Caracas: 21 de Enero de 2015

Solución del Primer Parcial de Matemáticas III del Trimestre dic-Mar 2015

Bloque A

1. Dado el sistema (12 puntos)

,2)1(

,1)1(

,1

,1

2

321

321

21

31

xxx

xxx

xx

xx

Halle los valores de landa para que el sistema

a) Tenga solución única. Hallar la solución para este caso.

b) Tenga infinitas soluciones. Hallar las soluciones para este caso.

c) Sea inconsistente.

Solución:

a) Sea la matriz ampliada del sistema y usando el Método de Gauss, se tiene:

2110

0120

0110

1011

,0,144

133

122

2RRR

RRR

RRR

)1)(2()1(200

0100

0110

1011

,1,2)1(44

,2233

RRR

RRR

)1)(2(000

0100

0110

1011

,3244

RRR

2111

1111

1101

1011

21

2111

1111

1011

1101

22

RR

Al obtener la matriz de los coeficientes como una matriz triangular superior y pasar el

sistema matricial AX=B al sistema de ecuaciones, haciendo sustitución de atrás hacia

adelante, se tiene:

,,,1,2),1)(2(0) 3 SsoluciónhayNonteInconsisteesSistemaelxi

ii) Si lambda es igual a dos, el sistema queda así:

,,)0,0,1(,1

,0:,0

,03

,002

21

32

3

3

3únicaSoluciónS

xx

xxAdemásx

x

x

iii) Si Lambda es -1, el sistema queda así:

,,1,:),,1(

,,

,

,1

,00

1

3

2

1

3

SolucionesInfinitasttttS

ttx

tx

tx

x

2. Sea la matriz: (10 puntos)

111

310

121

A

a) Halle la matriz Adjunta de A

Solución:

Utilizando la definición:

,

,,)1(

AdeijmenorelesM

AdeijcofactorMijA

ij

ji

ij

,111

10,3

11

30)1(,2

11

3113

3

1211

AAA

,311

21)1(,0

11

11,3

11

12)1( 5

2322

3

21

AAA

,110

21,3

30

11)1(,7

31

1233

5

3231

AAA

Entonces la matriz Adjunta es:

131

303

732

137

303

132T

AdjA

b) Hallar la matriz inversa de A.

Solución:

Desarrollando el determinante de A usando la primera columna, se tiene:

,972)16()31(31

121

11

31det

A

Entonces,

Usando la fórmula: ,

9/13/19/1

3/103/1

9/73/19/2

131

303

732

9

1

det

11

AdjA

AA

c) Hallar, usando la inversa de A, la solución de AX=B, donde B es:

1

0

1

B

Solución:

Como A es invertible:

NeutroelementoelesIyinvertibleesABAXBAXIBAAXA

3

11

3

11 ,

,

9/2

3/2

9/5

1

0

1

9/13/19/1

3/103/1

9/73/19/2

X

3. i) Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P(0,0,10) y es paralelo a los

vectores ,1,2,0,1,0,3 21 vv

Solución:

El vector normal n al plano pedido es ortogonal a cualquier vector que este

sobre el plano, los vectores dados no son perpendiculares, ya que su producto

interno no es cero:

,11001,2,01,0,321 vv

Se puede calcular el producto vectorial de los vectores dados, y como este es ortogonal

a cada uno de los vectores, se puede tomar a este vector como n , es decir el vector

ortogonal al plano pedido:

),6,3,2(

)0,0,0()6,3,2()320(060

120

10321

jikjki

kji

vv

Es decir los vectores dados tampoco son paralelos.

Sabiendo que el plano pasa por P(0,0,10) y teniendo su vector ortogonal, entonces,

la ecuación del plano es:

60632:0)6,3,2).(10,0,0( zyxzyx

ii) Hallar la distancia desde el punto Q (4,- 1,0) al plano Г

Solución:

d (Q, Г) = u77

49

49

49

3694

6038600.6)1(34.2

iii) Verifique que la recta8

18

6

4

4

4:

zyxL , perfora al plano Г en el punto

R(12,-8,2).

Solución:

Se verifica que el punto R satisface las ecuaciones del plano Г y de la recta L:

R060606012242460)2(6)8(3)12(2: ,

,222:

,8

16

6

12

4

8:

,8

182

6

48

4

412:

LRL

L

L

Entonces La recta L perfora al plano Г en el punto R.

Se anexa grafica en MatLab del plano Г y el punto R(12,-8,2).