Matemticas II Junio 2015

PROBLEMA A.1. Se dan las matrices y2231

A

= .

=

2231

B

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) La matriz inversa de la matriz A. (2 puntos) b) Las matrices X e Y de orden 2 x 2 tales que X A = B y A Y = B. (2 + 2 puntos) c) Justificar razonadamente que si M una matriz cuadrada tal que M 2 = I, donde I es la

matriz identidad del mismo orden que M, entonces se verifica la igualdad M 3= M 7. (4 puntos)

Solucin: a) A-1?

Comprobemos si existe A-1. 1A0862

2231

A =+=

=

Calculemos A-1,

=

1232

1322

1322

2231

Atraspuestaadjuntosmenores

Finalmente,

=

=

=

81828382

1232

81

1232

A1A 1

////

, simplificando las fracciones:

Solucin:

=

81418341

A 1////

b) X ? / X A = B En el apartado anterior hemos obtenido A-1. Multiplicando por A-1 por la derecha: X A A-1 = B A-1 X I = B A-1 X = B A-1, por lo que

=

=

+

+=

=

2114321

84888684

82

86

84

84

83

83

86

82

81828382

2231

X///

////

////

Y ? / A Y = B, multiplicando por A-1 por la izquierda: A-1 A Y = A-1 B I Y = A-1 B Y = A-1 B, luego:

=

=

+

+=

=

1001

880088

82

86

82

82

86

86

86

82

2231

81828382

Y/

/////

Solucin:

=

=

1001

Ye2114321

X///

c) Sea M una matriz cuadrada / M 2 = I, M 3 = M 7? Podemos resolverlo de dos formas diferentes: *) Calculemos, por separado, M 3 y M 7

... cqcMM M MI I I M M M M M

M MI I) M(como M M M 732227

223

=

===

=====

**) Veamos si a partir de M 7 llegamos a M 3, ... cqc M MI I M M M M 333227 ===