CALCULODIFERENCIALEINTEGRALIGLOBALE1400(A)Primerparcial(1)Unsupermercadoseencuentracongrandesexistenciasdemanzanasquedebevenderrapidamente. Elgerentesabeque silasmanzanasseofrecenappesoscadakg,vendera xkg,conx = 1 000 20 p.Quepreciopdeberajarparaobteneringresosdeporlomenos$12 000?(2)Uncordelde10mdelargoescortadoendospartes; unapartesedoblaparaformaruncuadradoylaotraparaformaruntrianguloequilatero. Si xeslalongituddelladodel triangulo, expreselasumadeareasdelcuadradoydeltriangulo(areatotalencerrada)enfunciondex.(3)Dadaslasfuncionesf(x) =4 x2& g(x) =2x23,obtener: (fg)(x),(g f)(x)ysusrespectivos dominios.(4)Seaflafunciondadaporf(t) = t2con0 t 1.Seaglafunciondenidaporg(t) =_f(t) si 1 t 0f(t) si0 t 1(a)Hacer unbosquejodelagracadegindicandosuimagen(b)Sih(t) = 2g(t 1) + 3,hacerunbosquejodelagracadeestanuevafuncioneindicarsudominioeimagen(B)Segundoparcial(1)Paralafunci onf(x) =2x2+ 6xx2+ 5x + 6,determinar: dominioyraces;intervalosdecontinuidadytipodediscontinuidades;asntotasverticales yhorizontales;dibujarlagraca.(2) lmx+(4x2+x 4x22).(3) lmx1f(x),dondef(x) =___2x2+ 1x4+ 3six < 1;x3+ 1x2+ 6x + 5six > 1.(4)Unalegislacion estatalsobreimpuestosestablece unimpuestoexigible de12%sobrelosprimeros$20 000degananciasgravablesyde16%sobreel restodelasganancias.Calcular los valores de las constantes A y Bpara que la funcion de impuestos T(x) sea continua para todox.T(x) =___0 six 0;A+ 0.12x si0 < x 20 000;B + 0.16(x 20, 000) six > 20 000.canek.azc.uam.mx:2/ 3/ 2006.12 GLOBALE1400(5)Darunbosquejodelagracadelafunci onf(x)que cumplalosrequisitos siguientes:Escontinuaenlosintervalos(, 2), [2, 1),[1, 3]yen(3, +);yadem as:lmxf(x) = 3; lmx4f(x) = 0; lmx2f(x) = +;lmx2+f(x) = 0; lmx0f(x) = 3; lmx1f(x) = ;lmx1+f(x) = 2; lmx3f(x) = 4; lmx3+f(x) = 1.lmx5f(x) = 0; lmx+f(x) = 2;(C)Tercerparcial(1)Dadalafunciondenidaporf(x) = (4 x)x1/3,obtener: intervalos decrecimientoyde decrecimiento; puntos crticos ysuclasicaci on; intervalos deconcavidadhaciaarribaydeconcavidadhaciaabajo;puntosdeinexi onyunbosquejodelagraca.(2)Obtenerlaecuaci ondelarectatangentealacurvax2y2= (y + 1)2(4 y2)enelpunto(0, 2).(3)Enunconcursoderesistencia,losconcursantesestan2millasmaradentroytienenquellegaraunsitioenlaorilla(tierrarme)queestaa5millasal oeste(laorillavadeesteaoeste). Suponiendoqueunconcursantepuedenadara4millasporhoraycorrera10millasporhora,haciaquepuntodelaorilladebenadarparaminimizar eltiempo totalderecorrido?(4)Underramedepetroleoadoptaunaformacircularytieneunespesorde150pie. Si el petroleoseestaescapandoarazonde40pies3/min, aquerazonestaaumentandoel radiodelamanchadepetroleocuandoelradioesde50pies?GLOBALE1400 3Respuestas(A)Primerparcial(1)Unsupermercadoseencuentracongrandesexistenciasdemanzanasquedebevenderrapidamente. Elgerentesabeque silasmanzanasseofrecenappesoscadakg,vendera xkg,conx = 1 000 20 p.Quepreciopdeberajarparaobteneringresosdeporlomenos$12 000? Siofreciendo appesoscadakilogramodemanzanas,sevenden x = 1 000 20 pkilogramos,entonceselingresoIporlaventatotalesI= xp = (1 000 20 p)p= 1 000 p 20 p2,esdecir, I(p) = 1 000 p 20 p2pesos.Ahorabien, paraqueI(p)seaporlomenos$12 000debesucederqueI(p) 12 000 1 000 p 20 p2 12 000 12 000 1 000p + 20 p2 0 20(p250 p + 600) 0 p250 p + 600 0.Resolvemosprimero laigualdadp250p + 600 = 0.p =50 _(50)24(600)2=50 2 500 2 4002=50 1002=50 102.Dedondep1=50 102=402= 20yp2=50 + 102=602= 30.Considerandoquep 0,analizamoslosintervalos (0, 20),(20, 30)y(30, +).Intervalo Valordeprueba p250p + 6000 < p < 20 p = 10 200 > 020 < p < 30 p = 25 25 < 030 < p p = 40 200 > 0Luegoentonces, ladesigualdadp2 50p + 600 0secumplecuando20 p 30; esdecir, cuandoelpreciopporkgestaentre $20y$30.$20$30

(2)Uncordelde10mdelargoescortadoendospartes; unapartesedoblaparaformaruncuadradoylaotraparaformaruntrianguloequilatero. Si xeslalongituddelladodel triangulo, expreselasumadeareasdelcuadradoydeltriangulo(areatotalencerrada)enfunciondex. ConsideramoslagurasiguienteA C B4 GLOBALE1400SielpuntoCesdondecortamosel cordelABen2pedazos,entonces AC +CB= AB= 10.Siconel pedazoACformamosuntrianguloequil atero conladosdelongitudx, entonces AC= 3x. DelocualsedesprendequeCB= 10 3x.ConelpedazoCBformamosuncuadradoconladosdelongitudlc=14(10 3x).Lasgurascorrespondientessonlclclc=14(10 3x)hxxCalculamoslaalturahdel trianguloequil atero, mediante el teoremadePitagoras.xhx/2Tenemos:h =_x2_x2_2=_x214x2=_34x2=32x.ElareadeltrianguloesAt =xh2=12x32x =34x2.ElareadelcuadradoesAc= lc2=_14(10 3x)_2=116(10 3x)2.Elareatotaldelos2polgonosesA = At +Ac =34x2+116(10 3x)2.Esdecir,A(x) =34x2+116(10 3x)2,queeslafunciondeseada.

GLOBALE1400 5(3)Dadaslasfuncionesf(x) =4 x2& g(x) =2x23,obtener: (fg)(x),(g f)(x)ysusrespectivos dominios. Vemosque(fg)(x) = f(x)g(x) =4 x2_2x23_=24 x2x23.EldominiodelafuncionfgesDfg=_x R24 x2x23R_ =_x R 4 x2 0 &x23 = 0_== Df

Dg=_x R 4 x2 0_

_x R x23 = 0_ ==_x R x2 4 &x2= 3_=_x R | x|2 22&x2= 3_==_x R | x| 2 &x = 3_=_x R 2 x 2 &x = 3_== [2, 2] {3,3};(g f)(x) = g[f(x)] = g(4 x2) =2(4 x2)23=24 x23=21 x2 .Eldominiodelafunciong fesDgf=_x R x Df &f(x) Dg_==_x R x [2, 2] &4 x2= 3_=_x [2, 2]4 x2= 3_ ==_x [2, 2]x2= 1_=_x [2, 2] 1_== [2, 2] { 1, 1 } .

(4)Seaflafunciondadaporf(t) = t2con0 t 1.Seaglafunciondenidaporg(t) =_f(t) si 1 t 0;f(t) si0 t 1.(a)Hallar eldominiodegyhacerunbosquejodelagracadegindicandosuimagen EldominiodegesDg= [1, 1].Parabosquejarlagracadelafunciong,esnecesariovercomoexpresarg(t) = f(t)para1 t 0.Yaque1 t 0 (1)(1) (1)t (1)0 1 t 0 0 t 1.Entoncesf(t) = (t)2= t2&g(t) = f(t) = t2.Porlotanto,lafunciongpuedeexpresarsecomog(t) =_t2si 1 t 0;t2si0 t 1.Cuyagracaes6 GLOBALE1400g(t)t111 1A(1, 1)B(0, 0)C(1, 1)ElrangooimagendegesRg= [1, 1].

(b)Sih(t) = 2g(t 1) + 3,hacerunbosquejodelagracadeestanuevafuncioneindicarsudominioeimagen Parabosquejarla gracade la funcion h(t) = 2g(t 1) + 3, obtendremoslasnuevas coordenadasdelospuntosA(1, 1),B(0, 0)yC(1, 1)delagracadeg,amedidaqueseefect uenlasaccionesindicadas.y = g(t) y= g(t 1) y = 2g(t 1) y= 2g(t 1) + 3A(1, 1) A

(0, 1) A

(0, 2) A

(0, 1)B(0, 0) B

(1, 0) B

(1, 0) B

(1, 3)C(1, 1) C

(2, 1) C

(2, 2) C

(2, 5)Lagracadelafuncionh(t)resultah(t)t1351 2A3(0, 1)B3(1, 3)C3(2, 5)

(B)Segundoparcial(1)Paralafunci onf(x) =2x2+ 6xx2+ 5x + 6,determinar: dominioyraces;intervalosdecontinuidadytipodediscontinuidades;asntotasverticales yhorizontales;dibujarlagraca. Dominiodef(x).GLOBALE1400 7Df=_x R f(x) R _=_x R2x2+ 6xx2+ 5x + 6 R_==_x R x2+ 5x + 6 = 0_ =R _xx2+ 5x + 6 = 0_.Perocomox2+ 5x + 6 = 0 (x + 3)(x + 2) = 0 x + 3 = 0obienx + 2 = 0 x = 3obien x = 2,entoncesDf=R { 3, 2 }.Races:Paraquef(x) = 0,esnecesarioque2x2+ 6x = 0 2x(x + 3) = 0 2x = 0obienx + 3 = 0 x = 0obienx = 3.Aparentemente, x= 0&x = 3sonracesdef,perodebidoaquex = 3 Df,entoncesftienesolounarazqueesx = 0.Intervalosdecontinuidadytipodediscontinuidades.Porserunafuncionracional,fescontinuaentodosudominioDf=R {3, 2}.Esdecir, fescontinua enelconjunto(, 3)

(3, 2)

(2, +).Entoncesftiene discontinuidadesenx = 3yenx = 2.Veamosquetipodediscontinuidades son:lmx3f(x) =lmx32x2+ 6xx2+ 5x + 6=lmx32x(x + 3)(x + 3)(x + 2)==lmx32xx + 2=2(3)3 + 2= 61= 6.Entonces, lmx3f(x) = 6,lo que implica que lmx3f(x)existe, porlo cualla discontinuidad que ftiene enx = 3esremovible oevitable.lmx2f(x) =lmx22xx + 2= _40_.Cuandox 2,sucedeque x + 2 0yque2x 4,porlocual2xx + 2 .Entonces, lmx2f(x)noexiste, porloque ladiscontinuidad esesencial yadem asinnita.Asntotasverticales yhorizontales.Unaposibleasntotavertical eslarectax = 2,porlocualprecisaremosloslmites laterales lmx2f(x)y lmx2+f(x).lmx2f(x) = lmx22xx + 2= _40_.Si x 2, entonces_x < 2 x + 2 < 02x 4 2x < 0porloque2xx + 2>0y, porlomismo,2xx + 2 +,luegoentonces,lmx2f(x) = +;8 GLOBALE1400lmx2+f(x) = lmx2+2xx + 2= _40+_.Six 2+,entonces,_x > 2 x + 2 > 0;2x 4 2x < 0.Porloque2xx + 2< 0yporlomismo2xx + 2 , luegoentonces, lmx2+f(x) = .Conlocual,podemosarmarquelarectax = 2esunaasntotavertical yadem asla unica.Paradeterminar lasasntotashorizontales, calculamos lmxf(x) & lmx+f(x).lmxf(x) = lmx2xx + 2= lmxx(2)x_1 +2x_== lmx21 +2x=21= 2.Luegoentonces, lmxf(x) = 2.Porlotanto,larectay= 2esunaasntotahorizontal.Ademas es la unica, ya que de igual manera se puede vericar que lmx+f(x) = 2. Un esbozo de la gracadef(x)esf(x)x623 2 0

(2) lmx+(4x2+x 4x22). Notemosquecuandox +,sucede que4x2+x +,4x22 +&(4x2+x 4x22) (+).GLOBALE1400 9Porestoprocedemosdelasiguiente manera:4x2+x 4x22 =4x2+x 4x2214x2+x +4x224x2+x +4x22==(4x2+x)2(4x22)24x2+x +4x22=(4x2+x) (4x22)4x2+x +4x22==4x2+x 4x2+ 24x2+x +4x22=x + 24x2+x +4x22lmx+(4x2+x 4x22) = lmx+x + 24x2+x +4x22== lmx+x_1 +2x_x2_4 +1x_+x2_4 2x2_== lmx+x_1 +2x_x2_4 +1x+x2_4 2x2== lmx+x_1 +2x_| x|_4 +1x +| x|_4 2x2= lmx+x_1 +2x_x__4 +1x +_4 2x2_== lmx+1 +2x_4 +1x+_4 2x2=14 +4=12 + 2=14 .Porlotantolmx+(4x2+x 4x22) =14 .

(3) lmx1f(x),dondef(x) =___2x2+ 1x4+ 3six < 1;x3+ 1x2+ 6x + 5six > 1. Debidoaquef(x)estadenidadediferente maneracuandox < 1ycuandox > 1,paracalcularlmx1f(x)procederemosadeterminar loslmites laterales.lmx1f(x) =lmx12x2+ 1x4+ 3=2(1)2+ 1(1)4+ 3=2 + 11 + 3=34 .Entonces,lmx1f(x) =34;10 GLOBALE1400lmx1+f(x) =lmx1x3+ 1x2+ 6x + 5=lmx1(x + 1)(x2x + 1)(x + 1)(x + 5)==lmx1x2x + 1x + 5=(1)2(1) + 11 + 5=1 + 1 + 14=34 .Ytambienlmx1+f(x) =34 .Yaque lmx1f(x) =34& lmx1+f(x) =34,entoncesloslmites laterales soniguales,porlocuallmx1f(x) =34 .

(4)Unalegislaci on estatalsobreimpuestosestablece unimpuestoexigible de12%sobrelosprimeros$20 000degananciasgravablesyde16%sobreel restodelasganancias.Calcular los valores de las constantes A y Bpara que la funcion de impuestos T(x) sea continua para todox.T(x) =___0 six 0;A+ 0.12x si0 < x 20 000;B + 0.16(x 20, 000) six > 20 000. Lafunci ondeimpuestosT(x)queseda, espolinomial porpartesyporlotantocontinuaencadaunodelosintervalossemiabiertos(, 0],(0, 20 000] y(20 000, +). Entonces,solodebemoscuidarlacontinuidaddeT(x) enlospuntosx = 0&x = 20 000.Yaquelmx0T(x) =lmx00 = 0ytambienquelmx0+T(x) =lmx0+(A+ 0.12x) = A+ 0 = A,entonces,lmx0T(x) existelmx0T(x) =lmx0+T(x) A = 0.Ypuestoquelmx20000T(x) = lmx20 000(0.12x) = (0.12)20 000= 2 400ytambienquelmx20000+T(x) = lmx20 000[B + 0.16(x 20 000)]= B + 0.16(20 000 20 000)= B + 0 = B,entonces,lmx20000T(x) existe lmx20000T(x) = lmx20000+T(x) B= 2 400.GLOBALE1400 11Porlotanto,lafunciondeimpuestoses(hastaaqu)T(x) =___0 six 1;0.12x si0 < x 20 000;2 400 + 0.16(x 20 000) six > 20 000.NoteseahoraqueT(0) = 0&lmx0T(x) = 0 lmx0T(x) = T(0);T(20 000)= 0.12(20 000)= 2 400& lmx20000T(x) = 2 400 lmx20 000T(x) = T(20 000),porlocual, podemosarmarqueT(x) escontinuaenx = 0yenx = 20 000.Luegoentonces, T(x) esunafuncioncontinuaparatodax.

(5)Darunbosquejodelagracadelafunci onf(x)que cumplalosrequisitos siguientes:Escontinuaenlosintervalos(, 2), [2, 1),[1, 3]yen(3, +);yadem as:lmxf(x) = 3; lmx4f(x) = 0; lmx2f(x) = +;lmx2+f(x) = 0; lmx0f(x) = 3; lmx1f(x) = ;lmx1+f(x) = 2; lmx3f(x) = 4; lmx3+f(x) = 1.lmx5f(x) = 0; lmx+f(x) = 2; Unbosquejodelagracadelafuncionf(x)quecumple conlosrequisitos pedidos,es:f(x)x42134 21 35

(C)Tercerparcial(1)Dadalafunciondenidaporf(x) = (4 x)x1/3,obtener: intervalos decrecimientoyde decrecimiento; puntos crticos ysuclasicaci on; intervalos deconcavidadhaciaarribaydeconcavidadhaciaabajo;puntosdeinexi onyunbosquejodelagraca. Derivamos:f(x) = (4 x)x1/3= 4x1/3x4/3f

(x) =43x2/343x1/3=43_1x2/3 x1/3_ =43_1 xx2/3_.12 GLOBALE1400Intervalosdecrecimiento ydecrecimiento:Lafuncionfescreciente sif

(x) > 0yesdecreciente sif

(x) < 0.Primeroresolvemos laigualdadf (x) = 0:f

(x) = 0 43_1 xx2/3_= 0 1 x = 0 x = 1.Luego,excluimos x = 0yaquef

(0)noexiste yasobtenemoslosintervalos(, 0),(0, 1)y(1, +).Intervalo Valorprueba f

(x) = fesestrictamente< x < 0 x = 183> 0 creciente0 < x < 1 x =18143> 0 creciente1 < x < + x = 8 73< 0 decrecienteEntonces, lafuncionfesestrictamentecrecienteenlosintervalos(, 0) y(0, 1), yestrictamentede-creciente enelintervalo (1, +).Puntoscrticos ysuclasicaci on:Porel incisoanteriorsesabeque: f

(x)=0enx=1, lafuncionfescrecienteenelintervalo(0, 1)ydecreciente enel intervalo(1, +).Luego entonces, por el criterio de la primera derivada, la funcion ftiene en x = 1 un maximo local estricto.Lascoordenadasdedicho puntoson[1, f(1)] = (1, 3).Intervalosdeconcavidad:f

(x) =ddx_43x2/343x1/3_=43_23x5/313x2/3_== 49_2x5/3+1x2/3_= 49_2 +xx5/3_.Lafuncionfesconcavahaciaarribasif

(x) > 0yesconcavahaciaabajosif (x) < 0.Primeroresolvemos laigualdadf (x) = 0:f

(x) = 0 49_x + 2x5/3_= 0 x + 2 = 0 x = 2.Luego excluimos x = 0 ya que f (0) no existe y as obtenemos los intervalos (, 2), (2, 0) y (0, +).Intervalo Valorprueba f (x) = fesconcavahacia< x < 2 x = 8 112< 0 abajo2 < x < 0 x = 149> 0 arriba0 < x < + x = 8 536< 0 abajoEntonces,lafuncionfesconcavahaciaabajoenlosintervalos(, 2) y(0, +),yesconcavahaciaarribaenel intervalo(2, 0).Puntosdeinexion:Lafuncionftienecambiosdeconcavidadenx= 2yenx =0;ademas,escontinuaendichospuntos.Poresto,tienepuntosdeinexionenx = 2yenx = 0. Lascoordenadasdedichospuntosdeinexionson[2, f(2)] = (2, 632)y[0, f(0)] = (0, 0).GLOBALE1400 13Esimportantenotarqueenx = 0,lafuncionfescontinua,noesderivable, notiene maximonimnimolocalytienepuntodeinexion.Unbosquejodelagracaesel siguiente:f(x)x21 4362

(2)Obtenerlaecuaci ondelarectatangentealacurvax2y2= (y + 1)2(4 y2)enelpunto(0, 2). Suponemosqueenlaecuaci ondadasetiene implcitamente denidaay = (x).Derivandoimplcitamente conrespectoaxseobtiene:ddx(x2y2) =ddx[(y + 1)2(4 y2)] x2ddxy2+y2ddxx2= (y + 1)2ddx(4 y2) + (4 y2)ddx(y + 1)2x22ydydx+y22x = (y + 1)2(2y)dydx+ (4 y2)2(y + 1)dydx 2x2ydydx+ 2xy2= 2y(y + 1)2dydx+ 2(4 y2)(y + 1)dydx 2x2ydydx+ 2y(y + 1)2dydx 2(4 y2)(y + 1)dydx= 2xy2dydx[2x2y + 2y(y + 1)22(4 y2)(y + 1)] = 2xy22[x2y +y(y2+ 2y + 1) (4y + 4 y3y2)]dydx= 2xy22[x2y +y3+ 2y2+y 4y 4 +y3+y2]dydx= 2xy22[x2y + 2y3+ 3y23y 4]dydx= 2xy2dydx=2xy22(x2y + 2y3+ 3y23y 4) dydx=xy2x2y + 2y3+ 3y23y 4 .14 GLOBALE1400Valuamosenelpunto(0, 2);estoes, x = 0&y = 2:dydx(0, 2) =00 + 2(8) + 3(4) + 6 4=02= 0.Entonces,lapendiente delarectatangentealacurvaenelpunto(0, 2)esm = 0.Porlotanto,laecuaci ondelarectatangenteesy (2) = m(x 0) y + 2 = 0(x 0) y + 2 = 0 y= 2.

(3)Enunconcursoderesistencia,losconcursantesestan2millasmaradentroytienenquellegaraunsitioenlaorilla(tierrarme)queestaa5millasal oeste(laorillavadeesteaoeste). Suponiendoqueunconcursantepuedenadara4millasporhoraycorrera10millasporhora,haciaquepuntodelaorilladebenadarparaminimizar eltiempo totalderecorrido? Usamoslagura:5 xM B A2Px5 SeanPel puntode partida,A el puntode laplaya mascercanoaP,Mlameta yBel puntodelaplayadondeel concursantesaledel mar.Esdecir: PA = 2millas, MA = 5millas, PBesrecorridoanadoyBMcorriendoporlaplaya.Sisuponemosque BestaaxmillasdeA, entoncesBA = xMB= 5 x&BP=_BA2+AP2=x2+ 22=x2+ 4.SielconcursantenadaPB=x2+ 4millasaraz onde4millasporhora,entonceseltiempoquetardanadandoestn=x2+ 44horas.SielconcursantecorreMB=5 xmillasarazonde10millasporhora, entonceseltiempoquetardacorriendoestc =5 x10horas.Eltiempototalderecorridodel concursanteest = tn +tc=x2+ 44+5 x10.Esdecir,t(x) =14x2+ 4 +110(5 x),con0 x 5,GLOBALE1400 15queeslafuncionquedebemosminimizar.t

(x) =14_12_(x2+ 4)1/22x +110(1) =x4x2+ 4110;t

(x) = 0 x4x2+ 4110= 0 x4x2+ 4=110 10x = 4x2+ 4 (10x)2= 42(x2+ 4) 100x2= 16x2+ 64 100x216x2= 64 84x2= 64 x2=6484 0.762 x 0.762 0.87.Entonces,t(x)tiene unpuntocrtico enx 0.87.Valuaremosahorat(x)enx= 0.87,x =0 &x =5,paracompararlostiemposobtenidosydecidircualeselmenor.t(x) =x2+ 44+5 x10t(0.87) =_(0.87)2+ 44+5 0.8710 0.9582horat(0) =02+ 44+5 010= 1horat(5) =52+ 44+5 510 1.34629horas.Luegoentonces, el tiempomnimo es0.9582dehora.

(4)Underramedepetroleoadoptaunaformacircularytieneunespesorde150pie. Si el petroleoseestaescapandoarazonde40pies3/min, aquerazonestaaumentandoel radiodelamanchadepetroleocuandoelradioesde50pies? Sealagura:rh =150 pieNotamosqueelderrametienelaformadeuncilindrorectocircular,conunaalturaoespesorconstanteh =150pieyunradiovariablerenfunciondeltiempot 0.Considerandoquer = r(t)estaenpies,el volumen delderrame V , medidoenpies3,esV= r2h = r2_150_=50r2,16 GLOBALE1400esdecir,V (t) =50[r(t)]2.Larazondecambiodel volumenalpasodeltiempoesddtV (t) =ddt_50r2(t)_=50 2 r(t) ddtr(t),estoes,dVdt=25r_drdt_.Comoelpetroleoseestaescapandoarazonde40pies3/min, entonces,dVdt= 40.Porlotanto25r_drdt_= 40.Enel instanteenqueel radioesr = 50pies,sucede que25(50)drdt= 40,dedondedrdt=(40)2550=20,queeslarapidezdecambiodel radio.Estoes,elradioestaaumentandoarazondedrdt=20pies/min.