Solucionario

Solucionario

Hacia la universidad Probabilidad y estadística OPCIÓN A

1. Se lanza un dado cargado cuyas caras con números múltiplos de tres tienen triple probabilidad de salir que cada una de las otras. Halla la probabilidad de obtener un número menor o igual que tres al lanzar el dado una sola vez.

Sea X el número que obtengo al lanzar el dado, X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Como el dado está cargado:

( 1) ( 2) ( 4) ( 5)

( 3) ( 6) 3

P X P X P X P X p

P X P X p

= = = = = = = = = = = = p + p + 3p + p + p + 3p = 1 10p = 1 p =

10

1

Y la probabilidad que nos piden es: ( ) ( ) ( ) ( )2

1

10

3

10

1

10

13213 =++==+=+==≤ XPXPXPXP

2. Sabiendo que ( ) 0,55P A B∩ = , P(A) = 0,4 y P(B) = 0,35, ¿son independientes A y B?

A y B son dos sucesos independientes si y solo si ( ) ( ) ( )BAPBPAP ∩=⋅ .

Ahora bien, ( ) ( ) ( ) ( ) 45,055,011 =−=∪∪−=∪=∩ BAPBAPBAPBAP

( ) ( ) ( ) ( )

=⋅=⋅=−+=∩−+=∩

14,035,04,0)()(

3,045,035,04,0

BPAP

BAPBPAPBAPson distintos A y B son dependientes.

3. En un almacén hay tres estanterías en las que hay colocados dos tipos de productos: A y B. En la

primera hay 30 de tipo A y 40 de tipo B; en la segunda, 10 de tipo A y 50 de tipo B, y en la tercera, 25 de tipo A y 25 de tipo B.

a) Si elegimos una estantería y un producto al azar, calcula la probabilidad de que este sea del tipo A. b) Si elegimos un producto al azar de una de las estanterías y resulta que es del tipo B, halla la

probabilidad de que proceda de la segunda estantería.

a) 1 30 1 10 1 25 18 7 21 23

(tipo ) 0,3653 70 3 60 3 50 126 63

P A+ += ⋅ + ⋅ + ⋅ = = =

b) ( ) ( )( )

1 50 52ª tipo 73 60 182ª tipo 0,4375

23 40tipo 16163 63

P E BP E B

P B

⋅∩= = = = =

−

4. Las visitas que recibe una página web en un día siguen una distribución normal de media 5825 visitas y desviación típica 325 visitas. Se eligen al azar 40 días. Calcula la probabilidad de que haya menos de 234 000 visitas.

Sea X la distribución del número de visitas que recibe la página web en un día: ( )5825,325X N≈ . Entonces,

el número de visitas que recibe una página web en 40 días sigue una distribución normal:

( ) ( )40 5825;325 40 233000; 2055,48T N N≈ ⋅ =

P(T < 234 000) = ( ) ( )234000 233000234000 0,49 0,6879

2055,48P T P Z P Z

− < = < = < =

5. Se sabe que la desviación típica del peso de las sandías de una plantación es de 750 g. Calcula el número mínimo de sandías que se han de elegir para, con un nivel de confianza del 95%, estimar el peso medio de cada una con un error menor de 300 g. Explica los pasos realizados para obtener el resultado.

Del enunciado se deduce que: σ = 750 g; 1 – α = 0,95 2

zα = 1,96 y E < 300.

El error máximo admisible es: n

zEσ⋅= α

2

.Así que sustituyendo tenemos que: .01,24300750

96,1 ><⋅ nn

Por tanto, el número de sandías que debemos coger para la muestra debe ser n = 25.

118

1º E

3º E

2º E

A

B

A

B

A

B

13

13

13

3070

40701060

5060

2550

2550

Solucionario

6. Las tallas de los alumnos que cursan primero de ESO siguen una distribución normal de media μ = 166

cm y desviación típica σ = 8 cm, mientras que las tallas de los alumnos que cursan primero de Bachillerato siguen una distribución normal de media μ = 173 cm y desviación típica σ = 10 cm. Se eligen al azar 40 alumnos de primero de ESO y 35 de primero de Bachillerato. Halla la probabilidad de que la diferencia entre las tallas medias de las muestras sea inferior a 6 cm.

La diferencia de las medias de las tallas en el muestreo sigue una distribución normal: 2 2 2 21 2

1 2 1 21 2

10 8; 173 166; (7; 2,11)

35 40X X N N N

n n

σ σ − ≈ μ − μ + = − + =

.

Así, la probabilidad será:

( ) ( ) ( ) ( ) 3192,06808,0147,0147,047,011,2

76621 =−=<−=>=−<=

−<=<− ZPZPZPZPXXP

7. Una empresa está estudiando la duración de un electrodoméstico. Se tomó una muestra aleatoria

formada por 56 aparatos y se obtuvo que la duración media fue de 3,4 años, con una desviación típica de 1,2 años.

a) Halla un intervalo de confianza para la duración media del aparato para la población considerada al nivel de confianza del 85%.

b) Repite el apartado a para niveles del 95% y del 99%.

c) Compara las longitudes de los intervalos obtenidos en a y b, e interpreta según los distintos valores del nivel de confianza.

d) ¿Cuál debería ser el tamaño de la muestra para tener la certeza al nivel del 90% de que el error máximo cometido es del 5%?

a) Se quiere estimar la media poblacional μ con σ desconocida y una muestra de tamaño n = 56. El estimador

que se utiliza es la media muestral X , que sigue una distribución normal

μ

n

sN

ˆ, . Fijando el nivel de

confianza 1 – α = 0,85 se obtiene que el valor crítico es 2αz = 1,44. Para x = 3,4 y s = 1,21 construimos el

intervalo de confianza para la media poblacional μ a partir de un valor particular del estimador media

muestral X de la muestra elegida:

2 2

ˆ ˆ,

s sI C x z x z

n n

= − +

α α = ( )1,21 1,21

3,4 1,44 ; 3,4 1,44 3,17; 3,6356 56

− + =

b) Intervalo de confianza para los niveles del 95% y del 99%:

1 – α = 0,95 2αz = 1,96 ( )1,21 1,21

3,4 1,96 ; 3,4 1,96 3,08; 3,7256 56

I C

= − + =

1 – α = 0,99 2αz = 2,58

1,21 1,213,4 2,58 ; 3,4 2,58

56 56I C

= − +

= (2,98; 3,82)

c) Conviene observar que el centro de los tres intervalos para esta muestra particular es 3,4. Para otras muestras, el centro, lógicamente, variará en función del valor particular del estimador media muestral. Cuanto mayor es el nivel de confianza 1 – α, mayor es la amplitud del intervalo y, en consecuencia, mayor es la probabilidad de que el verdadero valor μ esté contenido en el intervalo.

d) El error máximo admisible E viene dado por la expresión n

zEσ⋅= α

2

.

Como 1 – α = 0,90 2αz = 1,645 y E = 5%, así que sustituyendo tenemos que

.2,154905,0

2,164,105,0

2,164,1

2

=

⋅=<⋅ n

n

Así pues, el número de electrodomésticos que debemos tomar para la muestra debe ser n = 1550, y como ya tenemos 56 aparatos, deberemos añadir 1550 – 56 = 1494.

119

Solucionario

Solucionario

8. Un 10% de quienes utilizan cierto analgésico sufren pequeñas molestias gástricas. Un nuevo producto tiene un mayor poder analgésico, pero parece que es más fácil que ocasione esos pequeños efectos secundarios. De hecho, de una muestra de 140 personas que habían utilizado el nuevo medicamento, 21 afirmaron haberlos sufrido.

a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que con el nuevo medicamento se corre el mismo riesgo de padecer efectos secundarios que con el otro, frente a que, como parece, el riesgo es mayor. Explica qué tipo de errores se pueden cometer al obtener las conclusiones y cómo se llaman.

b) Explica claramente a qué conclusión se llega en el test planteado en el apartado anterior para un nivel de significación del 2%.

Deseamos contrastar la hipótesis de que con el nuevo medicamento se corre el mismo riesgo de padecer efectos secundarios que con el antiguo, y para ello planteamos un contraste de hipótesis unilateral para la proporción.

Hipótesis nula: 1,0%10:0 ==pH

Hipótesis alternativa: 1,0%10:1 =>pH

Los tipos de errores que puedo cometer son los siguientes:

Error tipo I: rechazar 0H cuando realmente es verdadera.

Error tipo II: aceptar 0H cuando realmente es falsa.

La proporción n

np A=ˆ sigue una ley normal ;

p qN p

n

⋅

. Si 0H , la variable

n

qp

pn

n

Z

A

⋅

−= sigue una

distribución normal ( )0; 1N y la región de aceptación será 1,p q

p zn−

⋅−∞ + ⋅

α .

Del enunciado se deduce que α = 0,02, n = 140, 15,0%15140

21 ===n

nA y 1,0%10 ==p .

Como α = 0,02 1 – α = 0,98 05,21 =α−z . La región de aceptación es 0,1 0,9

; 0,1 2,05140

⋅−∞ + ⋅ =

( ); 0,15= −∞ .

Como ( )ˆ 0,15 ; 0,152p = ∈ −∞ , se acepta la hipótesis nula de que el nuevo provoque los mismos efectos

secundarios que el antiguo.

OPCIÓN B

1. Calcula la probabilidad de que la suma de los puntos obtenidos en tres lanzamientos consecutivos de un dado cúbico sea cinco.

Sea X = {(a,b,c): a, b y c son los resultados de tirar el dado en el 1.º, 2.º y 3.er lanzamiento, respectivamente}

Podemos aplicar la definición de probabilidad de Laplace para el problema, esto es,

casos favorables( 5)

casos posiblesP a b c+ + = =

Para calcular los casos posibles, solo hemos de tener en cuenta que los resultados de lanzar un dado tres veces son independientes entre sí y que hay 6 posibles resultados, luego los casos posibles son 216666 =⋅⋅ .

Los casos favorables son cuando salen dos unos y un tres (en total, tres casos: {1,1,3}, {1,3,1}, {3,1,1}) y cuando salen un uno y dos doses (en total, tres casos: {1,2,2}, {2,1,2}, {2,2,1}); en total, 6 casos.

Luego la probabilidad pedida es: casos favorables 6 1

(sume 5)casos posibles 216 36

P = = =

120

Solucionario

2. Sean A y B dos sucesos tales que P(A∪B) = 0,9; P( A ) = 0,4, donde A denota el suceso contrario o complementario del suceso A, P(A∩B) = 0,2. Calcula las probabilidades siguientes:

a) P(B) c) ( )P A B∩

b) P(A/B) d) ( )P A B∪

Como ( ) 6,04,01)(1 =−=−= APAP y ( ) ( ) ( )BAPBPAPBAP ∩−+=∪ )( , entonces:

( ) ( ) ( ) 5,06,02,09,0)( =−+=−∩+∪= APBAPBAPBP

( )( ) 4,0

5,0

2,0)( ==∩=

BP

BAPBAP

( ) ( ) 4,02,06,0)( =−=∩−=∩ BAPAPBAP

=∪ )( BAP ( ) 8,02,011)( =−=∩−=∩ BAPBAP

3. La probabilidad de que un chico sea elegido para formar parte de un coro es de 0,42, mientras que la

probabilidad de que sea elegida una chica es de 0,55. Entre los aspirantes se elige al azar a un chico y una chica. Halla la probabilidad de que:

a) Los dos formen parte del coro.

b) Ninguno de los dos forme parte del coro.

c) Solo forme parte del coro la chica.

d) Al menos uno forme parte del coro.

Sean A y B los sucesos A = “el chico forme parte del coro” y B = ”la chica forme parte del coro”, respectivamente. Estos dos sucesos son independientes y las probabilidades pedidas son:

P(los dos formen parte del coro) = ( ) ( ) =⋅=∩ BPAPBAP )( 0,42 · 0,55 = 0,231

P(ninguno forme parte del coro) = ( ) ( ) =⋅=∩ BPAPBAP )( 0,58 · 0,45 = 0,261

P(solo la chica forme parte del coro) = ( ) ( )( )P A B P A P B∩ = ⋅ = 0,58 · 0,55 = 0,319

P(al menos uno forme parte del coro) = 1 – P(ninguno forme parte del coro) = 1 – 0,261 = 0,739

4. Calcula el valor que ha de tomar k para que la función f(x) =

si 1 3

2 si 3 6

0 en el resto

k xk x

≤ < ≤ <

sea de distribución.

Para ese valor, halla P(2 ≤ X < 5).

Para que f(x) sea una función de distribución de una variable discreta se tiene que cumplir que:

( ) ( ) ( ) ( ) 15432)1( ==+=+=+=+= XPXPXPXPXP (pues la función es nula en el resto de los valores de X)

12 2 2 1 8 1

8k k k k k k k + + + + = = =

La función de distribución será entonces:

1si 1 3

81

( ) si 3 640 en el resto

x

f x x

≤ <= ≤ <

y, por tanto, la probabilidad pedida es: ( ) ( ) ( )8

5

4

1

4

1

8

1432)52( =++==+=+==<≤ XPXPXPXP

121

Solucionario

Solucionario

5. La altura de los habitantes de una ciudad se distribuye de manera normal con una media de 168 cm y

una desviación típica de 8 cm. Si el Ayuntamiento de esa ciudad dice que el 6% de los habitantes “son altos”, ¿qué estatura debe tener una persona para ser considerada alta?

Sea X la altura de los habitantes de la ciudad que siguen la distribución normal: X ~ N(168, 8). Buscar a partir de qué altura van a ser altos los habitantes es lo mismo que buscar un k tal que P(X < k) = 0,94:

( ) 94,08

168 =

−<=< kZPkXP 555,1

8

168 =−k k = 180,44 cm

Por tanto, un habitante será considerado alto si mide más de 1,80 m.

6. Tres de cada ochenta móviles que salen de una fábrica están defectuosos. Un gran almacén compra 500 de esos móviles. Calcula la probabilidad de que más del 3% estén defectuosos.

La proporción de móviles defectuosos es 0375,080

3 ==p .

La distribución de la proporción de móviles defectuosos en la muestra sigue aproximadamente una normal

( ) ( )1 0,0375 0,9625ˆ ; 0,0375 ; 0,0375 ; 0,0085500

p pP N p N N

n

⋅ − ⋅ = = = .

Entonces, la probabilidad pedida es:

( ) ( ) ( ) ( )0,03 0,0375ˆ ˆ0,03 1 0,03 1 1 0,88 0,88 0,81060,0085

P P P P P Z P Z P Z− > = − < = − < = − < − = < =

.

7. En una ciudad residen 1250 familias. Se seleccionó una muestra aleatoria de un 20% de ellas y se les preguntó si disponían de gas natural en su vivienda. Sabiendo que todas las familias seleccionadas respondieron y que se obtuvo un total de 75 respuestas afirmativas:

a) ¿Qué estimación puntual podríamos dar para el porcentaje de familias de esa ciudad que disponen de gas natural en su vivienda?

b) ¿Qué error máximo cometeríamos con dicha estimación puntual con un nivel de confianza del 95%?

Justifica las respuestas.

a) El tamaño de la muestra es: 1250 · 0,20 = 250 familias.

La proporción de familias con gas natural en su vivienda en la muestra es 250

75ˆ =p = 0,30.

Por tanto, una estimación puntual para el porcentaje sería del 30%.

b) El error máximo admitido viene dado por la siguiente expresión:

( )

n

ppzE

ˆ1ˆ

2

−= α , donde n = 250, p = 0,30 y 2αz = 1,96, ya que 1 – α = 0,95

Por tanto, E = 1,96 0,30· 0,70

250 = 0,057, entonces se puede cometer un error máximo del 5,7%.

8. La duración de las bombillas de 100 vatios que fabrica una empresa sigue una distribución normal con una desviación típica de 120 horas. Su vida media está garantizada durante un mínimo de 800 horas. Se recoge al azar una muestra de 50 bombillas de un lote y, después de comprobarlas, se obtiene una vida media de 750 horas. Con un nivel de significación de 0,01, ¿habría que rechazar el lote por no cumplir la garantía?

Del enunciado se deduce que α = 0,01, n = 50, x = 800, μo = 750, σ = 120.

Se plantea un contraste de hipótesis bilateral para la media poblacional: 0 0

0

: 750: 750a

HH

= ≠

μμ

Como α = 0,01 1 – α = 0,99 2

αz = 2,575. La región de aceptación es (–2,575; 2,575).

El estadístico de contraste es

n

xZ o

σμ−

= =

50

120750800 −

= 2,946.

Como 2,946 ∉ (–2,575; 2,575), se rechaza la hipótesis nula. Luego no podemos aceptar el lote.

122

Solucionario

Hacia la universidad Pruebas globales PRUEBA GLOBAL 1

Opción A 1. (1,5 puntos) En un almacén de productos perecederos disponen de 70 cajas de naranjas, 120 cajas de

peras y 110 cajas de manzanas que quieren colocar antes de que no estén aptas para el consumo. Para vender las existencias se hacen dos tipos de lotes: el lote A contiene una caja de naranjas, dos de peras y una de manzanas, y se venderá a 6 euros, y el lote B contiene una caja de naranjas, una de peras y dos de manzanas, y se venderá a 7 euros. Calcula cuántos lotes deberán hacer de cada tipo para que los ingresos por las ventas sean máximos.

Por tanto, tenemos que maximizar la función ( , ) 6 7f x y x y= + sujeta al siguiente sistema de restricciones:

≥≥≤+≤+

≤+

0011021202

70

yxyxyx

yx

La región factible es el interior del polígono ABCDO, donde los vértices son:

{ ( )0 0, 00

xO Oy

= = ( )00, 55

2 110x

A Ax y

= + =

{ ( )2 110 30, 4070

x yB Bx y

+ = + = { ( )70 50, 202 120x yC C

x y+ = + =

( )2 12060, 0

0x y

D Dy

+ = =

Ahora tenemos dos maneras distintas de proceder:

GRÁFICAMENTE. Como los coeficientes de la función objetivo son positivos, el máximo se encuentra en el último vértice que tocan las rectas paralelas kyx =+ 76 cuando se desplazan hacia la parte positiva del eje Y. En este caso, el máximo se encuentra en el punto B(30, 40), es decir, se deberán hacer 30 lotes A y 40 lotes B, y se conseguirán unos ingresos de 460 €.

ANALÍTICAMENTE. El valor de la función objetivo en los vértices es:

(0, 0) 0 €Of = , (0, 55) 385 €Af = , (30, 40) 460 €Bf = , (50, 20) 440 €Cf = , (60, 0) 360 €Df =

El máximo se alcanza en B(30, 40), igual que al hacerlo gráficamente.

2. (1,5 puntos) La matriz ( )ijA a= es cuadrada de orden 3 y verifica que

0 si 1si , 1

2 siij

i ja i j i j i j

i j i j

= == + = ≠ − ≠

a) Escribe la matriz A. b) Halla el rango de A. c) Halla la matriz inversa de A.

a) La matriz es

−=

645143100

A .

b) Su determinante es 0 0 13 4 1 8 05 4 6

A−

= = ≠ , luego rg(A) = 3.

c) Calculemos su matriz inversa:

( )1

5 1 1

2 2 220 13 8 20 4 41 1 1 13 5 3

Adj( ) 4 5 0 13 5 38 8 8 8 84 3 0 8 0 0

1 0 0

t

tA A

A−

− − − −

= ⋅ = − = − − = − − − − −

Número de lotes Cajas de naranjas Cajas de peras Cajas de manzanas Beneficios Lote A x x 2x x 6x € Lote B y y y 2y 7y €

< 70 < 120 < 110 6x + 7y

10

10

O

B

C

D

A

X

Y x + y = 70

2x + y = 120x + 2y = 110

6x + 7y = 0

123

Solucionario

Solucionario

3. (1,5 puntos) La función y = f(x) tiene las siguientes propiedades:

• Su dominio es la recta real salvo los puntos x = –1 y x = 1. Es continua en todo su dominio y corta al eje X en el punto (2, 0).

• Tiene una asíntota horizontal en y = 0, con f(x) > 0 si x < 2 y f(x) < 0 si x > 2, x ≠ 1, x ≠ –1.

• Tiene una asíntota vertical en x = 1, con 1

lim ( )x

f x+→

= +∞ y 1

lim ( )x

f x−→

= +∞ .

• Tiene una asíntota vertical en x = –1, con 1

lim ( )x

f x+→−

= +∞ y 1

lim ( )x

f x−→−

= +∞ .

• Tiene un mínimo en (4, –2) y otro en (0, 3). No tiene máximos.

a) Representa gráficamente dicha función.

b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Observando la gráfica de la función, vemos que:

La función es creciente en (–∞, –1) ∪ (0, 1) ∪ (4, +∞).

La función es decreciente en (–1, 0) ∪ (1, 4).

4. (1,5 puntos) Sea la función 2

1 si 1

( ) si 1 1si 1

xf x x x

x x

− −∞ < ≤ −= − < < ≤ < +∞

. Determina:

a) Si es continua en los puntos x = –1, x = 1.

b) Si es derivable en los puntos anteriores.

c) La recta tangente, si es que existe, en el punto x = 0, y la recta tangente, si es que existe, en el punto x = 1.

d) El área encerrada por la función f(x), la recta y = 0 y la recta x = 3.

Para ver si la función es continua en esos puntos debemos estudiar los límites laterales, comprobar que son iguales entre sí e iguales al valor de la función en ese punto.

Para x = –1: ( ) 2

1 1 1 11 1; lim ( ) lim 1 1; lim ( ) lim 1

x x x xf f x f x x

− − + +→− →− →− →−− = − = − = − = = Puesto que los límites laterales no

coinciden y son finitos, presenta una discontinuidad no evitable de salto finito.

Para x = 1: ( ) 2

1 1 1 11 1; lim ( ) lim 1; lim ( ) lim 1

x x x xf f x x f x x

− − + +→ → →− →−= = = = = La función es continua en x = 1.

Como la función no es continua en x = –1, no puede ser derivable. Veamos si es derivable en x = 1. 2 2

0 0 0

(1 ) (1) (1 ) 1 2´(1 ) lim lim lim 2

h h h

f h f h h hf

h h h−

→ → →

− − − − − += = = =− − −

, 0 0

(1 ) (1) 1 1´(1 ) lim lim 1

h h

f h f hf

h h+

→ →

+ − + −= = =

Como las derivadas laterales son distintas, la función no es derivable en x = 1.

La ecuación de la recta tangente en x = 0 es )0()0´()0( −⋅=− xffy . Ahora, como f(0) = 0 y f'(0) = 0,

la ecuación de la recta tangente a la función en x = 0 es y = 0.

En x = 1, como la función no es derivable, no tiene recta tangente.

El área se calcula sumando dos integrales: 1 33 21 3

2 2

0 10 1

1 9 1 13u

3 2 3 2 2 3

x xx dx x dx

+ = + = + − =

1

1

O X

Y

1

1

O X

Y

f

124

Solucionario

5. (2 puntos) En una urna hay seis bolas numeradas, tres de ellas con números positivos, y otras tres con números negativos. Se extrae una bola y después otra sin reemplazamiento.

a) Calcula la probabilidad de que el producto de los números sea positivo.

b) Calcula la probabilidad de que el producto de los números sea negativo.

a) ( ) ( ) ( ) 1 1 2resultado positivo

5 5 5P P P= + + + − − = + =

b) ( ) ( ) ( ) 3 3 3resultado negativo

10 10 5P P P= + − + − + = + =

6. (2 puntos) En una población escolar se ha comprobado que la estatura sigue un modelo normal de

probabilidad. A partir de una muestra de 81 escolares de dicha población se ha calculado una estatura media de 159 cm y una cuasivarianza de 169 cm². Teniendo en cuenta esta información:

a) Determina el error máximo que cometeríamos, con una confianza del 99%, si estimamos en 159 cm la estatura media en esa población escolar.

b) ¿Podríamos rechazar, con un nivel de significación del 5%, la hipótesis de que la estatura media en esa población es de 160 cm?

a) El error máximo admisible viene dado por la expresión 2

sE z

nα= ± ⋅ , y puesto que el nivel de significación

es del 99%, 575,22

=αz , tendremos que el error máximo admisible es:

13

2,575 3,71981

E = ± = ±

b) Se trata de un contraste de hipótesis bilateral para la media.

Hipótesis nula: Ho = μo = 160 cm

Hipótesis alternativa: Ha = μo ≠ 160 cm

Si α = 0,05 1 – α = 0,95 96,12

=αz , luego la región de aceptación es (–1,96; 1,96).

El estadístico de contraste es 0 159 1600,692

ˆ 13

81

xZ

s

n

− −= = = −μ

.

Como –0,692 ∈ (–1,96; 1,96), aceptamos la hipótesis nula, por lo que aceptamos la hipótesis de que la estatura media es de 160 cm con un nivel de significación del 5%, lo cual quiere decir que hay una probabilidad del 95% de que la media esté en ese intervalo.

+

–

+

–

+

–

36

25

35

35

25

36

125

Solucionario

Solucionario

Opción B

1. (1,5 puntos) Estudia el siguiente sistema según los diferentes valores del parámetro m y resuélvelo en el caso de que tenga infinitas soluciones.

4

2 0

4 14 8

x my zx mzx y z

+ + =− + =− + + =

Las matrices asociadas al sistema

=++−=+−=++

8144

02

4

zyx

mzx

zmyx

son

−−=

144120111m

mA y

−−=

814410201411

* mm

A

2 2 24 2 8 14 2 6 4; 2 6 4 0A m m m m m m m= − − − + = − + − − + − = m = 1, m = 2

Si m ≠ 1 y m ≠ 2 rg (A) = 3 = rg (A*) = 3 = número de incógnitas Sistema compatible determinado Tiene

una única solución 8 12 4

, ,1 1 1

mx y z

m m m = = = − − −

Si m = 1 2 1 2

3 1 3 3 2 3

:: :5

1 1 1 4 1 1 1 4 1 1 1 41 0 2 0 0 1 3 4 0 1 3 41 4 14 8 0 5 15 12 0 0 0 8

F F FF F F F F F

++ −

− ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯→ −

rg(A) = 2 ≠ rg(A*) = 3

Sistema incompatible No tiene solución.

Si m = 2 2 1 2

3 1 3 3 2 3

:: :3

1 2 1 4 1 1 1 4 1 1 1 41 0 4 0 0 2 5 4 0 1 3 41 4 14 8 0 6 15 12 0 0 0 0

F F FF F F F F F

++ −

− ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯→ −

rg(A) = 2 = rg(A*)

Sistema compatible indeterminado Infinitas soluciones 3 5

2 , 2 ,2 2

x y z = + = − =

λ λ λ con λ número real.

2. (1,5 puntos) Comprueba que no existe ninguna matriz del tipo X = 0

1a

a

que conmute con 2 01 2

A = − .

Supongamos que sí hay una matriz X de ese tipo que conmuta con la matriz A, esto es, que AX XA= .

2 0 0 2 01 2 1 2 2

a aAX

a a a = = − − −

=0 2 0 2 0

1 1 2 2 2a a

XAa a a

= = − + − Igualando uno a uno cada

miembro de las matrices: 2 + a = a − 2 2 = –2 No hay solución.

3. (1,5 puntos) Cada mes, una empresa decide el gasto en publicidad basándose en los beneficios que espera obtener en dicho mes. Para ello usa la siguiente función, donde G es el gasto en publicidad (en cientos de euros), y x, los beneficios esperados (en miles de euros):

2

2

6 2 0 96( )

75 5 4003 9

10

xx xG x

x xx

+ − ≤ ≤= + + >

a) ¿Es el gasto en publicidad una función continua del beneficio?

b) Indica cuándo crece y cuándo decrece el gasto.

c) Por muchos beneficios que espere, ¿el gasto llegará a ser inferior a 4 (cientos de euros)?

a) El único punto que ofrece dudas es el de abscisa x = 9. Estudiemos, pues, sus límites laterales y el valor de

la función: 2

9 9lim ( ) lim 6 2 10,5

6x x

xG x x

− −→ →

= + − =

;

29 9

75 5 400lim ( ) lim 3 10,5

10x x

xG x

x+ +→ →

+ = + =

; (9) 10,5G =

Por tanto, 9 9

lim ( ) (9) 10,5x x

G x G− +→ →

= = , lo que nos asegura que G(x) es una función continua.

126

Solucionario

b) Debemos trabajar con la derivada de G(x), siendo 9x ≠ :

3

2 0 93( )

15 21609

2

xx

G xx

xx

− ≤ <′ = − − >

Si 0 9x≤ < , 2 0 63

xx− = = , y entonces, el gasto G(x) crece en [0, 6) y decrece en (6, 9).

Si x > 9, 32

216015

x

x −− es siempre negativa y, por tanto, el gasto G(x) es decreciente en (9, )+ ∞ .

c) Calculando el límite en más infinito vemos que 2

75 5 400lim ( ) lim 3 3

10x x

xG x

x→+∞ →+∞

+ = + =

cientos de euros.

Así pues, los gastos (que son decrecientes a partir de 9000 euros) serán inferiores a 400 euros, pero nunca inferiores a 300.

4. (1,5 puntos) Se considera la función real definida por 2

2

2( ) , 2

4

xf x xx

+= ≠ ±

−.

a) Determina las asíntotas de f. b) Calcula los máximos y mínimos relativos y determina sus intervalos de crecimiento.

c) Calcula la integral definida ( )5

2

34 ( )x f x dx− .

a) Asíntota horizontal:

=

−+

=−+

+

−∞→

+

∞→

14

2lim

14

2lim

2

2

2

2

x

xx

x

x

x Asíntota horizontal en y = 1

Asíntota vertical: Los puntos que no pertenecen al dominio son –2 y +2, y es en ellos donde tenemos que estudiar los límites.

2

22

2

22

2 6lim

4 0En 2 : A. V. en 22 6

lim4 0

x

x

x

xx xx

x

−

+

+→−

−→−

+ = = +∞ −= − = −+ = = −∞ −

2

22

2

22

2 6lim

4 0En 2 : A. V. en 22 6

lim4 0

x

x

x

xx xx

x

−

+

−→

+→

+ = = −∞ −= =+ = = +∞ −

Asíntota oblicua: Puesto que es una función racional y tiene asíntotas horizontales, no puede tener asíntota oblicua.

( ) ( )2 2

2 2 32 2

2 12 36 48´ ´´

4 4 4

x x xy y y

x x x

+ − += = =− − −

b) Máximos y mínimos: ( )( ) <−=

−==⇔=

−

−⇔= 04

3

64

480´´00

4

120´

22yx

x

xy en (0, –

1

2), la función

tiene un máximo. Estudiemos el signo de la derivada para ver el crecimiento y el decrecimiento:

( ) ( ), 2 2,0 :−∞ − ∪ −( )

2 222

1212 0 y ( 4) 0 ´ 0

4

xx x y

x

−− > − > = > −

La función es creciente.

( ) ( )0,2 2, :∪ ∞( )

2 222

1212 0 y ( 4) 0 ´ 0

4

xx x y

x

−− < − > = < −

La función es decreciente.

c) ( ) ( )535 5

2 2 2

3 33

1104 2 2 u

3 3

xx f x dx x dx x

− = + = + =

127

Solucionario

Solucionario

5. (2 puntos) Dos sucesos tienen la misma probabilidad: 0,5. La probabilidad de que ocurra uno de los

sucesos sabiendo que ha ocurrido el otro es igual a 0,3. ¿Cuál es la probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos sucesos?

Sean A y B los dos sucesos, los datos que nos dan en el enunciado son: ( ) ( ) ( ) 3,05,0 === BAPyBPAP ( ) ( ) ( ) 0,3 0,5 0,15P A B P A B P B ∩ = = ⋅ =

Con lo que la probabilidad pedida es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 15,015,05,05,01)(11 =−+−=∩−+−=∪−=∪=∩ BAPBPAPBAPBAPBAP

6. (2 puntos) El peso de los bebés al nacer sigue una ley normal de media µ = 3200 gramos y desviación

típica σ = 312 gramos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un niño pese más de 3,4 kg al nacer?

b) Para una muestra de 169 niños, ¿cuál es la probabilidad de que el peso medio sea inferior a 3150 g?

c) Encuentra el intervalo donde se encuentra el 95% de todos los pesos medios de las muestras de 169 recién nacidos.

a) La variable X = “peso de los recién nacidos” sigue una distribución normal N(3200, 312) que se tipifica

mediante el cambio Z = 312

2003−X. Por tanto,

( ) ( ) ( ) 2611,07389,0164,01312

200340031400314003 =−=≤−=

−≤−=<−=> ZPZPXPXP

b) La media de las muestras de tamaño n obtenidas en una población N(μ, σ) se distribuye según una

N

σμn

, . En este caso, la media de peso de los 169 niños sigue una distribución normal

( )24;2003169

312,2003 NN =

. Por tanto:

( ) ( ) ( ) 0188,09812,0108,2108,224

200315031503 =−=≤−=−≤=

−≤=≤ ZPZPZPXP

c) Los datos del enunciado son: x = 3200, σ = 312, 1 – α = 95% =α2

z 1,96.

El intervalo de confianza para el peso medio vendrá dado por:

IC = 2 2

,x z x zn n

− + =

α α

σ σ ( )312 312

3200 1,96 ; 3200 1,96 3152,96; 3247,04169 169

− + =

PRUEBA GLOBAL 2

Opción A

1. (1,5 puntos) Sean las matrices 2x yA x y

= − ,

1 22 2

B − = − , ( )2 2C = − y

16

16D

− =

.

Estudia y resuelve el sistema de ecuaciones lineales A B Ct = D.

6 81 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 4 2 2 12 8

t x yx y x y x yABC

x y x y x y x y

− +− − + − = = = − − − − − + − − −

=−−

−=+−

−=

−−+−

168121686

1616

81286

yxyx

yxyx Sistema compatible determinado con solución: x = 0, y = –2.

128

Solucionario

2. (1,5 puntos) Los catetos de un triángulo rectángulo miden 27 y 36 cm, respectivamente. Con centro en los vértices del triángulo, se trazan tres circunferencias de forma que son tangentes exteriores dos a dos, tal y como aparecen en la figura. Calcula los radios de las tres circunferencias.

Puesto que es un triángulo rectángulo, cumple el teorema de Pitágoras:

4520252736 22222 ==+=+= hcCh . Esto es, la hipotenusa mide 45 cm. Sean x, y y z los respectivos

radios de las tres circunferencias. En estas condiciones se puede plantear el sistema:

27 27

36 36 18, 9, 27

45 2 54

x y x y

y z y z x y z

x z z

+ = + = + = ⇔ + = = = = + = =

Los radios miden 9, 18 y 27 cm, respectivamente.

3. (1,5 puntos) En una factoría, la función de costes es 3( ) 3lnC x x x= − , donde x > 0 es el número de toneladas que se producen.

a) Calcula el coste mínimo, si existe, y el número de toneladas que se han de producir para alcanzar dicho coste.

b) Si la función de ingresos es 3( ) 12I x x x= + , escribe la función de beneficios.

c) Calcula los intervalos en los que la función de beneficios es creciente o decreciente, e indica si existe beneficio máximo y, en caso afirmativo, el número de toneladas que se han de producir para alcanzar dicho beneficio.

a) Analicemos su derivada x

xxC3

3)( 2 −=′ y veamos dónde se anula:

13303

30)( 32 ===−=′ xxx

xxC .

Estudiemos el signo de la derivada y comprobemos si en efecto es un mínimo:

Como la función es continua, este mínimo relativo lo es también absoluto. Así pues, el mínimo se encuentra en el punto A(1, C(1)) = A(1, 1). Es decir, si se produce una tonelada, se consigue el coste mínimo, que es de una unidad monetaria.

b) Los beneficios son iguales a los ingresos menos los costes. Por tanto, la función beneficio será:

( )3 3( ) ( ) ( ) 12 3ln 12 3lnB x I x C x x x x x x x= − = + − − = +

c) La derivada de la función beneficios es x

xB3

12)( +=′ , que no se anula jamás en el intervalo donde está

definida la función, y en él siempre es positiva. Así pues, la función beneficios es siempre creciente y no tiene máximo.

x (0, 1) 1 (1, +∞ ) Signo de C' – = 0 +

Comportamiento de C Decreciente Mínimo relativo Creciente

129

Solucionario

Solucionario

4. (1,5 puntos) Se considera la curva de ecuación cartesiana 2 8y x x= + .

a) Calcula las coordenadas del punto en que la recta tangente a la curva es paralela a la recta y = 2x.

b) Calcula el área del recinto plano acotado limitado por las gráficas de la curva dada y de la recta de ecuación cartesiana y = x + 8.

Sea (a, f(a)) el punto en el que la tangente a la curva es paralela a la recta y = 2x. Como la pendiente de la recta

y = 2x es 2, la derivada de 2 8y x x= + en x = a también debe valer 2: 328282 −==++=′ aaxy .

El punto de tangencia es ( ) )15,3()3(,3 −−=−− AfA .

Primero debemos calcular los puntos de corte de ambas gráficas, resolviendo su sistema:

88

82

−=

+=+=

xxy

xxy y 1x =

Los puntos de corte son, pues, el (–8, 0) y el (1, 9).

Dibujando el recinto se observa que la recta va por encima, y la parábola, por debajo.

Así pues, el área pedida será la integral:

( ) ( )13 21 1

2 2

8 88

7 2438 ( 8 ) 7 8 8

3 2 2

x xx x x dx x x dx x

− − −

+ − + = − − + = − − + =

u2

5. (2 puntos) En una ciudad existen dos institutos, el Alfa y el Beta. Se sabe que el 70% de los estudiantes

de la ciudad van al Alfa, y el resto, al Beta. En una encuesta se ha detectado que al 60% de los alumnos del Alfa les gustan las matemáticas, mientras que en el Beta solo le gustan al 35% de los estudiantes.

a) Calcula la probabilidad de que a un alumno elegido al azar le gusten las matemáticas.

b) Sabiendo que a un alumno elegido al azar le gustan las matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que sea del instituto Alfa?

c) Sabiendo que a un alumno elegido al azar no le gustan las matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que sea del instituto Beta?

Sean M, α y β los sucesos:

M = “al alumno le gustan las matemáticas”

α = “el alumno pertenece al instituto α”

β = “el alumno pertenece al instituto β”

Las probabilidades pedidas son:

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,60 0,70 0,35 0,30 0,525P M P M P P M P= α α + β β = ⋅ + ⋅ =

b) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

0,60 0,700,8

0,525

P M P M PP M

P M P M

α ∩ α α ⋅α = = = =

c) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

0,65 0,300,41

1 0,5251

P M P M PP M

P MP M

β ∩ β β ⋅β = = = =−−

6. (2 puntos) De una muestra de 400 jóvenes españoles de 25 años elegidos al azar, solo 60 no vivían con

sus padres. Determina un intervalo con un nivel de confianza del 95% para el porcentaje de los jóvenes españoles que no viven con sus padres a los 25 años.

Del enunciado se deduce: n = 400, p = 400

60 = 0,15, α = 0,05

2αz = 1,96.

El intervalo de confianza para la proporción poblacional es:

IC = 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ(1 ) (1 )ˆ ˆ,p p p p

p z p zn n

− −− +

α α = 0,15 0,85 0,15 0,85

0,15 1,96 ;0,15 1,96400 400

⋅ ⋅− +

= (0,115; 0,185)

El porcentaje de la población de jóvenes de 25 años que no viven con sus padres está entre el 11,5% y el 18,5%, con un nivel de confianza del 95%

5

5

O X

Y

70100

60100

40100

35100

65100

30100

α

β

M

M

M

M

130

Solucionario

Opción B

1. (1,5 puntos) Calcula el máximo y el mínimo de la función f(x, y) = x + 1,2y sujeto a las siguientes restricciones:

30 40 180

9 12 72

2

3

x yx yy x

y

+ ≥ + ≤ ≥ ≤

La región factible es el interior del polígono ABCD.

Los vértices de la región factible son:

( )3: 2, 3 2,3

3 4 18

yA x y A

x y

= = = + =

, ( )3: 4, 3 4, 3

3 4 24

yB x y B

x y

= = = + =

3 4 24 24 12 24 12: , ,

2 5 5 5 5

x yC x y C

y x

+ = = = = ,

3 4 18 18 9 18 9: , ,

2 5 5 5 5

x yD x y D

y x

+ = = = =

El valor de la función objetivo en los vértices es:

zA = 5,6 zB = 7,6 zC = 7,68 zD = 5,76

El mínimo se alcanza en A: x = 2, y = 3, y vale z = 5,6.

El máximo se alcanza en C: x = 4,8, y = 2,4, y vale z = 7,68.

2. (1,5 puntos) Dadas las matrices 2 11 3

A − = − y

3 22 4

B − =

:

a) Calcula A2 y (A2)–1.

b) Calcula la matriz X tal que A2 X = B.

a) 2 2 1 2 1 3 11 3 1 3 1 8

A− − = = − − −

y su matriz inversa es: ( )

−=

−

25

3

25

125

1

25

812A

b) Como X verifica que 2A X B= , multiplicando por la matriz inversa de 2A y teniendo en cuenta que la

multiplicación de matrices no es conmutativa:

2 1 2 2 1 2 1

8 1 22 43 225 25 25 5( ) ( ) ( )

1 3 2 4 9 2

25 25 25 5

A A X A B X A B− − −

− − − = = = =

1

1

O X

A B

CD

Y

131

Solucionario

Solucionario

3. (1,5 puntos) Dada la función

2

2 si 0 2

( ) 6 12 si 2 4

2 si 4 8

x xf x x x x

x a x

+ ≤ <= − + ≤ ≤− + < ≤

a) Halla el valor de a para que la función y = f(x) sea continua en el intervalo [0, 8].

b) Halla los máximos y mínimos absolutos de y = f(x) en el intervalo [0, 4]. Justifica que los puntos encontrados son máximos y mínimos absolutos.

c) Calcula el área de la región del plano limitada por las rectas de ecuación y = 0, x = 0, x = 3 y la gráfica de y = f(x).

a) Está claro que la función es continua en el interior de los tres intervalos de definición, pues son funciones

polinómicas. Estudiemos qué ocurre en los extremos de estos intervalos:

Para x = 2: ( )2 2

lim ( ) lim 2 4x x

f x x− −→ →

= + = ( )2

2 2lim ( ) lim 6 12 4

x xf x x x

+ +→ →= − + = (2) 4f =

Así pues, la función f es continua en x = 2.

Para x = 4: impongamos la condición de que también sea continua en x = 4, haciendo que los siguientes valores coincidan:

( )2

4 4lim ( ) lim 6 12 4

x xf x x x

− −→ →= − + = ; ( )

4 4lim ( ) lim 2 8

x xf x x a a

+ +→ →= − + = − + ; (4) 8f a= − +

Por tanto, 4 8 12a a= − + = . Si a = 12, la función f será continua en el intervalo cerrado [0, 8].

b) Los máximos y mínimos absolutos de f en el intervalo cerrado habrá que buscarlos entre los valores

extremos de los intervalos de definición x = 0, x = 2, x = 4, y el vértice de la parábola 2( ) 6 12g x x x= − + ,

que es el único punto con derivada nula: ( ) 2 6g x x′ = − , se anula para x = 3. Comparemos, pues, el valor de la función en estos cuatro casos y elijamos el mayor y el menor:

f(0) = 2 f(2) = 4 f(3) = 3 f(4) = 4 El mínimo absoluto es el punto (0, 2), y el máximo absoluto se alcanza en los puntos (2, 4) y (4, 4).

c) La región en cuestión es la que se muestra.

Su área será la suma de dos integrales:

( ) ( )2 3

2

0 22 6 12x dx x x dx+ + − + =

=

2 32 32

0 2

10 282 3 12 6

2 3 3 3

x xx x x

+ + − + = + =

u2

4. (1,5 puntos) Se considera la función 2

( )xf x

a bx=

−, siendo a y b parámetros reales. Para a = 1 y b = –1:

a) Razona cuál es el dominio de f(x) y la existencia de asíntotas verticales.

b) Determina los intervalos de concavidad y de convexidad, y los puntos de inflexión de f(x).

La función que debemos estudiar es x

xxf

+=

1)(

2

.

a) D(f) = R { }1− − , ya que x = –1 es el único valor que anula el denominador.

Asíntotas verticales: estudiamos los límites en los valores que hacen cero el denominador.

−∞=+−−→ x

x

x 1lim

2

1 y +∞=

++−→ x

x

x 1lim

2

1. La recta x = –1 es una asíntota vertical de la función f(x).

1

1

O X

Y

f

132

Solucionario

b) La concavidad y los puntos de inflexión se estudian con la segunda derivada. La primera derivada es

( )2

2

1

2)(

x

xxxf

++=′ . La segunda derivada es

( )31

2)(

xxf

+=′′ , y como no se anula, podemos asegurar que la

función no tiene puntos de inflexión. Para estudiar la concavidad, debemos evaluar el signo de la segunda

derivada en los intervalos definidos por x = –1.

5. (2 puntos) En cierta población humana, la media muestral X de una característica se distribuye mediante

una distribución normal. La probabilidad de que X sea menor o igual que 75 es de 0,58, y la de que X

sea mayor que 80 es de 0,04. Halla la media y la desviación típica de X (tamaño muestral n = 100).

La media muestral X sigue una distribución normal ,100

X N

≈

σμ , y los datos que da el enunciado son:

7502,020,0

10

7558,0

10

7558,0)75( =μ+σ=

σμ−

=

σμ−≤=≤ ZPXP

80175,075,1

10

8096,0

10

8004,0

10

8004,0)80( =μ+σ=

σμ−

=

σμ−≤=

σμ−>=> ZPZPXP

Resolviendo el sistema, σ = 32,25 y μ = 74,35.

La desviación típica de las medias muestrales X es 3,225n

=σ.

6. Un fabricante de medicamentos afirma que una medicina cura una enfermedad de la sangre en el 80% de los casos. Los inspectores de sanidad utilizan el medicamento en una muestra de 100 pacientes y deciden aceptar dicha afirmación si se curan 75 o más.

a) Si lo que afirma el fabricante es realmente cierto, ¿cuál es la probabilidad de que los inspectores rechacen dicha afirmación?

b) Si en la muestra anterior se curan 60 individuos, con una confianza del 95%, ¿cuál es el error máximo cometido al estimar que el porcentaje de efectividad del medicamento es del 60%?

a) La distribución de las proporciones muestrales de tamaño n obtenidas en una población con proporción p

se ajusta a una N

−n

ppp

)ˆ1(ˆ,ˆ . En este caso, si p = 0,80 y n = 100, la distribución de la proporción

muestral será N(0,80; 0,04). Luego la probabilidad de que los inspectores acepten la afirmación será:

P(po ≥ 0,75) = ( ) ( ) ( ) 8944,025,125,104,0

80,075,075,00 =<=−≥=

−≥=≥ ZPZPZPpP

Por tanto, la probabilidad de rechazo es de 1 – 0,8944 = 0,1056.

b) Sabemos que el error máximo admisible, E, viene dado por la expresión E = ( )

2

ˆ ˆ1p pz

n

−± α .

Para una confianza del 95%, α = 0,05 y 2αz = 1,96, luego: 096,0

100

4,06,096,1 ±=⋅±=E , esto es, el error

máximo es del 9,6%.

x ( )1,−−∞ –1 ( )1,− + ∞

Signo de f" – ( )D f∉ + Comportamiento de f Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba

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