ENSENANZA REVISTA MEXICANA DE FISICA 53 (2) 155167 DICIEMBRE 2007Resolviendo ecuaciones diferenciales ordinarias con Maple y MathematicaG.M. Ortigoza CapetilloFacultad de Matem aticas, Universidad Veracruzana,e-mail: gortigoza@uv.mxRecibido el 13 de septiembre de 2006; aceptado el 23 de agosto de 2007En este trabajo se presentan soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOS) mediante el uso de dos paquetes simb olicos: Mapley Mathematica. Los comandos b asicos de soluci on de ambos paquetes son explicados mediante una serie de ejemplos representativos deun curso tradicional. Entre los ejemplos seleccionados se incluyen ecuaciones diferenciales que se resuelven con m etodos como: variablesseparables, ecuaciones lineales, coecientes indeterminados, variaci on de par ametros, etc; as como aquellas que se resuelven usando seriesde potencias y transformada de Laplace. Estos paquetes permiten tambi en la soluci on de sistemas lineales, as como la visualizaci on delcampo de direcciones. El objetivo de este trabajo es brindar al lector una gua pr actica que le permita iniciar el estudios de las ecuacio-nes diferenciales mediante el uso de Maple y Mathematica y de esta manera beneciarse del uso de estas herramientas computacionales;as c omo mostrar como el uso del c omputo simb olico, al ahorrar el esfuerzo del c omputo algebraico complejo, permite enfocar la atenci onen ideas y conceptos importantes como: an alisis cualitativo de las soluciones, comportamiento asint otico y relaciones del modelo fsico conla contraparte matem atica de la ecuaci on que lo describe.Descriptores: Ense nanza; herramientas computacionales; ecuaciones diferenciales ordinarias.In this work we present solutions of ordinary differential equations by using Maple and Mathematica. The basic commands in both packagesare presented throught a series of examples that show some of the advantages of using computer algebra and graphical representation in theprocess of teaching and learning odes.Keywords: Physics Education; ordinary differential equations; Maple; Mathematica.PACS: 01.40Fk; 02.30Hq; 01.50.Ht1. Introducci onEnlos ultimosa nossehavenidomanifestandouninter esporincorporarherramientascomputacionales(calculadorasgr acas o paquetes de algebra computacional [2, 5, 14, 23])a las labores de docencia e investigaci on. As han apareci-do algunas obras que estudian la fsica, el algebra lineal, elc alculo y las ecuaciones diferenciales con el apoyo de los pa-quetes Matlab, Maple y Mathematica [1, 27]. M as a un, en loparticular, se han venido realizando algunos estudios para es-timar los benecios y desventajas del uso de los paquetes dealgebra computacional en los procesos de ense nanza y apren-dizaje de las ecuaciones diferenciales [3, 17, 21].En este trabajo se presenta el uso de Maple y Mathema-tica para la soluci on de ecuaciones diferenciales ordinarias.Estos paquetes son una herramienta did actica valiosa, ya queadem as de proveer de visualizaciones y c omputo simb olicocuentan con funciones especcas para la soluci on de ecua-ciones diferenciales ordinarias. El objetivo de este trabajo esbrindarallectorunaintroducci onpr acticaaloscomandosb asicos en Maple y Mathematica para el estudio de ecuacio-nes diferenciales ordinarias y mostrar, mediante una serie deejemplos, algunas de las ventajas de la aplicaci on de estospaquetes a la ense nanza de las ecuaciones diferenciales ordi-narias, as como las conexiones fsicas de algunos modelos yla contraparte matem atica de sus ecuaciones [9, 10].El trabajo est a organizado de la siguiente manera: en laSec. 2 se presenta la sintaxis de los comandos b asicos pararesolver EDOS en Maple y Mathematica; la Sec. 3 muestramediante una serie de ejemplos el uso de estos comandos pa-ra resolver EDOS, as mismo se presentan cuestionamientosy comentarios dirigidos a iniciar la reexi on de los estudiantesobre algunos temas importantes y nalmente la Sec. 4 pre-senta las conclusiones de este trabajo.2. Comandos b asicos para resolver ecuacionesdiferenciales en Maple y MathematicaEnestasecci onmostraremosel usodealgunoscomandosb asicos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias enMaple y Mathematica [9, 10].2.1. El comando dsolve en Maple y MathematicaEl comando principal para la soluci on de odes es dsolve, vea-mos as sus diferentes sintaxis en Maple y Mathematica:Sintaxis en Mapledsolve(EDO)dsolve(EDO, y(x), opciones)dsolve(EDO, CIs, y(x), opciones)Par ametros:EDO - ecuaci on diferencial ordinaria , o lista de edos.y(x) - funci on inc ognita de una variable o lista de funcionesrepresentando las inc ognitas del problema.CIs - condiciones iniciales de la forma y(a)=b, D(y)(c)=d, ...,donde a, b, c, d son constantes.Opciones - (opcional) dependen del tipo de ecuaci on y delm etodo usado.156 G.M. ORTIGOZA CAPETILLOFIGURA 1. Ventana de ayuda Maple.FIGURA 2. Ventana de ayuda Mathematica.Rev. Mex. Fs. 53 (2) (2007) 155167RESOLVIENDO ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON MAPLE Y MATHEMATICA 157FIGURA 3. Ecuaci on logstica con Maple.FIGURA 4. Ecuaci on logstica con Mathematica.Para denir derivadas usamosdiff(y(x), x), diff(y(x), $x2),donde x es la variable independiente y y es la variable depen-diente.En Maple el comando ?dsolve abre una ventana de ayu-da que muestra la sintaxis de dsolve, una serie de ejemplos,detalles de los m etodos de soluci on as como de los paquetescon que cuenta Maple para resolver ecuaciones diferencia-les [18]. Esta ventana de ayuda se muestra en la Fig. 1.Sintaxis en MathematicaDSolve[eqn,y[x],x] resuelveunaecuaci ondiferencial paray[x].DSolve[{eqn1, eqn2, . . . , eqnn}, {y1, y2, . . . , yn},x]resuel-ve una lista de ecuaciones diferenciales.Para denotar las primeras derivadas de y con respecto a x es-cribimosy

[x], y

[x],enMathematicael comando?DSolvenosmuestrasusin-taxis;paraobtenerunaexplicaci onm asdetalladahacemosclick con el rat on en el smbolo que aparece al nal de laexplicaci on, lo cual lanza la ventana de ayuda con informa-ci on y ejemplos del uso de DSolve [19]. La Fig. 2 muestra lapantalla de ayuda de Mathematica.Los ejemplos de la siguiente secci on ser an de utilidad pa-ra claricar la sintaxis de dsolve.3. Ejemplos de soluci on de EDOSLos siguientes ejemplos muestran el uso del comando dsol-ve as como de algunos comandos utiles para la soluci on deEDOS.1. La ecuaci on logstica.El siguiente problema de valor inicial (pvi) es usadocomo un modelo de crecimiento de poblaci on [8]p

= ap bp2, p(0) = p0(1)dondeaybsonloscoecientesvitalesdelapobla-ci on y p0 es la poblaci on inicial; este pvi puede resol-verse analticamente mediante el m etodo de variablesseparables. Vamos a iniciar resolviendo este problemausando Maple, para ello denimos la ecuaci on diferen-cial:eqn1 := diff(p(t), t) = a p(t) b p(t) p(t);y la resolvemos usandosol1 := dsolve({eqn1, p(0) = p0}, p(t));la soluci on as obtenida depende de tres par ametros, a,b y p0.Supongamosquedeseamosgracarlasoluci onparacoecientes vitales jos y diferentes condiciones ini-ciales. Convertimos el lado derecho de sol1 en una ex-presi on de t y p0 usando el comando unapplyy1 := unapply(rhs(sol1), t, p0);ahora podemos usar el comando plot para gracar:b := 0.0001; a := 0.03; plot({y1(t, p0), $p0 = 5..7}, t = 0 ..200, labels = [t, P]);como resultado del comando anterior obtenemos la Fig. 3; note que hemos elegido valores jos para a y b, mientras que p0Rev. Mex. Fs. 53 (2) (2007) 155167158 G.M. ORTIGOZA CAPETILLOtoma los valores 5, 6 o 7 y los valores para t estan denidos entre 0 y 200.Veamos ahora c omo se resuelve este mismo pvi usando Mathematica, denimos la soluci on usandosol1 := DSolve[{p[t] == a p[t] - bp[t]2, p[0] == p0}, p[t], t]en este caso sol1 es una lista cuyo unico elemento es una lista, vamos as a accesar su segundo t ermino sol1[[1]][[1, 2]] paraobtener la expresi on de la soluci on y procederemos a formar una lista con el comando Table evaluando p0 en 5, 6 y 7.lista = Table[sol1[[1]][[1, 2]], {p0, 5, 7}];procedemos ahora a gracar usandoa = 0.03; b = 0.0001;Plot[{lista[[1]], lista[[2]], lista[[3]]}, {t,0, 200}, AxesLabel -> {t, P[t]}]la gr aca as obtenida se muestra en la Fig. 4.Modicando los valores de los par ametros podramos utilizar los gr acos de las soluciones para mostrar relaciones entrela parte fsica del modelo y su contraparte matem atica que es la ecuci on diferencial, por ejemplo si nos planteamos cuestio-namientos tales como: C omo se comportan las soluciones obtenidas cuando t ?, se cortar an en alg un punto? Cu alser a el comportamiento de las soluciones si ab, si b a?cu al es el signicado fsico de las condiciones anteriores?2. Consideremos la ecuaci ony = 2xy

+ ln(y

),la cual es un ejemplo de una ecuaci on no lineal del tipo ecuaci on de Lagrange ( [16]). Para resolver con Maple usamoseqn := y(x) = 2 x diff(y(x), x) + ln(diff(y(x), x)) : dsolve(eqn, y(x));y obtenemos:y(x) = 1 +1 + 4xC1 + ln_12 +121 + 4xC1x_,y(x) = 1 1 + 4xC1 + ln_12 121 + 4xC1x_.Para resolver con Mathematica usamosDSolve[y[x] == 2 x y[x] + Log[ y[x]], y[x], x]sin embargo en este caso Mathematica no puede proveernos con una soluci on [11].La soluci on obtenida con Maple depende del par ametro C1. Podemos gracar las curvas soluci on para diferentes valoresde esta constante y plantear cuestionamientos como:Hay curvas que corten al eje X?, Y al eje Y? Buscando as motivarlos dominios de existencia de las soluciones.3. Consideremos el siguiente pviy

+ 16y = 8 sin(4t) y(0) = 1, y

(0) = 0, (2)el cual es un ejemplo de ecuaci on lineal no homog enea de segundo orden con coecientes constantes, que puede resol-verse usando el m etodo de coecientes indeterminados [29]. Para resolver en Maple usamoseqn3 := diff(y(t), t, t) + 16 y(t) = 8 sin(4 t)para denir la ecuaci on diferencial yics := y(0) = 1, D(y)(0) = 0;para las condiciones iniciales. Para resolver usamossol3 := dsolve({eqn3, ics}, y(t));Para denir una funci on a partir de la soluci on usamos el comando unapply y procedemos a gracary3 := unapply(rhs(sol3), t) : plot(y3(t), t = 0..10, labels = [t, y]);La Fig. 5 muestra la soluci on de esta ecuaci on diferencial.Rev. Mex. Fs. 53 (2) (2007) 155167RESOLVIENDO ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON MAPLE Y MATHEMATICA 159FIGURA 5. Gr aca de y(t) = (1 t)cos(4t) +14 sin(4t) con Ma-ple.FIGURA 6. Gr aca de y(t) = (1t)cos(4t) +14 sin(4t) con Mat-hematica.Para resolver este problema en Mathematica usamossol3 = DSolve[{y[t] + 16y[t] == 8 Sin[4 t ], y[0] == 1, y[0] ==0}, y[t], t]y para gracar la soluci onPlot[sol3[[1]][[1, 2]], {t, 0, 10},AxesLabel -> {t, y[t]}]La Fig. 6 muestra la soluci on obtenida con Mathematica.Con este ejemplo podemos cuestionar el comportamiento de la soluci on cuando t . Podemos tambi en resolver el pviy

+16y = 8 sin(wt), y(0) = 1, y

(0) = 0 para w =3, 3.25, 3.5, 3.75, 4 y motivar el concepto de resonancia; donde podemoshacer enfasis en la inuencia del modelo matem atico (par ametro w) en el modelo fsico (oscilaciones crecientes).4. Consideremos la ecuaci on diferencialy

(t) y

(t) y

(t) + y(t) = g(t), (3)la cual puede resolverse usando el m etodo de variaci on de par ametros [7]. Podemos notar que en este caso el t erminono homog eneo (fuente) se ha denido en forma general. Usando Maple tenemoseqn4 := diff(y(t), t, t, t) diff(y(t), t, t) diff(y(t), t) + y(t) = g(t);dsolve(eqn4, y(t));obteniendo as la soluci ony(t) = _14(2t + 1)g(t)etdtet+_14etg(t)dtet+_12etg(t)dtett +C1et+C2et+C3ettPodemos notar quelos ultimostres t erminos contienentres constantesdeintegraci onycorresponden alasoluci ongeneral de laecuaci on homog enea asociada,mientras quelos tres primeros t erminos corresponden auna soluci onparticular obtenida mediante la integral de una funci on resolvente multiplicada por la fuente.Para resolver este problema en Mathematica usamossol = DSolve[y[t] - y[t] - y[t] + y[t] == g[t], y[t], t]; Simplify[sol[[1]][[1, 2]]].Aqu hemos utilizado el comando Simplify para obtener una expresi on simplicada de la soluci on la cual es muy similara la obtenida con Maple. Podemos dejar todo el c alculo algebraico engorroso a los paquetes y resolver este problemacon diferentes condiciones iniciales y a partir de las expresiones de la soluci on obtenidas motivar la introducci on de lafunci on de Green para un pvi [26]. M as a un, podran probarse diferentes fuentesg(t) y observar el efecto que tienensobre las soluciones.Rev. Mex. Fs. 53 (2) (2007) 155167160 G.M. ORTIGOZA CAPETILLO5. Consideremos la ecuaci on de Cauchy-Eulerx4y(iv)(x) + 6x3y

(x) + 9x2y

(x) + 3xy

(x) + y(x) = 0, (4)la cual es un ejemplo de una ecuaci on diferencial lineal con coecientes variables. Usando Maple obtenemosy(x) =C1 sin(ln(x)) +C2 cos(ln(x)) +C3 sin(ln(x))ln(x) +C4 cos(ln(x))ln(x).Mientras que usando Mathematica obtenemosC[1] Cos[Log[x]] + C[2] Cos[Log[x]] Log[x] + C[3] Sin[Log[x]] + C[4]Log[x] Sin[Log[x]]Aqu podemos notar la diferencia de sintaxis para denotar las constantes en Maple y Mathematica.El m etodo de soluci on de este tipo de ecuaciones se basa en proponer soluciones del tipoy=xmpara obtener unaecuaci on auxiliar en m [8]. Por ejemplo en Mathematica escribimosy[x] = xm; expresion = x4D[y[x], {x, 4}] + 6 x3 D[y[x], {x, 3}] +9 x2 D[y[x], {x, 2}] + 3 x D[y[x], x] + y[x]; Simplify[expresion]y obtenemos (1+m2)2xm. Nos hemos ahorrado aqu el c alculo algebraico engorroso y podemos enfocar nuestra atenci onen las relaciones entre la forma de las soluciones y las races de la ecuaci on auxiliar (races complejas repetidas).6. Consideremos el pviy

4y

+ 4y = 3(t 1) + (t 2) y(0) = 1, y

(0) = 1 (5)La parte no homog enea de la ecuaci on involucra funciones impulsos (Deltas de Dirac) actuando como fuentes. Este tipode problemas se resuelve usando transformada de Laplace ( [12]). Para resolver con Maple usamoseqn6 := diff(y(t), t, t) 4 diff(y(t), t) + 4y(t) = 3 Dirac(t 1) + Dirac(t 2);bc6 := y(0) = 1, D(y)(0) = 1 : dsolve({bc6, eqn6}, {y(t)});para obtener la soluci ony(t) = e2te2tt + 3Heaviside(t 1)(t 1)e2t2+ e2t4Heaviside(t 2)(t 2).Tanto en la ecuaci on como en la soluci on aparecen funciones especiales (Dirac, Heaviside), las cuales est an denidasdentro de Maple. Para resolver con Mathematica usamosDSolve[{y[t] - 4 y[t] + 4y[t] == 3 DiracDelta[t - 1] +DiracDelta[t - 2], y[0] == 1, y[0] == 1}, y[t], t]para obtener la soluci one2t4_(t 2)UnitStep(t 2) e2(t1)_e23UnitStep(t 1)__.En este ejemplo podemos notar las diferencias en la sintaxis de las funciones Delta de Dirac y Heaviside en Maple yMathematica. Podemos cuestionar el comportamiento de la gr aca de la soluci on cuando t .7. La ecuaci onmx

(t) + ketx(t) = 0 (6)se usa para modelar un sistema masa-resorte, donde la constante del resorte decae con el tiempo (resorte envejecido [29]).Para resolver con Maple usamoseqn6 := m diff(x(t), t, t) + k et x(t) = 0 : dsolve(eqn6);para obtenerx(t) =C1BesselJ_0, 2ke12tm_+C2BesselY_0, 2ke12tm_la soluci on incluye funciones de Bessel J y Y las cuales est an denidas dentro de Maple. Para resolver con MathematicausamosRev. Mex. Fs. 53 (2) (2007) 155167RESOLVIENDO ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON MAPLE Y MATHEMATICA 161DSolve[m x[t] + k Exp[-a t]x[t] == 0, x[t], t]y obtenemosBesselJ_0, 2eatkam_C[1] + 2BesselY_0, 2eatkam_C[2]Podemos notar que la soluci on se obtiene en t erminos de las funciones de Bessel; la sintaxis de las funciones de Besselen Maple y Mathematica es muy similar y solo se diferencian por el uso de par entesis circulares o cuadrados.Podemos considerar que m=1 , k=1, resolver para =0.1, 0.2, 0.3,..1.0, gracar sus soluciones y cuestionarnos acercadel comportamiento de las soluciones para los distintos valores de. Con ello podemos mostrar la relaci on entre elmodelo matem atico (ketconstante del resorte) y el comportamiento de sus soluciones.8. Consideremos el siguiente sistema lineal:x

(t) = 3x(t) 18y(t),y

(t) = 2x(t) + 9y(t),(7)con condiciones iniciales[15]x(0) = 0, y(0) = 1.Para resolver con Maple usamossys := diff(x(t), t) = 3 x(t) 18 y(t), diff(y(t), t) = 2 x(t) + 9 y(t);sol := dsolve({x(0) = 0, y(0) = 1, sys}, {y(t), x(t)});y obtenemos_x(t) = 2e6tsin(33t)3, y(t) = e6t_13sin(33t)3 + cos(33t)__.Para obtener esta soluci on en Mathematica empleamos:DSolve[{x[t] == 3 x[t] - 18y[t], y[t] == 2 x[t] + 9 y[t],x[0] == 0, y[0] == 1}, {x[t], y[t]}, t]Podemos notar as las diferencias de sintaxis para resolver sistemas en un paquete u otro. Para mostrar las solucionespodemos usar Maple y escribirf1 := unapply(rhs(sol[1]), t); f2 := unapply(rhs(sol[2]), t);La Fig. 7 muestra la trayectoria r(t) = (x(t), y(t)) de la soluci on obtenida con el comandoplot([f2(t), f1(t), t = 0 .. 5],thickness = 2,labels=[x,y])mientras que las gr acas de las variaciones de x y y con respecto a t se muestran en la Fig. 8, estas han sido obtenidascon los comandosplot([f1(t), f2(t)], t = 0 .. 5, linestyle = ([SOLID, DOT]),thickness = 2, legend = ["x(t)","y(t)"])En la Fig. 7 observamos que la curva soluci on parte del punto (0,1) y girando en sentido contrario de las manecillas delreloj se aleja de este punto, los t erminos oscilatorios sin(33t)3 y cos(33t)3 de sus componentes hacen que lacurva soluci on gire mientras que el factor e6thace que su distancia al origen crezca produciendo el alejamiento.El sistema lineal (7) podra describir un fen omeno fsico, como por ejemplo el movimiento de una partcula, as en estecaso podemos observar la relaci on que existe entre la trayectoria de la particula (girando y alej andose del origen) y lacontraparte matem atica de las expresiones analticas de su soluci on (sinusoidales multiplicadas por exponenciales).Rev. Mex. Fs. 53 (2) (2007) 155167162 G.M. ORTIGOZA CAPETILLOFIGURA 7. Trayectoria de la soluci on. FIGURA 8. Gr acas de x(t) y y(t).9. Consideremos la ecuaci on de Airyy

(t) ty(t) = 0, (8)la cual tiene en t = 0 un punto ordinario y puede resolverse usando el m etodo de series de potencias [25]. Esta ecuaci onmodela un sistema masa-resorte, donde la constante del resorte crece de forma proporcional al tiempo [29].Este es unejemplo de una ecuaci on reducible a la ecuaci on de Bessel, algunas de sus soluciones se llaman funciones de Airy ysirven para modelar la difracci on de la luz [6]. Para resolver en Maple usamoseqn := diff(y(t), t$2) t y(t) = 0 : dsolve(eqn, y(t));y obtenemosy(t) =C1AiryAi(t) +C2AiryBi(t).De manera similar en Mathematica usamosDSolve[y[t] - t y[t] == 0, y[t], t]para obtener{{y[t] -> AiryAi[t] C[1] + AiryBi[t] C[2]}}.Las soluciones obtenidas con dsolve contienen las funciones de Airy Ai(x) y Bi(x); vamos ahora a obtener soluciones enforma de serie de potencias. En Maple usamosdsolve({eqn, y(0) = 1, D(y)(0) = 1}, y(x), type = series)para obtenery(t) = 1 + t + 16t3+112t4+ O(t6).Podemos usar este ejemplo y preguntarnos C omo luce la soluci on para t0? Para un tiempo jo (positivoo negativo) podemos comparar sus soluciones con las soluciones de y

+ ky = 0.Cabe mencionar que hemos usado la opci on type=series y condiciones iniciales en t = 0 para obtener una soluci on enserie de potencias alrededor de cero; para tener una serie alrededor de t = 1 usamosdsolve({eqn, y(1) = 1, D(y)(1) = 1}, y(t), type = series);Rev. Mex. Fs. 53 (2) (2007) 155167RESOLVIENDO ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON MAPLE Y MATHEMATICA 163FIGURA 9. Campo de direcciones de x

= et2x. FIGURA 10. Campo de direcciones de x

= et2x.y tenemosy(t) = 1 + t 1 + 12(t 1)2+ 13(t 1)3+ 18(t 1)4+124(t 1)5+ O((t 1)6)Veamos ahora como se obtienen estas soluciones en Mathematica. Primero expandemos la ecuaci on diferencial en series depotencias:odeseries = Series[y[t] - t y[t], {t, 0, 4}]incluimos las condiciones iniciales y resolvemos para los coecientes:coeffs = Solve[{odeseries == 0, y[0] == 1, y[0] == 1}]Ahora con estos coecientes escribimos la soluci on en series de potencias:Series[y[t], {t, 0, 5}] /. First[coeffs].y as obtenemos la serie deseada. De manera an aloga para crear la soluci on en potencias centradas en t = 1 escribimosodeseries = Series[y[t] - t y[t], {t, 1, 4}];coeffs = Solve[{odeseries == 0, y[1] == 1, y[1] == 1}];Series[y[t], {t, 1, 5}] /. First[coeffs].Podemos notar que, a diferencia de Maple, en Mathematica necesitamos usar m as comandos para obtener la soluci on enseries de potencias.10. Consideremos la ecuaci onx

= et2x. (9)En este ejemplo mostraremos un estudio cualitativo de la soluci on mediante el uso del campo de direcciones [30]. Paramostrar el campo de direcciones de la ecuaci on diferencial en Maple usamoswith(DEtools); dfieldplot(diff(x(t), t) = exp(-t)-2x(t), x(t), t =-2..3, x = -2..3);Aqu utilizamos el paquete DEtools y en particular el comando deldplot el cual permite la visualizaci on del campo dedirecciones. La Fig. 9 muestra el resultado de este comando.Para Mathematica usamos (1 &), Axes -> True, Ticks -> None,AspectRatio -> 1,AxesLabel -> {t, x[t]}].Rev. Mex. Fs. 53 (2) (2007) 155167164 G.M. ORTIGOZA CAPETILLOEn este caso usamos el paquete GraphicsPlotField y el comando PlotVectorField. La Fig. 10 muestra el resultado deeste comando.Con el apoyo de las gr acas podemos estudiar el comportamiento asint otico de las soluciones mediante algunos cuestio-namientos, tales como: Cu al es el comportamiento de las curvas soluci on cuando t ? Depende este comporta-miento de la condici on inicial?11. Consideremos el siguiente sistema no lineal:_x

= x(1 x y)y

= y(0.75 0.5x y),el cual modela un sistema depredador-presa [25]. Visualizaremos su campo de direcciones. En Maple usamosdfieldplot([diff(x(t), t) = x(t)*(1-x(t)-y(t)),diff(y(t), t) =y(t)*(.75-.5*x(t)-y(t))], [x(t), y(t)],t = 0 .. 1, x = 0 .. 1.5, y = 0 .. 1);y obtenemos as el campo mostrado en la Fig. 11.Para visualizar en Mathematica usamos (# + 5# &), Axes-> True, PlotPoints -> 18,AxesLabel -> {x, y}]La Fig. 12 muestra el resultado de esta instrucci on.Apoyadosenlasgr acaspodemoshaceralgunasobservaciones: algunasechastiendenaacumularseenel punto(0.5,0.5), hay echas que parten del origen alej andose de el, echas que se mueven sobre el eje y de arriba hacia abajochocan en (0, 0.75) con echas que van de abajo hacia arriba mientras que las echas que se mueven sobre el eje x deizquierda a derecha chocan en (1,0) con las provenientes de derecha a izquierda. Podemos analizar de manera analticaeste ejemplo, para ello procedemos a encontrar los puntos crticos de este sistema; con Maple usamossys := x*(1-x-y), y*(.75-.5*x-y): pts := solve({sys}, {x, y})para obtener{y = 0., x = 0.}, {x = 0., y = 0.7500000000}, {y = 0., x = 1.}, {x =0.5000000000, y = 0.5000000000}.Esta misma soluci on se puede obtener en Mathematica con:pts = Solve[{x*(1 - x - y) == 0, y*(0.75 - 0.5*x - y) == 0}, {x, y}]{{x -> 0., y -> 0.}, {x -> 0., y -> 0.75}, {x -> 0.5, y -> 0.5},{x -> 1., y -> 0.}}.Si deseamos clasicar estos puntos crticos debemos calcular la matriz jacobiana del sistema, evaluarla en estos puntosy calcular sus valores propios [24]. En Maple usamoswith(linalg): derivada := [[diff(sys[1], x), diff(sys[1], y)],[diff(sys[2], x), diff(sys[2], y)]]para escribir la matriz jacobiana y obtenemos los valores propios usandoeigenvals(subs(pts[1], derivada))0.7500000000, 1.eigenvals(subs(pts[2], derivada))-0.7500000000, 0.2500000000eigenvals(subs(pts[3], derivada))-1., 0.2500000000eigenvals(subs(pts[4], derivada))-0.1464466094, -0.8535533906Rev. Mex. Fs. 53 (2) (2007) 155167RESOLVIENDO ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON MAPLE Y MATHEMATICA 165Hemos utilizado el comando eigenvals para hallar los valores propios, este comando pertenece al paquete linalg, elcomando subs nos ha permitido substituir los valores de pts en la matriz derivada.Estos mismo c alculos pueden realizarse en Mathematica de la siguiente manera:sys1 = x*(1 - x - y); sys2 = y*(0.75 - 0.5*x - y);A = {{D[sys1, x], D[sys1, y]}, {D[sys2, x], D[sys2, y]}};Eigenvalues[A /. pts[[1]]] {1., 0.75} Eigenvalues[A /. pts[[2]]] {-0.75, 0.25}Eigenvalues[A /. pts[[3]]]{-0.853553, -0.146447}Eigenvalues[A /. pts[[4]]] {-1.,0.25}Delosresultadosobtenidospodemosconcluirque(0, 0)esunnodoinestable, (0, 0.75)y(1, 0)sonpuntossillay(0.5,0.5) un nodo asint oticamente estable. Aqu el c omputo simb olico ha hecho posible reducir los c alculos algebraicosy hemos podido corroborar las observaciones hechas a partir de las gr acas con los c alculos analticos, m as a un podemosusar este ejemplo para cuestionar la relaci on de estos puntos crticos con el modelo fsico depredador-presa.12. Consideremos el pviy

= sin(y2), y(0) = 1,si intentamos resolver este problema con Maple obtenemosy(x) = RootOfx +Z_b1sin(a2)da 1_b1sin(a2)da,mientras que con Mathematica no obtenemos soluci on alguna. Sin embargo esta ecuaci on no lineal puede resolversenum ericamente. En Maple podemos agregar la opci on type=numeric a dsolve y obtener una soluci on de la siguientemanera:with(plots): sol := dsolve({y(0) = 1, (D(y))(x) = sin(y(x)2)},type = numeric, range = -5 .. 5): odeplot(sol, thickness = 2)observemos que hemos denido el rango de la variable independiente de -5 a 5 y mediante el comando odeplot podemosgracar la soluci on obtenida. La Fig. 13 muestra esta soluci on.Para resolver num ericamente Mathematica cuenta con la funci on NDSolve, cuya sintaxis es muy similar a DSolve, salvoporque la soluci on num erica se dene en un intervalo denido. Para nuestro ejemplo podemos usarsol = NDSolve[{y[x] == Sin[y[x]2], y[0] == 1},y[x], {x, -5, 5}]; Plot[sol[[1]][[1, 2]], {x, -5, 5}]FIGURA 11. Campo de direcciones de un sistema no lineal. FIGURA 12. Campo de direcciones de un sistema no lineal.Rev. Mex. Fs. 53 (2) (2007) 155167166 G.M. ORTIGOZA CAPETILLOy obtener una gr aca similar a la anterior. Cuando resolvemosuna ecuaci on diferencial de forma num erica, debemos estaralertasytenerencuentaquelaexactituddenuestraapro-ximaci on puede ser afectada por diversas fuentes de erroreslocales, globales y la estabilidad de la ecuaci on.En este ejemplo podramos estudiar el comportamientoasint otico de las soluciones mediante los cuestionamientos:C omo se comporta la soluci on cuando x ? , y cuan-do x ?, y si cambiamos la condici on inicial?4. ConclusionesEn este trabajo se ha presentado el uso de los comandos b asi-cos dsolve, DSolve y NDSolve para la soluci on de ecuacionesdiferenciales ordinarias; se ha elegido una serie de problemasrepresentativos de un curso tradicional de EDOS. El objetivoprincipal de este trabajo es brindar al lector una gua pr acticaque le permita iniciar el estudio de la ecuaciones diferencia-les mediante el uso de Maple y Mathematica. Se hacen notarlas ventajas o desventajas de usar un paquete u otro en fun-ci on de la sencillez o complejidad de los comandos utilizadospara obtener o presentar las soluciones y no en funci on de laefectividad para hallar soluciones ni del tiempo de c omputorequerido para obtenerlas [11]. Se han mostrado algunas delas ventajas del uso de paquetes de c omputo simb olico y enparticular de sus opciones gr acas para fortalecer la ense nan-za de conceptos importantes. La lista de ejemplos dados, loscuestionamientos as como los comentarios son limitados ym as bien deben considerarse como punto de partida para queellectorinteresadopuedaescribirenMapleyMathemati-ca ejemplos de inter es especco as como proyectos de cla-se [13, 20]. En este trabajo se usaron las versiones Maple 11y Mathematica 6.FIGURA 13. Soluci on num erica.Esdegranaciertoenriquecerelcontenidotem aticodelos cursos de ecuaciones diferenciales incluyendo la soluci ondeecuacionesmedianteelusodepaquetescomputaciona-les [22]; sin embargo a juicio del autor, es recomendable queel alumno los utilice como herramienta para realizar c alculoso ejemplicar conceptos gr acos toda vez que ya ha apren-didolast ecnicasdesoluci ondeecuacionesyescapazderealizar los c alculos a mano [4]. Cabe resaltar el esfuerzo quedebe realizar el instructor para elegir ejemplos, ejercicios yproyectos de clase adecuados a los conceptos que se deseeense nar [28].1. M.L. Abell y J.P. Braselton, Differential Equations with Mathe-matica (Elsevier Science & Technology Books, 2004).2. G. AdieDifferentialEquationsinPracticalphysicsteachingProceedings of ICTMT4, 1999.3. S. Arslan, H. Chaachoua y C. 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