7/29/2019 Solucin Leccin Primer Parcial II Trmino 2012

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ANLISIS NUMRICO AYUDANTE: JULIO RUANO LIMA

RESOLUCIN LECCIN PRIMER PARCIAL

Aproxime con una exactitud de 10-4

el valor de x en que la grafica de y=exproduce el punto ms

cercano a (2,0).

La grafica del problema planteado es la siguiente, donde el punto azul corresponde al punto dado como

dato y el verde al punto que queremos hallar.

Se conoce que la funcin distancia en el plano

est dada por:

Seanxo, yo elpunto dado como dato y sea x,y un

punto cualquiera de la curva dada. Se tiene:

La funcin ofrece un mnimo cuando su derivada

se iguala a cero, por lo que:

De aqu se obtiene que la funcin a la cual se

debe hallar sus races sea la siguiente:

Aproximando por mtodo de Newton, y escogiendo como punto de aproximacin inicial a x=0.3.

Se obtiene el algoritmo de Newton y las iteraciones:

n Xn Xn+1 tol

0 0.3 0.273705307 2.63E-02

1 0.273705307 0.273149828 5.55E-04

2 0.273149828 0.273149589 2.39E-07

Por lo tanto el valor dex para el cual la grafica se encuentra ms cercana a (2,0) es x=0.273149589.

Obtener una aproximacin a la solucin de x-p(x)=0

x p(x)

0.3 0.740818

0.4 0.670320

0.5 0.606531

0.6 0.548812

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Se construye el polinomio de Lagrange de grado 3 con los datos proporcionados para luego generar

iteraciones mediante algn mtodo escogido y hallar la solucin pedida.

Recordamos que el polinomio de Lagrange tendr la forma:

Resolviendo los productos entre losLf(x) para cadax se obtiene:

Debemos recordar que lo solicitado fue x=p(x), se puede resolver el problema mediante el mtodo de

Newton, para lo cual se usa el algoritmo aplicndolo aF(x)=p(x)-x=0:

Con una buena aproximacin inicial se concluye que el punto solicitado esx=0.565611.

*Grfica dep(x)-x.

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En el sistema de ecuaciones siguiente, los datos han sido redondeados como se indica. Calcule el

error absoluto y el error relativo de la solucin aproximada, adems de la cota del error:

El error absoluto est dado por:

El error relativo est dado por:

La cota del error necesita el nmero de condicin, que a su vez requiereA-1.

El numero de condicinK(A), est dado por el producto de las normas de A & A-1.

El vectorr=b-Ax, es el siguiente:

Con todos los valores conocidos, la cota del error relativo resulta:

Rubrica usada para calificacin:

1 Tema (4 puntos):

Grafica y funcin distancia 2 puntos

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Algoritmo 1 punto

Aproximacin 1 punto

2 Tema (4 puntos)

Expresar cada Li 1 punto

Hallar polinomio de Lagrange 1 punto

Expresar funcin a resolver y algoritmo 1 punto

Respuesta 1 punto

3 Tema (2 puntos)

Error absoluto 0.5 puntos

Error relativo 0.5 puntos

Cota del error 1 punto