solucionario hayt

8/10/2019 solucionario hayt

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CAPTULO 2

2.1. Se hallancuatro cargas positivas 10nC en elplano z= 0 enlas esquinas de un cuadrado de 8cm en un lado.Una quinta carga positiva 10nC se localiza en un punto a 8cm de distancia de las otras cargas .. Calcule la

magnitud de la fuerza total en esta quinta cargapara= 0:

Ordene las cargas en el plano xy localizadas en (4,4), (4,-4), (-4,4), y(-4,-4). Entonces la quinta cargaestar en el ejez localizada enz= 4

2, que est colocado a 8cm de distancia de la cuarta carga.

Por simetra, la fuerza en la quinta carga se dirigir a z y ser cuatro veces lacomponente z de la fuerza

producida por cada una de las otras cuatro cargas.

F= 42

q2

40d2= 4

2 4( 8.85 10-12)(0.08)2 (10

8)2= 4.0 10-4N

2.2. Una carga Q1 = 0.1Cest localizada en el origen, mientras Q2 = 0.2C est enA(0.8, 0.6,0).Encuentre los puntos en el plano z = 0 en que lacomponente xde una terceracarga positiva es cero.

Para resolver este problema, las coordenadas zde la tercera carga es inmaterial, as podemos colocar

en el plano xy en las coordenadas (x,y,0). Tomamos su magnitud para ser Q 3. El vector dirigido de la pri

carga a la tercera es R 13 = xax+ yay ; el vector dirigido de la segundacarga a la tercera esR 23 = (x 0.8)ax+ (y +0.6)ay . La fuerza en la tercera carga es ahora

F3 =Q3

4 0

Q1R13

|R13|3+ Q2R23|R23|3

= Q3 106

40

0.1(xax+ yay )

(x2 + y2)1.5 +0.2[(x 0.8)ax+ (y + 0.6)ay]

[(x 0.8)2 + (y +0.6)2

Deseamos que la componente xsea cero. As,

]1.5

0 =

0.1xax

(x2 + y2)1.5+0.2(x 0.8)ax

[(x 0.8)2 + (y + 0.6)2]1.5

o

x[(x 0.8)2 + (y + 0.6)2]1.5 = 2(0.8 x)(x2 + y2)1.5

2.3. Las cargas puntuales de cada 50nCselocalizanen A(1,0,0),B(1,0,0),C (0,1,0), y D(0, 1,0)en espacio libre. Encuentrela fuerza total en la carga enA.

L a fuerza ser :

F =(50

109)2

4 0 RCA

|RCA |3+RDA

|RDA|3+RBA

|RBA |3

dondeRCA=ax ay , RDA=ax +ay , y RBA=2ax .Las magnitudes son|R CA | = |RDA| =

2,

y |RBA | = 2. Substituyendo estas se llegaa

F = (50 109)2

4 0

1

2

2+ 1

2

2+ 2

8

ax= 21.5ax N

en donde las distancias estnen metros .

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2.4. SeaQ1 =8 Clocalizada en P1(2,5,8) mientras Q2 = 5C est en P2(6,15,8). Sea = 0.a) Encuentrela fuerza F 2,en Q2: Esta fuerza ser

F2=Q1Q2

40

R12

|R12|3= (8 10

6)(5 106)40

(4ax+ 10ay )(116)1.5

= (1.15ax 2.88ay ) mN

b)Encuentrelas coordenadas deP 3 si una carga Q3 experimentauna fuerza total

F3 =0 en P3: Esta fuerza

ge neral ser:

F3=Q3

4 0

Q1R13

|R13|3+ Q2R23|R23|3

dondeR13 = (x 2)ax+ (y 5)ay y R23 = (x 6)ax+ (y 15)ay . Note, sin embargo, que

todas las cargas deben quedar en una lnea recta, y la localizacin de Q 3 estar a lo largo delvector R12extendindose despus de Q 2. La pendiente de este vector es (15 5)/(6 2) = 2.5. Por lo tbuscamosP3en las coordenadas (x,2.5x, 8). Con esta restriccin, la fuerzase vuelve:

F3=Q3

40

8[(x 2)ax+ 2.5(x 2)ay ]

[(x 2)2 + (2.5)2(x 2)2]1.55[(x 6)ax+ 2.5(x 6)ay]

[(x 6)2 + (2.5)2(x 6)2]1.5

en donde requerimos q ue el trmino en los grandes puntos singulares sea cero. Esto conduce a

8(x 2)[((2.5)2 + 1)(x 6)2]1.5 5(x 6)[((2.5)2 + 1)(x 2)2]1.5 = 0que se reduce a

8(x 6)2 5(x 2)2 = 0o

x= 6

8 2

58

5

= 21.1

Las coordenadas de P3 son as P3(21.1,52.8,8)

2.5. S ea una cargapuntual Q 125 nC localizado en P1(4, 2,7)y una carga Q2=60 nC esten P2(3,4, 2).a) Si

=0, encuentre E en P3(1,2,3): Este campo ser

E = 109

4 0

25R13

|R13|3+ 60R23|R23|3

en donde R 13 = 3ax +4ay 4az y R23 =4ax 2ay +5az. Adems, |R13| =

41y |R 23| =

45.

As

E = 109

4 0

25 (3ax+ 4ay 4az)

(41)1.5 + 60 (4ax 2ay+ 5az)

(45)1.5

= 4.58ax 0.15ay+ 5.51az

b) En qupunto en eleje y est E x=0? P3 est ahora en (0, y, 0), as R13 = 4ax + (y +2)ay 7azy R 23

=3ax

+(y

4)ay

+2az.Adems,

|R13

| =65 + (y +2)2 y

|R 23

| =13 + (y 4)2.

Ahora lacomponente xde E en el nuevoP 3 ser :

Ex=109

40

25 (4)

[65 + (y + 2)2]1.5+60 3

[13 + (y 4)2]1.5

Para obtenerEx= 0, requerimos quela expresin en elpunto singulargrande sea cero. Esta expresinsimplifica la siguiente cuadrtica :

0.48y2 + 13.92y + 73.10 = 0que produce los dos valores : y= 6.89, 22.11

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2.6 Las cargaspuntuales de 120 nC estn localizadasen A(0,0,1) y B(0,0, 1)en e spacio libre.a) Encuentre E en P (0.5,0,0): Este ser

EP=120 109

4 0

RAP

|RAP|3+ RBP|RBP|3

dondeRAP=0.5axaz y RBP=0.5ax+az. Adems , |RAP| = |RBP| = 1.25. As :

EP=120 109ax4(1.25)1.50

= 772 V/m

b)Qucarga simple en el origen proporcionara un campo de fuerza idntico ?Requerimos

Q0

40(0.5)2= 772

del que encontramos Q0= 21.5 nC.

2.7. Una cargapuntual2C se localiza en A(4,3,5) en espacio libre. Encuentre E ,E, y Ez en P(8, 12, 2). Te

EP=2 106

40

RAP

|RAP|3= 2 10

6

4 0

4ax+ 9ay 3az

(106)1.5

= 65.9ax+ 148.3ay 49.4az

Entonces, en el puntoP,=

82 +122 =14.4,=tan1(12/8) =56.3,y z = z. Ahora,E=Ep a=65.9(axa ) +148.3(aya ) =65.9 cos(56.3) +148.3 sen(56.3) =159.7

y

E=Ep a=65.9(axa ) +148.3(aya ) = 65.9 sen(56.3) +148.3 cos(56.3) =27.4Finalmente,E z

= 49.4

2.8. Dadas las cargaspuntuales de1C enP 1(0,0,0.5) y P2(0,0, 0.5), y una carga de 2C en el origen,encuentreE en P (0,2,1)en componentes esfricas, suponiendo = 0.El campo tomar la forma general:

EP=106

40

R1|R1|3

+ 2R2|R2|3 R3|R3|3

dondeR1, R2, R3 son los vectores de Pde cada una de las cargas listadas en su orden original .Especficamen

R1 = (0,2,0.5), R2 = (0,2,1), y R3 = (0,2,1.5).L as magnitudes son|R1| = 2.06, |R2| = 2.24,y |R 3| = 2.50. As

EP= 106

4 0

(0, 2, 0.5)(2.06)3

+ 2(0, 2, 1)(2.24)3

(0, 2, 1.5)(2.50)3

= 89.9ay+ 179.8azAhora, enP,r=

5,=cos1(1/

5) =63.4, y=90. As

Er=EPar=89.9(ayar ) +179.8(az ar ) =89.9 sen sen +179.8 cos =160.9E=EPa=89.9(aya) +179.8(az a) =89.9 cos sen +179.8(sen ) = 120.5

E= EP a= 89.9(ay a ) + 179.8(az a ) = 89.9cos = 0

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2.9. Una cargapuntual100 nC selocaliza en A(1,1,3) en espacio libre.a)Encuentreel lugar geomtrico de todos los puntos P(x,y,z) enque Ex=500 V/m:El campo total en P

EP=100 109

4 0

RAP

|RAP|3

dondeRAP= (x +1)ax+ (y 1)ay+ (z 3)az, y donde|RAP| = [(x +1)2 + (y 1)2 +(z 3)2]1/2. Lacomponente x del campo ser

Ex=100 109

40

(x + 1)

[(x + 1)2 + (y 1)2 + (z 3)2]1.5

= 500 V/m

Yasnuestra condicin se vuelve:

(x +1) =0.56 [(x +1)2 + (y 1)2 + (z 3)2]1.5

b) Encuentrey 1 si P (

2, y1,3)est en ese lugar geomtrico: En punto P, la condicin del inciso asevu

3.19 =1 + (y1 1)2

3del cual (y 1 1)2 =0.47, oy1 =1.69 o 0.31

2.10. Las cargas de 20 y-20 nC estn localizadas en (3,0,0)y d(3,0,0), respectivamente. Sea = 0.Determine|E|en P (0, y, 0): El campo ser

EP=20 109

4 0

R1

|R1|3 R2|R2|3

dondeR1, el vector de la carga positiva al punto P es(3, y, 0), yR2, el vector dela carga negativa al punto P, es (3, y, 0). Las magnitudes de estos vectores son |R 1| = |R2| =

9 + y2. S ubstituyendo estos en la expresin paraEPproduce

EP=20 109

4 0

6ax(9 + y2)1.5

del cual

|EP| =1079

(9 + y2)1.5 V/m

2.11. Una carga Q0 local izada en el origen produce en espacio libre un campo para que Ez = 1 kV/m en el puntoP (2, 1, 1).

a) EncuentreQ0:E l campo en P ser

EP=Q0

40

2ax+ ay az61.5

Desdeque lacomponente zes de valor1 kV/m, encontramosQ0 = 4 061.5 103 = 1.63C.

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2.11. (continuacin)

b) EncuentreE en M(1,6,5)en coordenadas cartesianas: Este campo ser:

EM=1.63 106

40 ax+6ay+5az[1

+36

+25]1.5

o EM= 30.11ax 180.63ay 150.53az.

c) Encuentre E enM(1,6,5)en coordenadas cilndricas: En M,= 1 +36 =6.08,=tan1(6/1) =80.54, y z =5. Ahora

E=EMa= 30.11 cos 180.63 sen = 183.12

E=EMa= 30.11(sen ) 180.63 cos =0 (como lo esperado)as queEM= 183.12a150.53az.

d) Encontrar E en M(1,6,5)en coordenadas esfricas: En M,r=

1

+36

+25

=7.87,

=80.54

(com

anteriormente), y =cos1(5/7.87)=50.58. Ahora, desde que la carga est en el origen, esperamosobtener solamente unacomponente radial deEM. E staser :

Er=EMar= 30.11 sen cos 180.63 sen sen 150.53 cos = 237.1

2.12. La densidad de carga volumtrica v= 0e|x||y||z|existe por encima de todos los espacios libres. C alculeltotal presente: Esta ser8 veces la integral de vpor encima del primer octante, o

Q = 8

0

0

0

0exyz dx dy dz = 80

2.13. Una densidad uniforme de carga voumtrica de0.2C/m3 (noteerror en el libro) est presente por toda la cu

es frica extendindose desde r=3 cm a r=5 cm. Si v=0por otra parte:a) Encuentrela carga total presente por toda la cubierta: Esta ser

Q =2

0

0

.05.03

0.2r 2 sen dr d d=

4(0.2)r3

3

.05.03

= 8.21 105 C = 82.1 pC

b) Encuentrer 1 si la mitad de la carga total est localizada en la regin3 cm< r < r 1: Si la integral sobre

el inciso a es llevada a r1, obtendriamos4(0.2)

r3

3

r1.03

= 4.105 105

As

r1=

3 4.105 1050.2 4 + (.03)

3

1/3= 4.24 cm

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2.14. Sea

v= 5e0.1 ( ||)1

z2 + 10 C/m3

en la regin0 10, < < , todo z, y v=0por otra parte.a) Determinela carga total presente: Esta ser la integral de v so bre la regin donde existe;

especficamente,

Q =

100

5e0.1 ( ||) 1z2 + 10 d d dz

que se vuelve

Q = 5

e0.1

(0.1)2(0.1 1)

100

2

0

( ) 1z2 + 10 d dz

o

Q = 5 26.4

2

1

z2 + 10 dz

Finalmente,

Q = 5 26.4 2

110

tan1

z10

= 5(26.4)3

10

= 1.29 103 C = 1.29 mC

b) Calcule la carga dentro de la regin 0 4, /2 < < /2, 10 < z < 10: Con loslmites as cambiados, la integralparalas cargas se vuelve:

Q=10

102

/20

40

5e0.1 ( ) 1z2 + 10 d d dz

Siguiendo con la misma evaluacin procedemos como en el inciso a, obtenemosQ=0.182 mC.

2.15. Un volumen esfrico que tieneun radio2mcontiene una densidad uniforme de carga volumtrica de1015 C/m

a) Qucarga totalse englobaen el volumen esfrico?

Este ser Q = (4/3)(2 106)3 1015 =3.35 102 C .b) Ahora supongaque una regin grande contiene una de estas esferas pequeas a cada ngulo de una red c

de 3mm en un lado, y que no hay carga entre las esferas. Cules el promedio de la densidad de carga

volumtrica por toda esta regin grande? Cada cubo contendr el equivalente de una esfera pequea.

Despreciando el volumen de la esfera pequea, la densidad promedio se vuelve

v,avg=3.35 102

(0.003)3 =1.24 106 C/m3

2.16. La regin en que4 < r < 5, 0 < < 25, y 0.9 < < 1.1 contiene la densidad de carga volumtricde v=10(r4)(r5)sen sen(/2). Fuera de la regin,v=0. Encuentrela carga dentro de la reginLa integral queproporcionala carga ser

Q = 101.1

.9

250

54

(r 4)(r 5)sen sen(/2) r2 sen dr d d

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2.16. (continuacin) Llevando fuera la integral, obtenemos

Q = 10

r5

5 9 r

4

4+ 20 r

3

3

54

1

2 1

4sen(2 )

250

2cos

2

1.1.9

=10(

3.39)(.0266)(.626)

=0.57 C

2.17. U na lnea de carga uniforme de16 nC/m est localizada a lo largo de la lnea definida por y= 2,z =5. Si a) Encuentre E en P (1,2,3): Este ser

EP=l

2 0

RP

|RP|2

dondeRP= (1,2,3) (1, 2,5) = (0,4, 2), y |RP|2 =20. As

EP=16 109

2 0 4ay 2az

20 = 57.5ay 28.8az V/m

b) EncuentreE en el punto en el plano z=0 donde la direccin deE est dada por(1/3)ay (2/3)azCon z =0, el campo general ser

Ez=0=l

2 0

(y + 2)ay 5az

(y + 2)2 + 25

Requerimos|Ez| = |2Ey |, as 2(y +2) =5. As y=1/2, y el campo se vuelve:

Ez=0 =l

2 0

2.5ay 5az(2.5)2 + 25

= 23ay 46az

2.18. Una lnea de cargas uniformes de0.4C/m y 0.4C/m se localizanen el plano x= 0 en y= 0.6 yy=0.6 m,respectivamente. Sea= 0.

a) EncuentreE en P(x, 0, z): En general, tendremos

EP=l

20

R+P|R+P|

RP|RP|

dondeR+P y RP son, respectivamente, los vectores dirigidos de la lnea de cargas positiva y negatival puntoP, y estos son normalesal ejez. As tenemosR+P= (x,0, z) (0, .6, z) = (x,.6,0), y RP= (x,0, z) (0, .6, z) = (x, .6,0). As

EP=l

2 0

xax+ 0.6ayx2 + (0.6)2

xax 0.6ayx2 + (0.6)2

= 0.4 10

6

20

1.2ay

x2 + 0.36

= 8.63ay

x2 + 0.36 kV/m

20


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2.18. (continuacin)

b) Encuentre E en Q(2,3,4): Este campo ser en general:

EQ=l

20

R+Q|R+Q|

RQ|RQ|

dondeR+Q=

(2,3,4)

(0,

.6,4)=

(2,3.6,0), y RQ=

(2,3,4)

(0, .6,4)=

(2,2.4,0).

As

EQ=l

2 0

2ax+ 3.6ay22 + (3.6)2

2ax+ 2.4ay22 + (2.4)2

= 625.8ax 241.6ay V/m

2.19. Una lnea de carga uniforme2C/m est localizada en el eje z. Encuentre E en coordenadas cartesianas

P(1, 2 ,3) si la carga se extiende de

a) < z


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2.21. Dos cargas lineales uniformesidnticas con l=75 nC/m estn localizadas en espacio libre en x=0, y=Qu fuerza por la longitud unitaria hace a cada cargalineal ejercer en la otra? Las cargas son paralelas al eje

y est separadas por 0.8 m.As el campo de la carga en y= 0.4 evaluado en la localizacin de la cargaen y= +0.4 serE = [ l /(20(0.8))]ay . La fuerza en una longitud diferencial de la

lnea en la localizacin positiva yes dF = dq E = l dzE. As la fuerza por longitud unitaria que acta en lalnea en ypositivase originade la carga en ynegativa es

F =1

0

2l dz

2 0(0.8)ay= 1.26 104 ay N/m = 126 ay N/m

La fuerza en la lnea en ynegativa es del mismo curso, pero cona y .

2.22. Una densidad de carga superficial uniforme de 5 nC/m2 est presente en la reginx=0, 2< y < 2, y todo= 0, encuentreE en:

a) PA(3,0,0): Usamos la de superposicin integral:

E=

s da

40

r r

|r r|3donder =3axy r= yay+ zaz. La integral se vuelve :

EP A=s

40

22

3ax yay zaz[9 + y2 + z2]1.5 dy dz

Ya que los lmites de la integracin son simtricos sobre el origen, y dadoque las componentes yy zde

los integrandos exhiben la paridad impar (cambiando signos cuando cruzan el origen, pero por otra parte sim

stos integrarn a cero, dejando nicamente lacomponente x. Esto es evidente justamente de la simetra

del problema. Realizando la integracin de z primero en lacomponente x, obtenemos (usando las tablas)::

Ex,PA=3s

4 0

22

dy

(9 + y2)

z

9 + y2 + z2

= 3s2 0

22

dy

(9 + y2)

= 3s2 0

1

3

tan1

y3

22= 106 V/mSe alienta al alumno a verificar que si los lmitesydondea, el resultado seraque del

plano de carga infinita, oEx= s /(20).b) PB (0,3,0): En este caso, r = 3ay , y por simetra indica que nicamente unacomponente ye xistir.

La integral se vuelve

Ey,PB= s40

2

2(3 y) dy dz

[(z2 + 9) 6y + y2]1.5=s

2 0

2

2(3 y)dy

(3 y)2

= s20

ln(3 y)22= 145 V/m

22


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2.23. Dada la densidad de carga superficial, s=2 C/m2, en la regin < 0.2 m, z =0, y es cero por otra parte,encuentreE en :

a) PA(= 0, z= 0.5): Primero, reconocemos por simetra que nicamente unacomponente zdeE estarpresente. Considerando un punto general z en el eje z, tenemos r = zaz. Entonces, conr= a ,obtenemosr

r

=zaz

a . La integral de superposicin delacomponente zde E ser:

Ez,PA=s

4 0

20

0.20

z d d

(2 + z2)1.5= 2s

4 0z

1

z2 + 2

0.20

= s20

z

1z2

1z2 + 0.4

Con z =0.5 m, la evaluacin de arriba comoEz,PA=8.1 kV/m.b) Con zen0.5 m, evaluamos la expresin para Ezpara obtener Ez,PB = 8.1 kV/m.

2.24. La densidad de carga superficial est posicionada en espacio libre como los siguientes: 20 nC/m2 enx

=3, 30nC

y=4, y 40 nC/m2 en z=2. Encuentrela magnitud deE en los tres puntos,(4,3, 2),(2,5, 1),y (0,0,0). Ya queque las tres lminas son infinitas, la magnitud del campo asociado con cada uno ser

s /(20),que es la posicin independiente. Por esta razn, la magnitud del camponet ser la misma

en todas partes, mientras la direccin del campo depender en qu lado de una lmina dadase posiciona uno.

Tomamos el primer punto,por ejemplo, y encontramos

EA=20 109

20ax+

30 10920

ay40 109

20az= 1130ax+ 1695ay 2260az V/m

La manitud deEAesas3.04 kV/m. Esta ser la magnitud en los otros dos puntos tambin.

2.25. EncontrarE

en el origen si lassiguientesdistribucionesde cargas estnpresentesenespacio libre: una carga puntuaen P (2,0,6); una densidad de carga lineal uniforme, 3nC/m en x= 2,y=3; densidad de carga supeuniforme 0.2 nC/m2 en x=2. La suma de los campos al origen de cada carga en orden es:

E =

(12 109)4 0

(2ax 6az)(4 + 36)1.5

+

(3 109)20

(2ax 3ay )(4 + 9)

(0.2 109)ax20

= 3.9ax 12.4ay 2.5az V/m

2.26. Una densidad de carga lineal uniforme de5 nC/m est en y=0, z =2 m en espacio libre, mientras5 nC/mlocalizada en y=0,z=2 m. Una densidad de carga superficial uniforme0.3nC/m2 est en y=0.2 m, y0.3nC

est en y= 0.2 m. Encuentre|E

|en el origen: Desde que cada par consiste encargas iguales y opuestas,el efecto enorigen es doblar el campo producido por uno de cada tipo. Tomando la suma de los campos enel origen desdela superficie y cargas lineales, respectivamente, encontramos:

E(0, 0, 0) = 2 0.3 109

20ay 2

5 10920(2)

az= 33.9ay 89.9az

as que|E| = 96.1 V/m.

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2.27. Dado el campo elctricoE = (4x 2y)ax (2x +4y)ay , encuentre:a) la ecuacin de lnea de corriente que atraviesa el punto P (2,3, 4): Escribimos

dy

dx= Ey

Ex= (2x + 4y)

(4x 2y)

De este modo2(x dy + y dx) = y dy x d x

o

2 d(xy) = 12

d(y 2) 12

d(x2)

As

C1 +2xy=1

2y2 1

2x2

o

y2 x2 = 4xy + C2Evaluando en P (2,3,

4), obtenemos:

9 4 = 24 + C2, orC2= 19

Finalmente,en P, la ecuacin requerida es

y2 x2 = 4xy 19

b) un vector unitario especificando la direccin de E en Q(3, 2,5): Tiene EQ=[4(3) +2(2)]ax [2(3) 4(2)]ay=16ax+2ay . Entonces |E| =

162 +4 =16.12.As

aQ=16ax

+2ay

16.12 = 0.99ax+ 0.12ay

2.28. SeaE =5x3 a x15x2yay , y encuentre:a) la ecuacin de la lnea de corrienteque atraviesa P (4,2,1): Escribimos

dy

dx= Ey

Ex= 15x

2y

5x3 = 3y

x

Asdy

y= 3 dx

x ln y= 3 ln x + ln C

De este modo

y= e3 ln x eln C = Cx3

En P, tenemos 2 = C/(4)3 C=128. Finalmente, en P,

y= 128x3

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2.28. (continuacin)

b) un vector unitarioaEespecificando la direccin deE en Q(3, 2,5): En Q, EQ=135ax+270ay , y|EQ| = 301.9. De este modoaE=0.45ax+0.89ay.

c) un vector unitario a N= (l, m,0) que es perpendicular a aEen Q: Ya que este vector no tiene ningunacomponente z ,podemos encontrarlo atravesando aN

=(aE

az). Realizando estas, encontramos aN

=(0.89ax

0..

2.29. SiE =20e5y

cos 5xaxsen 5xay,encontramos:

a) |E|en P(/6,0.1,2): Substituyendo este punto, obtenemos EP= 10.6ax6.1ay , y as |EP| =12.2.

b) u n vector unitario en la direccin de EP: El vector unitario asociado conE es justamentecos 5xaxsen 5,

que evaluando en P se vuelvea E= 0.87ax 0.50ay .c) la ecuacin de la lnea de direccinque pasa a travs de P: Use

dy

dx= sen 5x

cos 5x= tan 5x dy= tan 5x d x

As y= 15 ln cos 5x + C. Evaluando en P,encontramos C=0.13, y as

y= 15

lncos5x + 0.13

2.30. Dada la intensidad de campo elctricoE =400ya x+400xayV/m, encuentre:a) la ecuacin de la lnea de corrientepasando a travs del punto A(2,1, 2): Escribe:

dy

dx= Ey

Ex= x

y x d x= y dy

As x2 = y2 + C. Evaluando en Aproduce C=3, as la ecuacin se vuelve

x2

3 y

2

3= 1

b) la ecuacin de la superficie en que|E| = 800 V/m: Tiene|E| = 400

x2 + y2 =800. Asx2 + y2 = 4, o tenemos una superficie circular-cilndrica, centrada en el eje z, y de radio2.

c) En un dibujo del inciso ala ecuacin producir una parbola, centrada en elorigen, cuyoeje es el

eje positivo x, y para que laspendientesde las asntotas sean

1.

d) Un dibujo del trazo producido por la interseccin de la superficie en el inciso bconel planoz= 0produciraun crculo centrado en el origen,deradio2.

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2.31. E n coordenadas cilndricas conE(,) = E (,)a +E (,)a , la ecuacin diferencial que describelas lneas de direccin es E /E= d/(d)en cualquier planoz-constante. Derivela ecuacin de la lneque pasa a travs del punto P (=4, =10, z=2)en el campoE =22 cos 3a+22 sen 3a:

Usando la informacin dada, escribimos

E

E =d

d = cot 3

De este modod

= cot 3 d ln = 1

3ln sen 3 +ln C

o= C(sen 3)1/3. Evale estoen Ppara obtener C=7.14. Finalmente,

3 =364 sen 3

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