Soluci on - Alojamientos Universidad de Valladolid · x = 1671,37N/m Problema 2.5 Un vertedero...

II. Ecuaciones generales

Problema 2.1 *

Al elemento de la figura le llega agua axialmente con una velocidad

45º

D1

pa

D0

v0p0

hz

r

v1

v0 por un conducto de diametro D0 y a la presion p0. El diametrodel elemento es D1, su altura h y el conjunto permanece quieto. Lavelocidad de salida es perpendicular a la de entrada y forma 45o conla direccion tangencial. Determinar:

1o) El esfuerzo axial que el agua ejerce sobre el elemento.

2o) El par necesario para mantener el elemento quieto.

Hacer la aplicacion al siguiente caso:

v0 = 5 m/s; D0 = 10 cm; D1 = 40 cm; h = 1 cm

p0 = 0,5 kg/cm2 (manometrica); psalida = patm

Solucion:

1o) F ′z = −π

D20

4

(p0 + ρv20

); F ′

z = −581,19N/m2

2o) T = −πρv20D

40

32h ; T = −24,54Nm

Problema 2.2

Un chorro de agua de caudal 0,1m3/s y velocidad de salida 20m/s incide

45º

90º

Q/2

Q/2

Q

sobre el cuerpo de la figura de tal modo que el caudal se divide en dospartes iguales en las direcciones de la figura. Determinar, despreciandolas fuerzas masicas, las componentes horizontal y vertical de la fuerzaque el chorro ejerce sobre el cuerpo en los casos siguientes:

1o) El cuerpo esta en reposo.

2o) El cuerpo se acerca al chorro a una velocidad de 10m/s.

3o) El cuerpo se aleja del chorro a una velocidad de 10m/s.

Solucion:

1o) F ′ =(−1292,9i+ 292,89j

)N

2o) F ′ =(−2909i+ 659j

)N

3o) F ′ =(−323,2i+ 73,22j

)N

UVa - Dpto. I.E.F. - Mecanica de Fluidos 1

Mecanica de Fluidos - Ingenierıa de Fluidos (Sep. 2013)

Problema 2.3

La tuberıa acodada de la figura toma fluido a la presion p1

p2

p1

v1

A1

1

pa

p2

v2

A2

A T

r

y lo expulsa a la presion p2. La mitad superior de la tuberıaesta a presion pa y la inferior a p2, estando ambos ambientesseparados por un tabique T . La seccion del conducto quecruza el tabique es A. En la entrada la velocidad es v1, ladensidad ρ1 y el area A1. En la salida la velocidad es v2 yel area A2. El movimiento es permanente, las condiciones ala entrada y salida son uniformes y se desprecian las fuerzasmasicas.

Se pide calcular la densidad a la salida ρ2 y la fuerza total que ejerce el fluido tanto exterior como interiorsobre el conducto.

Aplicacion numerica: ρ1 = 1, 2 kg/m3; v1 = 50m/s; A1 = 30 cm2; p1 = 0, 95 kg/cm

2; v2 = 100m/s;

A2 = 20 cm2; p2 = 0, 8 kg/cm2; A = 25 cm2 ; pa = 1kg/cm

2

Solucion:

ρ2 = ρ1v1A1

v2A2= 0,9 kg/m3 ; F ′

y =(−23,7 i− 49,0 j

)N

Problema 2.4

Un lıquido de densidad ρ fluye por un conducto bidimen-

pV Vapor

0

v0h0

E

F

A

B

H

G

D

C

v1

v1

Líquido

h1

r

p

sional de ancho h0 incidiendo sobre una placa plana EFcomo muestra la figura. La presion y la velocidad en unaseccion aguas arriba de la placa son p0 y v0. Si la velo-cidad v0 es suficientemente alta, se observa que detrasde la placa se forma una cavidad de vapor a la presionde vapor, pv. El lıquido fluye con velocidad v1 por doscapas laterales de espesor h1 donde la presion es unifor-me e igual a pv. Suponiendo despreciables las fuerzas defriccion sobre el conducto y la densidad del vapor frentea la del lıquido, calcular la velocidad del lıquido aguas abajo v1 y la fuerza sobre la placa en funcion dep0, v0, ρ, h1, y h0. Se sugiere tomar como volumen de control ABCDEFGH.

Aplicacion numerica:

p0 = 0,75 atm (abs.); pv = 0,05 atm (abs.); v0 = 5 m/s; h0 = 5 cm; h1 = 1 cm; ρ = 1 g/cm3

Solucion:

v1 = 12,5m/s ; F ′x = 1671,37N/m

Problema 2.5

Un vertedero descarga sobre un canal horizontal de anchura

hv0

pa

a

pa

constante, de tal manera que la corriente llega verticalmente alcanal. Se observa que entre el manto de agua y el vertedero, elagua alcanza una altura a. Suponiendo que se pueden aplicar lasecuaciones de la fluidoestatica en la pared vertical del vertedero(aguas abajo), se pide:

1o) Calcular la fuerza que ejerce el agua sobre la cara verticalaguas abajo del vertedero.

2o) Suponiendo que se desprecian las fuerzas de friccion entre el fluido y la pared horizontal y que lavelocidad del fluido aguas abajo es v0, calcular (usando la conservacion de cantidad de movimiento)la altura h aguas abajo.

2 UVa - Dpto. I.E.F. - Mecanica de Fluidos


Aplicacion: a = 2 m ; v0 = 3 m/s.

Solucion:

1o) F1 = ρga2

2 ; F1 = 19600N/m

2o) h =−v2

0±√

v40+g2a2

g ; h = 1,2824m

Problema 2.6

Se trata de relacionar la fuerza F que ejerce una corriente

A

B

D

C

u

u

u1

u

d

uniforme sobre un obstaculo bidimensional con el defectode velocidad o sombra que se produce en la parte posteriordel mismo. En la figura se representa un modelo simple dela configuracion del campo fluido, aunque desde luego nocorresponde a una corriente real. Suponer que el ancho dela estela es δ y que en ella la velocidad es u1 = u − ∆u.Tomar un volumen de control ABCD, suficientemente ale-jado del cuerpo para que en primera aproximacion en todala superficie del volumen la presion sea la ambiente pa y lavelocidad sea aproximadamente u, excepto en la estela. BC a AD son lıneas de corriente.

Calcular:

1o) La diferencia entre CD y AB.

2o) Calcular la fuerza F por unidad de ancho sobre el obstaculo como funcion de δ, u, ρ e ∆u. Hacer la

aplicacion a δ = 1m, u = 5m/s, ρ = 1, 25 kg/m3e ∆u = 0, 5m/s.

3o) Aguas abajo la estela se ensancha, en un sitio donde el ancho sea 2δ calcular lo que valdrıa u1.Despreciar las fuerzas masicas.

Solucion:

1o) CD −AB = 0,1m

2o) F ′x = 2,81N/m

3o) u1 = 4,764m/s

Problema 2.7

Se tiene un tubo como el de la figura de seccion constante y por el

Ta pa

vE=u1

vs=u2

pE=2pa Ta

x

y

que circula un gas. En la seccion de entrada del tubo la presion es dosveces la atmosferica y en la salida la atmosferica, que es tambien laambiente. Se supone que el gas se mantiene en el tubo a la temperaturaambiente Ta, que es por tanto la temperatura a la entrada y la salida.El gas es perfecto y calorıficamente perfecto. Tomando como datos latemperatura ambiente pa, la velocidad del gas a la entrada u1, y lasconstantes del gas Rg y γ, calcular:

1o) la velocidad en la salida u2,

2o) el calor que recibe el gas a traves de las paredes del tubo por unidad de tiempo y

3o) la fuerza sobre el tubo en magnitud y direccion.

Suponer propiedades constantes en las secciones de entrada y salida del tubo. Despreciar las fuerzasmasicas. Despreciar los esfuerzos viscosos y la conduccion de calor en las secciones de entrada y salida.No hay adicion de calor al gas por radiacion ni por reaccion quımica.

Solucion:

1o) vs = 2ve



2o) Q =3paAv3eRaTa

3o) F =(1 +

2v2e

RgTa

)paAi+

4v2e

RgTapaAj

Problema 2.8

Una corriente bidimensional, gaseosa, uniforme, de presion, densidad,

L

Fx

F

p1 1

v1=v1 i

r

p2 2

v2

r

a

y

xi

j

T1

2T

ytemperatura y velocidad p1, ρ1, T1 y v1 = v1i respectivamente, incidesobre una cascada de alabes fija que distan entre sı una distancia Ly sobre los que ejerce en cada uno de ellos una fuerza por unidadde profundidad: F = Fxi + Fy j. Se pide escribir las ecuaciones quepermiten calcular las condiciones de la corriente aguas abajo de lacascada p2, ρ2, T2 y v2, cuando dicha corriente se ha uniformizado.Suponer el gas caloricamente perfecto, condiciones estacionarias y losalabes aislados termicamente.

Solucion:

p2 = p1 + ρ1v21 −

Fy

L tanα − Fx

L ; ρ2 =ρ21v

21L tanαFy

; v2 =Fy

ρ1v1L senα

; T2 = T1 +1

2Cp

(v21 − v22

)

Problema 2.9

Un piston, como el indicado en la figura, se mueve con una velo-v1

v2A2

A1

L

cidad v1, variable con el tiempo con aceleracion constante: v1 =v10+at y empuja a un lıquido que descarga a traves de una tuberıahorizontal de area A2 y longitud L. Siendo A1 el area del piston,se pide:

1o) Calcular la velocidad del fluido v2, supuesta uniforme, en latuberıa.

2o) Aplicando la ecuacion integral de cantidad de movimiento, proyectada en direccion horizontal, alsistema anterior, calcular la fuerza horizontal que ejerce el fluido en cada instante sobre el sistema.Considerar los casos: a = 0 y a = 0.

Suponer que el unico tramo donde hay velocidad horizontal es el tubo y que la presion exterior es constantee igual a la atmosferica.

Aplicacion numerica: v10 = 10 cm/s; A1 = 100 cm2; A2 = 10 cm2; a = 1 cm/s2; L = 1m; t = 0;

ρ = 1000 kg/m3.

Solucion:

1o) v2 = (v10 + at) A1

A2; v2 = 1m/s

2o) F = −ρ[A1aL+

A21

A2(v10 + at)

2]

; F (a = 0) = −1N ; F (a = 0) = −1,01N



Problema 2.10

Se tiene una placa plana sobre la que incide un chorro con velocidad v0 y

Fxv0

A

area transversal A. La placa deflecta simetricamente la corriente en 90o. Sedesprecian las fuerzas viscosas y gravitatorias y se supone que en los bordesexteriores de chorro y placa actua la presion ambiente. Se pide:

1o) Calcular la fuerza Fx sobre la placa.

2o) Hacer lo mismo si la placa se aleja del chorro con velocidad v1 constante.Se sugiere tomar un volumen de control y un sistema de referencia quese muevan con v1.

Suponer ahora que la placa se mueve con velocidad v1 de-

A

v0

v1= R

w

R

v1

x w

bido a que esta sujeta en la periferia de una rueda que giramovida por el chorro anterior, como muestra la figura. Algirar la rueda desaparece una placa del campo de acciondel chorro y entra una nueva a ocupar su lugar. Se sugieretomar un volumen de control fijo respecto a tierra. El fluidoentra en el mismo con velocidad v0 segun el eje x y sale, enmedia, con velocidad nula relativa a la placa en direccionx. La situacion de la figura se considera representativa detodas las posibles posiciones de las palas. Despreciar la va-riacion temporal de cantidad de movimiento en el volumende control.

3o) Calcular Fx y la potencia que producirıa esta turbina suponiendo que la fuerza actua a una distanciaR del eje y que v1 = ωR, siendo ω la velocidad de giro.Hacer la aplicacion a: v0 = 10m/s, A = 60 cm2, v1 = 5m/s, R = 1m y ρ = 1000 kg/m

3.

4o) Calcular el valor de v1 que darıa maxima potencia en el apartado 3o, manteniendo constantes losotros parametros.

Solucion:

1o) Fx = ρAv20

2o) Fx = ρA (v0 − v1)2

3o) Fx = ρAv0 (v0 − v1) = 300N ; W = Fxv1 = 1500W

4o) v1 = v0/2 = 5m/s

Problema 2.11

El deposito indicado en la figura se encuentra aislado de la tuberıa por una

V

1

T1

v

h

m

e

e

valvula V , conteniendo inicialmente una masa de gas m1 a una temperaturaT1. En estas condiciones el gas que circula por la tuberıa posee una entalpıahe, esta animado de una velocidad ve y su calor especıfico es cv, siendo lamasa del mismo gas que el contenido inicialmente en el deposito. En uncierto instante se abre la valvula, suponiendo que durante todo el proceso lapresion en el deposito es menor que la presion en la tuberıa. Se pide calcularen funcion de los datos el aumento de la temperatura del gas del depositocuando el valor de la masa contenida en el mismo haya ascendido a m2 .Suponer proceso adiabatico, fuerzas masicas despreciables y gas ideal.

Aplicacion: Supongase inicialmente vacıo el deposito, velocidad del flujo nula y exponente adiabatico γconocido. Calcular el aumento de temperatura.

Solucion:

T2 =m1

m2T1 +

m2 −m1

m2

1

cv

(he +

1

2v2e

). Para ve = 0 y m1 = 0 ⇒ T2 =

he

cv= γTe



Problema 2.12

Se tiene una cinta transportadora que se mueve con una veloci-

h

L

E S

v

dad v y arrastra un fluido en la forma indicada en la figura. Laplaca inferior es fija y entre medias el fluido tiene una distribu-cion lineal de velocidad vx = v y/h. La longitud de la placa esL y el ancho B. Se pide:

1o) Caudal que circula entre las dos placas.

2o) Si la viscosidad del fluido es µ, calcular las fuerzas por unidad de superficie y total que hay que hacerpara mover la placa superior.

3o) Potencia que se consume en mover la placa superior.

4o) Suponiendo que las presiones a la entrada y salida son iguales y que el sistema esta aislado termi-camente, calcular, mediante la aplicacion de la ecuacion de la energıa, el incremento de temperaturadel fluido entre la entrada y la salida. Siendo c el calor especıfico y ρ la densidad.

5o) Obtener de forma alternativa el resultado anterior calculando, a partir de la distribucion de veloci-dades, la disipacion viscosa por unidad de volumen y total.

Aplicacion numerica:

v = 1m/s, h = 0,1mm, L = 20 cm, B = 10 cm, µ = 1poise, c = 1 cal/goC, ρ = 0,9 g/cm3.

Solucion:

1o) Q = 5 cm3/s

2o) τ = 1000N/m2 ; F = 20N

3o) W = 20W

4o) ∆T = 1,063oC

5o) Φ = µ v2

h BL = 20W

Problema 2.13

Se tiene un tubo de seccion constante como el de la

AA/2 v1, T1, 1

v2, T2, 2

v3

T3

3

pe p3

r

r

r

figura, por cuya parte central se inyecta un lıquidode densidad ρ1 = 2ρ2, siendo la ρ2 la densidad delotro lıquido que circula por el resto de la secciondel tubo. El fluido en la seccion 1 tiene una veloci-dad v1 = 3v2, siendo v2 la velocidad en la seccion2. La seccion de salida del fluido 1 es la mitad dela total del tubo, y por tanto igual a la seccion 2.Aguas abajo, en una seccion 3, se mezclan los dos fluidos con una velocidad v3 y densidad ρ3, ambasuniformes. Se pide:

1o) Suponiendo v3 = 2v2, calcular la densidad ρ3 aguas abajo.

2o) Calcular la diferencia de presiones (p3 − pe) mediante la aplicacion de la ecuacion de conservacionde cantidad de movimiento. Suponer despreciables la fuerza del tubo sobre el fluido y las fuerzasmasicas. Suponer que en la entrada la presion es uniforme p2 = p1 = pe.

3o) Calcular la temperatura a la salida T3, suponiendo conocidos, ademas de los datos anteriores, lastemperaturas a la entrada T1 y T2.

Datos: ρ1 = 1000 kg/m3 , v2 = 10m/s , A = 1, 5 dm2 , pe = 1atm , T1 = 15 oC , T2 = 20 oC yc = 1 cal/g oC para los dos lıquidos.

Solucion:

1o)ρ3 = 74ρ2 = 875 kg/m

3

2o)p3 − pe = 5ρ2v22

2 = 125000 N/m2



3o) T3 = 17T2 +

67T1 +

2714

v22

c = 15, 72 oC

Problema 2.14

Se tiene un chorro de aire de seccion circular como el indicado

2R2R0

T

x

u0

T0

u

T

L

J

ooen la figura cuyo radio crece a medida que nos movemos aguasabajo debido al arrastre de fluido exterior por parte del chorro.La ley de variacion del radio es: R = 0,1x + R0 donde x es ladistancia a la seccion inicial cuyo radio es R0. La aproximacionque se va a usar para resolver el problema consiste en suponerque dentro del chorro las propiedades fluidas son uniformes encada seccion y solo dependen de x. En la seccion inicial, el valorde la velocidad segun el eje x es u0 y el de la temperatura T0.

El fluido exterior, en el que se produce la descarga, es el mismoque el del chorro y se supone que lejos del mismo esta en reposoy con una temperatura T∞.

Se suponen despreciables las fuerzas masicas y que el fluido es incompresible de densidad ρ y calorespecıfico c. Suponer que a lo largo de la trayectoria del chorro no hay ningun elemento que ejerzafuerza sobre el fluido, que el fluido arrastrado entra radialmente en el chorro y que la presion en primeraaproximacion es uniforme y constante. Se pide:

1o) Velocidad u del fluido en una seccion J situada a una distancia x = L de la seccion de salida.

2o) Gasto de fluido exterior arrastrado por el chorro hasta la seccion J .

3o) Temperatura del fluido T en dicha seccion J .

Aplicacion: u0 = 50m/s, R0 = 10 cm , T0 = 320K, T∞ = 288K, c = 1004 J/kgK, ρ = 1,25 kg/m3,L = 20m.

Solucion:

1o) u = 2,38m/s

2o) G = 39,25 kg/s

3o) T = 289,5K

Problema 2.15

Un alabe en reposo deflecta 60 un chorro de agua de 50mm de diametro.

60ºg

D=50mm

A causa de la friccion en la superficie del alabe, el agua que abandona elalabe ha perdido el 15% de su energıa cinetica original. Calcular el caudalde agua necesario para producir una fuerza hidrodinamica de 2000Nsobre el alabe.

Solucion:

Q = 0,0638m3/s



Problema 2.16

Un turborreactor aspira 70 kg/s de aire y consume 4,5 kg/s de combustible. Los gases de combustionabandonan la tobera del motor a presion ambiente y a una velocidad respecto al motor de 1400m/s.Calcular:

1o) Fuerza de empuje del motor cuando este se esta probando en el banco de ensayo de un laboratorio.

2o) Fuerza de empuje cuando el motor se encuentra instalado en un avion que vuela a 250m/s.

Solucion:

1o) F = −104,300 kN

2o) F = −85,675N

Problema 2.17

Se tiene un deposito de grandes dimensiones como el in-

g

AS = 1 cm2

vS = 10 m/s

60º[1]

[2]

p=0,25 kg/cm2

H =

7,5

m

dicado en la figura donde la altura del agua es de 7,5m.En la parte superior hay una camara de aire a una pre-sion manometrica de 0,25 kg/cm

2. En la parte inferior hay

un orificio de 1 cm2 de area por el que sale agua con unavelocidad de vS = 10m/s.

Suponiendo que la variacion de nivel del agua es lo suficien-temente pequena como para que la presion en el fondo deldeposito se pueda suponer constante, calcular:

1o) la fuerza que el chorro que sale del deposito ejerce sobreeste y

2o) la potencia perdida por disipacion viscosa al atravesar el agua el orificio de salida del deposito y elincremento de temperatura que sufrirıa esta.

El chorro que sale del deposito incide sobre un deflector en reposo como el indicado en la figura. Losefectos viscosos se suponen despreciables en la seccion de entrada [1] y de salida [2] del deflector, pero noen el flujo intermedio donde son importantes. Debido a la disipacion viscosa entre la entrada y salida deldeflector hay un incremento en la temperatura del agua de una milesima de grado centıgrado.

3o) Despreciando las variaciones de energıa potencial y por tanto las fuerzas masicas, calcular la velocidaden la seccion de salida [2] del deflector.

4o) Calcular las componentes de la fuerza sobre el deflector, suponiendo que en la parte exterior delchorro en contacto con el aire la presion es la ambiente.

Solucion:

1o) Fx = −10N

2o) Φv = 46W; ∆T = 0,0115 oC

3o) a) v2 = 9,57m/s

b) Fx = 5,22 kN ; Fy = −8,28 kN



Problema 2.18

La tuberıa de la figura descarga a traves de una tobera, in-

Tobera

Compuerta

h3

h2

h1

1

2

3

pa

g

v2

45º

v3

clinada 45 respecto a la horizontal, un chorro de agua conuna velocidad de 25m/s. El diametro de entrada a la tobera esde 20 cm y el de salida de 10 cm. El manometro colocado a laentrada de la tobera indica una pe = 6kg/cm

2.

El chorro de agua alimenta un canal de 0,12 m de anchuradonde se establece un flujo estacionario controlado aguas abajopor una compuerta. La profundidad del agua en el canal aguasarriba de la compuerta es h2 = 3,5m y aguas abajo h3 =0,3m. Considerar despreciable el rozamiento del agua con lasparedes del canal, que en las secciones 1, 2 y 3 la distribucionde presiones es la correspondiente a la hidrostatica, que las velocidades v2 y v3 son uniformes y que elchorro entra en contacto con la superficie libre con la misma velocidad, direccion y tamano que sale dela tobera. Calcular:

1o) Fuerza ejercida sobre la compuerta.

2o) Valor de h1.

3o) Fuerza total sobre la tobera.

4o) Potencia disipada en la tobera y en la compuerta.

Solucion:

1o) F = 6171,76N

2o) h1 = 2,55m

3o) F = 14791,0N

4o) ΦTob = 88,727 kW ; ΦComp = 3,263 kW

Problema 2.19

Un deposito de 0,1m3 de capacidad se conecta a una lınea de

Línea de alta presión

p=2000 kPa (abs)

T=20ºC

Depósito

V=0,1m3

Condiciones iniciales:

T=20ºC

p=100kPa (man)

alta presion. Tanto la lınea como el deposito se encuentran auna temperatura uniforme de 20 oC. La presion manometricainicial en el deposito es 100 kPa. La presion absoluta en la lıneaes de 2000 kPa y esta es lo suficientemente grande como paraque su temperatura y su presion se puedan suponer constan-tes. En el instante inmediatamente despues de que se abra lavalvula la temperatura del deposito (debido a la entrada de ai-re) aumenta con una rapidez de 0,05 oC/s. Se pide determinarel gasto instantaneo inicial de aire que entra en el deposito.

Suponer ademas: Transferencia de calor despreciable y deposito aislado termicamente. Velocidad delfluido pequena en la lınea y en el deposito. Fuerzas masicas despreciables. Flujo uniforme en la entradadel deposito. Gas perfecto (R = 287 , γ = 1,4). Propiedades uniformes en el deposito.

Solucion:

Gi = 0,1014 g/s



Problema 2.20

El tanque de grandes dimensiones de la figura de masaM se encuentrap0

A0

B

V0

patmen reposo. Este tanque contiene un volumen de agua V0 presurizado.En el instante t = 0 se abre la valvula B originandose un chorro deagua de area A0 y velocidad uniforme. Suponiendo: que la sobrepre-sion de la camara de aire p0 es suficientemente elevada de tal formaque la velocidad de salida del chorro es constante se puede considerar,que las fuerzas de resistencia a la rodadura son despreciables y quela masa de agua se encuentra en reposo respecto a las paredes deltanque, excepto en la tuberıa de salida; calcular:

1o) Velocidad de salida del agua.

2o) Variacion temporal de la velocidad del tanque u.

3o) Inclinacion de la superficie libre del agua.

Solucion:

1o) w2 =√2p0−patm

ρ + 2g(z1 − z2) ; con g(z1 − z2) ≪ p0−patm

ρ

2o) a =du

dt=

ρw22A0

M + ρ (V0 − w2A0t)

3o) θ = arctgg

a

Problema 2.21

El funcionamiento de una helice de barco puede idealizarse en la forma1

2 3

4

v1

v4

que se indica en la figura. El agua que atraviesa la helice esta separada delresto por una superficie de corriente axilsimetrica. Lejos de la helice aguasarriba, en la seccion 1 el agua sin perturbar tiene una velocidad v1 =3m/s y una presion de p1 = 1,2 atm. A medida que nos movemos aguasabajo el agua se acelera hasta que suficientemente lejos aguas abajo de lahelice, en la seccion 4, la presion es de p4 = 1,2 atm y la velocidad es v4 =9m/s, superior a la del fluido sin perturbar. Suponer: funcionamiento dela helice estacionario, nula la resultante de las fuerzas de presion sobre elvolumen de control y despreciables las fuerzas viscosas y las de gravedad.Se pide:

1o) Sabiendo que A1 = 3m2, calcular el area de salida A4.

2o) Calcular la fuerza del agua sobre la helice indicando su sentido.

3o) Calcular la energıa comunicada por la helice al fluido.

4o) Determinar el incremento de presion entre las secciones 2 inmediatamente anterior y 3 posterior a lahelice y el diametro de la misma.

Solucion:

1o) A4 = 1m2

2o) Fx = −54000N

3o) W = 324 kW

4o) ∆p = 36000N/m2, D = 1,38m



Problema 2.22

Por un canal de 3 m de anchura circula un caudal

6cm

9 cm

9 cm

g

B

1

2

A

de agua Q. La profundidad de la corriente en laseccion 1 es de 9 cm. Aguas abajo de esta seccionel fondo del canal se eleva 6 cm tal como se indicaen la figura y la superficie libre del agua se eleva en9 cm. Suponiendo que la velocidad de la corrientees uniforme en las secciones 1 y 2, y despreciandolos efectos viscosos, calcular:

1o) Caudal de agua Q.

2o) Fuerza horizontal del agua sobre el elemento AB del fondo del canal

3o) Repetir el apartado anterior, sin despreciar la viscosidad y sabiendo que las perdidas de energıamecanica por friccion con el fondo del canal entre las secciones 1 y 2 son un 20% de la energıa en 1.

Solucion:

1o) Q = 0,5m3/s

2o) Fx = 180,2N

3o) Fx = 156,22N

Problema 2.23

La figura muestra un conducto donde se mezclan

A1 = 0,5 m2

v1 = 100 m/s

1 = 2 bar p

T1 = 10 ºC

A2 = 0,5 m2

v2 = 100 m/s

2 = 3 bar

T2 = 20 ºC

A3

v3

3

T3

A4

v4

4

T4

p

p p

dos corrientes de aire. La corriente superior (1)tiene una velocidad v1 = 100m/s, una tempe-ratura T1 = 10oC, una presion manometrica dep1 = 2bar y un area A1 = 0,5m2; la corrienteinferior (2) tiene una v2 = 100m/s, una tempe-ratura T2 = 20oC, una presion manometrica dep2 = 3bar y un area A2 = 0,5m2. Calcular lapresion p3.

Sabiendo que la presion en una seccion 4, muyaguas abajo (L34 ≫ L13), p4 = 1,5 bar y que latemperatura T3 = T4, calcular la fuerza F del tubo sobre el fluido en el tramo 3-4 y el calor que hay quecomunicar o extraer del fluido en ese tramo de tubo.

Solucion:

1o) p3 = 253461Pa

2o) F = −84441,5N

3o) Q = 2,039× 106 W



Problema 2.24

El tanque mostrado en la figura tiene un area transversal cua-

V0 H

D1D1 D2

B1 B2

p0

L

a

drada de lado L = 1m, y una altura H = 12m, con sus pa-redes frontales inclinadas un angulo α = 60. La masa de tan-que excluido el peso de agua en el contenida es M = 300 kg.Cuando inicialmente se encuentra en reposo, el volumen deagua v0 = 10m3 se encuentra sometido a una presion absolutap0 = 10bares. En el instante t = 0 se abren las valvulas B1 yB2, originandose dos chorros de agua de velocidad uniforme ydiametros D1 = 10 cm y D2 = 5 cm respectivamente.

Suponiendo que la sobrepresion de la camara de aire p0 es losuficientemente elevada como para considerar que el flujo de los chorros se mantiene constante, que lasfuerzas de resistencia a la rodadura son despreciables y que la masa de agua se encuentra en reposorespecto a las paredes del tanque, excepto en las tuberıas de salida; calcular:

1o) La velocidad con que se mueve el tanque para el instante de tiempo t = 15 s.

2o) Fuerzas de superficie y punto de aplicacion que se ejercen sobre las paredes frontales en el mismoinstante de tiempo.

3o) Si se supone que el tanque se ve afectado por un coeficiente de arrastre aerodinamico CD y que lascondiciones de presion y temperatura en el exterior son las ambientales, plantear cual serıa la ecuacionque rige la variacion de la velocidad del tanque en este caso.

Solucion:

1o) u = 23,74m/s

2o) F1 = 12,55× 106 N, x1 = 6,95mF2 = 12,54× 106 N, x2 = 6,95m

3o)du

dt=

ρw21π4

(D2

1 −D22

)− CD

12ρaireuHL

H + ρ[v0 − w1

π4 (D2

1 +D22) t] con w1 =

√2(p0−pa)

ρ

Problema 2.25 *

El dispositivo de forma troncoconica y altura L de la figura posee una paredve, pe

T

L

R1

R0

R2

vs,patm

w

lateral con un coeficiente de porosidad ε. La finalidad del sistema es distribuiragua de la forma mas uniforme posible, para lo cual el cuerpo esta girando conuna velocidad angular ω consecuencia de un par torsor de accionamiento T , quees suministrado por un motor. Se sabe que el fluido que abandona lateralmenteel cuerpo, lo hace con velocidad uniforme y normal a la pared respecto a unsistema de referencia solidario con el cuerpo.

Sobre la seccion superior del cuerpo troncoconico, de radio R1, esta localizadala tuberıa de alimentacion de radio R0. El fluido penetra por esa tuberıa conuna velocidad axial ve y una presion manometrica pe. La tuberıa de salida, deradio R0, esta localizada en la seccion inferior del cuerpo, la cual posee un radioR2. La velocidad axial del fluido a la salida es vs y se sabe que descarga a laatmosfera. Se pide:

1o) Determinar la velocidad angular con la que se mueve el sistema.

2o) Determinar las fuerzas de superficie ejercidas sobre la cara lateral del cuerpo.

3o) Evaluar las perdidas producidas en el sistema.

Datos: R1 = 18 cm ; ve = 10m/s ; pe = 0, 5 bares ; R2 = 6 cm ; vs = 4m/s ; L = 1m ; R0 = 3 cm ;T = 100Nm ; ε = 10%

Solucion:

1o) ω = 327,48 rad/s



2o) Fx = 860,61N

3o) Φ = 19045,41W

Problema 2.26

La aeronave de la figura tiene una masa de 3000 kg y se mantie-pa Ta3,3m

Mg

3,75m

4mpa

1

2

ne a una altura del suelo fija mediante dos propulsores identicosque funcionan de manera estacionaria. Se sabe que en la seccion2 la presion es igual a la atmosferica, que el rendimiento de lospropulsores es la unidad y que el calor intercambiado con el flui-do es despreciable. Las condiciones de presion y temperaturaambiente son pa = 1atm y Ta = 15C.

1o) Calcular para una altura dada, la velocidad de salida v2 yla potencia cedida al fluido.

2o) Repetir el apartado anterior cuando la aeronave asciendecon una velocidad de 50m/s.

Solucion:

1o) v2 = 93,03m/s,W = 752,640 kW

2o) w2 = 129,18m/s,W = 1,726MW

Problema 2.27

Un chorro de aire bidimensional descarga

E0 = 1 m

G0 = 10 kg/s

T0

TL = Ta

TL = 15 ºC

pa = 1 bar

Mg

5 m

p

v(z)

T(z)

Mg

L >> 1 m

verticalmente como muestra la figura en unaatmosfera en reposo donde las condicionesde presion y temperatura son pa = 1bar yTa = 15oC. El gasto masico descargado esde 10 kg/s · m. El chorro arrastra aire ex-terior y el espesor del mismo E, aumentalinealmente con la distancia vertical z demanera que: E = E0+Cz (m) donde E0 esigual a 1 m y C es una constante.

Se sabe que el gasto de aire arrastrado entrela seccion de salida (z = 0) y una distanciacualquiera z, es: GL = 2z (kg/s ·m)

Se supondra que en el chorro todas las pro-piedades son uniformes en cada seccion transversal y que solo dependen de la coordenada vertical z; queel aire entrante al chorro lo hace en direccion horizontal y que la presion en una seccion sin perturbar esigual a la atmosferica, pa = 1bar.

1o) En una primera situacion, la temperatura de salida del chorro es igual a la atmosferica, Ta = 288K.Calculese el peso de una placa P transversal al chorro y soportada por este.

2o) En otra situacion, la temperatura de salida del chorro T0 es el doble de Ta. En este caso se supondra,ademas, que la temperatura del aire arrastrado por el chorro TL es igual a Ta.

a) Demuestrese que se cumple: Cv [T (z)− Ta] ρ(z)v(z)A(z) = cte

b) Encuentrese la ley de variacion de la velocidad con la distancia a la salida v(z).

c) Calculese el peso maximo de una placa P situada a una distancia de 5 m de la seccion de salida,que podrıa soportar el chorro.

Solucion:

1o) P = 82,5N/m



2o) b) v(z) =R (G0T0 + 2zTa)

E0 + czdonde c =

−v0G0 + v(z) (G0 + 2z)− pagRgTa

G0

2 ln z+G0

G0

pagRgTa

(G0z2 − G2

0

2 ln z+G0

G0

)c) Pmax = 206,22N/m

Problema 2.28

Un deposito prismatico de base cuadrada de lado L = 1m con-

H=1m

a

V

h

tiene un lıquido de elevada viscosidad y de densidad 1100 kg/m3.

La pared derecha del deposito es una compuerta articulada en suarista inferior que se mantiene en equilibrio por la accion de unchorro circular horizontal de agua, ver figura. Se pide:

1o) Suponiendo el deposito fijo al suelo y que el nivel del lıquidoen el mismo es de H = 1m, calcular a que altura h del suelotendrıa que incidir un chorro de diametro d = 15 cm y veloci-dad v = 20m/s, para que el angulo de equilibrio sea α = 15.

2o) Suponiendo que el deposito puede deslizar sin friccion sobre la superficie del suelo, que su masa esde 1200 kg y que contiene en su interior 1m3 de lıquido, calcular cual tendrıa que ser la velocidad deun chorro de agua, de diametro d = 15 cm y h = 0,9m, para que en el instante en el que el depositoalcance una velocidad de u = 2m/s la compuerta estuviera en equilibrio vertical (α = 0). Suponerque la masa del agua procedente del chorro en la zona proxima a la compuerta es despreciable frentea la del deposito.

Solucion:

1o) h = 0,2723m

2o) v = 13,45m/s

Problema 2.29

Por un canal de anchura b = 0,5m circula un flujo de agua estacionarioA

1

2

controlado por una compuerta A situada aguas abajo, tal como seindica en la figura. La profundidad del agua en el canal es h1 = 4maguas arriba de la compuerta y h2 = 2m aguas abajo. El numerode Froude, Fr = v√

gh, en la seccion 1 es 0,3. Suponiendo que las

distribuciones de velocidad en las secciones 1 y 2 son uniformes yque el rozamiento del agua con las paredes del canal es despreciable,calcular:

1o) La velocidad v2 en la seccion 2.

2o) La fuerza ejercida sobre la compuerta.

3o) Incremento de temperatura del agua al atravesar la compuerta.

Ahora la compuerta se desplaza a contracorriente a una velocidad v = 2m/s. Suponiendo que se mantienenlas condiciones anteriores, calcular la fuerza ejercida sobre la compuerta

4o) Utilizando un sistema de referencia solidario a la compuerta.

5o) Utilizando un sistema de referencia solidario al canal.

Solucion:

1o) v2 = 3,8m/s

2o) Fx = 22780N

3o) T2 − T1 = 0,0035oC



4o) Fx = 420N

Problema 2.30

Un cohete de area A = 1m2, de masa M = 100 kg esta inicialmente lleno de

A2 = 1 m2

v2 = 400 m/s

T2 = 600 K

2 = 2 bar

a = 1 bar

p

p

ml0

= 1

00

kg

mc0

= 1

00

kg

M = 100 kg

mc(0) = 100 kg de combustible y ml(0) = 100 kg de oxıgeno lıquido. Cuando seproduce la combustion sale por la parte inferior gas a v2 = 400m/s, T2 = 600Ky p2 = 2bar. Inicialmente el cohete se encuentra sujeto por medio de apoyos auna base. Determinar:

1o) La fuerza ejercida inicialmente sobre los apoyos.

2o) En ese momento se sueltan los apoyos y el cohete comienza a elevarse.Determinar la evolucion de la velocidad y la aceleracion del cohete con eltiempo, suponiendo que las fuerzas aerodinamicas son despreciables.

3o) ¿Cual serıa la ecuacion diferencial que permite obtener la aceleracion si setiene un coeficiente aerodinamico de arrastre CD = 0,6?

Hipotesis: Suponer que el consumo de combustible y de oxıgeno lıquido se produce a la misma tasa y quela composicion de los gases de escape se puede considerar igual que la del aire.

Solucion:

1o) F = 282,980 kN

2o) u(t) = −615,25 ln

(t− 0,64575

615,25

)− gt ; a(t) =

615,25

0,64575− t− g

3o) a(t) =v2G2 + (p2 − pa)A2 − 1

2CDρA2u(t)2

MT (0)−G2 t

Problema 2.31 *

El sistema de la figura esta compuesto por

y

yA

D

Posición A

Muelle

Apoyo

Apoyo

B

x

Sección: AB

X

z

D

D

a

y

b

bR

Posición B

D

Q

yuna tuberıa en forma de T de masa m condos apoyos solidarios. Los dos ramales su-periores estan inclinados un angulo α res-pecto a la horizontal, ademas, sus salidasestan curvadas un angulo β (ver seccionAB). Tanto la tuberıa principal como losdos ramales tienen un diametro D. Cuandono circula caudal, el sistema permanece enreposo (posicion A), con el muelle, de cons-tante K, en posicion de equilibrio. A medi-da que aumenta el caudal Q que circula porla tuberıa inferior, sucede que se ejerce unempuje vertical creciente que, una vez ven-cido el peso de la tuberıa, comprime el mue-lle elevando el conjunto (Fmuelle = K ·∆y).Ademas los dos chorros de salida provocanun par creciente que, una vez vencido el parresistente constante M0 debido a los rozamientos, hace que el sistema empiece a girar entrono al eje y(posicion B). Se pide:

1o) Calcular el grado de elevacion ∆y en funcion del caudal Q que circula por la tuberıa inferior.

2o) Calcular la expresion de la velocidad de giro ω en funcion del caudal Q que circula por la tuberıainferior recordando que, debido a los rozamientos existe un par resistente constante M0.



3o) Siendo m = 50 kg, k = 3000N/m, α = 15o, b = 30o, R = 0,5m, D = 2 × 10−2 m y M0 = 200Nmcalcular:

a) El caudal Q1 para el cual el sistema comienza a elevarse.

b) El caudal Q2 para el cual el sistema comienza a girar.

c) La altura alcanzada y la velocidad de giro para un caudal Q3 = 15 l/s.

Solucion:

1o) ∆y =

0 si Q ≤ Q0

1

k

[ρ

Q2

πd2/4

(1 +

1

2senα

)−mg

]si Q > Q0

; siendo Q0 =

√mgπd2/4

ρ(1 + 1

2 senα)

2o) ω =

0 si Q ≤ Q′

0

1

R

[2Q

πd2cosα senβ − M0

ρRQ

]si Q > Q′

0

; siendo Q′0 =

√πd2M0

2ρRcosα senβ

3o) a) Q1 = 11,674 l/s b) Q2 = 22,8 l/s c) ∆y = 0,106m , w = 0 rad/s

Problema 2.32

Desde un deposito cuyo nivel permanece constante se conduce

Tubería de

alimentaciónInyector

DEPÓSITO

entr

ada

al

inyec

tor

sali

da

del

iny

ecto

r

H

r1 r2

u2

Pernos de

sujecciónAguja del

inyector

DETALLE DEL INYECTOR

agua a un inyector a traves de una tuberıa de alimentacioncon una altura geometrica de H = 2m. Se sabe que el radioa la entrada del inyector es r1 = 100mm y a la salida es r2 =50mm, que en la salida la presion es la atmosferica y el perfilde velocidades a la salida del inyector sigue una ley del tipo:

u2 = 2u0

(1− r2

r22

)Suponiendo las perdidas despreciables, se pide:

1o) Demostrar que u0 se corresponde con la velocidad mediade salida.

2o) Calcular la presion manometrica y la velocidad del agua ala entrada del inyector.

3o) Sabiendo que los pernos en conjunto soportan una fuerzaFP = 15N, calcular la fuerza que el fluido ejerce sobre laaguja del inyector.

Solucion:

2o) p1 = 19600−ρu2

0

32; v1 =

u0

4

3o) F = 650,35N



Problema 2.33

En un canal con perfiles de velocidad uniformes se ha

v1

v2

h1=1m

h2 h3=3m

v=2m/s

Resalto

Barrera

móvilformado un resalto hidraulico que se caracteriza porser un proceso disipativo en el que se produce unaperdida de energıa mecanica. Tomando medidas en elmismo se ha comprobado que la altura h1 del aguaantes del resalto es de 1 metro, y que a consecuenciade la disipacion viscosa el agua a traves del resal-to sufre un incremento de temperatura de 0,001oC.Suponiendo que la presion en el lıquido es aproxima-damente la hidrostatica y que la friccion del fluidocon las paredes es despreciable, determinar:

1o) Caudal por unidad de longitud que circula por elcanal.

2o) Altura y velocidad del agua del canal en la seccion 2.

3o) Aguas abajo del resalto se coloca una barrera movil cuya funcion es la limpieza del canal. Esta barrerase mueve hacia aguas abajo a una velocidad de v = 2m/s. Determinar la fuerza necesaria para moverla barrera. Suponer que debido a la barrera la profundidad del agua aguas abajo es h3 = 3m.

Problema 2.34

Por el conducto bidimensional de la figura de altura H = 0,1m cir-

v1

v2

H

cula aire. La velocidad, presion y densidad del fluido en la seccion1 son uniformes: v1 = 30m/s, p1 = 1,3 atm y ρ1 = 1,573 kg/m

3.

En el conducto se ha colocado un cuerpo que obstaculiza el pasodel fluido y origina en la seccion 2 un perfil de velocidad de formatriangular con velocidad nula en el centro y velocidad maxima v2en las proximidades de las paredes del conducto. En esta seccion2, la presion y la densidad son uniformes con valores: p2 = 1atm y ρ2 = 1,21 kg/m

3respectivamente.

Suponiendo regimen estacionario y que las fuerzas viscosas son despreciables frente a las de presion.Calcular:

1o) Valor de la velocidad v2

2o) Fuerza ejercida sobre el cuerpo por unidad de anchura.

3o) Calor que es necesario intercambiar con el fluido, justificando si se extrae o se aporta.

4o) Plantear las ecuaciones que permitirıan resolver los apartados 2 y 3 en el caso de no despreciar lasfuerzas viscosas.

Solucion:

1o) v2 = 78m/s

2o) F = 3108,8N/m

3o) Q = 5054W/m



Problema 2.35

Un cuerpo con forma de cuarto de toro con centro en

20 cm10 cm

30º

BA

0 u

Q

40 cm

30 cm

A y de seccion transversal cuadrada esta sumergido enuna solucion salina en la que la densidad varıa lineal-mente desde ρ = 1gr/cm

3en la superficie libre hasta

ρ = 1,1 gr/cm3a 50 cm de profundidad. Dicha solucion

ejerce una fuerza hidrostatica sobre las caras del cuerpoproduciendo un momento total sobre el punto A. Dichomomento se equilibra con el producido por la fuerza deun chorro que golpea sobre un deflector como indica lafigura. La manguera por la que sale el chorro se muevehacia la placa con una velocidad u = 1m/s. Cuando el deposito esta vacıo y no existe chorro todo elsistema mecanico esta en equilibrio.

1o) Calcular el momento respecto de A producido por el lıquido del deposito sobre el cuerpo.

2o) Debido a la disipacion viscosa en el deflector, entre la entrada y la salida de este, se pierde un 5% dela energıa cinetica de entrada. Calcular el caudal de agua que sale por la manguera para que equilibreel momento del apartado anterior. La manguera tiene una seccion de 50 cm2. Suponer que la fuerzadel chorro se aplica en el punto B.

Solucion:

1o) M = 5,3Nm (Sentido horario)

2o) Q = 6,68 l/s

Problema 2.36

Un deposito de anchura 1m tiene en su lado izquierdo

h0=5mh=3m

A = 400 cm2

q = 30ºA

B

h1 = 2 m

una pared que bascula sin rozamiento respecto del puntoA. Para mantenerla con un angulo de inclinacion θ = 30o

respecto de la horizontal, se emplea un chorro de aguasituado a una altura h = 3m, el cual se deflecta en ladireccion de la pared.

Determinar:

1o) La velocidad del chorro si el nivel de agua en eldeposito es h0 = 5m.

2o) Fuerza aplicada en el punto B.

Solucion:

1o) v = 82,49m/s

2o) FB = 36470,86N



Problema 2.37

Una piscina de agua salada tiene un fondo rectangular de 20 × 10m y

4,5m

20m

4m

una profundidad de 4,5m. Esta llena de agua hasta los 4m. Sabiendoque la densidad del agua salada varıa linealmente desde 1000 kg/m

3en

la superficie libre hasta 1004 kg/m3en el fondo de la piscina. Se pide:

1o) Hallar la fuerza que actua sobre la pared frontal sumergida de 10mde ancho.

2o) Calcular la variacion del nivel de la piscina suponiendo que llueve verticalmente, que las gotas caen con

una velocidad de 0,5m/s, son esferas de diametro 2mm y que su concentracion es de 45000 gotas/m3.

3o) Calcular la fuerza que la lluvia ejerce sobre la superficie de la piscina.

Solucion:

1o) F = 785045, 33N

2o) h = 4 + 9,4× 10−5 · t3o) F = −9,425N

Problema 2.38

Un chorro de agua bidimensional simetrico incide

yu0

pa

y'x'

h0

x

h

u0

u0

L

a

p

L

02

'ysenu) ='y(u

d

d

sobre una cuna de angulo 2α. Aguas arriba el cho-rro tiene una velocidad u0 y un espesor h0. El cho-rro al incidir sobre la cuna se divide en dos partesiguales. Aguas abajo, cuando el fluido abandona lacuna, se consideran dos situaciones. Una en la queson despreciables los efectos viscosos y por tantola velocidad a la salida es uniforme. Otra en la quecomo resultado de la friccion en la pared apareceuna distribucion de velocidad como la dada en lafigura.

1o) Calcular el espesora) h supuesto flujo no viscoso

b) δL supuesto flujo viscoso

2o) Determinar la fuerza por unidad de profundidad ejercida sobre la cuna para los casos de:

a) flujo no viscoso

b) flujo viscoso

3o) Calcular la diferencia entre las fuerzas calculadas en 2a) y 2b) para α = π/2.

4o) Resolver de nuevo el apartado 2o cuando la cuna se mueve hacia la izquierda con velocidad v.

Datos: u0, h0, α, ρ

Solucion:

1o) a) h = h0

2

b) δL = πh0

4

2o) a) Fx = ρu20h0 (1− cosα)

b) Fx = ρu20h0

(1− π

4 cosα)

3o) No hay diferencias

4o) a) Fx = ρ (u0 + v)2h0 (1− cosα) ;h = h0

2

b) Fx = ρ (u0 + v)2h0

(1− π

4 cosα); δL = πh0

4



Problema 2.39

La bomba que alimenta una fuente esta instalada en un contenedor

Contenedor G

Bomba Agua

70º70º

8m

impermeable G. Dicha bomba alimenta cuatro tuberıas de las cualessalen chorros de agua. La parte superior del contenedor se encuentraabierta. El nivel de agua en la fuente es constante. Si el diametrointerno de cada una de las cuatro tuberıas es 75mm, ¿Cual es la fuerzavertical total ejercida sobre los soportes del contenedor? Suponiendoflujo ideal en el interior de las tuberıas, ¿Cual es la potencia consumidapor la bomba si el rendimiento global es del 90%?

Solucion:

1o) Ftotal = −2603,77N

2o) W = 19,2 kW

Problema 2.40

Un cohete es impulsado mediante un chorro de gases calientes resul-

Cámara de

combustión

Depósito de

oxígeno

líquido

Depósito de

combustible

Asps, Ts

g

Z

utado de la combustion. Se sabe que por la tobera de salida de 150 cm2

salen los gases, de composicion similar al aire, a una velocidad de500m/s con una temperatura de 850K y una presion absoluta de1,83× 105 Pa.

1o) Sabiendo que la masa inicial del cohete es de 100 kg, asumiendoque la presion atmosferica no varıa con la altura, que el consumode combustible se conserva constante y que la fuerza de arrastreaerodinamico es despreciable, determinar la velocidad de ascensodel cohete transcurridos 5 segundos de su lanzamiento.

2o) Sabiendo que los gases quemados son resultado de la combustionde un combustible de potencia calorıfica 3,5MJ/kg y de oxıgenolıquido, los cuales penetran en la camara de combustion a unatemperatura de 288K y que el gasto de combustible es 1/3 delgasto de oxıgeno lıquido, determinar el flujo de calor que se disipaa traves de las paredes de la camara de combustion.

Datos:

Calor especıfico del combustible lıquido a 288K: cs = 1kJ/kgK.

Calor especıfico del oxıgeno lıquido a 288K: cox = 2kJ/kgK.

Calores especıficos del aire a 850K: cp = 1,181 kJ/kgK y cv = 0,894 kJ/kgK.

Solucion:

1o) u = 188m/s

2o) Q = G[cpTs +

w2s

2 − Hc

4 − cc+3cox4 T

]



Problema 2.41

Por un conducto de diametro D = 10 cm por el

p0

v1 v2

R1

D=2R

1

A 1 A2

p0

R2

W

Agua

Gas

2que circula agua. Todo el conjunto gira con unavelocidad angular Ω = 100 rad/s. En el centrodel conducto hay un nucleo gaseoso con presionp0. En una seccion del tubo hay una transicion,en la que se contrae el nucleo gaseoso, de maneraque aguas arriba de la misma, en la region 1, estetiene un radio R1 = 2 cm, y aguas abajo, en laregion 2, R2 = 1 cm. Se pide:

1o) Calcular la distribucion de presiones radial p(r), en las regiones 1 y 2 aplicando fluidoestatica. Indicarel sistema de referencia elegido para poder aplicar fluidoestatica.

2o) Calcular las resultantes de las fuerzas de presion en direccion axial en cada una de las dos seccionesA1 y A2, situadas en las regiones 1 y 2 respectivamente. En el nucleo gaseoso la presion se suponenula p0 = 0.

3o) Calcular las velocidades del fluido v1 y v2 en las regiones 1 y 2 respectivamente, supuestas uniforme.Despreciar la fuerza axial de rozamiento con la pared del tubo. Suponer el proceso estacionario.

4o) ¿Como se modificarıan los resultados anteriores si la presion en el nucleo gaseoso tomase un valorp0 = 105 Pa? Suponer que la densidad del gas en cualquier caso es despreciable comparada con la delagua.

Nota: se puede despreciar la fuerza masica de la gravedad.

Solucion:

1o) p1(r) = p0 + ρΩ2

2

(r2 −R2

1

)si R1 < r < R

p2(r) = p0 + ρΩ2

2

(r2 −R2

2

)si R2 < r < R

2o) F1 = 34,6N , F2 = 45,2N

3o) v1 = 3,585m/s ; v2 = 3,137m/s

4o) F1 = 820,00N, F2 = 830,60N

Problema 2.42

Los aerogeneradores extraen energıa del viento para obtener

1

42 3

D

u1u4

potencia. A diferencia con las turbinas hidraulicas en las que ellımite teorico para el rendimiento es del 100%, los aeroturbinaspresentan un lımite maximo proximo al 60% asumiendo flujoideal debido a que no se puede extraer la totalidad de la energıacinetica del viento. En la figura esta representado el rodete deun aerogenerador de diametro D. Tambien se ha representadola superficie de corriente que pasa por la punta del rodete. Seconsidera la seccion 1 una seccion aguas arriba de la turbina enla que la velocidad u1 es la del viento, la seccion 4 esta aguasdebajo de la turbina y posee una velocidad u4 que puede medir-se. Las secciones 2 y 3 se corresponden con la entrada y salidade la turbina. Asumiendo flujo ideal, se van a determinar las condiciones de maximo rendimiento paraeste aerogenerador. Para lo cual se van a seguir los siguientes pasos:

1o) Aplicando la ecuacion de Bernoulli entre 1 y 2, y entre 3 y 4, obtener el salto de presion entre laentrada y salida del aerogenerador en funcion de las energıas en 1 y 4. Evaluar la fuerza que ejerce elfluido sobre el aerogenerador a partir de esta diferencia de presiones.

2o) A partir de la ecuacion de conservacion de cantidad de movimiento aplicada entre 1 y 4, obtener lafuerza sobre el aerogenerador. De ambas expresiones para la fuerza, obtener la relacion que existeentre la velocidad u2 = u3 y las velocidades u1 y u4.



3o) Definiendo el rendimiento como el porcentaje de potencia del viento que es extraıdo por la maquina,obtener la velocidad u4 que hace maximo el rendimiento de la maquina y evaluar ese rendimiento.

η =u2F

ρ (πD2U1/4)U21

4o) Sabiendo que el aire posee una densidad ρ = 1,2 kg/m3y que el aerogenerador posee 12m de diametro,

determinar la potencia extraıda asumiendo flujo ideal con rachas de viento de u1 = 20m/s cuandoaguas abajo de la turbina la velocidad es u4 = 8m/s

Solucion:

1o) F = ρπ8D

2(u21 − u2

4

)2o) u2 = u1+u4

2

3o) u4 = u1/3 , η = 16/27

4o) W = G ·∆p/r

Problema 2.43

Un turbomotor colocado en un tunel de viento recibe aire de densi-Combustible

dad 1,2 kg/m3a una velocidad de 130m/s y a la presion de 0,9 bar.

La distribucion de velocidad del chorro de entrada es uniforme yel area transversal 0,1m2. A la salida del turbomotor la velocidaddel chorro saliente no es uniforme, sino la dada por:

u(r) = 2u0

(1− r2

r20

)donde r0 es el radio de la seccion recta del chorro a la salida yu0 = 600m/s. La presion media en el chorro saliente es de 1,2 bar

y su densidad 0,6 kg/m3. Ademas, el gasto de combustible introducido lateralmente corresponde al 2%

del gasto de aire que circula. Se pide:

1o) Mostrar que u0 es la velocidad media del chorro de salida y determinar la velocidad maxima.

2o) Hallar el empuje del turbomotor (fuerza de propulsion).

3o) ¿Cual serıa el empuje si el chorro saliente hubiese tenido una velocidad uniforme u0?

Nota: Las presiones dadas son absolutas. Tomar como presion atmosferica 1 bar. Todos los flujos sonincompresibles.

Solucion:

1o) umax = 1200m/s

2o) Rx = −12585,6N

3o) Rx = −9403,2N



Problema 2.44

El tanque mostrado en la figura esta abierto a la atmosfera y tiene un

h

L

v1

area transversal cuadrada de lado L. La masa del tanque excluido el pesodel agua contenida es M y la altura inicial de agua es h. Inicialmente,con el deposito en reposo, incide sobre el un chorro de agua de velocidaduniforme v1 y diametro D1. El chorro incide sobre las paredes del tanquede tal modo que el caudal se divide en dos partes iguales. Se suponendespreciables las fuerzas de resistencia a la rodadura.

1o) Calcular la expresion de la velocidad con que se mueve el tanque enfuncion del tiempo y su valor para t = 15 s.

2o) Calcular las fuerzas que ejerce el lıquido interior sobre las paredesfrontales en t = 15 s y su punto de aplicacion.

3o) Empieza a llover y la lluvia hace que el nivel del deposito suba auna velocidad dh/dt . Hallar la ecuacion diferencial que describe laevolucion de la aceleracion del tanque en el tiempo.

Datos: L = 1m, M = 300 kg, h = 6m, v1 = 40m/s, D1 = 10 cm y dh/dt = 1mm/min

Solucion:

1o) u = v1 − 1

ρA

M + ρL2ht+

1

v1

, u(t = 15 s) = 17,1 ms

2o) Fizq = 178359,5N ; dizq = 2,011m ; Fder = 174451,3N ; dder = 1, 988m

3o)du

dt=

ρA (v1 − u)2 − uρL2 dh

dt

M + ρL2(h+ dh

dt t) =

7, 58 (40− u)2 − u

60

6300 + t60

Problema 2.45

El agua del deposito 1 de area Ad y grandes dimensiones, descarga

H0

1 Ad

A

H2

A

H0

1

Ad

A

H2

A1

q/2

H0

1 Ad

A

H2

A

2

1 2

1 2

Figura a

Figura c

Figura b

sin perdidas a traves del orificio de area A. En el instante inicial,el nivel del agua es H01.

1o) Determina la evolucion temporal del nivel de agua en el deposi-to 1. El chorro impacta sobre una placa plana que cubre unorificio con la misma area A en un segundo deposito cuyo nivelde lıquido es H2 (Figura a).

2o) Encuentra el nivel mınimo de lıquido del deposito 1, H1, parael cual la fuerza del chorro equilibra la placa evitando la salidade agua del deposito 2. En el caso en el que el chorro impactasobre un elemento deflector que invierte completamente el sen-tido del flujo sin modificar la velocidad tal y como se muestraen la figura b.

3o) Calcula el mınimo nivel de lıquido del deposito 1, H1, parael cual la fuerza del chorro equilibra el deflector evitando lasalida del lıquido del deposito 2. En el caso de que el chorroimpacta sobre un elemento deflector conico, como se muestraen la figura c, sin modificar la velocidad.

4o) Calcula el semiangulo de cono para que la fuerza del chorro so-bre el deflector evite la salida de lıquido del deposito 2, cuandoambos niveles coinciden, H1 = H2.



Problema 2.46

Un deposito D1 de seccion cuadrada de 1 m de la-

30º

30º

A

C

L = 5 m

D1

H0 =

10

T1

(1) (2) B

do esta lleno de agua hasta un altura H0 = 10my descarga a traves del un tubo T1 de seccion cir-cular, longitud L = 5m, diametro D = 0,01m yperdida de carga por disipacion viscosa del 20%de la energıa cinetica en (1).

El lıquido que sale por (2) es deflectado por unaplaca guıa ABC en reposo, que divide el caudal in-cidente en dos partes iguales. Como consecuenciade los efectos disipativos, el flujo saliente desviadopor la placa ABC posee una energıa cinetica un10% menor que la que poseıa el flujo en la seccion(2). Determinar, despreciando las fuerzas masicasalrededor de la placa ABC y suponiendo flujos uniformes en todas las secciones:

1o) La velocidad del flujo en la seccion (2).

2o) La fuerza realizada por el flujo sobre la placa ABC

3o) El tiempo que tarda en vaciarse la mitad del deposito

Solucion:

1o) v2 = 12,79m/s

2o) F = (12,82i+ 0j) N

3o) t = 5830 s

Problema 2.47 *

Un tipo especial de turbina tiene forma de aspersor como el

q=60º

r

pa

Q, p1

A

A

Z

g

w

indicado en la figura. En su funcionamiento la turbina gira enun plano horizontal a un regimen de giro ω = 20 rad/s. Elradio de la turbina es de 0,5m. El agua entra en la turbina atraves de un tubo vertical de area A = 10 cm2, coaxial al ejede rotacion de la turbina con un caudal Q = 0,1m3/s y unapresion manometrica p1 = 1bar. Determinar:

1o) La fuerza vertical que el agua ejerce sobre la turbina

2o) La potencia que es capaz de producir la turbina

3o) El incremento de temperatura que se produce en el agua asu paso por la turbina

Con el fin de optimizar el sistema de generacion de potencia, es posible modificar el regimen de giro dela turbina empleando para ello un generador apropiado. Determinar:

4o) El regimen de giro con el cual se obtiene la maxima potencia en la turbina.

5o) La maxima potencia que es capaz de dar la turbina.

Solucion:

1o) F ′y = 10,1 kN

2o) W = 33,301 kW

3o) T = 0,933K

4o) ωmax = 43,3 rad/s

5o) Wmax = 46,875 kW



Problema 2.48

Un flujo masico G = 10 kg/s de aire circula por una tuberıa

T1 = 295 K

p1 = 1,45 bares

D1 = 0,3 m

p2 = 1,4 bares

D2 = 0,2 mQ = 900 kW

patm

circular que sufre un cambio de sentido de 180o con una reduc-cion de la seccion transversal desde un diametro D1 = 0,3men la entrada hasta uno D2 = 0,2m en la salida. Las presio-nes absolutas a la entrada y a la salida son respectivamentep1 = 1,45 bares y p2 = 1,4 bares. El fluido entra a una tempera-tura T1 = 295K y recibe una potencia calorıfica de 900 kW enel tramo entre la entrada y la salida del conducto. Asumiendoque los perfiles de velocidades son uniformes a la entrada y ala salida del conducto, determinar:

1o) La temperatura y la densidad del fluido a la salida.

2o) La fuerza que realiza el fluido sobre el conducto.

La hipotesis de perfil uniforme de velocidades no es muy adecuada. Sabiendo que los perfiles de velocidadcaracterısticos de flujos completamente desarrollados son:

v = vmax

[1−

(rr0

)2]para regimen laminar

v = vmax

[1−

(rr0

)]1/6para regimen turbulento

Determinar:

4o) El numero de Reynolds y el regimen del flujo.

5o) La expresion analıtica del perfil de velocidad a la entrada del conducto.

6o) La temperatura del aire a la salida del conducto asumiendo el perfil de velocidades calculado en elapartado anterior y temperatura uniforme en cada seccion transversal.

Solucion:

1o) T2 = 360,61K ; ρ2 = 1,35 kg/m3

2o) F ′x = 7613,3N

3o) Re1 = 4,24× 106 ; Re2 = 6,3× 106

4o) v = 104,32[1−

(r

0,15

)]1/65o) T2 = 358,97K

Problema 2.49

Un deposito cerrado de seccion transversal A1 =

L = 20 cm

A2 = 10 cm2

H0 = 3 m

gpa = 1 bar (absoluta)p1m

X

A1

v2

1m2 esta sometido a una presion manometricap1m = 1bar y descarga agua a traves de un orificioinferior de area A2 = 10 cm2. El chorro resultantechoca sin perdidas contra el centro de un alabecon forma de casquete semiesferico. Dicho alabeesta rıgidamente unido a un carro de base cuadra-da de lado L = 20 cm, que esta inicialmente enreposo y puede rodar sin rozamiento impulsadopor el chorro. La masa del carro es m = 50 kg yesta lleno con 100 litros de agua.

Determinar en el instante inicial:

1o) La velocidad v2 del chorro en la seccion de salida del deposito

2o) La aceleracion que adquiere el carro



3o) La presion en el borde inferior izquierdo del carro (punto X), suponiendo que el agua no desborda.

Determinar tambien:

4o) El tiempo que tarda en disminuir la altura de agua en el deposito de la izquierda hasta la mitad,suponiendo que la presion p1m de la camara de aire se mantiene constante.

Solucion:

1o) v2 = 16,09m/s 2o) a = 3,45m/s2 3o) px = 24870,15N/m2 4o) t = 96 s

Problema 2.50 *

Un deposito cilındrico cerrado, de radio R, altura H,

R

C

d

H

p

f

Vista superior

zparcialmente lleno de agua se vacıa a traves de cuatroorificios tangenciales de diametro d situados en su ba-se. Debido al momento ejercido por el agua al salir deldeposito este gira entorno al eje z a Ω = cte.

En un instante t0 el volumen de agua en el deposito esV0, la temperatura dentro del deposito T0, la presion p0y la velocidad angular Ω. Calcular en ese instante:

1o) el caudal total de agua QT que sale del deposito.

2o) el par resistente (se aconseja tomar un sistema dereferencia fijo a tierra).

Con el objeto de mantener el caudal de salida QT y la velocidad de giro constantes, se introduce aire enel deposito mediante un compresor C. Determinar:

3o) La presion del aire en el deposito cuando el volumen de agua se reduce a la mitad.

4o) La masa de aire proporcionada por el compresor desde el instante t0 hasta que el volumen de aguase reduce a la mitad.

Supongase que la temperatura del aire dentro del deposito permanece constante. R = 0,25m; H = 1m;d = 2 cm; V0 = 0,15m3; T0 = 20 oC; p0 = 50Pa (manometrica); Ω = 5 rad s−1

Solucion:

1o) QT = 5,0060 l/s

2o) T = 2,639N/m

3o) p = 3793Pa

Problema 2.51

Se pretende estudiar los efectos de la lluvia sobre un tejado

L

x

y gV

u(x)

h(x)

inclinado un angulo θ sobre la horizontal con longitud L y en-vergadura b. La lluvia descarga un gasto masico por unidadde area horizontal m(kg s−1m−2) teniendo las gotas una velo-cidad vertical V . Una vez que se alcanza el estado estacionario,el agua fluye sobre el tejado formando una capa de espesor h(x)y con una velocidad paralela al tejado u(x) siendo x la distanciaal vertice superior del tejado. Se asume que las fuerzas de fric-cion con el tejado son practicamente despreciables. Haciendouso de las ecuaciones integrales de conservacion y considerandolos datos ρ, θ, m, V, g, L y b, se pide:

Supuesta conocida h(x), calcular en funcion de esta:

1o) la fuerza que el tejado debe soportar en su direccion perpendicular, y



2o) la velocidad u(x).

Considerando un volumen de control entre las secciones x y x+ dx. calcular.

3o) La ecuacion diferencial que debe verificar el espesor de la capa de agua h(x).

Asumiendo ahora que la lluvia es tan intensa que el espesor de la capa de agua se hace independiente dela gravedad, obtener:

4o) el criterio para que la hipotesis sea valida.

5o) las expresiones de h(x) y u(x) comentando los resultados alcanzados.

Solucion:

1o) F ′y = −mL b V cos2 θ − ρ g cos θ b

∫ L

0h(x) dx

2o) u(x) = x m cos θρ h(x)

3o) m2 cos2 θ bρ

ddx

[x2

h(x)

]= m V b cos θ sin θ + ρ g sin θ h(x) b

4o) m V cos θρ g h(x) ≫ 1

5o) V sen θ

Problema 2.52 *

Un aspersor consta de un unico brazo de longitud R y seccion A. La mitad del caudal entrante saleuniformemente por la ranura de espesor e y longitud R/3 y la otra mitad por la boquilla del extremo dearea Ab y girada un angulo β respecto del brazo.

1o) Calcular el par que habrıa que ejercer sobre el aspersor para que permanezca en reposo.

2o) Dejando girar libremente el aspersor y suponiendo despreciable el par de rozamiento, determinar lavelocidad de giro cuando el regimen se hace permanente.

Q/2Y

X

e

X

Z

Q

Vista superior

R

R/3

R/3

AbA b

Solucion:

1o) T = ρQ2(

R sen β4Ab

− 38e

)k

2o) ω = 27Q68R2

(32e − R sen β

Ab

)

Problema 2.53

La figura muestra los perfiles de velocidad horizontal y temperatura del aire en el entorno de un cilindrode longitud L. El flujo incide sobre el cilindro con una velocidad U0 y una temperatura T0. El cilindroes calentado con una potencia Q, resultando que a una cierta distancia aguas abajo del cilindro, el perfilde velocidad muestra una variacion lineal entre 0 y U0 y el perfil de temperatura evidencia que el fluidointerior se ha calentado hasta una temperatura TS mientras que el fluido de la parte exterior no hasufrido calentamiento y se conserva a la temperatura ambiente T0. La presion lejos del cilindro puede serconsiderada constante e igual a la ambiente. El flujo es incompresible y de densidad uniforme.



4d

TS

T0

U0U0

U0 T0

6dd

U0 T0

T0

Asumiendo movimiento bidimensional, determinar las siguientes variables:

1o) El gasto masico que atraviesa las superficies horizontales del volumen de control

2o) La fuerza necesaria para mantener el cilindro en su posicion

3o) La temperatura Ts del perfil a la salida sabiendo que el cilindro es calentado con una potencia Q.

Problema 2.54

Un carrito, como el mostrado en la figura, contiene un lıquido de

Ap

Up

Y

X

AS

Patm

H(t)

densidad ρ = 103 kg/m3. La masa total (estructura solida + fluido)es mT = mc +m(t) donde mc = 10 kg es la masa de la estructurasolida y m(t) es la masa del fluido. En el instante de tiempo inicial,t = 0 s, la masa total es mT0 = mc +m(0) donde m(0) = 1000 kg.

Un desplazamiento lento del piston cuadrado de area Ap = 1m2,con velocidad Up = 5mm/s, genera un flujo de fluido constante atraves de la tobera de area de salida As = 10−4 m2. El flujo salienteproduce un empuje que impulsa el carrito con una velocidad Vc(t).Asumiendo que las fuerzas de arrastre aerodinamico y friccion conel pavimento son despreciables y que el ambiente esta a presion atmosferica Patm:

1o) Obtener la altura del nivel de fluido H(t) en funcion de los parametros indicados en el enunciado:mc, m(0), ρ, Ap, As, Up y particularizar para los valores numericos indicados.

2o) Calcular la funcion temporal de la velocidad Vc(t) en funcion de los mismos parametros y particularizarpara los valores numericos indicados.

3o) Para el instante de tiempo t = 150 s, la fuerza externa que se realiza sobre el piston es 250N. Calcularla distribucion de la presion P (x, y) de acuerdo con los ejes de la figura, en el interior del depositosabiendo que el peso del piston es despreciable. Tomar el origen (0, 0) en el fondo del deposito en laseccion de salida.

Solucion:

1o) H =m(0)

ρAp− Up t

2o) Vc =UpAp

Asln

m0

mc +m(0)− ρUpApt; Vc = 50 ln

1010

1010− 5t

3o) P (x, y) = 3180, 5− 9800y + 961x



Problema 2.55

Una tobera de longitud L = 10 cm, diametro de en-Z

Pm

De

Ds

L Q

trada De = 50 cm, salida DS = 10 cm y 10 kg demasa, genera un chorro vertical ascendente de aguaque se supone evoluciona idealmente en aire en repo-so. La presion que mide el manometro es de Pm =500000Pa, estimandose la energıa disipada en la to-bera del 10% de la energıa cinetica en la salida. Latobera esta sujeta al extremo de la tuberıa con 6 tor-nillos.

1o) Calcular la fuerza que debe soportar cada tornillo.

2o) Calcular la altura maxima que alcanzara el chorro.

3o) Si este chorro se hace incidir de forma axilsimetrica sobre un deflector circular de diametroDf = 50cm,masa 200kg y angulo de deflexion θ = 20oC, ¿A que altura Z0 permanecera suspendido el deflector?

4o) Indicar que informacion adicional serıa necesaria para resolver el apartado anterior en el caso de queel chorro fuera de aire.

Solucion:

1o) F = −15 202N

2o) h = 46, 37m

3o) z0 = 38, 30m

Problema 2.56

Un turbomotor se encuentra colocado en un tunel de

(1) (2)

Combustible:T=293 KC=1400 J/Kg Kr=650 Kg/m3

T=288 KP=0.9 barV=150m/sCp=1006 J/Kg

T=950 KP=1.2 barV=550m/sCp=1093 J/Kg K

X

Y

P =1 baratm

viento como indica la figura, aspirando aire por lasuperficie (1). Las distribuciones de velocidad en lassecciones (1) y (2) son uniformes, siendo el gasto decombustible introducido lateralmente el 3% del flu-jo masico de aire introducido en el turbomotor. Lasperdidas por conduccion se corresponden con el 2%del calor generado por la combustion. Asumiendo quela composicion de los gases de salida es aproximada-mente la del aire, calcule:

1o) Los gastos masicos en (1), (2) y el gasto masico de combustible

2o) La fuerza ejercida por el turbomotor sobre el soporte de fijacion

3o) El poder calorıfico del combustible

Datos: Constante de los gases para el aire 287,68 Jkg−1K−1; diametro del inyector de combustible 2o cm;area de la superficie (1) 0,15m2

Solucion:

1o) G1 = 24, 44 kg/s ; G2 = 25, 17 kg/s

2o) F = −13 764, 58N

3o) Hc = 3, 06× 107 J/kg


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