Teoria Electromagnetica Hayt Wllian

8/14/2019 Teoria Electromagnetica Hayt Wllian

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Ejercicio 4.1

El valor de E en esta dado por

Determinar el trabajo incremental requerido para mover una carga de

20uCuna distancia de

6um.

a) En la direccin de b) En la direccin de c) En la direccin de d) En la direccin de Ee) En la direccin de

Solucin:

Q = 20uC =

a.

( ) Rta. b.

( ) Rta.

c.

( ) Rta. d.

( )

( )


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( )( )

( ) ( )

( ) Rta. e.

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

Rta .


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4.2) Un campo elctrico esta dado por V/m. encontrar:

a) Encontrar E en P(5,0,/12)

b) Cunto trabajo se realiza en mover una carga de 2nC a una distancia incremental de1mm desde P en la direccin de ?

c) En la direccin

d) En direccin

( ) e) de ( )?

Vector unitario

( )

4.3) Si V/m, encontrar la cantidad de trabajo incremental realizado para

mover una carga de 50uC una distancia de 2mm de:


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a) P(1,2,3) hacia Q(2,1,4);

:

(Q-P)=(2,1,4)-(1,2,3)=(1,-1,1)

b) Q(2,1,4) hacia P(1,2,3)(P-Q)= (1,2,3)- (2,1,4)=(-1,1,-1)

Ejercicio 4

Se ha visto que la energa necesaria para llevar una carga de desde el origen alo largo del eje es directamente proporcional al cuadrado de la longitud de la trayectoria.

Si en , determine sobre el eje como funcin de .

Solucin:


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Como la condicin dice que cuando:

4.5) Calcular el valor de para con A(1,-1,2) y P(2,1,2) utilizando latrayectoria: a) segmentos de lneas rectos entre los puntos A(1,-1,2) a B(1,1,2) a P(2,1,2); b)segmentos de lnea rectos entre los puntos A(1,-1,2) a C(2,-1,2) a P(2,1,2).

Desarrollo

a) Tenemos los puntos: A(1,-1,2) B(1,1,2) P(2,1,2)

Para calcular , analizamos la direccin de la componente en x desde A a P, siguiendo latrayectoria desde A a B tenemos que x sigue una lnea recta no existe un cambio, pero delpunto B a P existe una variacin en x, con y= 1, analizando la integral tenemos.


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2

b) Tenemos los puntos:

A(1,-1,2)

C(2,-1,2) P(2,1,2)

Para calcular seguimos el mismo procedimiento que el inciso anterior. La trayectoriadesde el punto A a C existe una variacin en x, con un valor de y= -1, ahora analizando laintegral tenemos que:

-2

4.6.- Determinar el trabajo realizado en llevar una carga de -2uC de (2, 1, -1) a (8, 2, -1) en elcampo E= y + a lo largo de:

a) la parbola

Resolucin:


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//

b) La hiprbole

y=- +

| |

//c) la lnea recta


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| |

//

4.7) Sea .Dado un punto inicial y un punto final ,

encontrar utilizando la trayectoria: a) lnea recta ;b)parbola: .a)

, Reemplazando

[ ] ( )

+ |


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4.8 dado encontrar el trabajo necesario para mover una carga unitariapositiva en un arco circular centrado desde a hasta Tenemos el punto inicial

Y el punto final

4.9 Una densidad de superficie uniforme de 20 nC/m 2 se encuentra en la superficie de laesfera de un radio cm en el espacio libre. a) Encontrar el potencial absoluto en . b) Encontrar dados los puntos y

a) Primero encontramos el flujo elctrico de una esfera de radio .

Utilizando la frmula de potencial en cualquier punto ubicado a una distancia

b) Los valores de potencial se pueden encontrar localizando las distancia de y

radialmente


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4.10 Exprese el campo de potencial de una carga lineal finita

a) Con referencia cero en

b) Con en

c) Puede localizarse la referencia cero en el infinito?

NoPorque?

No, porque tendramos un potencial indefinido

4.11. Una densidad de carga de superficie uniforme de 5nC/m 2 esta presente en el planoz=0, otra densidad de carga de superficie uniforme de 8nC/ m 2 esta presente en x=0, z=4 yuna carga puntual de 2uC en P(2,0,0). Si V=0 en M(0,0,5), encontrar V en N(1,2,3).

Para la carga puntual tenemos


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| |

Para el plano tenemos z=0

Para la superficie tenemos x=0 y z=4.

| |

Por lo tanto


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Ya obtenido el valor de la constante se procede hacer el estudio de V en N(1,2,3):

Entonces para calcular Vn tenemos:

( )

( )

( )

Ejercicio 4.12

en coordenadas esfricas. Encontrar el potencial en cualquier puntoutilizando la referencia a) en el infinito; b) en c) en

Solucin:

a)


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Evaluando en para hallar C

b)

de la parte (a)


c)

de la parte (a)



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4.14.- Dado un campo electrosttico , encontrar la

diferencia de `potencial entre los puntos.

a) (2, -2, -1) y (0, 0, 0)

Para resolver escogemos una trayectoria a lo largo de la cual el movimiento ocurre en una

direccin de la coordenada. Empezando al origen, primero desplazamos a lo largo del eje de0 a 2, dnde =0, luego a lo largo de de 0 a 2, dnde es 2, luego a lo largo de de 0 a -1.Entonces el arreglo es:

| | - | | | | |

b) (3, 2, -1) y (-2, -3, 4)

| | -

| | | | |


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(1)(5) -2(-5) = 10Ejercicio 4.15

Dos lneas de cargas uniformes de , cada una se localizan en , y en, en el espacio libre. Si el potencial en el origen en 100V, encontrar V en.Solucin:

Para la primera lnea de carga

es la distancia de la lnea , al punto del campo

| | Para el origen

Para el punto P

Se evita calcular la constante C1 restando un potencial a otro


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Para la segunda lnea de carga

es la distancia de la lnea , al punto del campo

| | Para el origen

Para el punto P

Se evita calcular la constante C2 restando un potencial a otro


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4.16. El potencial en cualquier punto del espacio est dado por la expresin

donde son constantes. a) Dnde se encuentra la referencia de potencial

cero? b) encontrar la intensidad del campo elctrico vectorial en cualquier punto

SOLUCION:

a)

Esta condicin se cumplir para

que se cumple si

O se cumple para

que se cumple si o sus mltiplos

b)

4.17.- Dos densidades de carga de superficie uniformes de 6 y 2nC/ estn presentes eny 6cm respectivamente en el espacio libre.

Suponer que V=0 en y calcular V en:

a) En , V=0; el potencial en 5cm ser la diferencia de potencial entre y


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|

- = - 3.024V

- - - | | - ( )

[-5.4953 4.1785] = -9.674V

4.18.- Encontrar el potencia en el origen que produce una lnea de carga

que se extiende a lo largo del eje x desde hasta + , donde Suponer que el

punto de referencia cero est en el infinito .

Solucin:


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El inverso de la tangentecuando valeinfinito es rad/seg.y cuando el inverso de la tangente vale

1 es rad/seg. Entonces:

2.19 Una superficie anular de , tiene una densidad de carga deSuperficie no Uniforme . Encontrar V en si en elinfinito.

| | Donde:

Remplazando tenemos los limites en la integral tenemos

Remplazando

2.20 Una carga Puntual Q se localiza en el Origen. Expresar el potencial en coordenadas

Cartesianas y cilndricas y utilizar gradiente en estos sistemas de coordenadas para

encontrar la intensidad de Campo elctrico. Puede verificarse el resultado convirtindolos

a coordenadas esfricas.

Potencial En C. Cartesianas En C. Cilndricas


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Convertimos la intensidad de campo a coordenadas Esfricas

( )

( )

( )

Encontramos E para el caso de coordenadas cilndricas:

Convertimos E a coordenadas esfricas

( )

( ) ( )

Observamos que la expresin de intensidad de campo elctrico da el mismo resultado al

convertir a coordenadas esfricas E en coordenadas Cartesianas y E en coordenadas Esfricas


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4.21) Sea ( )en el espacio libre. Evaluar cada una delas cantidades siguientes en P(3,2,-1);

a) V

b) | | | | c) E

d)| |

| | e) a N

| |

f) D

D= pC/m 2

4.22 Un determinado campo de potencial est dado por encoordenadas esfricas. Encontrar la carga total contenida dentro de la regin .


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{ } Si se considera que |

4.23) Se sabe que un potencial est dado por . Suponiendo

condiciones en el espacio libre, encontrar:

a) E

b) La densidad de carga volumtrica en

c) La carga total dentro de la superficie cerrada , 0


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Desarrollo:

La Funcin de potencial ser de la forma V(x,y,z) ya que tenemos componentes rectangularesen la ecuacin que define la superficie.

+ C1| | Evaluando | | en el punto P, tenemos:

| | | | Remplazando el valor de

| | y despejando el valor de C, tenemos:

C= 0.322

Obtenido el valor de C, remplazamos en

La constante C1, es necesaria solamente para asegurar un potencial de 200V en el punto P.

EJERCICIO 4.25

Dentro del cilindro el potencial est dado por a) Encontrar V, E, D y en P (1, 60, 0.5) en el espacio libre.

Primero encontramos V en el punto P :

Ahora podemos encontrar E sabiendo que:

Para coordenadas cilndricas el gradiente es:


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Remplazando los valores en la frmula tenemos:

Con l valor de E podemos encontrar D:

( ) Para determinar pv podemos realizar el siguiente procedimiento

La divergencia en coordenadas cilndricas es:

( ) Remplazando los valores en la frmula tenemos:

b) Cunta carga se encuentra dentro del cilindro?

Para encontrar la carga podemos realizar la siguiente integral:


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|

2.26. Supngase que se tiene un plano conductor imperfecto de forma cuadrada muydelgado de 2 m de lado, ubicado en el plano z=0 con una esquina en el origen de tal formaque se localice totalmente dentro del primer cuadrante. El potencial en cualquier punto de laplaca esta dado por

a) Un electrn ingresa a la placa por el punto x=0, y= /3 con una velocidad inicial decero: en que direccin es su movimiento inicial?

b) Debido a colisiones con partculas de la placa el electrn alcanza una velocidadrelativamente baja y poca aceleracin (el trabajo que el campo realiza en ella seconvierte en su mayor parte en calor). Por lo tanto, el electrn se mueveaproximadamente em lnea recta. en que parte el electrn abandona la placa y enque direccin se esta moviendo?

Literal a).-

( ) Por lo tanto en la direccin del movimiento inicial es:

Con x=0 , y= /3

Literal a).-

Para resolver este literal primeramente tenemos que encontrar la lnea de flujo delejectron. Entonces tenemos:


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Por lo tanto la ecuacin de la lnea de flujo es:

Obtenido esto procedemos a encontrar la en que parte el electron abandona la placa:

Esto se logra evaluando en el punto del electron x=0, y= /3:

Cuando x=0 tendremos:

Entonces con y=0; tenemos

Por tanto tenemos q el punto de salida va a ser por (0.69, 0)

Dicho esto tenemos que la direccin de salida va a ser por la componente

4.27) dos cargas puntuales de 1nC en (0, 0, 0.1) y -1nC en (0, 0, -0.1) se encuentran en elespacio libre.

a) Calcular V en P (0.3, 0, 0.4).


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| | | |

| | | |

b) calcular | | en P.| |

| | | |

| | c) supngase que las dos cargas forman un dipolo en el origen, calcular V en P.


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28. Utilizar la intensidad de campo elctrico del dipolo de la (seccin 4.7, Ecuacin 36)para encontrar la diferencia de potencial entre los puntos a y b , cada uno de ellosteniendo las mismas coordenadas r y . En qu condiciones la respuesta cumple con laecuacin (34) para el potencial en a?

Ecuacin 34

Si a (el punto final de la ruta) es 90 (el plano xy). Bajo esta condicin, se observa que si b>90, de trabajo pos itivo se realiza cuando se mueve (contra el campo) para el plano xy, y si b


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| | | | ( )

( ) ( )

Ejercicio 4.30

Un dipolo para el que se ubica en el origen Cul es la ecuacin de lasuperficie en la que ?

Por lo que observamos que ser 0 cuando

Utilizando la identidad y despejando


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Observamos que

La ecuacin de la superficie en la que nos dar.

31. Un campo de potencial en el espacio libre se expresa como V=20/(xyz)V. a) Encontrarla energa total almacenada dentro del cubo 1x,y,z2. b) Cul es el valor que seobtendra suponiendo una densidad de energa uniforme igual a la que hay en el centro delcubo?

a)


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b) C(1.5,1.5,1.5)

4.32 a) Utilizando la ecuacin (36), encontrar la energa almacenada en el campo dipolar enla regin r>a. b) Por qu no es posible que a se aproxime a cero como lmite?

Solucin:

Ecuacin (36)


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b) A partir del resultado anterior, una singularidad en la energa se produce cuando a 0.Ms importante, a no puede ser demasiado pequea, o el campo lejano original utilizada paraderivar la ecuacin (36) ( a>> d) no se mantendr, y as la expresin de campo no ser vlida.

4.33) Una esfera de cobre de radio igual a contiene una carga total distribuidauniformemente de en el espacio libre. Utilice la ley de Gauss para encontrarD fuera de la esfera. Calcular la energa total almacenada en el campoelectrosttico. Utilizar para calcular la capacitancia de la esferaaislada.


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En donde

|


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4.34 Una esfera de radio a contiene una densidad uniforme de carga volumtrica de . Encontrar la energa total almacenada aplicando a) la ecuacin (43); b) la ecuacin(45)Solucin.

Donde:

Para Para

a) Ecuacin 43


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Para

Para


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a) Ecuacin 45

Para

Para


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4.35 Cuatro cargas puntuales de 0.8 nC se ubican en el espacio libre en las esquinas de un

cuadrado de 4cm de lado.

a) Encontrar la energa potencial total almacenada.

Como tenemos 4 cargas:

b) Una quinta carga de 0.8nC este en el centro del cuadrado. Encontrar de nuevo la energa total

almacenada.

La distancia de la quinta carga a

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