Solucionario de Ejercicios y Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias - B. Makarenko
-
Upload
cristian-tipantuna -
Category
Documents
-
view
608 -
download
16
Transcript of Solucionario de Ejercicios y Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias - B. Makarenko
-
EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS
SOLUCIONARIO
A. KI SEL ION - M. Krsnov - G. MAKARENKO
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
LIMA - PER
www.mundoindustrial.net
-
IMPRESO EN EL PERU
Fecha de publicacin Ejemplares impresos Nmfo de edicin Autor*
0 9 - 0 2 - 2 0 1 0 1 0 0 0 libros 3a EDICINEduardo*Espinoza Ramos
Este libro no puede reproducirse total parcialmente por ningn mtodo grfico, electrnico o mecnico, incluyendo los sistemas de fotocopia, registros magniicos o de alimentacin de datos, sin expreso consentimiento del autor y editor.
DERECHOS RESERVADOS D.L. N 822Derechos copyright Edukperu 2009 reservados
RUC N 20520372122Ley de Derechos del Autor N 13714Hecho el depsito legal en la Biblioteca Nacional del Percon el nmero N 2007-12593
PROLOGO
La presente obra intitulada Ejercicios y Problemas de Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias Solucionario del libro de Makarenko y otros autores, en su
3ra. Edicin, se ha revisado cuidadosamente y ampliado, abarcando los conceptos
fundamentales, las ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado, as como
sus aplicaciones, las ecuaciones diferenciales lineales de orden n homognea y no
homogneas, las ecuaciones diferenciales de Euler, las ecuaciones diferenciales lineales
de coeficientes variables, solucin de ecuaciones diferenciales por series de potencias,
sistemas de ecuaciones diferenciales, solucin de ecuaciones diferenciales lineales por
medio de Transformada de Laplace, sistemas de ecuaciones diferenciales resueltas por
medio de Transformada de Laplace.
El objetivo fundamental de la presente obra es servir en la formacin de los
futuros profesionales en las reas de ciencia e ingeniera, tanto en los aspectos
cientficos, como tcnicos relacionadas con la impresin.
Deseo expresar mi ms profundo agradecimiento a mis colegas del rea de
matemtica de las diversas universidades, quienes con sus sugerencias y apoyo han
contribuido para mejorar ste trabajo. Tambin mi reconocimiento especial al Doctor
Pedro Contreras Chamorro, quien en todo momento est contribuyendo en mis trabajos,
a fin que el beneficiado sea el estudiantado.
Agradezco por anticipado la acogida que ustedes brindan a cada una de mis
publicaciones, las que emanan del deseo de que encuentren en ellas una ayuda para su
avance y desarrollo intelectual.
Eduardo Espinoza Ramos
www.mundoindustrial.net
-
IN D IC E
Pag.
1. Conceptos Fundamentales. i
2. Ejercicios de Verificacin. 2
3. Ecuacin con Variable separable y ecuaciones reducibles a ellas 14
4. Ecuaciones Homogneas y Reducibles a ellas 48
5. Ecuaciones lineales de primer orden y Ecuacin de Bemoulli 72
6. Ecuaciones Diferenciales Exactas, factor integrante 100
7. Ecuaciones Diferenciales de primer orden no resueltas con respecto
a la derivada. 130
8. Ecuacin de Lagrange y Clairout 143
9. Composicin de las Ecuaciones Diferenciales de las familias de
curvas, problemas de Trayectorias. 154
10. Soluciones Singulares 166
11. Diversos Problemas 175
12. Ecuacin Diferencial de orden superior, Reduccin del orden
de la ecuacin. 196
13. reduccin del orden de la Ecuacin 210
14. Ecuaciones Diferenciales Lineales de orden n 245
www.mundoindustrial.net
-
15. Ecuaciones Lineales Homogneas de coeficientes constantes
16. Ecuaciones Lineales no Homogneas de coeficientes Constantes
17. Ecuacin de Euler
18. Ecuaciones Diferenciales lineales de Coeficientes Variables
19. Composicin de la Ecuacin Diferencial dado el Sistema
Fundamental de Soluciones
20. Integracin de las Ecuaciones Diferenciales mediante series
21. Sistemas de Ecuacin Diferencial de coeficientes constantes
22. Reduccin de un sistemas a una Ecuacin Diferencial de orden n
23. Mtodo Operacional y su aplicacin para la resolucin de
Ecuacin Diferencial
24. Propiedades de Transformada De Laplace
25. Ecuaciones Diferenciales de Coeficientes Constantes (con
Transformada de Laplace).
26. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales lineales con Transformada
de Laplace
27. Apndice
j
ni38U33 i 3b ks
260
272
333
345
394
396
430
431
454
455
470
489
510
ICONCEPTOS FUNDAMENTALES!
Una ecuacin diferencial es aquella que relaciona la variable independiente x, la funcin incgnita y = y(x) y sus derivadas; y^n): es decir: es una ecuacin de laforma.
Si la funcin incgnita y = y(x) depende de una sola variable independiente x, la ecuacin diferencial se llama ecuacin diferencial ordinaria.
El orden de una ecuacin diferencial es el de la derivada de mayor orden que figura en la ecuacin.
Se llama solucin de la ecuacin diferencial a una funcin y = \|/(x), determinada en el intervalo (a, b), junto con sus derivadas sucesivas hasta el orden n inclusive tal que al hacer la sustitucin y = \|/(x) en la ecuacin diferencial, esta se convierte en una identidad con respecto a x en el intervalo (a, b).
La grfica de una solucin de la ecuacin diferencial se denomina curva integral de la ecuacin.
La forma general de una ecuacin de primer orden es:
F ( x , y ; f ) = 0
Si en la ecuacin (1) es posible despejar y ' , resulta;
. . . (2)
Que representa una ecuacin de primer orden, resuelta con respecto a la derivada.
1
www.mundoindustrial.net
-
Verificar, en los ejercicios que se dan a continuacin, que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas.
sen*11.- y = -------, xy'+y = eos*
xSolucin
y - scn y'= x cos* se.n. 9 reemplazando en la ecuacin dada.
jc eos jc-sen* sen* x 2 co sx -x sen x sen*2 y v2X * *
senx senx = eos X---------+ ------- -- eos X
X X
.*. xy'-Hy = cosx
12. - >> = ce2jr+ , y + 2j = e*
Solucin
_ c e ~2jr + _ => y = - 2c e _2jr + , reemplazando en la ecuacin dada.
i "\lp fii-X ex
y'+2y = -2ce~lx + + 2ce~Zr +2 = e x3 3
y'+2y = e x
13.- >> = 2 + c V l- x 2 , ( l - j c 2)y+xy = 2x
Solucin
y = 2 + cV i- * 2 => y=-ex
2
( l - j r 2).y'+jrv = - ( l - x 2) ^ = r + x(2 + cV l-x 2) = - V l- x 2cc + VTV l-J -x2
(1 - j t 2)j '^+jcv = 2jc
14.- j = x V l - x 2", >y= x - 2 x 3
Solucin
.y = W l - * 2 => / = V l - x 2 ------= T 2*V i- * 2 V i- * 2
r. 5". 1 2jc ,= W l - s ( ,----- - ) = s - 2 x 3
>y' = JC-2:c3
15.- , = , x /= > ;tg (ln j;)
Solucin
aresenexj; = ^aresener ^ l =
'Jl -(cx)2
X c e * m c x x c yxy - r - - = ^ = tg(ln_v).^
V1 ~ ( c x ) 2 -Jl-(cx)2
x} = J'tg(lny) donde: sen(lny) = cx => lny = arc.sen ex =>
tg(lny) = v h ^ F
f* 216.- ^ = e J0 dt+ceX > y ' - y = e
- x 2cx + 2x
3
www.mundoindustrial.net
-
Solucin
y = e * J * e ' 1 d t + c e * = > y ' = e x e ' 2 d t + e * . e * ' + c e * , reemplazando
y - y = e x J X e , 2 d t + e * . e * 2 - + c e * - e * j o e ' d t - c e * = e *~* .e*1
y ' - y = ex+j;2
f * sen t17.- y = x \ ~ d t , x y = y + Jo t
xsenx
Solucin
ex Sen t Cx sen i sen x r > sen t .v x l ------ dt ^ y' = I dt + x - I dt + sen xy J0 t 7 Jo t X Jo t
r* sen t r*senxy= x ( ------ Xy _ J dx + c)=> / = J dx + c + e* \ reemplazando en la ecuacin dada.
x f *xy'-y = x( dx + x + ex) - x ( | dx + c)
J x J x
e x f e x dx + xc + xc x I - dx xc xcX J X
x y '-y = xex
4
X = COS19.- L x+ yy' = 0
y = sen /
20. -
Soiucin
, _ / (O _ eos/ cos* '(0 sen ^ sen/
, , eos/* + = cos/ + sen/(---------) = c o s /-c o s / = 0sen/
JC + J> /= 0
x = e t
y = e(l + xy)y'+y2 =0
Solucin
... y\ - e "y = r = --------------7 =>y '= -, reemplazando en la ecuacin' - ' e (1+ t)
_ -/(l + xy)/+j>2 = (l + )(-----------) + e~2' = - e 2' + e 2' = 0
e' 0 + 0
(1 + xy)y'+y2 =0
x = e rctg(f)21.- L y + xy= 0^ = e -arctg(,)r*
jx = esrctg
-
22 . -
23.-
y ' = = e 2arct8(' ) = > / = _ e - 2arct8(')
y + jcy= -arc,8(,) + earct* y in = 4x
y = (21n + l)j 4
Solucin
jt = / ln / => jcJ = ln f+ 1
y = f2(21n/ + l) => y} = 2f(21n / + l) + 2f = 4(ln/ + l)
y [= 4 r ( ln / + l ) =4 ^ y,= 4, ' x1 ln + 1
y i n = 4 ln( ) = 4 ln t = 4x 4 4
jc = ln / + sen y = r(l + senO + cosJ
y' ln = 4x4
, x = ln v+ sen j'
Solucin
, 1 1+/COS/x = in + sen t=>x\ = - + cos / = ----- ------
y = /(l + sen) + cos ^ .V/ = 1 + sen l + t eo s / sen / = l + f eos/
6
, >>} 1 +eosr= - ---------- = t=>y'=t
r 1 + cos_____ _
l n y + s e n /= ln + sen = .
x = ln y + sen y
x = t + aresen , x = y + a re s e n /
x = + aresen x; = 1 +
Solucin
1
1
(l+/ . i -
1 + 1= t=>y'=t
y'+ aresen y' = t + aresen r = x
x = y '+ aresen /
x = t 2 +er
2 3y = + ( r - i y
y +ey' = x
Solucin
www.mundoindustrial.net
-
x = t 2 +e' x\ = 2 t + e'3 s *y = * - + ( , - l ) e y'(t) = 2t2 +e' + ( - l )e ' =t( 2t + e)
, y\ t(2 t+ e') , ,y = - ---- - = / = > / = x\ 2t + e
y 2+ey' = t 2 +el = x
y '2+ey = x
Verificar que las funciones dadas son las soluciones generales de diferenciales indicadas.
las ecuaciones
26.- y = -------, y '- tg x .y = 0cosx
Solucin
y ------- y'' = c sec x. tg x , reemplazando en la ecuacincosx
Qy '- tg x .y = c sec x . tg x - tg x .------ = c .secx .tg x -csecx .tg .t = 0
cosx
y - t g x .^ = 0
27.- = y '= 3 y 23x + c
Solucin
y = -
/ =
i3x + c3
y =(3x + c)
= 3( ) 2 = 3 ( - y )2 = 3 y2(3x + c) 3 x + c
y '= 3 y 2
8
28.- y = ln(c+ex) , y '= e x~y
Solucin
y - ln(c+ex)=t> y = -------- , adems y= ln(c + ex)=>c + ex = eyc+ ex
e x e xy'-.---------- -- ---- = e ' - ' => y = ex~yc+ e x ey
29.- y = -Jx2 - e x , (x2 + y 2)d x - 2 x y d y - 0
Solucin
y = 4 * 2 - ex => dy = rl : . c dxx 1 - e x
(2 x -c )d x -2 ^ J x 2 -cxd y = 0 , dedonde (2x2 -x c )d x -2 x y d y = 0
(x 2 - x c + x 2)d x -2 x y d y = 0 entonces ( y 2 + x 2)dx -2xydy = 0
30.- j = x(c-ln |j:|) , (x - y) dx + x dy = 0
Solucin
y = x ( c lnjxj) => dy = (c -\v \x \)dx-dx
x d y = x ( c - \n \ j f y d x - x d x , como y - x{c - lnjx|) entonces:
xdy = y d x - x d x => ( x - y ) d x + xdy = 0
31) x = y e * * \ / =x ( ln x - ln ^ )
Solucin
9
www.mundoindustrial.net
-
x - y e \ n x - \ n y = cy + \ => ln = cy + \ , dedonde
x = y e V +l => e ^ 1 = -
jc = l = / ^ +1+ o ^ +V = ^ ( 1 + 0 0 / = ~ ( in x - ln .y )y
1 = (ln jc - ln y ) / entonces: y '= -^ x (ln x - ln y )
32) * = >>lncy, / ( * + >>) = .V
Solucin
x e yx = yhicy => = lncy => = c , derivando se tiene:y y
y e h * ^ f ) - y 'y y _ x y '
------------------------- = 0 simplificando - ----- - / = 0 => y -x y '-y y '= 0y y
' ( x + y ) y '= y
La relacin 4>(x, y, c) = 0 que se obtiene en forma implcita determina la solucin general que se llama integral general de la ecuacin diferencial de primer orden.
La relacin que se obtiene en la integral general al atribuir a la constante c un valor determinado, se llama integral particular de la ecuacin diferencial.
El problema de resolucin o de integracin de una ecuacin diferencial consiste en hallar la solucin general o la integral de la ecuacin diferencial considerada, si adems, se ha dado alguna condicin inicial, se pide tambin hallar la solucin particular o la integral particular que satisface a la condicin inicial considerada.
Como geomtricamente las coordenadas x e y son equipotentes, adems de la ecuacin
= f ( x , y ) se considera tambin la ecuacin = - *dx dy f ( x , y )
10
( omprobar si las relaciones dadas son integrales de las ecuaciones diferenciales indicadas o no lo son (c = constante).
33) e~y - e x = 1, jty'+l = ey
Solucin
e~y - 1e y - ex - 1 => ---------= c derivandox
-x e ~yy'-(e~y - \ ) n _v , _v . ------------ ------------= 0 => - x e y y - e y +1 = 0
x
x y '+ l-e y = 0 => xy'+l = ey
, a\ 3 1 c 2 j 3 f dx*4) y , xy dy + y dx = X X X
Solucin
>>3 = + r- => x 3y 3 - x 2 = c , diferenciando se tiene: x x 3
3x2y 3dx + 3x3y 2d y - 2 x d x = 0 => xy2dx + x 2yd y =3 y
Luego no es integral de la ecuacin.
35) x 3 - 4 x 2y + 2 x y 2 - y 3 = 0 , (3x2 -8xy + 2 y 2) d x - ( 4 x 2 - 4 x y + 3 y2)dy = 0
Solucin
x 3 4 x 2y + 2xy2 y 3 = 0 , diferenciando se tiene:
3x2 dx - Sxydx - 4x 2 dy+ 2 y 2 dx+ 4xydy - 3 y 2 dy - 0
11
www.mundoindustrial.net
-
(3x2 - i x y + 2 y 2) d x - ^ x 2 -4 x y + 3y2)dy = O
Si es integral de la ecuacin diferencial.
36) y 2 + 2cx - c 2 y yy '2 +2xy'=x +1
Solucin
y 2 + 2cx = c 2 => c = x tJx 2 + y 2 derivando se tiene:
0 = 1^ M = => f sen t 2dt = , de donde0 Jo y
x = yj0 sen 12 ^ * = y' JQ sen r 2 dt + y sen x 2 , reemplazando se tiene:
l = / y + .y s e n x 2 => y = xy'+y2 senx2
Si es integral de la ecuacin diferencial.
Cx sen t39) -d - y \ n y , xy'+xiny = x senx + y ln y
Solucin
f*senr f*senr y ln vx \ dt = y \ n y => ------ di = ------
t Jo t X
cx sen t cx sen t Jx Jo - dt = y ln y => tf + sen x = v ln y + y , reemplazando se tiene:
y ln y ----hsenx - (lny + l)y' => y \ n y + xsenx = x(\ny + l)y'
No es integral de la ecuacin diferencial.
13
www.mundoindustrial.net
-
ECUACIONES CON VARIABLE SEPARABLE Y ECUACIONES REDUCIBLES A ELLAS
dySi en una ecuacin diferencial ordinaria de primer orden y primer grado = g (x , y )
dxse reduce a la forma:
donde M es una funcin solo d conoce con el nombre de Ecm solucin general se obtiene por
M(x)dx + N(y)dy = 0
le x, y N es una funci' icin Diferencial Ordin integracin directa, es c
n sola de y, a esta ecuacin s aria de Variable Separable y la lecir:
j M (x)dx + J[ N(y)dy = c
Donde c es una constante cualquiera.
La ecuacin diferencial de la forma:
= f ( a x + by + c) dx
donde a, b, c son constantes, se reduce a una ecuacin con variable separable haciendo la sustitucin z = ax + by + c.
Integrar las ecuaciones:
81) (\ + y 2)dx + {\ + x 2)dy = 0
Solucin
(1 + y 2)dx + (1 + x 2)dy = 0 , separando la variable
dx dy . ,------ r- + ------ = 0 integrando1 + x 1 + y 2
14
f dx f dyJ 7 7 7 r + J 7 7 ^ J = C arctgx + arctg.v = c
Nota.- tg (A + B) =
x + y = c ( l - x y )
tgA + tgB1-tgA.tgB
82) (l + y 2)dx+xydy = 0
Solucin
(1 + y )dx + xydy = 0. Separando la variable.
dx y dy \ ? + ------- = 0 integrando lnx + ln(l+ v ) = A:X l + y 2 2
21nx + ln(l + >'2) =2k de donde ln x 2(l + y 2)=
83) ( y 2 +xy2)y +x2 - y x 2 = 0
Solucin
( y 2 + xy2)y'+x2 - y x 2 = 0 , agrupando
y 1 (\ + x ) - ~ + x 2( l - y ) = 0. Separando la variable.
^ -+ ~ = 0 , integrando: f + ^ , c1 - y 1 + x j 1 - y i 1 + X
( x + y ) ( x - y - 2) + 21n-
yl + x1 - y
= c
=> x(l + y 2) = c
. De donde se tiene:
15
www.mundoindustrial.net
-
84) (1 + y 2)dx = xdy
Solucin
(1 + y 2 )dx = x d y separando las variables
dx dy = ------ y , integrando ln xk = arctg yx 1 + y
y = tg(ln(fcc))
85) x j l + 'y2 + yy'yfl + x 2 = 0
Solucin
x ^ l + y 2 + y^ l + x 2 ^ = 0 . Separando las variables.
xdx ydyr + -jrr-r = 0 , integrando
Vl + * 2 + y 2
r _ x d x _ + ( _ y ^ y _ = c dedonde + - c
86) x - J l - y 2dx + y j l - x 2dy = 0 , ^ x=0 = 1
Solucin
X i j l - y 2 dx + y j l - x 2dy = 0, separando las variables
ydy r xdx c ydyxdx ydy c xdx c yd- = = = + - = = = 0 , integrando a/Tv ^ 7 J VT^r J VTT
d donde, -\fl-x2 + ^ l - y 2 = k , para x = 0, y = 1
> 2 = c
16
V i- * 2 + V i- .v 2 = i
87) < r '( l + / ) = l
Solucin
e - * ( i + / ) = i => i + y = ^ => y = ^ - i
v r ^ + v n = * => * = i
= - 1, separando las variables, - -- = d:dx ey -1
t dy c c e ydyi ~ l = i dx+c => J T 7 7 7 ^ +A:
l n ( l - e ^ ) = x+A: => l - e -* ^ * - e V =
/. ex = (1 - 0
88) >>ln.y>)) = k => x ln y = c de donde ln y = -
para x = 1, y = 1 => l = e c => c = O
x ln y = O => lny = O => y = 1
, integrando se tiene:
e * = - L ( l - e -y )e
=> lnx + ln(lny) = k =>
=> y = e x
www.mundoindustrial.net
-
89) y '= a x+y(a > O, a * \ )
Solucin
dy + = a x y = a x .ay separando las variablesdx
a~yd y - a xdx => a xd x - a ydy = 0 integrando Ja xd x - Ja~ydy = k
a x +a~y =c
90) e y (\ + x 2)d y -2 x ( \ + ey )dx = 0
Solucin
e y (1 + x 2 )dy - 2x(l + ey )dx - 0 . Separando las variables.
eydy 2xdx f eydy r 2xdx----------------- = 0 , integrando ------7 - ------7 = k ,l + ey 1 + x 2 J l + ey J 1 + x 2
ln(l + ey ) - ln ( l + x 2) = k
. l + e y , l + eyln ------T = k => ------ t~ c
1 + x 1 + xl + ey =c(l + x 2)
91) (l + ex )yy '= ey , y\x=0 = 0
Solucin
dy(1 + e x )y = ey , separando las variables dx
dx r _v , c dx- + c
de donde:
ye ydy = ------ - integrando f ye ydy = -l + e x J J 1
de donde (1 + y)e~y = ln( * ) + 1 - x
18
Solucin
(1 + >>2 )(e2xdx - eydy) - (1 + y)dy = 0 , separando
92) (1 + y 2 )(e2xdx - ey dy) - (1 + y)dy = 0
e 2xdx - dy = 0 , integrandol + >>2
j e2xdx-jeyd y - j Y ^ T dy = c
e 2x^ - e y -a rc tg y - ln ^ l + y 2 = c
93) (xv2 - y 2 +x- l)dx + (x2y - 2xy + x 2 + 2y - 2x + 2)dy = 0
Solucin
(xry2 - y 2 + x - l ) * + (x2jy - 2;*7 + x 2 + 2y - 2x + 2)/y = 0 , agrupando
[y1 ( * - ] ) +(x-V\dx+[y(x2 - 2x + 2) + (x2 - 2 x + 2)]dy = 0 , factorizando
(y 2 + l)(x - l)dr + (y + l)(x 2 - 2x + 2).dy = 0 , separando la variable
( x - 1 )dx y + 1 ,-------------- + -------- dy - o , integrandox 2 ~ 2x + 2 y 2 + l
f ( x - 1 )dx f 7 + 1I I-------------------------------------------- + ~~----dy = k de dondeJ x - 2x + 2 J y +11 9 1 ?~-ln(x + 2x + 2) + ln(j/ + 1) + arctg y = k
ln(x2 - 2 x + 2){y2 + l) = - 2 arctgy + k=>(x2 - 2 x + 2)(y2 +1 ) = e -2tICX*y+k
entonces: (x 2 - 2 x + 2)(y2 + l)e2arct8y = c
19
www.mundoindustrial.net
-
94) y = sen (x -j> )Solucin
_ dz ( , . . dzSea z = x - y => = 1 - y entonces y = 1-----dx dx
Como y = se n ( jc -y ) reemplazando se tiene:
\ - = senz => 1- senz = , separando las variables: dx dx
dz dz = 1 - sen z => ---------- = d x , integrandodx 1 - sen z
= [dx + c=> f(sec2 z + tgz.secz)/z = x + c entonces J 1- s e n z J J
tgz + secz = x + c => tg(jc-y) + sec(jc-y) = x + c
95) y' = ax + by + c , a,b,c constantes
Solucin
Sea z = ax + by + c => = a + bydx
y - i . - a) reemplazando en y'= ax + by + c entoncesb dx
- ( - a ) = z => - a =bz => = a+bz separando la variableb dx dx dx
= dx integrando ---- --- = f dx + k , de dondea + Z>z J 0 + ?z J
~ln(a+Z>z) = * + /: => ln(a + bz) = bx + bk => a+bz = cebx b
+ c) + a =
20
96) (x + y ) 2y' = a 2
Solucin
dzS e a z = x + y => = 1 + y' entonces:
dx
dz "y/ = - 1, reemplazando en ( x + y ) y ' = a entonces
2 dz 2z ( - 1) = a separando las variables:
dx
z Z dz = dx integrando z - a. arctg() = x + ka +z a
ysimplificando x + y = a . tg( + c)
2
97) ( l - y ) ey y '+ ^ = 0x \n x
Solucin
(1 - y )ey + = 0 separando las variables dx x ln x
( l - y ) e y d x .------ ----- d y + ---------- 0 , integrando
y L x l n x
r ( l - y ) e y r d x r ( y - l ) e y------ ----- dy+ = c=> - ------ -----dx + ln(lnx ) - c
j y J x l n x J y 2
r e y e y- J d ( ) + ln(ln x ) = c, de donde: - + ln(ln x) = c
eyln(lnx) = + c
y
21
www.mundoindustrial.net
-
Solucin
(1 - y 2 )dx = (y - J l + y 2 )(1 + x 2)% dy separando las variables
98) ( l - y 2)dx = (y - -J \ + y 2)(l + x 2)'/ idy
dx y - y i + y 2------- = ---------------- ---- dy integrando( 1 + X 2 ) A l + y 2
f dx ,------- rr = ----------^ dy + c entoncesJ (1 + *2)X J l + y 2
I rf(7 = r ) =I {r h - ~ r =^ )dy+cv i+x 1+^ V1+^
* - l n'l + y 2
J \ + x 2 _y + -\jU y 2 _+ c
ioo) jty2(V + > O = 0 2
Solucin
dz x ----- z2"
Sea z = xy => y = => y ' =
Como x y 2 (xy' + y) = a 2, reemplazando se tiene
zX
dz zX ------- ZH-----
dx x= a , simplificando
z 2dz = a 2xd x , integrando se tiene:
22
Z3 Q2X2 ~ 3 3 >% 2 2 i = -------- + c=> 2x y =3a x +k3 2 '
100) (x 2y 2 +l)dx + 2 x 2dy = 0
Solucin
0 z , xdz - zdxSea z = xy => y = => dy = ------ ------x x 2
(x2y 2 +1 )dx + 2x2dy = 0 , reemplazando
(z2 +l)dx + 2x2(*-Z y ^ ) =0 => (z2 + \)dx + 2xdz 2z/z = 0 x
( z 2 - 2 z + V)dx + 2xdz = 0 => + - Z- = 0 , integrando2x (Z- l )2
1 m x --------- = c2 x y - 1
101) (1 + x y )y + ( x y - l ) xy'=0
Solucin
dzx ----- zSea z = xy => / = , reemplazando
xdz x ---- z
(1 + z 2) + (z - 1)2 x( ) = 0 , simplificando * x 2
(1 + z 2 )z + (z - 1)2 x - (z - 1)2 z = 0 entonces dx
23
www.mundoindustrial.net
-
( z - l ) 2xdz + 2 z 2dx = O => + dz = O integrandox z
2 \n x + z - 2 \ n z ~ = k => - 21n y = - x v + k =>Z JCJ>
lncy2 = * y - => cy1 ^ e gr xl. 3ty *y
102) ( * y + y + j t - 2)dx + (jt3>'2 +;c)rfv = 0
Solucin
dz x ------zSea z = xy => / = entonces
2 3 3 2* y + j> + jc- 2 + (jc y + jc) = 0 , reemplazando se tiene:dx
dz3 JC--------Z
Z Z 1 d x + + x - 2 + (xz +*)(
-
) = 0 , simplificandoX X x 2
dz3 Z --------Z
+ + x - 2 + (z2 + 1)(----- ) = 0 entoncesX X X
( z 2 + l ) - + x - 2 = 0 dedonde (x -2 )d x + ( z 2 +l)dz = 0 dx
integrando - - + z + - - 2 x = c
3 x2 - l 2 + 2 x 3y 3 +6xy = c
24
103) (x6 - 2 x 5 + 2x4 - y 3 +4x 2y)dx+(xy2 - 4 x 3)dy = 0
Solucin
Sea y = tx => dy = tdx + x d t entonces reemplazando se tiene:
(x6 - 2 x 5 + 2x4 - f V + 4txi )dx + (x i 2 - 4jc3){tdx + xdt)
x 3(jc3 - 2 x 2 + 2x - t * + 4t)dx+x3(t2 -4){tdx+xdt) = 0
(jc3 - 2 x 2 + 2 x - t i + 4 t+ i - 4 )dx+(/2 - 4 )xdt = 0, simplificando
(x3 - 2x + 2)dx+ (t2 - 4)dt = 0 , integrando
X3 2 f3------x +2x-\------- 4t = c por lo tanto:3 3
* 3 - y 3 4 y------x + 2 x+ ,------ = c3 3x x
104) y + i= (x + ^(x+.>>)' + (*+ > ')'
(cSolucin
Sea z = x + y => y = _ i . Reemplazando en la ecuacin diferencialdx
dz z n z n + z p( - 1) +1 = ---------- simplificando ------------d z - d x , integrandoz " + z * z m
r z n + z ' rJ ------ dz = j d x + c , de donde
= x + c , n m * -1, p - m ^-1n - m + 1 / 7-/W + 1
25
www.mundoindustrial.net
-
105) (ln x + y 3 )d x -3 x y 2dy = 0
t Solucin
i dz 1 ^ 2 . Sea z = ln x + y => = + 3y y dx x
3x y 2y % = - 1 reemplazando en la ecuacin diferencial:dx
lnx + y 3 - 3 x y 2 = 0 => z - ( x ^ - l ) = 0 x x
ln|z + l j - ln x = lnc => l n ^ - ^ = lnc =>
z + l = x c de donde y 3 - e x - ln x -1
106) (xy+ 2xyln2 y + y ln y )d r + (2x 2 \n y + x)dy = 0
Solucin
Sea xlny = t => lnj> = => y = etlxx
Reemplazando en la ecuacin diferencial dada:
, tlx 2elxt 2 et/x w ^ # . tl xd - d x(xe 1 x + ---------- + ------- )dx + (2x + x)e (-r ) = 0x x x
simplificando
26
/ r x d t - td x _ ^(x + -----------------------+ )t + (2/ + 1)(------ ) = 0x x x
( x 2 + 2 t2 + t)dx + (2t+l)(xdt-tdx) = 0 => x 2dx + (2t+ l)xdt = Q
x 2 ,x* + (2/ + l)rf = 0 integrando +1 + 1 = Cj entonces:
2x2 + 4/ 2 + 4 + l = c => 2x2 + (2/ + 1) 2 = c por lo tanto:
/. 2x 2 + (2x ln y + 1)2 - c
107) y - x y ' = a(\ + x 2y')
Solucin
y - x y ' = a + ax2y' => y - a = (x + ax2)-^- separando las variablesdx
Y ~ = ^ integrando f ( - ----- t )dx= lnc entoncesax + x y - a J x ax + l J y - a
xc 1 . . ex= y - a por lo tanto y = a +ax + \ ax + l
I0K) (a2 + y 2)dx + 2x^Jax-x2 dy = 0, } \x=a = 0
Solucin
Separando las variables de la ecuacin diferencial se tiene:
dx dy+ ------ - = 0 integrando
2 x ^ a x - x 2 a 2 + y
dx r dyf dx r dy
27
www.mundoindustrial.net
-
Sea x = - => dx = , reemplazando en la integral
f * . - f . 2x^ox--x^
dt 'J a t - l* - 1
-2 J l y fa t - l a
reemplazando (2 ) en (1 )
- (2)
- - 1 .y i y + arctg = c, x = a , y = 0 entonces a a a
0 + 0 = c => c = 0, Luego - ----- + arctg() = 0a a a
* - 1
a a=> y = a. tg
--1
109) y %+ sen ( ) = sen(^y^)
Solucin
+ sen() cos() + s e n A c o s ) = sen(^) c o s - sen(^) c o s ) dx 2 2 2 2 2 2 2 1
2 sen(^) cos() separando las variables
^ = - 2 cos()dx integrando ln | tg() | = - 2 sen()+cy 2 4 2
sen 2
28
110) Hallar una curva que pase por el punto (0,-2) de modo que el coeficiente angular de la tangente en cualquiera de sus puntos sea igual a la ordenada del mismo punto, aumentada tres veces.
Solucin
El coeficiente angular de la tangente en cualquier punto = ,,y de acuerdo adx
las condiciones del problema se tiene:dy dy 's
= 3y => = 3dx integrando ln y = 3x + c entonces y = ke comodx
pasa por (0,-2) => -2 = k por lo tanto y = -2e 3 x
II I) Hallar la curva para la cual el rea Q, limitada por la curva, el eje OX y las dos ordenadas x = 0, x = x, sea una funcin dada de Y.
Q = a 2 ln a
Solucin
y = f(x)
Q = = a 2 ln() , derivando se tiene:
a dy J a 1 a 1y - , entonces d x ---- - dy = 0 integrando se tiene: x + = c
ay dx y y
de donde : y = -c - x
(hiprbola)
29
-
112) Un punto material de masa igual a lgr. se mueve en lnea recta debido a la ecuacin de una fiierza que es directamente proporcional al tiempo, calculado desde el instante t = 0, e inversamente proporcional a la velocitiad del punto. En el instante t = 10 seg. la velocidad era igual a 50 cm/seg. y la fuerza igual a 4 dinas. Que velocidad tendr el punto al cabo de un minuto del comienzo del movimiento?.
Solucin
t 2 Como F = ma = k donde Q = 4 cm/seg v
t = 10 seg. v = 50 cm/seg.
1 . 4 = Ar => k = 20 y m ^ - = 2 0 - =>50 dt v
v2 = 2012 + c , para t = 10 seg. , v = 50 cm/seg.
502 =20(10) 2 +c => c = 500 entonces v 2 = 2 0 2 +500 x _,
para t = 60 seg. v = ? de donde:
v = -^20(60)^+500 = a/725 cm / seg
k \ '' t -Vv> \ \ *v v ' ^ , * ^
113) Demostrar que la curva que posee la propiedad de que todas sus normales pasan por un punto constante es una circunferencia.
Solucin
Sea Ln : y = b x , de donde mLN =b
Adems mL, = , y como LNI X , , entonces: dx
1 d* A hmLN = ---------= - , es decir que > = - N mL, dy dy
30
Xb , l = ,Como y = bx
x xSeparando las variables se tiene:
dy
y dx + x dx = 0, integrando se tiene: x 2 + y 2 - k
114) Una bala se introduce en una tabla de h = 10 cm. de espesor con la velocidad VQ = 200 m /seg traspasndole con la velocidad Vx = 80 m / seg. suponiendo que la resistencia de la tabla al movimiento de la bala es proporcional al cuadrado de la velocidad, hallar el tiempo del movimiento de la bala por la tabla.
Solucin
F = ma = m dvdt
condicin del problema:
d^ . 2m = kv dt
integrando:
m dv----- T = dtk v
m rvi dv _ r'k Jvf2 V
-r*Jo
k vj v0
* V,
31
-
k v0v.... (1)
dvadems m = m
dtd 2xdt2
2 dv dv dx entonces: kv = m = m r "
dt dt dx
r dv dx dv kv2 = m = mv-
dx dt dx
m dvdx = .
k v
* 1 A >v0
reemplazando (2) en (1)
. . . (2)
j _ ^ (Zl__^2.) f reemplazando el valor de t es.
ln( ) v0
V0V1
=40 ln(2.5)
seg.
115) Un barco se retrasa su movimiento por la accin de la re s is te n c ia del a g ^ que es proporcional a la velocidad del barco. La velocidad inicial del barco es, 10 m/seg. despus de cuanto tiempo la velocidad se hara 1 m. seg.
Solucin
La descripcin m ,Km idc, c. f - * > ' * dt'd' al resolver '*
tiene: V = Ae -kt
Para t = 0, v = 10m/seg., se tiene 10 - Ae => A 10 =>V 10e para
t = 5 se g ., v = 8 m/seg. se tiene 8 = 10e
F = 10e/5,n(8/10) = 10. ( ^ y /5
-5 k 1 8k = ln( ) entonces: 5 10
32
Demostrar que la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto es proporcional a la abscisa del punto de contacto, es una parbola.
Solucin
Se conoce que: mLt = - j - , y adems por la condicin del problema se tiene
mLt = k x . Luego ~ = entonces: dy = kx dx integrando y = ~ x 2 + c ,
que es una parbola.
Segn la ley de Newton, la velocidad de enfriamiento de un cuerpo en el aire es proporcional a la diferencia entre la temperatura T del cuerpo y la temperatura T0 del aire. Si la temperatura del aire es de 20C y el cuerpo se enfra en 20minutos desde 100C hasta 60C. Dentro de cuanto tiempo su temperatura descender hasta 30C.
Solucin
Sean T = temperatura del cuerpo.Tm = temperatura del aire = 20C.T0 = temperatura inicial.
La descripcin matemtica es:
dT = ~k(T - T m ) , de donde la solucin es: T = Tm + ( r0 - T m )e~kt
para t = 20, r = r 0 =60C entonces: 60 = 20 + (100-20)T2*
40 = 80e 20A => k = ^-^- por lo tanto: T = 20 + 80e~(ln2/20)
r = 20 + 80.2 '//2
-
para t = ? , T = 30C
30 = 20+ 80.2' 720 entonces I = 2~'/20 => t = 608
118) Hallar la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto es nveces mayor que la pendiente de la recta que une este punto con el origen de coordenadas.
Solucin
dx
te 0 = n tg a entonces: = n() => dy = n()dx , de dondedx x x
= dx integrando; ln y = n ln x + ln c => In y ln x nc , por lo tanto:y x
y - e x
119) Determinar el camino s recorrido por un cuerpo durante el tiempo t, si su velocidad es proporcional al trayecto, sabiendo que en 10 seg. el cuerpo P recorre lOOm. y en 15 seg., 200m.
Solucin
34
Sean s = el camino recorrido
t = el tiempo en seg.
v = ~ = velocidad del cuerpo
dsla descripcin matemtica es: = k s , de donde la solucin general es:
dts = Aeh , para t = 10 seg. , s= 100m . => 100 = ei0k
de donde = . . . ( 1)e
para t= 15 seg. , s = 200 m. => 200 = ,4e15*
de donde se tiene : A = ... (2)15Ae
a / n 1 0 0 2 0 0 i l n 2comparando (1) y (2) se tiene: ^ = ^ 7- => k = -e
reemplazando en (1) se tiene: A = 25 por lo tanto el camino recorrido ser:
s = 25.2r,s
120) El fondo de un deposito de 300 litros de capacidad, esta cubierto de sal. Suponiendo que la velocidad con que se disuelve la sal es proporcional a la diferencia entre la concentracin en el instante dado y la concentracin de la disolucin saturada (1 kg. de sal para 3 litros de agua) y que la cantidad de agua pura dada se disuelve 1/3 de kg. de sal por minuto hallar la cantidad de sal que contendr la disolucin al cabo de una hora.
Solucin
Sea x = cantidad de sal que concentre la disolucin, la concentracin en el instante dado es: 1/3 kg. Por litro de agua.
xLa concentracin de la disolucin saturada = -----;
300
35
-
= velocidad con que se disuelve la sal, la descripcin matemtica es: dt
- - k l - ) k factor de proporcionalidad resolviendo la ecuacin dt 3 300
diferencial se tiene:
jc = 100( -A e k,' m ), encontraremos la constante A p ara t = 0, x = 0 =>
A =100, luego x = 100-100e*'/30 , para determinar la constante k, para1 1 299
t= lm in . , x = - k g . se tiene - = 100-100* '300 => fc = 3001n()3 3 3UU
x = 100 - 100e 'ln(299/300) = 100 - 100(299)'
para t = 60 min, x = ?, x = 100(1- ( ^ J 60) 18.1542 g. porlotanto:
x = 18.1542 kg.
121) Cierta cantidad de una substancia indisoluble contiene en sus poros 10 kg. de sal, actuando con 90 litros de agua se observo que durante 1 hora, se disolvi la mitad de la sal contenida. Cunta sal se disolvera durante el mismo tiempo si se duplicase la cantidad de agua?La velocidad de disolucin es proporcional a la cantidad de sal no disuelta y a la diferencia entre la concentracin en el instante dado y la concentracin de la disolucin saturada (1 kg. para 3 litros).
Solucin
Sea x = cantidad de sal que concentra la disolucin
= velocidad con que se disuelve la sal; de acuerdo a las condiciones del dt
dx 1 0 -x 1problema la descripcin matematica es: =
De donde resolviendo la ecuacin diferencial y reemplazando los datos dados se tiene que: x = 5.2 kg.
36
122) Hallar la curva que tiene la propiedad de que el segmento de la tangente a la curva comprendido entre los ejes coordenados se divide por la mitad en el punto de contacto.
Solucin
2 yComo mLt = -------= ----- , entre los puntos P y A
x x----- X2
Adems ~~ = mL, => = - ^ de donde + = 0 dx dx x y x
Integrando se tiene: ln y + ln x = ln c => xy = c
123) Cierta cantidad de substancia, que contena 3 kg. de humedad, se coloc en una habitacin de 100 m i de volumen donde el aire tenia al principio el 25% de humedad. El aire saturado, a esta temperatura, contiene 0.12 kg. de humedad por l 3. Si durante el primer da la substancia perdi la mitad de su humedad, qu cantidad de humedad quedara al finalizar el segundo da?
Solucin
Sea s = cantidad de humedad que contiene la substancia
(3 s + 3) = cantidad de humedad que contiene el aire.
37
-
12 = humedad del aire saturado para 100 m 3
dsLa descripcin matemtica es: = -k s(-s + 6-12) = ks(s + 6)
de donde resolviendo se tiene: = Ae6kts + 6
para t = 0, s = 3 => A = para t 1, s 1.5 entonces:
k = - ln( ) = -0.0851, para t = 2 entonces s = 0.82kg.6 7.5
Cierta cantidad de una substancia indisoluble que contiene en sus poros 2 kg. de sal se somete a la accin de 30 litros de agua, despus de 5 minutos sedisuelve 1 kg., de sal. Dentro de cuanto tiempo se disolver el 99% de lacantidad inicial de sal.
Solucin
Sea s = cantidad de sal por disolverse.
dsLa descripcin matemtica es: = As, donde k es el factor de la
proporcionalidad, la solucin de la ecuacin diferencial es:
s = Aekt, determinaremos A, para t = 0, s = 2 kg. => A = 2
Luego s = 2ekt, determinaremos k.
Para t = 5 m in., s = lk g . => k = - l n
Por lo tanto: s = 2e (/5)lnl/ 2 => s = 2(~ )r/5
Para determinar t, se tiene que buscar el 99% de 5 es decir s = 1.98 kg.,
entonces: 1.98 = 2( - ) ' /5 => 0.99 = ( - )v/5 luego: t = 1 M ? 99) mirL2 2 1
ln 2
125) Una pared de ladrillos tiene 30 cm. de espesor. Hallar la dependencia de la temperatura de la distancia del punto hasta el borde exterior de la pared, si la temperatura en la superficie interior de la misma es igual a 20 y en el exteriora 0o. Hallar tambin la cantidad de calor expedida por la pared (por 1 m 2 ) al exterior durante un da.
Solucin
Segn la ley de Newton, la velocidad Q de propagadn del calor a travs de una superficie A, perpendicular al eje OX, es:
de donde k es el coeficiente de conductibilidad trmico, T la temperatura; t el tiempo y s el rea de la superficie A, (k = 0.0015).
dT OLuego la descripcin matemtica es: = - , donde Q constantedx kA
Resolviendo la ecuacin diferencial y usando los datos dados se tiene:2
T = x ; 864000 cal/da.3
126) Demostrar que la ecuacin con la condicin inicial vi _n = 0 tienedx x 1 r_u
infinitas soluciones de la forma y = ex. Esta misma ecuacin con la condicininicial jyj x=0 y 0 ^ 0 no tiene solucin alguna. Trazar las curvas integrales.
Solucin
dy y dy dx . J t ~ => - integrando ln y = ln ex => y = ex dx x y x
39
-
para y = O, x = O se tendr infinitas soluciones; para cualquier valor de c, se satisface la ecuacin as si c = 6, y = 6x satisface _yj = Y Para
}\ x=o = * 0 => = 0 > cua ^contradice por lo tanto:
cuando x = 0, y = y 0 * 0 no tiene solucin alguna.
Demostrar que el problema ~~ = y a , y\ x=o 0 , tiene al menos dos
soluciones para 0 < ct < 1 y una para a = 1 trazar las curvas integrales para
Solucin
. i- = y a => y~ady = dx integrando ------ = x + cdx 1 -a
gl-asi x = 0, y = 0 ------ = c solo si 1 - a > 0
3 1- a
sea si a < 1 luego al tomar a valores entre 0 y 1 hay infinitas soluciones.
Si a = 1 => = dx => ln y = x + cy
De donde y = kex para x = 0, y = 0, se tiene y = 0 es la nica solucin.
128) Hallar la solucin de la ecuacin = y \ \ n y \ a , (a>0) que satisface a ladx
condicin inicial >'j x=0 = 0 , para qu valores de a tiene solucin nica.
Solucin
~~ ~ y I ln y | => = dx integrandodx | ln |a
| ln v |1_a i , --------= x + c => y = 0 , x = 0 => -------1 ln v | = 0 + c
1- a I -
ln y >oo, as - a + l > 0 => a < l entonces y 0
El primer miembro se hara cero, as c = 0, lo que significa una solucin nica.
129) Demostrar que las tangentes a todas las curvas integrales de la ecuacin diferencial y + y tg x = x tg + 1, en los puntos de sus intersecciones con el ejeO Y son paralelas entre si. Determinar el ngulo bajo el cual se cortan las curvas integrales con el eje OY.
Solucin
-Stgxdx r ftgjratry = e [ J e (x tg x +1 )dx + c ] , por ser ecuacin lineal.
y = e ln (tg x sec x+sec x d^ x + ^ efectuancj0 ia integral,
y = eos x[x sec x + c] = x + c eos x entonces:
y = x + c. eos x , interceptando con el eje Y, para x = 0 , y = c => P(0,c)
= (1 - e s e n x)\p = 1 => mL, = 1
L, : y - c = l (x -0 ) de donde L, : x - y + c = 0
41
mL, = ' dx
-
Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales.
130) cosyf = 0
Solucin
KComo y eos y ' = 0 => / = arccosO = (2n + l)
= (2 + l) => dy = (2n + l)dx, integrando. dx 2 2
y = ^ (2n + l)x + c, n e Z.
131) ey = l
Solucin
dyey =1 => y'= 0 => = 0 => y = cdx
donde c es constante.
132) s e n / = x
Solucin
s e n /= J t => /= a rc se n jt + fl7r entonces:
= arcsenjt +w;r de donde y = (arcsenx + w7r)/x dx
integrando J dy = J (aresen x + n n)dx + c
y = jta rc se n x -V l- * 2 +mx+c donde n = 0, l , 2,.
133) l n / = x
Solucin
ln y '= x => y '= ex
dy = exdx => j dy = J e xdx => y = ex +c
134) t g / = 0
Solucin
t g / = 0 => y = arctgO = nn
dy = nn=> dy = nn dx integrando y = nrc + c
135) =jc
Solucin
e ~ x ^ y =\nx de donde dy = l n x d x , ahora integrando
j d y = J lnxdx => y = x l n x - x + c
136) tgy '= x
Solucin
tgy ' = x => y'= aictgx+nn , n = 0, 1, 2,...
dy = (aiclgx+nn)dx integrando se tiene
y = ^{ t tc tgx + njz)dx+c entonces: y = x2 x c tg x -^ \n ( \ + x 2) + njtx + c
43
-
En los siguientes ejercicios hay que hallar las soluciones de las ecuaciones diferenciales con las condiciones indicadas para x ->+oo.
, 16137) x y 'eos>> + 1 = 0 , y - > n => x-+o
Solucin
x 2 vco sy + l = 0 => cos>'.>'+ - 1r- = 0 , separando la variablex
dx 1eos ydy H r- = 0 , integrando sen>> + cx x
16 16 . 1 l6n cuando y - * n parax->+oo => c = sen luego sen . y - -se n ^
10138) x 2 /+ c o s 2 ^ = l , y-+ n => x->+*>
Solucin
x 2/ + c o s 2y = 1 => x 2y = l - e o s 2>', separando la variable
___= => = j integrandol - c o s 2 >' x 2 2 sen y x
f = l ^ r~ c de donde c tg y = + c J sen2 y x x
10 1 cuando y - * n , x H-ao => c - j~
2 1 2 1 Luego c tg y = +j ^ => y - arct^T+ ^J'*
44
139) jr3y -s e n y = 1, y -* 5 i t => x-H-oo
Solucin
x 3y ~ sen v = 1 => x 3 -^ = 1 + sen y , separando la variabledx
dy dx r dy r dx --------- = r integrando - ----- = + c1 +sen.y x * l+senj> J x
para y-+ 5n , x -H-oo => c = 1
por lo tanto y = 2 arctg(l i)2x
140) (l + x2)y - |c o s 22y = 0 , y ~ ^~ ti , x->-oo
Solucin
(l + x2)y - -c o s2 2 ^= 0 , separando la variable se tiene:
dy dx= 0 integrando = k
eos 2y 2 (1 + x ) 2 2
ytg 2 y - arc.tg x = c cuando y - n , x ->-oc => c =
2 2
tg 2y - arctg x = => tg 2y = - + arctg x => y = arctg( + arctg x)2 2 2
141) ey =e4y y'+1, y es acotada para x >+oo
Solucin
45
-
eAydve y = e 4yy '+ l ; e 4yy'= ey -1 entonces --------= dx
ey -1
r e4y fintegrando J ---- dy = J dx + c entonces:
^ y + e 2y + ey + - )dy = x + c y calculando la integralJ e y -1
e3y e2-----+ + ey + ln(l + e y) = x + c ,3 2
como y es acotado y x ->oo entonces y = 0.
(x + \)y' = y - \ , y es acotada para x >+oo
Solucin
(x + 1) / = y - 1 ; (x + \)dy = ( y - 1 )dx separando la variable
dy _ dxy - \ Jt + 1
integrando se tiene: ln(y 1) - ln(x + 1) + ln c
i i y - iln ------= ln c => -------= cy + 1 x +1
cuando x >oo entonces > 0 por lo tanto c = 0JC+ 1
t . o = y . 1* + 1
y ' 2x(n + y ) , y es acotada para x-H-oo
Solucin
y'= 2x(n +y) => - = 2xdx integrandoy + n
y + n = J entnces ln (y+n) = x 2 +c entonces:
jr2y + n =ke , y es acotado para x >00 entonces k = 0
Luego y + n = 0 => y = -n
2 11144) x y'+ sen 2y = 1, y - * rc => x-M-oo4
Solucin
2 5x / + sen 2 ^ = 1 => x dy = l -sen2ydx separando la variable
dy dx=> integrando se tiene:1 - sen 2y x 2
f dy ( dx 2 y sec2 v 1J l ^ 2 7 = J ^ ' C => t g - - - + ci2 y J x 2 2 2
cuando y > ;r , x >+oc se tiene que: y = arctg( x)
X
47
-
[ECUACIONES HOMOGENEAS Y REDUCIBLES A ELLAS|
A la funcin f(x,y) llamaremos funcin homognea de grado n si se cumple la identidad.
Una ecuacinin diferencial de la forma = f ( x , y ) , se denomina homognea si f(x,y)dxes una funcin homognea de grado cero.
La ecuacin diferencial homognea siempre se puede representar en la forma:
H
dx x... (1)
Introduciendo una nueva variable incgnita u = ~ , la ecuacin (1) se reduce a la
ecuacin con variable separable:
du , x x - = \/(u)-u dx
Observacin.- Al resolver las ecuaciones homogneas no es indispensable reducirlas a la forma (1). Se puede hacer inmediatamente la sustitucin y = ux.
Las ecuaciones diferenciales de la forma:
dy _ ^ axx-\-bxy + c l ^dx a 2x + b2y + c2
. . . (2)
se reduce a homognea trasladando el origen de coordenadas al punto (x0,y 0) de interseccin de las rectas: axx + bxy + c, = 0 y a 2x + b2y + c 2 = 0 ; y esto se consigi|
haciendo la sustitucin de las variables x = z. + x0 , y = w + y
48
El mtodo indicado no es aplicable cuando las rectas ax + b{y + cx = 0 y
a 2x + b2y + c2 = 0 son p
puede escribir en la forma:
a 2x + b2y + c2 = 0 son paralelas, en este caso = ^ - = A a la ecuacin (2) seax bx
dy _ axx + bxy + cx x ^ f x ~ ------- r -------) = F(axx + bxy)dx (axx + bxy) + c2 ... (3)
que ha sido estudiado en las ecuaciones redjucibles a variable separable.
Si la ecuacin diferencial viene expresada en la forma:
P(x,y)dx + Q(x.,y)dy = 0
Ser homognea, si P(x,y) y Q(x,y) son funciones homogneas del mismo grado.
A veces, la ecuacin se puede reducir a homognea mediante la sustitucin de la variable y = z a , esto ocurre cuando todo los trminos de la ecuacin son de un mismo grado, atribuyendo el grado 1 a la variable x, el grado a a la variable y; y el grado a - 1
a la derivada .dx
Integrar las Ecuaciones:
145) 4* - 3y + y' (2y - 3x) = 0
Solucin
Observamos que la ecuacin es homognea, entonces:
Sea y = ux => dy = u dx + x du, a la ecuacin diferencial escribiremos as:
(4x - 3y)dx + (2y - 3x)dy=0, ahora reemplazando se tiene:
(4x - 3ux) dx + (2ux - 3x)(udx + xdu) = 0, simplificando
(4 - 3u) dx + (2u - 3)(u dx + x du) = 0, agrupando
49
-
(2u 2 - 6 u+4)dx + x(2u - 3)du = O , separando la variable
dx 2 u -3 , , f dx f , 2 -3 NJ2 -----1------------du= 0 , integrando 2 ----- 1-1 (=---------- )du = cx u -3 u + 2 J x J u -3 u + 2
entonces: 21nx + ln(w2 -3w 4 2) = c => \n x 2(u2 -3 u + 2) = c , levantando el
logaritmo se tiene: .\ y 2 - 3 xy + 2x2 =k
146) xy' = y + -yjy 2 - x 2Solucin
A la ecuacin escribiremos as: xdy = (y + ^ 2 - x " ) d x , es homognea.
Sea y = ux entonces dy = u dx + x du => x(udx + xdu) = (ux + J u 2x 2 - x 2 )d x ,
simplificando xdu = J u 2 - \d x separando las variables -------V 2 -1
integrando se tiene: ln | u+ Vu2 - 11= lnx + ln c entonces:
du dx9
X
ln -----12 = ln c , levantando el logaritmox
u + ^Ju2 -1 - e x => y + ^ y 2 - x 2 - e x 2 de donde /. 2cy = c 2x 2 +1
147) 4x2 - x y + y 2 + / ( x 2 - x y + 4 y 2) =0
Solucin
La ecuacin diferencial (4x2 - xy + y 2 )dx + (x2 - x y + 4 y 2 )dy = 0 , es homognea
sea y = x => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuacin.
(4x2 - u x 2 + u2x 2)dx + (x2 - u x 2 + 4u2x 2)(udx + xdu) = 0
50
simplificando (4u 3 + 4)dx 4 x(4u 2 - u 4 \)du = 0 , separando las variables
dx 4u 2 u + 1 . c dx c 4u2 u + \4 4*------------- du = 0 , integrando: 4 4- - -------- d u = c entonces:
X u 3 + 1 J X J u 3 +1
41nx4- ( + ~ 1 )du = c J u+ l u - u + \
lnx4 4-21n(w4l)4ln| u 2 - u + l\=c => ln x4 (w4 l )2 (u2 - u 4 l) = c
x*(u + l)(u3 + \ ) = k donde w= por lo tanto: (x 4 y )(x 3 + y 3) = k
148) 4x2 + x y - 3 y 2 + y '( -5 x 2 +2xy + y 2) = 0
Solucin
(4x + x y3 y 2)dx + {5x2 +2xy + y 2)dy = 0, es homognea entonces:
y = ux => dy = u dx 4 x du, reemplazando en la ecuacin
(4x2 4 x 2w 3x2u 2)dx4 (5x2 + 2x2w4xV)(wrf*4xrfw) = 0, simplificando:
(u3 - u 2 - 4u 4 4)dx 4 (w2 +2u 5)xdu = 0 , separando las variables se tiene:
dx u 2 + 2 u - 5 J ^ .+ ^----- 1-----------du = 0 , integrando
* W -W -4W4-4
c dx f u 2 + 2 u - 5" + -----5----------- d u = c , integrando por fracciones parciales se tiene;
J x J u - u - 4^ 4-4
( y - x ) * ( y - 2 x f = c(y + 2x)5
51
-
Solucin
9 2'Ixydx - (3jc - y )dy = 0, es homognea entonces:
y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuacin
2x2udx-(3x2 - x 2u2)(udx + xdu) = 0 => (u3 -u)dx + (u2 -3)xdu = 0
separando las variables + - du = 0 , integrando + - du x u 3 - u J x J u 3 ~u
f + f (---- --------- )du = c, efectuando la integral se tiene: c(y2 - x 2)J x J u u - 1 w+ 1
150) 2xy'(x2 + y 2) = y ( y 2 +2x2)
Solucin
2x(x2 + y 2)dy = y (y2 -h2x2)dx , es homognea
y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuacin
2x(x2 + x 2u2)(udx + xdu) =ux(u2x 2 + x 2)dx
2(1 + w 2 )(mx; + x/w) = u(u2 +1 )dx f simplificando
(u3 + w)rfx + 2(1 + u 2)xdu = 0 , separando las variables
dx 2 (u 2 + l ) , . c dx c 2 (u2 + 1) _ r dx du- + (i* + 1) , _ . , f dx C2{u + 1) . ftfx--------du = 0 9 integrando + ------- d u - c => + 2 u 3+u J x J u3 +u J x J u
2 y 2entonces: ln x + 21n w = c => lnx.w =c => x = c porlo tanto: yx
151) x y '= j y 2 - x 2
Solucin
xdy = ^ y 2 - x 2 d x , es homognea y = ux => dy = u dx + x du
ux(udx + xdu) = *J2x 2 - x 2 dx , simplificando
udx+xdu = u 2 -1 dx , separando la variable
/w dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuacin
(ax2 +2bx2u+cx2u 2)dx+(bx2 +2c2u+ f x 2u2 )(udx+xdu) = 0 , simplificando
(a + 2ftw + cu2)dx + (b + 2cu + f u 2)(udx + xdu) = 0 , separando la variable
dx b + 2cu + fu 2 ,---- 1--------------- -------- d u - 0 , integrando*
-
r dx C b + leu + f u 1 + 1 ---------------- --------- du = c entonces
J x J a + 3bu + 3cu + fufu
i 2 3 y\nx + \n \a + 3bu + 3cu + fu |= c , donde para u = se tiene:3 x
f y 3 +3cxy2 + 3bx2 y + ax3 - c
153) ( y 4 - 3 x 2)dy = -xydxSolucin
y = z a => dy - a za ld z , reemplazando en (y 4 - 3 x 2)dy = - xydx
(z4a - 3 x 2)aza~1dz = - x z adx => (z5a~l - 3 x 2 z a l )odz = - x z adx
para que sea homognea debe cumplir:
1 2 25 a - l = c t+ l = a + l => a = => (z 3jc )/z = - I x z d z , es homognea
x = uz => dx = u dz + z du entonces:
(z 2 - 3u 2 z 2 )dz = -2 z 2 u(udz + zdu) => (1-3w2)/z-2m(w/z + z/w)
(w 2 -l)rfz = 2wz/w separando la variable = - integrando* w2 - l
* z r 2u
54
f = \ ^ du + c => lnz = ln(w2 - l ) + cJ ^ J w2- i
para w = , z = y 2 por lo tanto: x 2 = y 4 +c:y6z
154) y 3dx + 2(x2 - x y 2)dy = 0
Solucin
Sea y = z a => rfy = aza-1, reemplazando en la ecuacin
z 3ar + 2(x2 - x r 2a )aza_1/z = 0 , agrupando
z 3adx + 2(x2z a l - x z 3a~l )a dz = 0 , para que sea homognea debe cumplir:
1 2 23 a = a + l = 3 a => a = r=> z~dx + (x - x )d z = 0 , es homognea,
x = uz => dz = u dz + z du, simplificando
zdu + u2dz = 0 , separando la variable + = 0u 2 z
1 X 2integrando + lnz = c de donde para u= , z - y se tienew z
1 2 1reemplazando en - + ln z = c por lo tanto: y = x ln ky
u
155) ( y -xy ' )2 =x2 + y 2
Solucin
( y - x y ' ) 2 = x 2 + y 2 => y - x y '= ^ j x 2 + y 2 , es homognea
y = ux entonces dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuacin
(mx- -y/x2 + w2x 2 )dx- x(udx + xdu) = 0 entonces:
(u - ^ | l - - u 2 )dx- udx-xdu = 0 , simplificando
r T , dx du-V l + w dx - xdu = 0 => + - ___ : = 0 , integrando
-Y Vl + t/ 2
55
-
+ =.U = c => lnx + ln|w + Vl + w2 |-cJ * J
x(u + 4\~+u2 ) = k , para w = se tiene: y + J x 2 + v2 = &x v
156) 3* + >,- 2 + j>,( j t - l ) = O
Soiucin
Z1 :3x + ^ - 2 = 0l Sean ^ LX^ L 2 entonces existe un punto
L2 :x - \ J
/>(*o>J o ) G A n 2 Y Para encontrar el P(x0, y {)) se resuelve el sistema:
3 x + y -2 = Oj x 0 =1x _ 1 = 0 j - y 0 = - l Lueg = P(1~ l)
Sean x = z + 1 , y = w - 1 => (3x + y -2 )d x + (x - l)dy = 0
(3z + w)dz + z dw = 0, es homognea sea w = uz => dw = udz + zdu
(3z + uz)dz + z(u dz + z du) = 0, simplificando
(2u + 3)dz + z du = 0, separando la variable:
dz du . r dz r dudz du . r dz r + --------= 0 , integrando + -z 2u + 3 J z J 2u +3
entonces: (x - l)(3x + 2y - 1) = k
157) 2x + 2 y - l + / ( j t + y - 2 ) = 0
Solucin
= c
(2x + 2y l)dx + (x + y 2)dy = 0 ==> sea u = x + y entonces:
56
dy = du - dx => (2u - 1 )dx + (u - 2)(du - dx) = 0 entonces
(u + 1 )dx + (u - 2)du = 0 => dx + du = 0 integrandou -1
u 2 2x+yJdx + J - - d u - c => x + y + l = ce 3
(3y - 7x + 7)dx - (3x - 7y - 3)dy = 0
Solucin
Lx : 3 y - l x + l = 0l Sean > => entonces
L2 : 3 x - l y - 3 = 0 1 2
3v-7jc + 7 = 0l Xq \3 P(x, y a)&Lx a ! 2 de donde: ' . n => n
3 x -7 > '-3 = 0 J J>0 =0
x = z + l , y = w entonces reemplazando en: (3x7y+7)dx (3x7y3)dy
(3w 7z)dz - (3z - 7w)dw = 0, es una ecuacin homognea,
w = uz => dw = u dz + z du, reemplazando en la ecuacin
(3uz - 7z)dz - (3z - 7uz)(u dz + z du) = 0, simplificando:
(7w2 - l ) d z + (lu - 3)zdu = 0 , separando la variable:
_ dz l u - 3 . . , _ f dz c l u - 3 .7 + du = 0 , integrando 7 + I ----du = c
Z U2 - i J Z J u 2 + 1
dedonde: .\ (x + y - \ ) 6( x - y - l ) 2 - c
(y + y ^ 2y 4 + l)dx + 2xdy = 0
Solucin
-
c z , xdz - zdxaea xy - z => y = => dy = ------ ----- , reemplazando en la ecuacinx x 2
( + J T- + l)dx + 2x( Z ZC^X) = 0 9 simplificandoX x \ j x 2 * 2
, Z Z [~~4 2 x ^ (xdz - zdx)( + y ^ z +x )dx + 2 -------------- = 0 entonces:X X2 X
z(Vz4 + x 2 -x)dx-\-2x2dz = 0 sea x = u 2 => dx = 2udu
z(y]z4 + u 4 - u 2 )2udu + 2u4dz = 0 , simplificando
z(*J~z^ +u 2 -u )du + u}dz = 0 , es homognea
sea u = zw => du = z dw + w dz, reemplazando en la ecuacin
z(>/z4 + z 4w2 - z 2w2 )(zchi+ wdz) + z 3w3dz = 0
wyjl + w4 dz -i- z(s/l + vv4 - w2 = 0 , separando la variable
dz 4 l + w 4 - w 2 r dz f 1 w---- h---- ..... dw = 0 integrando + I (---------=====?) dw = cZ W l + VV4 Z W ^ /1+w4
lnz + ln w ln \w 2 + ^ l + w 4 \=c => ln z w - \n \w 2 + ^ l + w4 |= dy = ctza d z , reemplazando en la ecuacin
4xz2adx + (3x2z a - \ ) a z a~ldz = 0 , agrupando
4jcz2of c + (3jc 2 z 2a_1 - z a~l )adz = 0 para que sea homognea debe cumplir:
2a + 1 = 2a + 1 = a 1 => a = -2, reemplazando en la ecuacin
4xz~4dx + (3x2z~5 - z~3)(-2rfz) = 0, simplificando
2jcz dtc - (3jc 2 - z 2 )tfz = 0 , es homognea
sea x = uz => dz = u dz + z du, reemplazando en la ecuacin
2uz2(udz + zd u )-(3u2z 2 - z 2)dz = 0, simplificando
(-u 2 +1 )dz + 2wzfw = 0 => ---- du = 0 y integrandoz u -1
dz C 2u - du = c => ln z - ln(u 2 - 1) = cJ Z J w2 -1
Jlf 1 ^ 2de donde para w= , z = - p r se tiene: .\ y (x ^ y - l) =
161) (jc + y 3)t+ (3.y5 - 3 y 2x)dy = 0
Solucin
y = za dy = a za~ld z , , reemplazando en la ecuacin
(x + z 3a )c + (3z5 -3z21)oza_1/z = 0 , agrupando
(x + z3a )dx+(3z6a~1 - 3 z 3a~1x)a dz = 0 para que sea homognea debe cu nplir:
59
-
1 - 3a - 6a l = 3 a => a = \ ' reemPlazan dz = u dz + z du
(uz + z)(u dz + z du) + (z - uz)dz = 0, simplificando
(u + l)(u dz + z du) + (1 - u)dz = 0, agrupando
(u 2 + 1 )dz + z(u + \)du = 0 , separando las variables
dz u + 1 z
~ Y ~ ~ du = 0 , integrando f + du = c U2 + 1 J z J u 2 + 1
1 2 x lnz + ln(w + 1) + arctgu = c , para u = , z = y 3
2 z
y 3 1 ? se tiene: arctg- = ln(x + y ) + k
x 2
162) 2(x2y + ^ \ + x 4y 2 )dx + x 3dy = 0
Solucin
Sea z = x 2y => x 2dy=dz2xrydx. Reemplazando en la ecuacin diferencial:
2(z +Vl + z 2 )dx + x(dz - 2zdx) - 0, simplificando
2 {z+ 4 -z2 )dx + x/z - 2z/x = 0
de donde 2^1 + z 2 dx + xdz = 0, separando las variables
dx dz _2 + = , = 0, integrando* Vi + z 2
J 2 + f = lnc => x 2(x2y + ^ l + x 4y 2) = c x Vl + z 2
60
163) (2x - 4y)dx + (x + y - 3)dy = 0
Solucin
Lx : 2 x -4 y = 0 1Sean > => Lx4 fL 2 => 3 P(xQ, y 0) e L x n L 2 de donde
L2 : x + y - 3 = 0J
2x - 4y = 0 | * o = 2 sea x = z + 2 , y = w + 1, reemplazando en :x + ^ - 3 = 0j Jo =1 (2x-4y)fy + (x + y-3)rfy = 0
(2x - 4w)dz + (z + w)dw = 0, es homognea
sea w = uz => dw = u dz + z du, reemplazando en la ecuacin
(2z + 4uz)dz + (z + uz)(u dz + z du) = 0, simplificando se tiene:
(w 2 - 3 + 2)dz + (m + 1 )zdu = 0, separando la variable
4- . + *---- du = c => ( j ; - 2 x + 3)3 = c ( y - x + l ) 2z t/ - 3w + 2
164) (x 2y l)dx + (3x - 6y + 2)dy = 0
Solucin
Sea z = x 2y => dx = dz + 2dy, reemplazando en la ecuacin
(x - 2y l)dx + (3x 6y + 2)dy = 0, se tiene:
(z - l)(dz + 2dy) + (3z + 2)dy = 0, agrupando
(z l)dz + 5z dy = 0 , separando las variables
(1 - )dz + 5dy = 0 ; integrandoz
z - ln z + 5 y - c , como z = x - 2 y entonces: x + 3 y - ln |x - 2y| = c
61
-
165) ( x - y + 3)dx + (3x + y + l)dy = 0
Solucin
Lj : x - y + 3=0 1L2 - 3x+y+l = 0\ ^ ^ Ll entonces 3 ^ o J o ) g i n 2 de donde
x - y + 3 = 0 ] x0 = - l- 1 * r =* ^ sea x = z 1 , y = w + 23x + y + l= 0 J .Vo =2
(x y + 3)dx + (3x + y + l)dy = 0
(z w)dz + (3z + w)dw = 0 , es homognea
w = uz => dw = u dz + z du, reemplazando en la ecuacin
(z - uz)dz + (3z + uz)(u dz - z du) = 0, simplificando
(1 u)dz + (3 + u)(u dz + z du) = 0, agrupando
(w 2 + 2w + Y)dz + (u + 3)zdu = 0 separando las variables
dz u 3 r dz r u 1 + ~ 2 ------du= 0 , integrando + ----------- w = cz w + 2w + l J z J u 2 + 2w + l
2 2ln z + ln(w + 1) -------= c entonces ln z(u +1) ------ = c donde
+1 +1
2x+2w y - 2 ------w = = ------ setiene y = 1 - x + ce r+>
z x + 1
166) (x + y)dx + (x + y - l)dy = 0
Solucin
Sea z = x + y dy = dz dx, reemplazando en la ecuacin
62
z dx + (z l)(dz dx) = 0, separando la variable
dx + (z l)dz = 0 , integrando J dx + J ( z - \)dz = c entonces
2x + - - ~ - - = c porlotanto: 2x + (x + y - l ) 2 =k
167) y cosx dx + (2y sen x)dy = 0
Solucin
Sea z = sen x => dz = eos x dx, reemplazando en la ecuacin
y eos x dx + (2y - sen x)dy = 0, se tiene:
y dz + (2y - z)dy = 0, es homognea
sea y = uz dy u dz + z du, reemplazando en la ecuacin
uz dz + (2uz z)(u dz z du) = 0, simplificando
u dz + (2u - 1 )(u dz + z du) = 0, agrupando
dz 2u - \ J , r dz c 2u - 1 , , ,---- h---- - du = 0 , integrando + du = c de dondez 2u2 J z J 2u
2y ln y + sen x = 2cy
y y168) ((x -y )co s )/x + xcos dy = 0x x
Solucin
ySea u = => y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuacin
x
(x ux eos u)dx + x eos u(u dx + x du) = 0
63
-
(1 u eos u)dx + u eos u dx + x eos u du = 0, simplificando
dx + x eos u du = 0, separando las variables
+ eos udu = 0 , integrando f + f eos udu = c x J x J
V VIn x + sen u = c, como u = => ln x + sen = cx x
por lo tanto x = ke~SQnylx
y 3dy + 3y2xdx + 2x3dx = 0
Solucin
y = ux dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuacin
w3x 3(udx + xdu) + (3x3m2 + 2x3)dx = 0, simplificando
u3 (udx + xdu) + (3u2 + 2)dx = 0, agrupando
(u 4 + 3u2 + 2)dx + u 3xdu = 0, separando las variables
dx u3 ,---- 1_ __ -----du - 0 , integrandox u 4 +3u2 +2
U -----du = c de donde c J x 2 + y 2 = y 2 +J x J u 4 +3u +2
ydx + (2 ^Jxy - x)dy = 0
Solucin
y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuacin
udx + (2Vux2 - x)(udx + xdw) =* 0 , simplificando
2u^fdx + x(2Vw - l)rfw = 0 , separando las variables
2dx 2a/w -1 , . . , c dx c du f du-----h------- j=du = 0 , integrando I + ------ = c
X u^lu J x J u J u 3 2
2 [x21n x + 21ni/Hj=r = c de donde ln y - c - entoncesVw v y
y = entonces y e = k
171) Hallar la curva que teiga la propiedad de que la magnitud de la perpendicular bajada del origen de coordenadas a la tangente sea igual a la abscisa del punto de contacto.
Solucin
Por dato del problema d = x0
Adems mLt | = y' (x0) y la ecuacin de la tangente es:
Lt : y - y o = mLt ( x - x 0)
65
-
Lt : xy' (x0) - y + y0 - yx0y ' (*o) = O por distancia de punto a recta
d ( 0 , L , ) J ^ =VO(
por condicin del problema se tiene: /(O, Lt ) = x 0
\yxo/(xo JF"" = xo generalizando en cualquier punto se tiene:
- M * o))2+i
y 2 - 2xKy'+x2/ 2 = x 2 + jc2/ \ simplificando
>2 ~ * 2 2xv;v' = 0 de donde ( y 2 x 2 ) dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuacin
(u2x~ x )dx 2 x 2u(udx + xdu) = 0> simplificando
(u -1 )dx 2u(udx + xdu) = 0 , agrupando
(u ~ + l)r 2uxdu = 0 , separando las variables.
2w ^ a * ^ f , + ---- du = 0 , integrando + ------- fa= lnc* u 2 +l i x J u 2 + 1
lnx+ln/2 -+1) = lnc => x(u2 + 1) =c* de donde u = por lo tanto: x2 + y 2 =cjcx
Hallar la curva para la cual la razn del segmento interceptado por la tangente en el eje O Y, el radio vector es una cantidad constante.
Solucin
o /(* o )|
o))2 + l
La ecuacin de la recta tangente es: Lt \ y - y0 = m (x - x0), de donde
Lt : y = y '(x0) x - y ' ( x 0Kx0) + y 0
parax = 0, se tiene d 1 = y Q- y ' ( x 0)(x0)
r r 7 Vn ~ y'(^o)(xn)adems = V*o .Vo lueg :--1 =*== = generalizando se tiene:
4 xo + y v - y ' x , rr~ rj =C => y - x y =c^Jx + y
i * 2 +jV2
(c-jx1 + y 2 - y)dx + xdy = 0 , es homognea
sea y = ux dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuacin
(c\Jx2 + x 2u - yx)dx + x(udx + xdu) = 0 , simplificando ,
(c^l + u 2 -u )dx + udx + xdu = 0 , agrupando
67
-
c^l + u2 dx + xdu = O, separando las variables
= 0 , integrando c ln x + ln(w + \/l+M2 ) = ln&dx duc--4- - ^ ^* + u2
x c (u + *K+u2 ) =k dedonde y + ^ Jx2 + y 2 - k x l c
x 2 + y 2 = k 2x 2^ ~c>i -2kyxl~c +y2, dedonde
. 1 / 1 (T 1 1+C.. y = k v ----x2 * k
173) Empleando coordenadas rectangulares, hallar la forma del espejo si los rayos que parten de un punto dado, al reflejarse, son paralelas a una direccin dada.
Solucin
dy , t a O - * ) + 4 7 2 + ( i - * ) 2 = tg^ = c tg 0 = ----------- 2-----------------dx y
ydy-( l-x)dx _ . r ~5 7--p . ... = dx integrando ^ y + ( l - j t )~ = j t + c , parax = y = 0, 1 = dy = u dx + x du , simplificando
(1 + w2 - u ^ l + u2 )dx + x (u -^ \ + u2 )du = 0
69
-
dx U -V l + M2x 1 + u 2 -u V l + W^
du= O, integrando y reemplazando
y 1 / 2 Ku = se tiene: y = (cx )x 2 c
175) Hallar la curva para la cual el producto de la abscisa de cualquiera de sus puntos por la magnitud de sus puntos por la magnitud del segmento interceptado en el eje OY por la normal, es igual al duplo del cuadrado de la distancia desde este punto al origen de coordenadas.
Solucin
Condicin del problema x {)d\ = 2 d \ , la ecuacin de la recta tangente es:Ly - y - y o = y \ x 0) ( x - x 0)
ecuacin de la normal es: LN : y - y 0 = 7 7 ( x - x 0)/ ( * o )
x *ol n ' y = 77
y (Xf) y (*0)
para x = 0 => d, = i- y 0, d2 =-Jxj + Jo Pr 1 tanto:y'(x0)
70
x0d 1 = 2d \ => x n( -X + y (i) = 2(Jx + y l )2 , generalizandov (jc0 )
2 dx , 2 2\x +xy = 2(x + y ) dy
x 2dx + ( x y - 2 x 2 - 2 y 2)dy = 0, es homognea
sea y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuacin
x 2dx + (x2u - 2 x 2 - 2 x 2u2)(udx + xdu) = 0 , simplificando
dx + ( u - 2 - u 2)(udx + xdu) = 0 , agrupando
(u 2 - 2u - u3 + \)dx + x(u - 2 - u2 )du = 0 , separando la variable
dx u - 2 - u 2 . A t , y + ---------- -----du = 0 , integrando y reemplazando para u = se tiene:* u 2 - 2 u- u3+\ x
71
-
ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN: ECUACIONES DE BERNOULLI
La ecuacin diferencial de la forma:
^ - + P(x)y = Q(x) dx
donde P(x) y Q(x) son funciones continuas de x, se llama ecuacin diferencial lineal de primer orden.
Si Q(x) = 0, la ecuacin (1) se llama ecuacin diferencial lineal homognea, y es de variable separable y su solucin es dada por:
- f p(x)dxy = ce J
si Q(x) * 0, la ecuacin (1) se llama ecuacin diferencial lineal no homognea, y su solucin es dada por la expresin.
Ecuacin de Bernoulli. La ecuacin diferencial de Bernoulli es de la forma:
^ + p(x)y = Q(x)yn dx
..(2)
donde n ^ 0,1, para resolver esta ecuacin se transforma en una ecuacin diferencial lineal, mediante la sustitucin.
i-
72
Resolver las Ecuaciones Diferenciales siguientes:
176) y +2y = x 2 +2x
Solucin
La solucin es:
y = e ^p{x]d\ ^ e ^ pix)dxQ(x)dx + c] . . . ( 1)
donde P(x) = 2 y Q(x) = x 2 +2x ... (2)
luego reemplazando (2) en (1) se tiene:
- 2 dx r ' f 2 dx 2y = e J [ \ eJ (x +2x)dx + c] , efectuando la integral
y = e~2x[ j e 2x(x2 + 2x)dx + c]
y = e~2x[ - e 2x +-1-c] por lo tanto:2 4
2x2 + 2x V= 4
177) {x2 + 2 x - \)y ' - { x + \)y = x - \
Solucin
/ 2 n , / , x + l JC 1(x + 2x-l)y '- (x + l)y = x - \ => y ' ---------- = ----------x + 2 x - l x + 2 x -
- \p(x)dx r (p(x)dxy = e J [ \ e J Q(x)dx + c]
-2 v + ce
- la solucin es: 1
73
-
donde P(x) = ---- + * y O(x) = - - 1 , reemplazando se tiene:x + 2 x - l x 2 + 2x - \
- \ - ^ dx , - x - \y = e } x +2x-l r \ e ' x +2x-l f _ J ----rfX + C]
J x + 2 x - l
iln(*2+2j-l) ( -iln(A:2+2.t~l) x ~l , ..y = e2 [ \ e i-------fo + c]
x + 2x -1
y = V*2 + 2 * - l [ f
-
180) 2xy'-y = 3x2
Solucin
^ , - 2 , 12xv - y = 3x => v ------y = 2 x ' 2
como la solucin es: y = e ^ H * Q(x)dx + c]
1 3xdonde P(x) = ------y (?(jc) = , reemplazando se tiene:
2x 2
f dx r dx
= e 2x[ j e 2x dx + c\
1 , ln x ^ ln x r j r ry = e 2 [J e 2 xdx + c] => y = ^Jx(j ^ x d x + c)
y = -Jx(x*/2 + c) => y = x 2 +c*Jx
181) (x + \)dy-[2y + {x + \)*]dx = ti
Solucin
(x + \)dy ~[2y + (x + \)A ]dx - 0
dy 2dx Jt + l
V = (jc-h l)3, como la solucin es:
= e ~ ^ x)Jx[ \ J P^ dxQ(x)dx + c]
donde P(x) = y Q(x) = (.v + 1)3 x + 1
76
f 2> + 2sen 2y
Solucin
1 dy 1y = ---------------------------- n> J L = -----------------------------x sen y + 2 sen 2y dx x sen y + 2 sen 2^
- /je = x + sen>> + 2sen2y = > ---------------- (sen y)x = 2sen 2vV fv
la solucin es: x = e
de donde P(x) = -seny , Q(y) = 2sen2y, reemplazando se tiene:
f sen vrfv f f sen yrfyx = e J [ J e J 2 sen 2ydy + c]
x = e cos>'[4j ecos> sen y co sy d v + c]
x = T cos>[ ( 4 - 4 c o s \e * * y + c ] => x = 4 ( l - e o s >) + > -cos v
por lo tanto: x = n 2 -- + c> C0S1'
77
-
183) y'-2xy = 2xe*2
Solucin
y = e - ^ x)dx[ J pMJxq(x)dx + c] donde p(x) = -2x y q(x) = 2xex
- f - 2 xdx r i-2.xdx JJ.2reemplazando se tiene: y - e J [ \e i 2xe dx + c]
y = exl [^2xdx + c] = e * \ x 2 + c) por lo tanto:
y - (x2 +c)ex2
x 3 2184) x(x3 + l)y'+(2x3 - l ) y = --------
Solucin
x 2 2x(x3 + l ) /+ ( 2x 3 + l)y = -------- dividiendo entre x(x3 + 1) entonces:
y'+ -r y = , ecuacin lineal en y, la solucin es:x(x +1) X (x +1)
y = e \ p(x)=-^y y ?(*) = 2 3J x(x + 1) x (x + 1)
f 2.v3- l ^ f 2 / - 1 ^ 3
reemplazando se tiene: y = e +1) [ f e r(< " * ^ dx + c]J x 2(x3 +l)
y = e, jr3+l . , * 3+l . , 3
-ln------- r ln(-------) (x - 2) ,[ i e x ~ 2 ----- dx + c]J x 2(x3 + l)
78
* r f X ~ 2 j n x , 1y = - 3 - [ I ------- X + c ] = - y (x + + C )x J +l J x 3 x 3 +l x 2
expor lo tanto: y = - + x +1 X
185) y'+y eos x = sen x eos x , y\ x_0 = 1
Solucin
y = e /p(vWr[Je^p(x)d'q(x)dx + c] donde: p(x) = cosx y q(x) = sen x eos x
. . . - I eos xdx f eos xdxreemplazando se tiene: y = e J [ \ e J senx eosxdx + c]
y = e~ *enx [ J esen x sen x eos xdx + c]
y = e~'senA[senxesen v - esenA + c] y = s e n x - l + cTsenK
para x = 0 , y = l = > 1 = 0 1 + c entonces c = 2, por lo tanto:
y = 2e~scnx + s e n x - l
186) x ln * / - ( l + ln x)y + ^ ~Jx (2 + ln x) = 0
Solucin
x lnx.y'-(\+ lnx)y+~ (2 +lnx) = 0 , dividiendo entre x l nx entonces se tiene:
1 + lnx (2 + lnx) .. i iy _ -----v = --------==----- , ecuacin lineal en y, la solucion es:x l nx ' 2^xlnx
79
-
y = e ^p{x) - -- z = x 2, ecuacin lineal .3 dx 3x 3 dx x1 dz 2 x dz 2 _ i
dx + c]
80
- f - -d x c f -dxcuya solacin es: z - e x [ \ e x x~dx + c] entonces:
'[ J f r + c]z = e 2lnx[ \ dx+c] => v 3 = x y +cx2
188) 8 xy '-y = - 1yl)x + \
Solucin
o . i dy i i , ^8x y - y = --- p=^ L_1 entonces -------- v = ----------y^ , ecuacin de Bernoulliy^Jx + 1 tte 8x %xy\lx + l
multiplicando por y 3 se tiene: y 3 - v 4 = - - *dx 8x 8xa/x+T
s e a z = y 4 entonces = 4^ 3 , reemplazando en la ecuacin se tiene: /x ' dx
\ dz \ 1 dz 1 1 ., .. z = ------7= = - ~ => --------z = -7= , ecuacin lineal4 x 8x 8x v x + 1 dx 2x 2xVx + l
f ^ f r ^ cuya solucin es: z = e 2* [ - 1 e 2* ----- ........+ c]
J 2xvx + l
lmr / ln.rz - e 1 [ - \ e 2 ----- - + c] entonces
J 2xVx+l
z = V x [ - f j J ^ j = + c] => Z = -Vx[frf(^ ^ ) + c]J 2V*W* + 1 J V*
= V^(7=~ + c) = por lo tanto: v4 =4x + \ + c^fxVx
81
-
189) (Jty + x 2y 3)y '= lSolucin
(xy + x 2y 3)y '= l => (xy + x 2y 3) ~ = \
dy 1 dx 2 3 = -------- entonces = xy + x ydx xy + x y dv
- xy = x 2y 3 multiplicidad por x-------- ->dy
-2 dx - 1 3 -1 v-2 dxx ----- yjc = y , sea z = x => = -x dy dy dy
- vz = v3 => +yz = - y 3, la solucin es: dy y^
r f , zi^ = e- ^ [ - J e ^ V ^ + c] = e ' 2 [ - J e V ^ + c l =>
_zl z = c 2 [ - y 2e 2 + 2 e 2 + c] por lo tanto:
190) / - y = 2*e*+x2
1 2 "T = 2 - y + ce 2
Solucin
Como y = e /^(r)/r[ | e ^ (v)/X^ (jc)dx + c] donde p(x) = -1 y #(x) = 2xe*
Reemplazando se tiene: y = e ^ [Je^ 2xev+v dx + c]
82
y = ex[ j2 x e x dx+c] entonces y = ex (ex +c)
por lo tanto: y = ex x + ce
191) xy' = y + x 2 senx
Solucin
2 dy 1 .,xy = y + x sen x => ----- y = x sen x , ecuacin linealdx x
la solucin es: y = e
r dx r dx
y - e x [ f e x xsenxdx + c]
y = e lnx[ j e~lnx x sen x dx + c] = x(- eos x + c)
por lo tanto: y = -x eos x + ex
192) x 2y'+2x3y = y 2(l + 2x2)
Solucin
x 2y'+2x3y = y 2 (1+2jc2 ) entonces y'+2xy = y 2 - , ecuacin de Bemoullix
multiplicando por y~2 se tiene: y~2y'+2xy~xx 2
sea z = y 1 => = -y 2y' reemplazando dx
+2xz= - => -----2xz=------- , ecuacin lineal donde la solucin es:dx x2 dx x2
83
-
- f - 2 xdx f [ -2 xdx (l + 2 x 2 )Z e J I I p j ------ 4----
r r \ -2xdx (l + 2x~) , _[ - U J ----- - d x + c]
J X
= ^ [ - j dx + c] = e"2 [ J r f ( ^ - ) + c]
1 1 *2 por lo tanto: + + cey *
2 2 2 x - y - aSolucin
2xy dx x 2 - v 2 - a 2 ^ ^ dx 1 __ y 2 +a2 ,y -------- ------- = ---------------- de d o n d e --------- x = ----- ----- x
x 2 - y 1 - a 1 dy 2xv dy 2y 2y
. . dx \ 2 v2 + z2multiplicando por x se tiene: x x = ------ -----y dy 2 y 2 y
0 dz dx . \ dz \ y 2 + # 2 , A Asea z - x => = 2x , reemplazando z = ----- ----- de donde
dy dy 2 dy 2 y 2y
1 cuya solucin es: J y'*, )dy+c] dondedy y y J
1 2 + a 2p (y ) = ---- y q(y) = -----a reemplazando se tiene:
r J v y + a[ - le y - -------- dy + c]J v
2 2 2
: = e ln;l'[-1 -- dv + c] = y ( - y + + c) entoncesJ y 2 ' ' y
84
z = - y 2 + a2 +cy porlotanto: x 2 + y 2 - a 2 =cy
194) 2 senx.y'+y eosx = y 3 ( x eosx - sen jc)
Solucin
2 sen x ./+ y eos x = y 3 (jc eos x - sen x) de donde
dy c tg x 3, x e o s* -se n * .. , + - y = y (----------------- ), ecuacin de Bernoullidx 2 2 sen*
multiplicando por y 3 se tiene: y 3 + c ^ x y 2 j [cosx_senxdx 2 2 sen x
sea z = >,-2 =* = -2y~3 reemplazando - 1 ^ +M Z= ? Z ^ dx dx 2 dx 2 2senx
dz c tg x.z = -(xc tg x - 1) ecuacin lineal cuya solucin es: dx
-\-cX%xdx f f-rtgjr dxz - e f J e (xctgx X)dx+ c]
_ lnsenjc- f - ln se n jr / . nz - e [- \ e (x c tg x -l)ax + c]
_2 r fx c o s x -s e n x ,y = sen x[ - 1 --------- -------- dx + c] entonces:J sen x
2 X Xy = sen x[/(--------------------------------------) + c] = sen x(------h c) por lo tanto:sen x sen x
l = x + c sen x
85
-
Solucin
3x2 dx x3+y + l , , ,y'=----------- => = ------- de dondex3 + y +1 dy 3x
- x = - + x 2, ecuacin de Bernoulli dy 3 3
2 . 2
-
, 2 . x2 +a2 1 *(3jc2 - g 2)Multiplicando por y se tiene: 3 y y + ^ >' ^2 _ a 2
sea z = y 3 => = 3 y 2 y \ al reemplazar se tiene:djc
ffe , y2 +fl2 - _ ecuacin lineal cuya solucin es:
_r_5l_rf, , f x?fl ~ = - y 2y ', reemplazando en la ecuacin: dx
= - - ( x + l ) 3 => = - ( x + l ) 3 , ecuacin lineal cuya solucin e /jc 1 + jc 2 jc 1 + jc 2
x c dxr dx f dx
z = e J l+x[ j e J ,+x ~ ( x + l)3dx + c]
z = e ,n(,+*)[ fe - ' n(,+x> (l + x )3 dx + c]
z = (1 + x)[ J + ^ dx + c] por lo tanto:
1 + = + c(l + x)V O
-
200)
201)
(x 2 + y 2 +1 )dy + xydx = 0
Solucin
xy + x 2 + y2 +l = 0 = + x = - x 1, ecuacin de Bernoulli dy dy y y
dx 1 2 y +1 multiplicando por x se tiene: x + x = ----- ----dy y y
sea z = x 2 = = 2x , reemplazando en la ecuacin dy dy
1 dz 1 y2 + 1 dz 2 a v i i - ^-----+__Z==_Z------ ^ 4 z = _2(i------ ), ecuacin lineal cuya solucion es:2 y y y dy y . y
/y+ c]
z = e - ^ y [_2 e m y ( ^ - )dy + c] => x 2 = - ^ f " 2^ + + c]J v v 4 2
por lo tanto:
/ = 2y lny + y- j cSolucin
/;t _ 2x ln y + y - x dy x
+ L x = 2 \ny + l , ecuacin lineal cuya solucin es: dy y
90
- J - f J -z = e v fj e y (21n y + \)dy + c] entonces:
,z ~ e ln) [ J e lnv(21n y + Vfdy + c] =$ x = [J (2y ln y + y)dy + c]
Qpor lo tanto: x = y ln y +
202) x(x - l)y +y = x 2 (2x - 1)
Solucin
1 (2jc - 1) ^+ ~ (-- ^ =---r x ecuacin neal cuya solucin es: 1J X ~ X
r dx r dx
y = e 4*4) [ j ^ ) x< ^ I )d x + c]J x - l
1 / x X , JC1jc-T r f T / 2 x ~ l w y = e x 1 [ j e x x( )dx + c]
J x - l
y = - ^ [ \ (2 x - l )d x + c] => y = - ^ (x2 - x + c) X - l J x - l
por lo tanto: y = x 2 +-
x - l
.2 , CX
x - l
*W) y ' - y tgx = sec;c, y|^=o= 0
Solucin
- f - t g xdx f f - tg jxdxy = e \ \ e J sec xdx + c]
91
-
204)
205)
eos X
y = e Ulc:>s;c[J e lnsec* secxdx + c] entonces:
C sec xy = L .x x ( ------ dx + c) =secx(x + c ) , parax = 0 setienec = 0l sec x
Xpor lo tanto: y = sec x (x + 0) => y = -
y' eos y + sen y = x + 1
Solucin
Sea z = sen y => = eos y.y ' , reemplazando en la ecuacin:dx
+ z = x + 1, ecuacin lineal cuya solucin es:dx
z - e ^ [ je^ (x + l)dx + c] => z - e * [Je* (x + l)dx + c]
por lo tanto: sen y = x + ce'
y'+ sen y + x eos y + x = 0
-x
Solucin
y y 2 y 2 ySea sen y = 2 sen eos , eos y = eos - sen 2 2 2 2
y y i y 2 y ^y '+2 sen eos + x e o s ----xsen + x = 02 2 2 2
y'+2 seneos + x eos 2 - x ( l - e o s 2 ) + x = 0 , simplificando2 2 2 2
92
/ + 2 sen ^os + 2xcos2 = 0 2 2 2
2 y ysec y1+2 tg + 2x = 0 entonces: 2 2
sea z = 2 tg => = sec2 .y', reemplazando en la ecuacin: 2 dx 2
dz + z = - 2x , ecuacin lineal cuya solucin es: dx
z - e [ -2 ^ e^lXxdx + c] => z = e~x[-2(xex - e x ) + c]
2 tg 2' = ^ + * entonces ig~- = ke x - x + l
206) / - - ^ = >*(l + x)'1x + l
Solucin
- f
-
J ii/(ax)da = nilf(x) reemplazando = n\/(x), derivando:
1 ex 1 f x V ( x ) , / x \\ir{z)dz = n\f{x) => lf(z)dz + ny /(x )x Jo X Jo x
como f y/(z)da=nxyf'(x) entonces ^(nxy/(x)) + ^ - ^ - ny/'(x) Jo X2
(1- ) , y / ' ( x ) _ \ - n { x )L - - = n {x) entonces:
integrando ln(y/tx)) = ln x. (- ) + In cn
i-n
ln y/(x) = ln c.x " entonces: y/(x) = c.x n
- x 2 2y'+xsen2y = xe eos y
Solucin
2
y'+xsen 2y = xe~x' eos2 y => sec2 y.y+2xtg y = xe~x
sea z = tg v => = sec1 x y .y \ reemplazando se tiene J - + 2xz =dy X
z = e~i2xx\ j J 2xdxXe~x~dx + c\ entonces tg y = e~x [Jxdx + c]
xe~x - x 1por lo tanto: tg y = - + ce
En los problemas que se dan a continuacin hay que hallar las soluciones de las ecuaciones que satisface a las condiciones indicadas.
209) y'-2xy = eos x - 2x sen x , y es una funcin acotada cuando x ->oo
Solucin-f-2xdx f f-2xdt
v = e J [I e J (eosx-2xsenx)dx + c]
y = e A [Je~x (eosx - 2 x senx)dx+c] entonces:
y - e x [Jd(d~x senx) + c] => y = e x (e x senx + c)
. x2y = 3 sen x + ce como sen x varia entre -1 y 1 adems y es acotada cuandox >qo => c = 0 , por lo tanto: y = sen x
210) i j x y ' - y = - sen V* - eos V* , y es acotada cuando x ->oo
Solucin
, 1 senV *+cosV * ., ..y ----- t= y = -------------7=-------- , ecuacin lineal cuya solucin es:2v * 2V*
_ e~^TJ7{ f sen^x+cos^xy = e f , l^ ~ V c o w 1 i4 x
J 2Vjc
y = e^[J y - eos~Jx+c)
y = eos a/x + c e ^ como eos x varia entre -1 y 1, adems y es acotada cuando
x-H -a o = > c = 0 por lo tanto > = eos Vx
95
-
211) ln 2 = 2sen x (eos x -1) ln 2 , y es acotada cuando x -*+oo
Solucin
y = e - \ - la2 y = 2 senx +cexln2
como sen x varia entre -1 y 1, adems y es acotada cuando x ->+oo => c = 0
por lo tanto: >' = 2sen'
212) 2 x 2y '-xy = 2x cosx -3 sen x , y -> 0, cuando x->+oo
Solucin
1 2 x co sx -3 sen xy ------y = ------------ ---------
2x 2x
- f f f t 2 x co sx -3 se n x ,y = e J 2jt[j e * -------- ------------- dx + c]
lnjr lnx r t - 2 x eo sx -3 se n x v = e 2 [ \ e 2 (--------------5--------)dx + c]
J 2x
/ r sen x / ^ sen x sen x r~y = J x [ ] d ( - j jY ) + c ] => y = 'Jx(^jY+c)= - +cV*
como sen x varia entre -1 y 1 adems y 0 cuando x ->+oo => c = 0
96
por lo tanto: y = -~n *
, sen 2 xy senx - y eosx -------- - , y > 0 cuando x -> oox
Solucin
. * sen xy c tg x.y - ------ , ecuacin lineal cuya solucin es:
x
- j - c tg x d x f j - c tg xd x senxv ,y = e J [ \ e } (-r~)dx + c]
J x
.. _ ln(senx)r f lnsenjr^COSXy - e L J e ( Y~) * + entonces:
J x
f dx i senxy = senx[-J c] => y = + csenx
como sen x varia entre -1 y 1 adems y - 0, cuando x r=> c = 0
por lo tanto: y = senx
(1 -f x 2) ln(l + x 2)y '-2xy = ln(l + x 2) - 2x aretgx , y - ^ - ~ cuando x->-oo
Solucin
dy 2x 1 2xarctfc//v ,1 . 2x, * 27^ 2 ~ ---------r ecuacin lineal, la solucin es:dx (l+xz)ln(l+x2) 1+x2 (1+x )ln(l+x )
f - 2 x d x f -2 a v
v = ? MMbO+j:2) r f J(l+*2)ln(l+jr2W 1 2x.arctgxJ 1 + x2 (l + x2)ln(l + x 2)
-
= e ln(ln(l+Jc2))r f ( --------------- 1--------1------------ 2 x . a r c t g y x + c,jj (l + x 2)ln(l + x - ) (1 + x )ln(l + x )
y = ln(l + x 2)[ f d( arctg^_) + c]> ln(l + x )
n, r arctgx ,y = ln(l + x )[------^ + ^ 1
ln(l + x )
y = arctgx+ cln(l + x 2) , para y - > - | , cuando x ->*> => c
por lo tanto: y = arctg x
215) y' - exy = -y s e n -e * eos, y > 2, cuando x >-oo x * x
Solucin
= ^ f e dx[J e ^ sen -e * eos )dx + c]
y = e [[e~e (-^-sen -e * eos )dx + c] x 2 * x
y = ke\ J d ( e ~ eX cos^-) + c] => y = ee [ e e co s^ + e]
y = eos + ce6 cuando y ->2, x -> -oo x
1^ - eos
c _ _________ => c = 2 - 1 => C = 1 , por lo tanto:
1y = e -heos x
98
216) y ' - y l n x = - ( l + 21nx)x *, y - * 0 cuando x-+qo
Solucin
- f - ln .v f - lnj rry = e J [-1 eJ (l + 21nx)x dx + c]
y = e xlDX-x[ - e x~xln* (1 + 2 In x)x Xdx+c]
y = x xe~x [ - J e x (1 + 2 ln x)x~2xdx+c]
y - X xe~x[ jd ( e x jc~2x )+c] => y = x*e~*(e*jc~2x +c)
y - x ~ x +cxxe~x para y->0, cuando x->oo => c = 0
por lo tanto: y - x~x
99
-
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS, FACTORi n t e g r a n t e !
La ecuacin diferencial de la forma:
M(x,y)dx -f N(x,y)dy = 0 ... (1)
Se denomina ecuacin diferencial exacta si su primer miembro es la diferencial total de una funcin u(x,y)
du duMdx + Ndy = du = dx + dy
ox oy
la condicin necesaria y suficiente para que la ecuacin (1) sea una ecuacin diferencial exacta es que se cumpla la condicin.
dM dNdy dx
. . . (2)
La integral general de la ecuacin (1) tiene la forma u(x,y) = c, o bien.
M (*, y)dx + P N(x, y)dy = cJx0 Jy0
... (3)
En algunos casos, por cierto muy excepcionales, cuando (1) no representa una ecuacin diferencial exacta, se consigue hallar una funcin u(x,y) tal que al multiplicar el primer miembro de (1) por ella, resulta una diferencial total:
du = u Mdx + u Ndy ... (4)
Tal funcin u(x,y) se llama factor integrante, segn la definicin de factor integrante se tiene:
duM d Ar A . . K1du A du .dM dN.------ = uN de donde N - M = (------- )u
dy dx ox oy oy ox
consideremos los siguiente casos:
100
Primer Caso.- Si u es una funcin solo de x.
r: f ^u dM dN duEntonces: = 0 => u(------------ ) = N dy dy dx dx
du i M N du 1 dM dN J - ( ) de donde = (----- )dx = f ( x ) d x , integrando se tiene:dx N y x u N dy dx
\
ln u = J f ( x )d x => u = e f {x)dx
Segundo Caso.- Si u es una funcin solo de y entonces:
dU . . ,dM dN ^ t r du = 0 luego m(------- ) = - M ox dy dx dv
du _ u dM dN du 1 dM dN ^ , Jdedonde v = _ (1 7 &"Mv = g(v)^ mtegrand0
ln u = \ g ( y ) d y = u = J sWdy
Integrar las ecuaciones.
217) x(2 x2 + y 2) + y ( x 2 + 2 y 2)y '=0
M = x (2x 2 + y 2)
[N = y ( x 2 + 2 y 2)
Solucin
dMdydNdx
= 2xy
= 2xy
Luego dM _ dN dy dx
la ecuacin es exacta
101
-
218)
df(x ,y ) d f(x ,y ) 3 f ( x , y ) tal que v. = M y
Sx 5v
d /fo -jj. = x(2x2 + y2 ) integrando respecto a x.cfcc
4 2 2
f ( x , y ) = j x ( 2x 2 + y 2)dx + g(y) = ^ + ~ - + g (v ) , derivando
- x 2y + g ' (y) = N entonces x 2>y + g '(v) y(x + )5v
g (^) = 2 ^ 3 => g(y) = + c , reemplazando en la funcin
f ( x , y ) = + ^ ^ + + c porlotanto: x* + x ~ y 2 +y2 2 2
(3x2 + 6x y 2 )dx+(6x 2y + 4;y3 )dy = 0
Solucin
\m = 3x2 +6xy2
[N = 6x 2y + 4 y
= 12 xyd M _dy
8N 10 = 12xy. dx
Luego = la ecuacin es exactady dx d f(x ,v ) , , d f(x ,y ) Entonces 3 / (x , v) tal que ^ - = M y = N
y) _ 2x 1 + 6xy2 integrando respecto a x. dx .
102
f ( x , y ) -V3 +3x 2y 2 + g(y) derivando respecto a y
df(x,y) 2 , , r ---- = 6x y + g (y) = Ndy
6x y + g '(y) = 6x 2y + 4 y 3 entonces g '(y ) = 4j>3 entonces g(>') = y 4 +c
f ( x , y ) x 3 + 3x2_y2 + y 4 + c por lo tanto: /. x* + 3 x 2y 2 + y 4 =k
2I9) < - = - r + i + i ) * + < - T ^ - T + J - - 4 ) ' - ('V* + / x y 4* + y y y '
Solucin
x 1 1 M = . = + + ^
y i X_____ i_ __yfx2 T y 2 y y 1
xvdMdy (x 2 + y 2)3/2 y 2
xy
T dM dN 1Luego = - la ecuacin es exacta
-
220)
^jx2 + y 2 yr +'CK) =
1 Xr + ------
J 7 + 7 y y
g' (y) = i . => g(y) = lny + c', reemplazando en la funcin:
f ( x , y ) = J x ^ + y ^ + ln x+ + ln y+ c por lo tanto
J x 2 + y 2 +ln xy+ = kv ' y
(3x2 tg y -^ Y -)d x + (x2 sec2 y + 4y3 + ~ - ) d v = 0
Solucin
2 2/M = 3x tg y -----x
1 3N = x 3 sec2 y + 4y3 h
dM ~ 2 2 6y-----= 3x sec y ------ r-dy x
dN , 2 2 6.v2----= 3x sec y ------ ydx x
Lueg0 la ecuacin es exacta, entonces:dy dx
Qf (*> y ) _ 3x2 tg y - integrando con respecto a x.a* x3
f ( x , y ) = \ ( 3x 2t g v - ~ - ) d x + g(y) = x 3 tg y + ^ y + g (y ), derivando
( x , y ) 3 2 3y ,, Ar ------= x sec y + - y - + g (y ) = JV
oy x
3 2 3 2x 3 sec2 y + - ^ - + g (y) = X 3 sec2 y + 4y3 + -=y entonces
g (y) = 4 y 3 entonces g(y) = y 4 + c , reemplazando en la funcin:
/ ( x ,y ) = x 3 tgy + -y + y 4 + c por lo tanto: x
33 4 V ,x tg y + y + ~ = k .
x
221) (2x + ^ 4 ) d x = ^ l ^x 2y xy2
Solucin
M =2x +x 2 + v2
x 2y
N = -x 2 + y 2
A^2
rW 1 1 + ry x-dy
d N ____I_ax " / + x 2
dM dN tLuego -----= ----- la ecuacin es exacta, entonces:
dy dx
3 / 0 , y) tal que - = M y = A/- de dondeox
d/(x ,y) x 2 + y 2 .------ = 2x + -- integrando respecto a x se tiene:
S* x y
/ ^ | y ^ y
f ( x , y ) = (2x + ---- )dx+g(y) = x 2 + ----- + g (y ) , derivandox y y x
105
-
dy y x
X 1 X 1 r--------------------------------------------------------------------------------- f- g ' (y) = ---- ---------- entonces g' (^) = 0 => g(jy) = c reemplazando:j '2 * v2 *
f ( x , y ) = x 2 + - + c por lo tanto:.V x
2 * Vx + ------- --= ky x
sen 2x sen2x x , .222) (------ + x)dx + (y x )dy = 0y y
sen 2x M = -------- + x
N = v - sen2 x
Solucin
dM sen 2xdy y 1
dN _ 2 sen x. eos x sen2xdx y 2 y 2
dM dNLuego -----= ----- la ecuacin es exacta.
dy dx
Entonces 3 / (x , y) tal que =M y ^ - = N de dondedx dv
d f (x, y) _ sen 2x 5x
+ x integrando respecto a x
sen 2x+ x)fr + g(.y) = - cos2x x .---- + _ + g^y} ^ derivando
2y 2
dl ^ ^ + g
-
X_V----1- 2x y integrando respecto a x se tiene' *
f ( x , y ) = y-jl + x 2 + x 2y - y ln x + g (y ) , derivando
Qf(x ' y ) =-y/l + x 2 + x 2 - ln x + g '(y) = Ndy
-Jl+~x* + x 2 - ln x + g '( y ) = Vl + * 2 + x 2 - ln x
g '(y ) = 0 => g(y) = c reemplazando en la funcin:
/ ( x , y) = yV1 + x 2 + x 2y - y ln x + c , por lo tanto:
y j l + x 2 + x2v - y \ n x = k
xdx+ydy + xdy - vdx _
p- + y 2 + * 2
Solucin
agnlpando+.V2 *
d ( J x 2 + y 2 ) + rf() = 0 integrando trmino a trminov ' x
|d (^ /x 2 + y 2") + Jrf() = * entonces: -sjx2 + y 2 + ~ = c
(sen v + ysenx + )dx + (xcos y -c o s x + )dy = 0r x y
Solucin
226)
M = sen y + y sen x + x
N = x eos y - eos x + 7
dydN_dx
eos y + sen x
= cosy + senx
dM dN ,Luego = la ecuacin es exacta, entonces :
dy k
3 / ( x , y) tal que d^ x ' y) = m y S J ^ I l = N de dondedx dv
d f(x ,y ) 1 .= sen y + y sen x + integrando respecto a x.
OX X
f ( x> y) - J (seny+ y senx+ + g(y) = x seny y cosx+ lnx+ g(y) derivando
d f(x ,y )dy
= x c o sy -c o sx + g (y) = N
x c o s y -c o s x + g '(y ) = x c o sy -c o sx + y
g' (y) = => g(y) = ln y + c reemplazando en la funcin:
f ( x , y ) = x sen y - y eos x + ln x + ln y + c , por lo tanto: