jarraituz:

Zer gertatuko litzateke h-ren balioa geroz eta txikiagoa hartuz gero:oX ardatzeko eskubiko puntuarekin? oBatezbesteko aldakuntza tasarekin?oZuzen urdinarekin? Zenbat puntutan ebakiko du mugan zuzen horrek kurba a-ren inguruan? Zein izen emango diogu halako zuzenari?

X

Y

a a+h

f(a)

f(a+h)

y=f(x)

hΔ

y

X

Y

a a+h

f(a)

y=f(x)

Aldiuneko aldakuntza tasa: Zein erlazio du AAT-k,zuzenaren maldarekin?

X

Y

a a+h

f(a)

f(a+h)

y=f(x)

Δx=(a+h)-a =h Δy=

f(a+

h)-

f(a)

Ariketak f(x) = x2 funtzioak x = -2 puntuan duen aldiuneko

aldakuntza – tasa kalkula ezazu. f(x) = x2 funzioak x = -2 puntuan duen

ukitzailearen ekuazioa kalkula ezazu. Aurkitu honako funtzioen a puntuko aldiuneko

aldakuntza – tasa: f(x) = x + 3 g(x) = 2x2+3x-1

Froga ezazu f(x) = mx+n funtzioak edozein tartean aldakuntza tasa bera duela.

Funtzio baten deribatua puntu batean f funtzioaren x=a puntuko deribatua, f’(a) izendatuko duguna,

horrelakorik izatekotan, honako limite honen balioa da:

h

afhafaf

h

lim

0

)('

f funtzioa a puntuan deribagarria dela esango dugu, baldin eta f’(a) zenbaki erreala bada.

Ariketa: f (x) = x funtzioaren deribatua kalkula ezazu x = 2 puntuan.

Ariketa: f (x) = x funtzioaren deribatua kalkula ezazu x = 2 puntuan.

Oharra: f’(a) = Df(a) = df/dx (a) = y’(a); modu guzti hauetan adieraz daitekederibatua

Funtzio baten albo - deribatuak f funtzioaren x = a puntuko ezkerraldeko

deribatua hauxe da: f funtzioaren x = a puntuko ezkerraldeko

deribatua hauxe da:

f funtzioaren x = a puntuko eskubialdeko deribatua hauxe da:

f funtzioaren x = a puntuko eskubialdeko deribatua hauxe da:

f funtzioa deribagarria da x = a puntuan, albo – deribatuak existitzen badira eta bat badatoz.

f funtzioa deribagarria da x = a puntuan, albo – deribatuak existitzen badira eta bat badatoz.

h

afhafaf

h

lim0

)('

h

afhafaf

h

lim0

)('

Ariketa Ondorengo funtzioa x = 1 puntuan

deribagarria den azter ezazu:

1,

1,)(

2

xx

xxxf

Funtzio deribatua Funtzio batek bere izate – eremuko puntu bakoitzean duen

deribatuaren balioa kalkulatu beharko bagenu orain arte ikusi duguna erabiliz, puntu kopuru haina limite kalkulatu beharko genituzke (beste hitzetan esanda, infinito limite kalkulatu beharko genituzke, bat x-aren balio posible bakoitzerako).

Baina, hau egin ordez, x puntu orokor batentzako f-ren deribatua kalkula dezakegu. Horrela egingo bagenu ez genuke balio bat lortuko FUNTZIO berri bat baizik (x-en balio bakoitzari f funtzioaren deribatuaren balioa puntu horretan egokitzen diona).

f funtzio deribagarria bada (a,b) R tartean, f-ren funtzio deribatua x (a,b) bakoitzari f – ren puntu horretako deribatua egokiarazten dion funtzioa da. Funtzio hori f’(x) adierazten da.

f funtzio deribagarria bada (a,b) R tartean, f-ren funtzio deribatua x (a,b) bakoitzari f – ren puntu horretako deribatua egokiarazten dion funtzioa da. Funtzio hori f’(x) adierazten da.

Ariketa Ondorengo funtzioaren deribatua kalkula ezazu:

xxf )(

Definizioak f funtzio bat deribagarria da (a,b) tartean, tarteko puntu guztietan

deribagarria bada. f funtzio bat deribagarria da [a,b] tartean, baldin (a,b) tartean

deribagarria bada eta a-ren eskubitik eta b-ren ezkerretik deribagarria bada.

f-ren bigarren deribatu edo bigarren mailako deribatu deitzen diogu f’(x)-en funtzio deribatuari. Funtzio horri f’’(x) izena ematen zaio. f’(x), f(x)-en funtzio deribatua; f’’(x), f(x)-en bigarren funtzio deribatua; f’’’(x), f(x)-en hirugarren funtzio deribatua... fn(x), f(x)-en n-garren funtzio deribatua da.

Ariketa: Kalkula ezazu f(x) = x3 funtzioaren lehen 4 funtzio deribatuak.

Funtzio baten diferentziala

Gogora dezagun f funtzioak a puntuan duen deribatuaren definizioa:

h

afhaf

x

yaf

hh

limlim

00

'

h-ren balioa oso txikia denean y eta x-en aldaketak adierazteko ∆-ren ordez, honako hau erabiltzen da:δ; eta, ondorioz

x

yaf

'

Demagun y = f(x) funtzio bat dela, a puntuan deribagarria, f funtzioak x = a puntuan duen diferentziala esaten zaio funtzioak a puntuan duen deribatuaren eta x-en aldakuntzaren arteko biderkaketari.

Emaitza hori dy = f’(a)·dx adierazten da, eta honela irakurtzen da: y – ren diferentziala f-ren deribatua a-n bider x-en diferentziala da.

Oharrak

Ondorengo hurbilketa ere egin daiteke:

hafafhafhafafhafh

afhafaf *)(')()(*)(')()(

)()()('

Funtzioa konposatua bada, katearen erregela erabili ahal dugu:

x

g

g

y

x

y

*

Kalkula ezazu (1,003)5 kalkulagailua erabiliz eta aurreko hurbilketaz. Konpara itzazu emaitzak.Gauza bera √0,99-rekin

Esfera baten erradioa uniformeki hazten bada, 3 cm/s-ko abiaduran, esfera horren bolumenaren hazkuntza-abiadura (dV/dt) aurki ezazu.

Teorema

Puntu batean deribagarriak diren funtzio guztiak jarraiak dira puntu horretan.

Kontrakoa ez da egia: Funtzioa jarraia izan daiteke puntu batean eta ez deribagarria. Horrelako puntuari angelutsua deritzo.

Ariketa: Irudika ezazu y = |x2-4| funtzioa eta aurki itzazu bere puntu angelutsuak.

Zuzen ukitzailea Ikusi genuen moduan, funtzio baten deribatua a

puntu batean, f’(a) funtzioaren grafikoak puntu horretan duen zuzen ukitzailearen malda da.

Zuzenaren ekuazioaren adierazpena y – f(a) = m (x-a) dela gogoratuz, honako hau idatz dezakegu:

axafafy *'Baldin f(t) funtzioak higikari baten posizioa denboran zehar adierazten badu:

•Zer adierazten du BAT-ek?

•Zer adierazten du f’(t)-ek?

•Zer adierazten du f’’(t)-ek?

f(x) = x2-10x+9 izanik, zein puntutan izango da f(x)-en grafikoaren zuzen ukitzailea abzisa – ardatzaren paraleloa? Eta zein puntutan izango ditu 45º?

Aktibitateak eta problemak (I)1. Aurkitu g(x) = -(x+2)2, [-1,3] tartean duen

batezbesteko aldakuntza tasa.

2. Aurkitu f(x) = 4x3+x funtzioak x=1 puntuan duen aldiuneko aldakuntza-tasa.

3. Deribatuaren definizioa erabiliz aurkitu f’(-1), f’(0) eta f’(2) ondorengo funtzioan: f(x) = 2x+3, x≥0 eta f(x) = x2+2, x>0

4. f(x) = √x/2 funtzioaren funtzio deribatua kalkula ezazu, definizioa erabiliz.

Aktibitateak eta problemak (II)5. Ondorengo funtzioen deribatuak kalkulatu eta sinplifika itzazu:

6. Determina itzazu funtzio hauen deribatuak eta sinplifikatu emaitzak.

7. Determina itzazu funtzio hauen deribatuak:

223 11

xxxxxy

xxxy 2213

31

1

1·12

22

x

xxy

1

1

x

xy

x

xyln

x

y1

ln 2ln xy 22log xy x

a ay log

4

4log2y xy lnln

xxxy

2

123 22

3 xy x

x

y2

3

x

y

2

122x

y

Aktibitateak eta problemak (III)8. Ondorengo funtzioen deribatuak kalkulatu eta sinplifika itzazu:

9. Determina itzazu funtzio hauen deribatuak eta sinplifikatu emaitzak.

10. Determina itzazu funtzio hauen deribatuak:

xecxy 22 ·cossec

xxxy 222 sinsinsin

x

xy

cos

sin1 2

x

xy

cos

1tan2

xxy 322 1

xxy xxy lnsin3

x

xy

x

sin

2·ln 42sec xarcy

Aktibitateak eta problemak (IV)11. Aurki itzazu honako hauen y’ deribatua x eta y-ren funtzioan:

12. Kalkula ezazu y = tanx funtzioaren diferentziala x = π/3 eta dx=0,01-entzat.

13. Aurki ezazu y = 1/xn funtzioaren diferentziala.

14. Emanik y = x2/2 +x/3 funtzioa:1. Kalkula ezazu berorren grafikoaren ebakitzaile den eta x = -1 eta x = 3

puntuetatik pasa den zuzenaren ekuazioa.

2. Zer adierazten du zuzen horren maldak?

ayx yxe y

Aktibitateak eta problemak (V)15. Aurki y = cos x funtzioak x = 0 puntuan duen ukitzailearen ekuazioa.

16. Zein puntutan da y = x+1 y = ex funtzioaren grafikoaren ukitzailea?

17. Zer puntutan da f(x) = x2-5x+6 funtzioaren grafikoaren ukitzailea bigarren koadranteko erdikariaren paralelo?

18. f(x)=3x/(x2+2) funtzioaren grafikoko puntu jakin batzuetan zuzen ukitzailea abzisa – ardatzaren paralelo da. Esan zeintzuk diren puntu horien koordenatuak.

19. Baldin y = f(x) funtzioak x = 0 puntuan duen zuzen ukitzailearen ekuazioa y = -2x+3 bada, zenbat balio du f’(0)-k? Eta f(0)-k?

20. Esan zer puntutan den deribagarria honako funtzio hau eta aurki ezazu f’(x):

2,1

20,3

0,3

)( 3

2

xx

xxx

xxx

xf

Aktibitateak eta problemak (VI)21. Enpresa baten urteroko etekin gordina G(t) = 5t2+2t+500 milioika pezeta

adierazpenak emandakoak da, izanik t 1980. urtetik igarotako denbora.1. Zein da etekinaren aldakuntza –tasa 1980tik 1990-era?

2. Zein da aldakuntza 1985ean?

22. Aurkitu a-ren balioa f(x) deribagarria izan dadin x=1ean, izanik

1,1

1,2)(

2

xax

xxxf

Deribatuen aplikazioak

Funtzioen adierazpen grafikoa

Funtzioen adierazpen grafikoa Funtzioak x zenbaki errealei y balio

erreala lotzen dien erlazioak dira. Horrela, (x,y) zenbaki parea XY planoan adieraz daitekeen puntua da.

x balio bakoitzarentzat funtzioak emandako y-ren balioa kalkulatu eta planora eramango bagenu, puntu guztien artean kurba bat osotuko lukete. Kurba honi, funtzioaren grafika deritzogu.

X

Y

f(x1)

f(x2)

y=f(x)

x1 x2

Baina, orduan, funtzioaren grafika egiteko, infinito puntu kalkulatu eta planora eraman behar al ditugu? Ez al dago beste biderik, grafika bat irudikatzeko?Erantzuna, noski BAI da: Funtzioen adierazpen grafikoa.

Funtzioen adierazpen grafikoa Funtzioaren adierazpen grafikoa egiteko pausu zehatz batzuk burutuko ditugu:

1. EremuaFuntzioa gauzatzen duten aldagai askearen balioak

6. Asintotak

Bertikala: x-aren punturen batean y-k infinitorantz jo du.

Horizontala: x infinitorantz doala y-k balio mugatu baterantz jo du.

Zeiharra: x infinitorantz doala, funtzioa zuzen zeihar batera hurbiltzen da.

2. IbilbideaIbilbideko x guztientzat y-k har ditzakeen balioak

7. MonotoniaFuntzioak gorantz edo beherantz egiten du.

3. Ardatzekiko ebakidura

(x,0) eta (0,y) puntuak8. Mutur erlatiboak

Funtzioak maximo edo minimo lokala azaldu du.

4. SimetriaY ardatzarekiko: f(-x) = f(x).

Jatorriarekiko: f(-) = -f(-x)9. Kurbadura

Funtzioa ahurra U edo ganbila ∩ da.

5. Periodikotasuna

Funtzioa P periodotan errepikatu egiten da, beraz, nahikoa da zati baten aztertzea osoa irudikatu ahal izateko.

10. Inflexio-puntuak

Funtzioak bere kurbadura mota aldatzen dueneko puntua.

Guk teoriarekin batera y = x2/(x2-4) funtzioa irudikatuko dugu

y = x2/(x2-4)-ren adierazpen grafikoa Hona hemen laburtuta aurkitu duguna:

1. Eremua Dom(f) = R-{-2} -{2} 6. AsintotakBertikala: x=-2n (+∞|- ∞) eta x=2-n (-∞|+ ∞).

Horizontala:y = 1

2. IbilbideaEz dugu egin. Gure kasuan Im(f) = R-(0,1]

7. Monotonia

gorakorra da x negatiboetan

beherakorra x positiboetan

3. Ardatzekiko ebakidura

(0,0) puntua8. Mutur erlatiboak

maximo bat du (0,0) puntuan

4. SimetriaY ardatzarekiko simetrikoa. Bikoitia. 9. Kurbadura

(-∞,-2) U (2, ∞) ahurra

(-2,2) ganbila

5. Periodikotasuna Ez da periodikoa10. Inflexio-puntuak

funtzioak ez du inflexio – punturik

y = x2/(x2-4)-ren adierazpen grafikoa Hona hemen laburtuta aurkitu duguna:

(0,0) ebaki – puntua eta maximoa(0,0) ebaki – puntua eta maximoa

SimetrikoaSimetrikoa

BeherakorraBeherakorraGorakorraGorakorra

AsintotakAsintotak

GanbilaGanbila

AhurraAhurraAhurraAhurra

y = x2/(x2-4)-ren adierazpen grafikoa Hona hemen laburtuta aurkitu duguna:

(0,0) ebaki – puntua eta maximoa(0,0) ebaki – puntua eta maximoa

SimetrikoaSimetrikoa

BeherakorraBeherakorraGorakorraGorakorra

AsintotakAsintotak

GanbilaGanbila

AhurraAhurraAhurraAhurra

Deribatuen aplikazioak

Optimizazio problemak

Zer da optimizazioa?

Hainbat arlotan (zientzia, ekonomia, matematika…) emaitzak maximizatu edo minimizatuko dituzten egoerak aurkitzea oso garrantzitsua da. Horri, funtzio egokien maximo eta minimoak aurkitzeari alegia, esaten diogu optimizazioa.

Optimizaziorako prozesua Optimizatu behar den f funtzioa lortu. Funtzio horrek bi aldagai edo gehiago baldin baditu,

aurkitu ekuazio lagungarriak, aldagai bakarrarekin adieraz dezagun.

Aurkitu funtzioaren maximo eta minimo erlatiboak. Interpretatu emaitzak eta baztertu problemaren izaera

dela eta zentzurik ez dutenak: Baldin f [a,b] tartean definituta badago, konparatu, baztertu gabeko

balioetan, f-ren balioak eta f(a) eta f(b), eta zehaztu balio hoberena. Baldin f (a,b) tartean definituta badago, konparatu, baztertu gabeko

balioetan f-ren limitea x a-rantz doala eta x b-rantz doala eta zehaztu balio hoberena. Balio hoberena limite horietako batean lortzen bada, problemak ez du emaitzarik.

Adibidea

Lursail handi bat dugu errepide zuzen baten ondoan eta zati bat hesiz itxi nahi dugu, bertan kanpin bat egiteko, laukizuzen formakoa eta 10000 metro koadrokoa. Hesiak kanpin osoa inguratuko du, errepidearen ondoko hamar metro izan ezik, hesitu gabe sarrera gisa utziko dugunak. Ahalik eta hesi gutxiena erabiliz, kanpina non jarri jakin nahi dugu.

Adibidea (ebazpena)

Lehenik, optimizatu beharreko funtzioa aurkituko dugu: hesiaren luzera.

• Bi ezezagun ditugula hauen arteko erlazioa aurkitu behar dugu: azalera 10000 metro koadro behar du izan.

xyyx10000

10000·

• Eta gure funtzioan ordezkatu.

• Orain funtzio honen mutur erlatiboak aurkituko ditugu, horretarako lehen deribatua zero noiz egiten den ikusiko dugu.

1020000

2 x

xxf

100220000

020000

2'22

xxx

xf

Adibidea (ebazpena)

Bigarren deribatuaz, puntu horietan maximoak edo minimoak lortuko diren ondorioztatuko dugu:

imoaf

imoaf

xxf

max004,0)100(''

min004,0)100(''40000)(''

3

• Gure asmoa hesi minimoa erabiltzea da, beraz gure emaitza x = 100 y = 100 izango da. Hala ere, konpara dezagun balio hau tarteko muturrekin: 0 eta 1000, esate baterako.

• Beraz, hesi minimoa guk emandako balioan lortzen denez, hori da emaitza.

390100 f 20101000 f

xfxlim

0

Deribatuen aplikazioak

Funtzio deribagarrien teoremak

Rolleren teorema Has gaitezen, ariketa samur batetik:

Irudika ezazu XY planoa eta ardatzak. Aukera itzazu X ardatzeko 2 puntu edozein: a eta

b. Demagun f funtzio jarraitua eta deribagarria

dugula, honako hau betetzen duena: f(a) = f(b). Irudika itzazu 2 puntu hauek planoan.

Orain, f funtzio horrentzako irudi bat egin ezazu, jakinik a eta b-ren artean inongo puntuan ez duela f’(x) = 0 punturik (hau da, ez dago mutur erlatiborik a eta b-ren artean).

Zein ondoriora ailegatu zara?

Rolleren teorema

Izan bedi f(x) funtzio jarraitua [a,b] tartean, deribagarria (a,b)-n eta honako hau betetzen duena: f(a) = f(b); orduan, badago gutxienez (a,b) tarteko puntu bat (c) non f’(c) = 0 den.

Froga ezazu f(x) = x4-8x2 funtzioak Rolleren teorema betetzen duela [-1,1] tartean:

Zenbat da b, f(x) = x2-4x+3 funtzioak Rolleren teorema betetzen badu [b,3] tartean?

Rolleren teorema erabil al daiteke f(x) = |x| funtzioaren [-2,2] tartean?

Rolleren teorema erabil al daiteke f(x) = |x| funtzioaren [-2,2] tartean?

Ariketa

Kalkulatu a eta b f(x) funtzioak Rolleren teoremaren hipotesiak bete ditzan [-2,5/2] tartean:

1,1

1,2 xx

xbaxxf

Batez besteko balioaren teorema (Lagrange-ren teorema) Baldin eta f(x) [a,b] tartean jarraitua bada eta (a,b)

tartean deribagarria, badago gutxienez (a,b) tarteko c puntu bat non f(b) – f(a) = f’(c)·(b-a) betetzen den.

Frogapena: Eraiki dezagun g(x) = f(x)·(b-a) – x[f(b)-f(a)] funtzioa.

Funtzio hau:a) Jarraitua da, funtzio jarraituen kenketa delako.

b) Deribagarria da, funtzio deribagarrien kenketa delako.

c) g (b) = g(a) betetzen du. (konproba ezazu) Beraz, bertan Rolleren teorema betetzen da g(x)

funtzioan [a,b] tartean. Ondorioz:

Batez besteko balioaren teorema (frogapenaren jarraipena) Bada c puntu bat [a,b] tartekoa non g’(c)=0 den.

Hau da: g’(c) = f’(c)·(b-a)-[f(b)-f(a)]=0f(b)-f(a) = f’(c)· (b-a) frogatu

nahi genuen moduan.

Esanahi geometrikoa: (a,f(a)) eta (b,f(b)) puntuak zuzen batez lotuko bagenitu,

[f(b)-f(a)] / (b-a) zuzen horren malda litzateke. Ondorioz, teoremak diona da, badagoela [a,b] tartean gutxienik puntu bat (c) non f funtzioaren ukitzailea aurreko zuzenaren paralelo den.

Batez besteko balioaren teorema (Esanahi geometrikoa)

Y

a b

f(a)

f(b)

y=f(x)

Δx=b-a

Δy=

f(b

)-f(

a)

c

c puntuko ukitzaileak a eta b-tik pasa denebakitzailearen malda bera du. Hau da, bi zuzenak paraleloak dira.

X

Adibidea: Tren batek 300 km egin ditu 3ordutan. Bere batezbesteko abiadura(ebakitzailea) 100 km/h izan da. Teoremakdiona da 3 ordu horietan gutxienikmomentu bat egon dela trenaren abiadura100 km/h izan dena.

Oharra: f(a) = f(b) bada, orduan f’(c)=0 geratzen da, hau da, Rolleren teorema.