Solucion Del Primer Parcial a Abr Jun2014
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Caracas: 06-05-2014 SOLUCIÓN DEL PRIMER PARCIAL HORARIO 1-2 TIMESTRE ABRÍL-JUNIO 2014 1. (6 puntos) Resolver la desigualdad: 38 8 2 18 3 x x Solución: Como: , 4 2 8 0 8 2 , 6 3 18 0 18 3 x x x x Las raíces de los factores que están dentro de los valores absolutos son: x1=-6 y x2=4, estudiamos el signo y el valor absoluto de estos factores: Recta 6 , 4 , 6 , 4 3x+18 - + + 18 3 x -3x-18 3x+18 3x+18 2x-8 - - + 8 2 x -2x+8 -2x+8 2x-8 Casos: 1) , 6 , , 6 x x 6 , 64 , 64 6 , , 64 , 0 64 , 38 8 2 18 3 , 38 ) 8 2 ( 18 3 1 S x x x x x x 2) , 4 , 6 , 4 6 x x , 4 , 6 6 . 5 , 4 , 6 , 6 . 5 5 28 , 28 5 , 38 10 5 , 38 8 2 18 3 , 38 ) 8 2 ( 18 3 2 S x x x x x x x
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Caracas: 06-05-2014
SOLUCIÓN DEL PRIMER PARCIAL HORARIO 1-2 TIMESTRE ABRÍL-JUNIO 2014
1. (6 puntos) Resolver la desigualdad:
3882183 xx
Solución:
Como:
,42
8082
,63
180183
xx
xx
Las raíces de los factores que están dentro de los valores absolutos son: x1=-6 y
x2=4, estudiamos el signo y el valor absoluto de estos factores:
Recta 6, 4,6 ,4
3x+18 - + +
183 x -3x-18 3x+18 3x+18
2x-8 - - +
82 x -2x+8 -2x+8 2x-8
Casos:
1)
,6,,6 xx
6,64,646,
,64
,064
,3882183
,38)82(183
1
S
x
x
xx
xx
2)
,4,6,46 xx
,4,66.5,4,6
,6.55
28
,285
,38105
,3882183
,38)82(183
2
S
x
x
x
xx
xx
3)
,,4,4 xx
12,412,,4
,12
,3826
,3882183
,38)82(183
3
S
x
x
xx
xx
Luego la solución es:
12,64321 SSSS
2. (7 puntos) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(3,1) y
B(-1,3), y cuyo centro está situado en la recta de ecuación .023 yx
Solución:
La ecuación de la circunferencia de centro C (h, k) y radio r, es:
,,2,2
,0
,022
,22
,)()(
222
22
22222
22222
222
rkhEKDhC
EDyCxyx
rkhkyhxyx
rkkyyhhxx
rkyhx
Como la ecuación de la circunferencia pasa por A y B, Se tiene:
)4(2)3(2024:)2()1(
),2(1030391
),1(1030319
khDCDC
EDCEDC
EDCEDC
Utilizando (4) y que el centro de la circunferencia está situado en la recta de ecuación
,023 yx
)4,2(4,20223023 Ckhhhkh
-64 12
Utilizando (2) y las coordenadas del centro para calcular E y el radio r:
1010164
,1010244)2(103,82
,42
222
rEkhr
EEEDCykD
hC
Entonces la ecuación de la circunferencia es:
:
10)4()2( 22 yx
3. (4 puntos) Graficar la función definida por:
Solución:
a) Usando tabla de valores:
x y
0 -3
Pi/2 0
Pi 3
3Pi/2 0
2Pi -3
5Pi/2 0
3Pi 3
Se tiene:
3,0),cos(3)( xxxf
b) Si se utilizan traslaciones:
4. Dadas las funciones:
1,
,1,12)(,2)( 2
xx
xxxgxxf
a. (5 puntos) Hallar ))(( xfg o
b. (2 puntos) Hallar )3)(( gf
Solución: a. Haciendo las graficas de las funciones se observa que:
,,0Im,2,Im
,
gf
DomgDomf
Para que exista fg o,
2,2,Im Domgf
Por lo tanto, existe fg o
Entonces:
,12,2
,12,1)2(2))((
,1)(,)(
,1)(,1)(2))((
22
22
xx
xxxfg
xfxf
xfxfxfg
Entonces:
fDomgo
b. 43923)3(2)3()3()3)(( 2 gfgf
,,22,,2
,0120,2
,1,1,23
))((
,02,2
,120,2
,01,23
))((
2
222
2
22
22
22
xx
xxx
xx
xfg
xx
xx
xx
xfg
,,22,,2
,,11,2,2,2
,1,1,23
))((
2
2
2
xx
xx
xx
xfg
,,22,,2
,2,11,2,2
,1,1,23
))((
2
2
2
xx
xx
xx
xfg
5. Dada la función f, 1
32)(
x
xxf
a. (2 puntos) Probar que f es inyectiva
b. (2 puntos) Hallar su inversa.
c. (2 puntos) Verificar que xxff )(1o
Solución
a. 1)( xDomf ,
,55)1)(32()1)(32(1
32
1
32)()(
,,
21211221
2
2
1
121
21
xxxxxxxxx
x
x
xxfxf
Domfxx
Entonces f es una función uno-a-uno, por lo tanto existe su inversa.
b.
,1Im,Im2
,2
3)(
2
3)(,
2
33)2(
,323232)1(1
32)(,
11
11
DomfffDomf
x
xxf
y
yyf
y
yxyyx
yxyxxyyxxxyx
xxfyDomfx
c.
,5
5
2
232
6362
12
3
32
32
1)(
3)(2)(()(
1
111 x
x
x
xxx
xx
x
xx
x
xf
xfxffxff
o
