SOBRE EL TEOREMA DE GAUSS-BONNET Y...

SOBRE EL TEOREMA DE GAUSS-BONNET YAPLICACIONES

YUDY TATIANA PULIDO SÁNCHEZ

DIRECTOR: CARLOS ANTONIO JULIO ARRIETA

Universidad Distrital Francisco José de CaldasFacultad de ciencias y Educación

Proyecto Curricular de Matemáticas2017

1

A mi familia, mi apoyo incondicional.

3

Agradecimientos

Agradezco a todos los docentes que hicieron parte de mi formación y en especial al profesor Carlos JulioArrieta. A mis compañeros. Y en especial a mis padres.

4

ÍNDICE GENERAL

0.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1. Preliminares 71.1. Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. Campos Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3. Conexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4. Símbolos de Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5. Formas Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6. Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2. Triangulación de Superficies 182.1. Triangulación y Característica de Euler de Superficies Compactas . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3. Teorema de Gauss-Bonnet 213.1. Ecuaciones de Estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2. Cambio de Referencial Móvil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3. Teorema Gauss-Bonnet para Superficies sin Frontera por Referenciales Moviles . . . . . . . . 283.4. Teorema Gauss-Bonnet para Superficies sin Frontera por Triangulación . . . . . . . . . . . . . 323.5. Teorema Gauss Bonnet Para Superficies Con Borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4. Aplicaciones 364.1. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5. Conclusión 39

5

0.1. INTRODUCCIÓN

El siguiente trabajo tiene como fin establecer una relación entre la topología y la geometría diferencial,está se mostrará mediante el teorema de Gauss-Bonnet que nos relaciona la característica de Euler de una va-riedad diferenciable M con la integral sobre M de la curvatura de M. Es importante resaltar que basaremosnuestras demostraciones en variedades de dimensión 2 únicamente,aunque el teorema se puede extendera su versión más general en variedades de dimensión n para poder hacer esto se necesitaría dela teoría dehomología y cohomología como concepto base.Para desarrollar está relación se estudiarán algunos conceptos básicos que son vistos durante la carrera dematemáticas tales como variedades,campos vectoriales, formas diferenciables, curvatura y teorema de Sto-kes, todo esto en el capítulo 1. Como vamos a necesitar en gran parte la característica de Euler estudiaremosen el capítulo 2 la triangulación de superficies compactas que nos da una definición bastante útil de carac-terística de Euler, así mismo veremos en el capítulo 3 la definición de índice que junto con las ecuaciones deestructura serán la base para demostrar el teorema de Gauss- Bonnet para superficies compactas sin bordepor referenciales móviles, en este capítulo también se demostrará una versión del teorema para superficiescompactas sin borde utilizando tringulación y por último la versión para superficies con borde.En el último capítulo se observarán unas aplicaciones del teorema de Gauss- Bonnet .

6

CAPÍTULO 1

PRELIMINARES

En este capítulo se presentaran algunos conceptos de geometría diferencial elementales y necesarios parael desarrollo de los capítulos posteriores, que son de uso común en los cursos introductorios de geometría,por lo tanto se presentan sin mayor justificación.Si se desea profundizar sobre los diferentes temas del capítulo se puede ver [2], [3], [8], [9].

1.1. VARIEDADES

Definición 1.1. Una variedad diferenciable de dimensión n es un conjunto M junto con una familia defunciones inyectivas xα : Uα ⊂ Rn −→ M de conjuntos abiertos Uα de Rn sobre M tal que

Uαxα(Uα) = M.

Para cualquier par α y β con xα(Uα) ∩ xβ(Uβ) = W 6= ∅, los conjuntos x−1α (W) y x−1

β son conjuntos

abiertos en Rn y las funciones x−1β xα son diferenciables.

La familia (Uα, xα) es maximal relativo a las dos condiciones anteriores.

1.2. CAMPOS VECTORIALES

Definición 1.2. Se define Tp(M) como el conjunto de todas las funciones Xp : C∞(p)→ R tal que para todoα, β ∈ R y f , g ∈ C∞(p) se cumplen las siguientes condiciones

1. (Linealidad) Xp(α f + βg) = α(Xp f ) + β(Xpg),

2. (Regla de Leibniz) Xp( f g) = (Xp f )g(p) + f (p)(Xpg).

Junto con las operaciones en el espacio vectorial Tp(M) definidas por

1. (Xp + Yp) f = Xp f + Yp f ,

2. (αXp) f = α(Xp f ).

Un vector tangente a M en p es cualquier Xp ∈ Tp(M).Tp M tiene la misma dimensión de M y para un sistema coordenado (U, ϕ) en p ∈ M, con coordenadasx1, · · · , xn

∂

∂x1=

∂ϕ

∂x1, · · · ,

∂

∂xn=

∂ϕ

∂xn

es una base para Tp M y recibe el nombre de referencial en ϕ(U) ⊂ M.

7

Definición 1.3. Un campo vectorial X de clase Cr sobre M es una función que asigna a cada punto p de Mun vector Xp ∈ Tp(M) sobre una vecindad coordenada (U, ϕ).

Si f es una función real definida sobre U ⊂ Rn, a partir del campo X se puede definir X( f ) y se define

X( f )(p) = ∑i

ai(p)(

∂ f∂xi

)p

Si definimos el campo X = 1e1 + 0e2 + · · · + 0en este campo vectorial se denota∂

dx1y análogamente si

definimos otro campo 0e1 + · · ·+ 1ej + · · ·+ 0en será denotado por∂

∂xjy el campo se escribirá de la siguiente

manera

X =n

∑i=1

ai∂

∂xi

Dado un campo X sobre U y una función f definida sobre U y de clase C∞ se define f X como el camposobre U dado por

( f X)p = f (p)Xp

Teorema 1.1. Sean X, Y campos vectoriales diferenciables sobre una variedad diferenciable M, entonces existe elcampo vectorial Z, tal que

Zp f = Xp(Y f )−Yp(X f )

Para cada p en M.Este nuevo campo vectorial Z se denota con [X, Y] y es llamado el corchete de Lie. Así mismo [X, Y] = XY−YX.

Proposición 1. Sean X, Y y Z campos vectoriales diferenciables sobre M, a, b ∈ R y sean f , g : M −→ R funcionesdiferenciables, entonces

1. Anticonmutatividad[X, Y] = −[Y, X]

2. Linealidad[aX + bY, Z] = a[X, Z] + b[Y, Z]

3. Identidad de Jacobi[[X, Y], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y] = 0

4.[ f X, gY] = f g[X, Y] + f X(g)Y− gY( f )X

Demostración. 1.

[X, Y] = XY−YX= −(YX− XY)= −[Y, X]

2.

[aX + bY, Z] = (aX + bY)Z− Z(aX + bY)= aXZ + bYZ− aZX− bZY= a[X, Z] + b[Y, Z]

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3. Tenemos que,

[[X, Y], Z] = [XY−YX, Z] = XYZ−YXZ− ZXY + ZYX

[[Y, Z], X] = [YZ− ZY, X] = YZX− ZYX− XYZ + XZY

[[Z, X], Y] = [ZX− XZ, Y] = ZXY− XZY−YZX + YXZ

Con lo que[[X, Y], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y] = 0

4.

[ f X, gY] = f X(gY)− gY( f X)

= f gXY + f X(g)Y− g f YX− gY( f )X= f g[X, Y] + f X(g)Y− gY( f )X

Definición 1.4. Una métrica Riemanniana sobre una variedad diferenciable M es una correspondencia don-de asocia a cada punto p de M un producto interno 〈, 〉p sobre Tp M, que varia diferenciablemente en elsiguiente sentido.Si x : U ⊂ Rn → M es un sistema coordenado alrededor de p, con coordenadas x1, · · · , xn y

x(x1, x2, · · · , xn) = q ∈ x(U) y∂

∂xi(q) = dxq(0, · · · , 1, · · · , 0)

entonces ⟨∂

∂xi(q),

∂

∂xj(q)

⟩q

= gij(x1, · · · , xn)

es una función diferenciable sobre U.

Cabe resaltar que la definción no depende de la escogencia del sistema coordenado.Otra manera de expresar la diferenciabilidad de la métrica riemanniana es decir que para cada par de cam-pos vectoriales X e Y, donde son diferenciables en una vecindad V de M, la función 〈X, Y〉 es diferenciablesobre V.La función gij = gji es llamada la representación local de la métrica riemanniana en el sistema coordenadox : U ⊂ Rn → M.Una variedad diferenciable con una métrica riemanniana dada es llamada una variedad riemanniana.Veamos algunos ejemplos de variedades riemannianas.

Ejemplo 1. El ejemplo más trivial sucede cuando M = Rn con∂

∂xiidentificada con ei = (0, · · · , 1, · · · , 0). La

métrica está dada por (ei, ej) = δij. La geometría riemanniana de este espacio es la geometría euclidea.

Ejemplo 2. (Inmersión de variedades)Sea f : Mn → Nn+k una inmersión, esto es, f es diferenciable y d fp : Tp M → Tf (p)N es inyectiva para todop en M. Si N tiene una estructura riemanniana, f induce una estructura riemanniana sobre M definida por

〈u, v〉p = (d fp(u), d fp(v)) f (p)

con u, v ∈ Tp M.Veamos que el producto interno es definido positivo, simétrico y bilineal.

1. (Definido Positivo) Ya que d fp es inyectiva, 〈, 〉p es definido positivo.

2. (Simétrico) como d fp(u), d fp(v) ∈ R entonces 〈u, v〉p = 〈v, u〉p

9

3. (Bilineal)

〈u1 + u2, v〉p = 〈d fp(u1 + u2), d fp(v)〉 f (p)

= 〈d fp(u1) + d fp(u2), d fp(v)〉 f (p)

= 〈d fp(u1), d fp(v)〉 f (p) + 〈d fp(u2), d fp(v)〉 f (p)

= 〈u1, v〉+ 〈u2, v〉p

Análogamente se comprueba 〈u, v1 + v2〉p = 〈u, v1〉+ 〈u, v2〉p

〈αu, v〉p = 〈d fp(αu), d fp(v)〉 f (p)

= 〈αd fp(u), d fp(v)〈 f (p)

= α〈u, v〉p

Análogamente se comprueba 〈u, αv〉 = α〈u, v〉Esta métrica sobre M es entonces llamada la métrica inducida por f y f es una inmersión isométrica.Un caso particular importante ocurre cuando se tiene una función diferenciable h : Mn+k → Nk yq ∈ N es un valor regular de h. Esto es que h−1(q) ⊂ M es una subvariedad de M de dimensión n; asíse puede introducir una métrica riemanniana inducida por la inclusión.Por ejemplo, sea h : Rn → R dada por

h(x1, · · · , xn) =n

∑i=1

x2i − 1.

Entonces 0 es un valor regular de h y h−1(0) = x ∈ Rn : x21 + · · ·+ x2

n = 1 = Sn−1 la esfera unidadde Rn. La métrica inducida de Rn sobre Sn−1 es llamada la métrica canónica de Sn−1.

1.3. CONEXIÓN

Definición 1.5. Una conexión afín ∇ sobre una variedad diferenciable M es una función

∇ : X(M)×X(M) −→ X(M)

denotada por (X, Y) −→ ∇XY y satisface las siguientes propiedades:

1. ∇ f X+gYZ = f∇XZ + g∇YZ

2. ∇X(Y + Z) = ∇XY +∇XZ

3. ∇X( f Y) = f∇XY + X( f )Y

Donde, X, Y, Z ∈ X(M) y f , g ∈ D(M).

Proposición 2. Sea M una variedad diferenciable con una conexión afín ∇. Existe una única correspondencia que

asocia a un campo vectorial X a lo largo de la curva diferenciable c : I −→ M otro campo vectorialDXdt

, llamadoderivada de X a lo largo de c, tal que

1.Ddt(X + Y) =

DXdt

+DYdt

2.Ddt( f X) =

d fdt

X + fDXdt

donde Y es un campo vectorial a lo largo de c y f es una función diferenciable sobre I.

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3. Si X es inducida por un campo vectorial Y ∈ X, es decir X(t) = Y(c(t)) entoncesDXdt

= ∇ dcdt

Y

Definición 1.6. Sea M una variedad diferenciable con una conexión afín∇. Un campo vectorial V a lo largo

de una curva c : I → M se dice paralelo cuandoDVdt

= 0 para todo t ∈ I.

Definición 1.7. Sea M una variedad diferenciable con una conexión afín ∇ y una métrica riemanniana (, ).La conexión se dice que es compatible con la métrica (, ) cuando para cualquier curva suave c y cualquierpar de campos vectoriales paralelos P y P′ a lo largo de c, se tiene que (P, P′) es constante.

Proposición 3. Sea M una variedad riemanniana, una conexión ∇ sobre M es compatible con una métrica si y sólosi para cualesquiera campos vectoriales X e Y a lo largo de una curva diferenciable c : I −→ M se tiene

ddt(X, Y) =

(DXdt

, Y)+

(X,

DYdt

)(1.3.1)

t ∈ I.

Demostración. Supongamos que ∇ es compatible con (, ). Sea P1(t0), · · · Pn(t0) una base ortonormal deTx(t0)

, t0 ∈ I. Se puede extender por transporte paralelo los vectores Pi(t0), i = 1, · · · , n a lo largo de c. Yaque∇ es compatible con la métrica y P1(t), · · · , Pn(t) es una base ortonormal de Tc(t)(M), para cualquiert ∈ I. Así

V = ∑i

viPi W = ∑i

wiPi i = 1 · · · , n

donde vi y wi sobre I. Ahora

DVdt

= ∑i

dvi

dtPi y

DWdt

= ∑i

dwi

dtPi

Por tanto, (DVdt

, W)+

(V,

DWdt

)= ∑

i

dvi

dtwi +

dwi

dtvi

=ddt

∑

iviwi

=ddt(V, W)

Ahora supongamos que se cumple (1.3.1) y sean V, W dos campos vectoriales paralelos a lo largo de c, en-

toncesDVdt

= 0 yDWdt

= 0 para todo t ∈ I. Y por tanto

ddt(V, W) = (0, W) + (V, 0) = 0

e integrando respecto a t obtenemos (V, W) = cte. Así ∇ es compatible con (, ).

Corolario 1. Una conexión ∇ sobre una variedad riemanniana M es compatible con la métrica si y sólo si

X(Y, Z) = (∇XY, Z) + (Y,∇XZ) (1.3.2)

con X, Y, Z ∈ X

11

1.4. SÍMBOLOS DE CHRISTOFFEL

Dado un sistema coordenado (U, e), podemos definir las funciones Γkij sobre U por ∇ei ej = ∑

kΓk

ijek,

denominados los coeficientes de la conexión ∇sobre U o los símbolos de Christoffel de la conexión. Esconocido que,

Γmij =

12 ∑

k

(∂

∂eigjk +

∂

∂ejgki −

∂

∂ekgij

)gkm

Donde gkm es la matriz inversa de gkm y gij = 〈ei, ej〉. Esto vale para conexiones que son compatibles con lamétrica riemanniana y simétricas.Es importante ver que nosotros siempre estamos trabajando con referenciales ortogonales por tanto

Γmij =

12

(∂

∂eigjm +

∂

∂ejgmi −

∂

∂ekgij

)gmm

y así mismo∇ei ej = Γk

ijek

Por lo que el coeficiente de ek es Γkij =< ∇ei ej, ek >

Veamos un ejemplo del cálculo de los coeficientes de ChristoffelEjemplo 3. Consideremos el medio plano superior

R2+ = (x, y) ∈ R2; y > 0

con la métrica dada por g11 = g22 =1y2 , g12 = 0 métrica de Lobatchevski´s para geometría no euclidea.

Se tiene que

gkm =

1y2 0

01y2

y gkm =

(y2 00 y2

)

Se observa que tanto gkm como gkm son diagonales entonces calcular los símbolos de Christoffel se reduce a

Γ111 =

12

(∂

∂xg11 +

∂

∂xg11 −

∂

∂xg11

)g11

=12

(∂

∂x1y2 +

∂

∂x1y2 −

∂

∂x1y2

)(y2)

= 0

Γ212 =

12

(∂

∂x1y2 +

∂

∂y0− ∂

∂x0)(y2)

= 0

Γ211 =

12

(∂

∂x0 +

∂

∂y0− ∂

∂y1y2

)(y2)

=12

(−(− 2

y3

))(y2)

=1y

12

Γ112 =

12

(∂

∂x0 +

∂

∂y1y2 −

∂

∂x0)(y2)

=12

(− 2

y3

)(y2)

= −1y

Γ222 =

12

(∂

∂y1y2 +

∂

∂y1y2 −

∂

∂y1y2

)(y2)

=12

(− 2

y3

)(y2)

= −1y

Así, Γ111 = Γ2

12 = 0, Γ211 =

1y

y Γ112 = Γ2

22 = −1y

.

1.5. FORMAS DIFERENCIALES

Definición 1.8. Sea p ∈ Rn, TpRn el espacio tangente de Rn en p y (TpRn)∗ su espacio dual. Sea Λk(Rnp)∗ el

conjunto de todas las funciones k− lineales alternadas

φ : Rnp × · · · ×Rn

p → R

con las operaciones usuales entre funciones Λk(Rnp)∗ es un espacio vectorial.

Si

ei =

(∂

∂xi

)p

i

es la base estándar de TpRn, la base dual para T∗p Rn se denota dxip.

Dado φ1, · · · , φk ∈ (Rnp)∗ podemos obtener un elemento φ1 ∧ φ2 ∧ · · · ∧ φk de Λk(Rn

p)∗ por

(φ1 ∧ φ2 ∧ · · · ∧ φk)(v1, v2, · · · , vk) = det(φi(vj)) con i, j = 1, · · · , k.

Por tanto de las propiedades de los determinantes tenemos que φ1 ∧ φ2 ∧ · · · ∧ φk es k− lineal y alternada.

Definición 1.9. Una k − f orma exterior en Rn es una función ω que asocia a cada p ∈ Rn un elementoω(p) ∈ Λk(Rn

p)∗ y podemos escribir a ω como

ω(p) = ∑i1···ik

ai1···ik (p)(dxi1 ∧ · · · ∧ dxik )

con ij ∈ 1, · · · , n , donde ai1···ik son funciones reales en Rn. Cuando ai1···ik son funciones diferenciables, ωse dice que es una k− f orma diferencial

Definición 1.10. Si ω es una k − f orma y φ es una s− f orma podemos definir su producto exterior ω ∧ φcomo una (s + k)− f orma como sigue

ω = ∑ aIdxI con I = (i1, · · · , ik) y i1 < · · · < ik,

item φ = ∑ bJdxJ con I = (j1, · · · , js) y j1 < · · · < js

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Entoncesω ∧ φ = ∑

I JaIbJdxI ∧ dxJ

Las formas se pueden sumar, multiplicar por escalares y su producto exterior (∧) se realiza punto apunto, esto es , si ω, ϕ ∈ Ω∗(M) el conjunto de todas las formas diferenciables, c ∈ R y m ∈ M entonces

1. (ω + ϕ)m = ωm + ϕm

2. (cω)m = cωm

3. (ω ∧ ϕ)m = ωm ∧ ϕm

El producto exterior en Rn tiene las siguientes propiedades

Proposición 4. Sea ω una k− f orma, φ una s− f orma y θ una r− f orma entonces

1. (ω ∧ φ) ∧ θ = ω ∧ (φ ∧ θ)

2. (ω ∧ θ) = (−1)ks(φ ∧ θ)

3. ω ∧ (φ + θ) = ω ∧ φ + ω ∧ θ esto cuando r = s

Demostración. Sean

ω = ∑I

aIdxI con I = (i1, · · · , ik) y i1 < · · · < ik

ϕ = ∑J

aJdxJ con J = (j1, · · · , js) y j1 < · · · < js

θ = ∑M

aMdxM con (m1, · · · , mr) y m1 < · · · < mr

1.

(ω ∧ ϕ) ∧ θ =

(∑I J

aIbJdxI ∧ dxJ

)∧∑

McMdxM

= ∑I JM

aIbJcMdxI ∧ dxJ ∧ dxM

= ∑I

aIdxI ∧∑JM

bJcMdxJ ∧ dxM

= ω ∧ (ϕ ∧ θ)

2.

ω ∧ ϕ = ∑I J

aIbJdxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjs

= ∑I J

bJ aI(−1)dxi1 ∧ · · · ∧ dxik−1∧ dxj1 ∧ dxik ∧ · · · ∧ dxjs

= ∑I J]

bJ aI(−1)kdxj1 ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∧ dxj2 ∧ · · · ∧ dxjs

Como J tiene s elementos se debe repetir el proceso s veces por tanto,

ω ∧ ϕ = ∑I J

bJ aI(−1)ksdxj1 ∧ · · · ∧ dxjs ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik

= (−1)ks ϕ ∧ω

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3. Cuando r = s se tiene,

ω ∧ (ϕ + θ) = ∑I

aIdxI ∧∑J(bJ + cJdxJ)

= ∑I J(aI)(bJ)dxI ∧ dxJ

= ∑(aIbJ + aIcJ)dxI ∧ dxJ

= ∑I J

aIbJdxI ∧ dxJ + ∑I J

aIcJdxI ∧ dxJ

= (ω ∧ ϕ) + (ω ∧ θ)

Definición 1.11. Sea ω = ∑I

aIdxI una k− f orma en Rn. La diferencial exterior dω de ω esta definida por

dω = ∑I

daI ∧ dxI .

La diferencial exterior de una forma tiene las siguientes propiedades

1. d(ω1 + ω2) = dω1 + dω2. Donde ω1 y ω2 son k− f ormas.

2. d(ω ∧ φ) = dω ∧ φ + (−1)k ∧ dφ donde ω es una k− f orma y φ es una s− f orma.

3. d(dω) = d2ω = 0.

La siguiente proposición nos relaciona la derivada de una forma diferenciable evaluada en campos vec-toriales, que serán de uso más adelante.

Proposición 5. Sea ω una 1-forma diferenciable sobre M y sean e1 y e2 campos vectoriales diferenciables sobre M.Entonces

dω(e1, e2) = e1ω(e2)− e2ω(e1)−ω([e1, e2])

Demostración. Sea f : U → M una parametrización de M y

X = ∑j

ai∂

∂xi, Y = ∑

j

∂

∂xj

las expresiones de X e Y en esta parametrización. Por hipótesis se tiene que

dω(θX, ϕY) = θϕdω(X, Y)= θϕ(Xω(Y)−Yω(X)−ω([X, Y]))

Y ,

(θX)ω(ϕY)− (θY)ω(ϕX)−ω([θX, ϕY]) = θX(ϕ)ω(Y) + (θϕX)ω(Y) + (θϕX)ω(Y)− ϕY(θ)ω(X)

−(ϕθY)ω(X)− θϕω([X, Y])− θX(ϕ)ω(Y) + ϕY(θ)ω(X)

= θϕ(Xω(Y)−Yω(X)−ω([X, Y]))= dω(θX, ϕY)

Y así vemos que si se cumple para X e Y también se cumple para θX e ϕY, donde θ, ϕ ∈ U son funcionesdiferenciables.

15

Como si se cumple para Xi e Yj se cumpliría para ∑i

Xi e ∑j

Yj. Así mismo es suficiente probar para los

vectores∂

∂xi,

∂

∂xj.

Si f ∈ C∞(Ω), entonces [∂

∂xi,

∂

∂xj

]( f ) =

∂2 f∂xj∂xi

− ∂2 f∂xi∂xj

= 0

así será suficiente probar que

dω

(∂

∂xi,

∂

∂xj

)=

∂

∂xjω

(∂

∂xj

)− ∂

∂xjω

(∂

∂xi

)Y si esta úlitma se cumple para ω1 y ω2 también se cumple para ω1 + ω2, y por tanto será suficiente probar

d(αdxk)

(∂

∂xi,

∂

∂xj

)=

∂

∂xiαdxk

(∂

∂xj

)αdxk

(∂

∂xi

)Donde α es una función diferenciable. Por la definición de producto exterior se tiene,

(dα ∧ dxk)

(∂

∂xi,

∂

∂xj

)= δkj

∂α

∂xi− δki

∂α

∂xj

1.6. CURVATURA

Definición 1.12. La curvatura R de una variedad diferenciable M es una correspondencia que asocia a cadapar X, Y ∈ X una función

R(X, Y)Z = ∇Y∇XZ−∇X∇YZ +∇[X,Y]Z

con Z ∈ X, donde ∇ es la conexión riemanniana sobre M.

Algunas propiedades de la curvatura sonSean X, Y, Z, W ∈ X y f una función diferenciable

1. R es bilineal

2. R es lineal , esto es

R(X, Y)(Z + W) = R(X, Y)Z + R(X, Y)WR(X, Y) f Z = f R(X, Y)Z

3. (Identidad de Bianchi )

R(X, Y)Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y = 0

4. R(X, Y)Z = −R(Y, X)Z

5. R( f X, Y)Z = R(X, f Y)Z = R(X, Y)( f Z) = f R(X, Y)Z

16

1.7. TEOREMA DE STOKES

El teorema de Stokes es de gran importancia ya que nos permitirá probar el teorema de Gauus-Bonneten una de sus versiones.

Teorema 1.2. Teorema de StokesSea M una variedad diferenciable orientada compacta de dimensión n.Sea ω una (n− 1)− f orma diferenciable sobreM, i : ∂M→ M la función inclusión. Entonces tenemos∫

Mdω =

∫∂M

i ∗ω

Cuando ∂M = ∅, la integral sobre M desaparece.

17

CAPÍTULO 2

TRIANGULACIÓN DE SUPERFICIES

En este capítulo se desarollará la noción básica de triangulación de superficies compactas y su relacióncon la característica de Euler que será vital para la demostración del teorema principal. Además se presen-tarán algunos ejemplos sencillos que nos ayuden a entender dicho tema.

2.1. TRIANGULACIÓN Y CARACTERÍSTICA DE EULER DE SUPERFICIES

COMPACTAS

Definición 2.1. Un triángulo curvilineo en una superficie es un subconjunto cerrado T ⊂ M homeomorfo aun triángulo cerrado T′ ⊂ R2

Definición 2.2. una triangulación de una superficie M es una familia de triángulos curvilineos τ = T1, · · · , Tntal que

1. M =n⋃

i=1

Ti

2. Para cualquier par de triángulos Ti, Tj en τ se tiene sólo alguna de las siguientes

a) Ti ∩ Tj = ∅b) Ti ∩ Tj es un único vertice común a Ti y Tj

c) Ti ∩ Tj es un único lado común

Los siguientes son algunos casos que en una triangulación no son permitidos

Teorema 2.1. Toda superficie compacta tiene una triangulación con finitos polígonos.

Definición 2.3. La característica de Euler de una triangulación de una superficie compacta M con finitospolígonos es

χ(M) = V − E + F

18

Donde,

V es el número total de vértices de la triangulación.

E es el número total de bordes de la triangulación.

F es el número total de polígonos de la triangulación.

Es importante resaltar que χ(M) es el mismo número sin importar la triangulación que se le haga a M.Veamos la triangulación de algunas superficies.

1. Toro (T)

Hacemos la siguiente triangulación

Y se tiene que la cantidad de vértices, bordes y triángulos es V = 9, E = 27 y F = 18 respectivamente.Luego

χ(T) = V + F− E = 9 + 18− 27 = 0

2. Plano Proyectivo (P)

Hacemos la siguiente triangulación


χ(P) = V + F− E = 9 + 10− 18 = 1

19

3. Esfera (S2)Hacemos la siguiente triangulación


χ(S2) = V + F− E = 6 + 8− 12 = 2

Generalizando un poco la característica de Euler si conocemos la característica de una superficie podemosconocer fácilmente la de la suma conexa de n superficies.Veamos algunos casos

Suma conexa de n toros→ 2− 2n.

Suma conexa de n planos proyectivos→- 2− n.

Suma conexa de un plano proyectivo y n toros→ 1− 2n.

Suma conexa de la botella de Klein y n toros→ 2n.

La prueba de los casos anteriores se puede ver en [7, Pág. 33] ya que en el trabajo no se hace necesario.

20

CAPÍTULO 3

TEOREMA DE GAUSS-BONNET

En este capítulo se demostrarán 2 casos del teorema de Gauss-Bonnet, el primero será para superficiescompactas sin borde y el segundo para superficies compactas con borde, para superficies compactas conborde se desarrollará la prueba por dos caminos el primero por referenciales móviles y el segundo portriangulación de superficies compactas. De está manera se estudiarán las ecuaciones de estructura en Rn,símbolos de Christoffel, cambios de coordenadas y la noción de índice de una curva cerrada.

3.1. ECUACIONES DE ESTRUCTURA

Definición 3.1. Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto y e1, · · · , en, n campos vectoriales diferenciables tal que paracada p ∈ U, 〈ei, ej〉p = δij. Tal conjunto de campos vectoriales es llamado un referencial móvil ortonormalsobre U.De igual manera sobre superficies y variedades.

Dado un referencial móvil ortonormal ei, i = 1, · · · , n podemos definir las 1-formas diferenciables ωipor la condición ωi(ej) = δi,j, es decir para cada p la base (ωi)p es la base dual de (ei)p. El conjunto deformas ωi es llamado el coreferencial asociado a eiCada campo vectorial ei es una función diferenciable ei : U ⊂ Rn → Rn, por tanto se puede escribir

dei = ∑j

ωijej

Las n2 formas ωij son llamadas las formas de conexión de Rn en el referencial móvil ei.Se tiene que < ei, ej >= δij y derivando se obtiene

0 = 〈dei, ej〉+ 〈ei, dej〉= ωij + ωji

De donde las fomas de conexión son antisimétricas respecto a i, j.Se observa que de11 · · · de1n

.... . .

...den1 · · · denn

=

ω11 · · · ω1n...

. . ....

ωn1 · · · ωnn

e11 · · · e1n

.... . .

...en1 · · · enn

Como la matriz eij es ortogonal se tiene que e−1

ij = eTij = eji.Por tanto,

21

de11 · · · de1n...

. . ....

den1 · · · denn

e11 · · · en1

.... . .

...e1n · · · enn

=

ω11 · · · ω1n...

. . ....

ωn1 · · · ωnn

Así ,

ωij =n

∑k=1

ejkdeik

Definición 3.2. Sea M una variedad riemanniana y Y un campo vectorial diferenciable sobre M. Sea p ∈M, x ∈ Tp M y consideremos una curva α : (−ε, ε) → M con α(0) = p, α′(0) = x. Se define la derivadacovariante (∇xY)(p) de Y relativa a x en p, escogiendo un referencial móvil ei alrededor de p, expresandoY(α(t)) en ese referencial

Y(α(t)) =2

∑i=1

yi(t)ei

y

(∇xY)(p) =2

∑i=1

(dtidt

(0) +2

∑j=1

ωji(x)yj(0)

)ei

Donde ωii = 0.

Si hacemos e1 = 1e1 + 0e2 =2

∑i=1

yi(t)ei, por la anterior definición se tiene

∇xe1 =

(d(1)

dt+ ω12(x)(0)

)e1 +

(d(0)dt

+ ω12(x)(1))

e2

= ω12(x)e2

y por tanto,ω12(x) = 〈∇xe1, e2〉

La forma conexión ω12 asociada al referencial móvil e1, e2 aplicada en el vector x es la e2 componente dela derivada covariante ∇xe1.Con lo anterior tenemos que para cada campo vectorial X y el referencial móvil e1, e2 asociado las formasconexión nos quedan identficadas de la siguiente manera

ωij(X) = 〈∇Xei, ej〉

Teorema 3.1. [Las ecuaciones de estructura en Rn] Sea ei un referencial móvil en un conjunto abierto U ⊂ Rn.Sea ωi el coreferencial asociado a ei y ωij la forma conección de U en el referencial ei. Entonces

dωi = ∑k

ωk ∧ωki

dωij = ∑k

ωik ∧ωkj

.

Demostración. Sea ei con i = 1, · · · , n la base canónica de Rn y sea

xi : U −→ R

(x1, · · · , xn) 7−→ xi

22

Entonces dxi es una 1− f orma diferencial sobre U y como dxj(aj) = δij entonces dxi es el coreferencialasociado a ai.Escribimos

ei = ∑j

βijaij

donde βij es una función diferenciable sobre U y , para cada p ∈ U, la matriz βij(p) es una matriz ortogonal.como ωi(ej) = δij

ωi = ∑j

βijdxj

Se probará que dβij = ∑k

ωikβkj.

dei = ∑k

ωikek = ∑k

ωik

(∑

jβkjaj

)= ∑

jkωikβkjaj

Como dei = ∑ dβijaj obtenemos

dβij = ∑k

ωikβkj

ydωi = ∑

jdβij ∧ dxj = ∑

jkωikβkj ∧ dxj = ∑

kωk ∧ωki.

Para la segunda ecuación de estructura tenemos

0 = ∑k

dωikβkj −∑k

ωik ∧ dβkj

esto es,∑k

dωikβkj = ∑k

ωik ∧∑s

ωksβsj

y finalmente multiplicando por la matriz inversa de βkj

dωie = ∑k

ωik ∧ωke

3.2. CAMBIO DE REFERENCIAL MÓVIL

Queremos ver como se comporta el cambio de referencial e1, e2 a otro referencial e1, e2 , para ellosean f = cos θ y g = sen θ dos funciones diferenciables. Definimos a τ como la diferencial del ángulo entrelos dos referenciales, por tanto

θ = arcotan(

gf

)con f 6= 0. Diferenciando θ tenemos

dθ =

f dg− gdgf 2

1 +(

fg

)2

=f dg− gd f

f 2 + g2

23

De lo anterior f 2 + g2 es el determinante de la matriz de rotación que es ortogonal y como los referencialespreservan la orientación es igual a 1. Así

τ = f dg− gd f

Ahora debemos escribir a cada referencial en términos del otro, para ello se tiene en cuenta que cada refe-rencial es una rotación del otrol. Por ello,

e1 = f e1 − ge2

e2 = ge1 + f e2

e1 = f e1 + ge2

e2 = f e2 − ge1

Ahora si suponemos que los referenciales tienen la misma orientación, se tiene

ω1 = f ω1 − gω2

ω2 = gω1 + f ω2

ω1 = f ω1 + gω2

ω2 = f ω2 − gω1

donde ω1, ω2, ω1, ω2 son las formas asociadas al coreferencial de e1, e2 y e1, e2 respectivamente.

Lema 1. Dados e1, e2 y e1, e2 con la misma orientación se tiene que

ω12 = ω12 − τ

Demostración. Tenemos que ω1 = f ω1 + gω2, diferenciando tenemos

dω1 = d f ∧ω1 + f dω1 + dg ∧ω2 + gdω2

Por otra parte, utilizando las ecuaciones de estructura tenemos que

dω1 = ω2 ∧ω21

dω2 = ω1 ∧ω12

dω1 = ω2 ∧ω21

con lo que

dω1 = d f ∧ ( f ω1 − gω2) + f (ω2 ∧ω21) + dg ∧ (gω1 + f ω2) + g(ω1 ∧ω12)

= f d f ∧ω1 − gd f ∧ω2 + gdg ∧ω1 + f dg ∧ω2 + f ((gω1 + f ω2) ∧ω21) + g(( f ω1 − gω2) ∧ω12)

= f d f ∧ω1 − gd f ∧ω2 + gdg ∧ω1 + f dg ∧ω2 + f gω1 ∧ω21 + f 2ω2 ∧ω21 + f gω1 ∧ω12 − g2ω2 ∧ω12

= ( f d f + gdg) ∧ω1 + ( f dg− gd f ) ∧ω2 + f gω1 ∧ω21 − f gω1 ∧ω21 + ( f 2 + g2)ω2 ∧ω21

= ( f d f + gdg) ∧ω1 + ( f dg− gd f ) ∧ω2 + ( f 2 + g2)ω2 ∧ω21

Tenemos que f 2 + g2 = 1 y de aqui f d f + gdg = 0, luego

dω1 = ( f dg− gd f ) ∧ω2 + ( f 2 + g2)ω2 ∧ω21 = (τ + ω21) ∧ω2

por las ecuaciones de estructura tenemos que dω1 = ω2 ∧ω21, utilizando que ω12 = −ω21 y por la unicidadde la forma tenemos que

ω21 = τ + ω21

−ω12 = τ −ω12

ω12 = ω12 − τ

Como queríamos demostrar.

24

Cabe resaltar que si la orientación de e1, e2 y e1, e2 son opuestas tendremos que ω12 = −ω12− τ. Loscálculos para ver esto son análogos a la demostración anterior, como en nuestra prueba utilizaremos sólo elhecho de que los referenciales tienen la misma orientación no hacemos el proceso.

Proposición 6. si e1, e2 es un referencial móvil sobre U ⊂ M y ω12 es la forma asociada al coreferencial ω1, ω2,entonces

dω12 = −Kω1 ∧ω2 = −K

Además K no depende de la escogencia de los referenciales. K así definido es llamada la curvatura Gaussiana de Msobre U.

Demostración. Tenemos

ω1 ∧ω2(e1, e2) = det(ωi(ei)) = 1

y

dω12(e1, e2) = e1(ω12(e2))− e2(ω12(e1))−ω12([e1, e2])

= e1〈∇e2 e1, e2〉 − e2〈∇e1 e1, e2〉 − 〈∇[e1,e2]e1, e2〉

= 〈∇e1∇e2 e1, e2〉+ 〈∇e2 e1,∇e1 e2〉 − 〈∇e2∇e1 e1, e2〉 − 〈∇e1 e1,∇e2 e2〉 − 〈∇[e1,e2]e1, e2〉

= −〈∇e2∇e1 e1, e2 −∇e1∇e2 e1 +∇[e1,e2]e1, e2〉+ 〈∇e2 e1,∇e1 e2〉 − 〈∇e1 e1,∇e2 e2〉

= −〈R(e1, e2)e1, e2〉+ 〈∇e2 e1,∇e1 e2〉 − 〈∇e1 e1,∇e2 e2〉= −K + 〈Γ2

21e2, Γ112e1〉 − 〈Γ2

11e2, Γ122e1〉

= −K

Para ver que K no depende del referencial, sea e1, e2 otro referencial móvil sobre U, tenemos dos casos

1. Los referenciales móviles tienen la misma orientación.

En este caso tenemos ω12 = ω12 − τ y ya que τ = f dg− gd f , dτ = 0 entonces dω12 = dω12Así,

−Kω1 ∧ω2 = dω12

= dω12

= −Kω1 ∧ω2

= −Kω1 ∧ω2

Luego k = K

2. Los referenciales móviles tienen diferente orientación.

En este caso tenemos ω12 = −ω12 − τ y dω12 = −dω12. Por tanto,

−Kω1 ∧ω2 = dω12

= −dω12

= Kω1 ∧ω2

= −Kω1 ∧ω2

Luego k = K

25

Lema 2. (Lemma de Cartan) Sea Vn un espacio vectorial de dimensión n, y sea ω1, · · · , ωr : Vn → R con r ≤ n,formas lineales en V que son linealmente independientes. Asumimos que hay formas θ1, · · · , θr : V → R tal que

r

∑i=1

ωi ∧ θi = 0, entonces

θi = ∑j

aijωj

con aij = aji

Ahora veamos un ejemplo utilizando las ecuaciones de estructura y lemma de Cartan

Ejemplo 4. Consideremos el campo vectorial en coordenadas esféricas F1, F2, F3, donde

F1 = cos v cos ϕu1 + sen v cos ϕu2 + sen ϕu3,

F2 = − sen vu1 + cos vu2,

F3 = − cos v sen ϕu1 − sen v sen ϕu2 + cos ϕu3,

Y U1 = (1, 0, 0), U2 = (0, 1, 0) y U3 = (0, 0, 1).

Tenemos que las coordenadas esféricas están dadas por

x1 = r cos ϕ cos v,

x2 = r cos ϕ sen v,

x3 = r sen ϕ.

Derivandolas se obtiene,

dx1 = cos ϕ cos vdr− r sen ϕ cos vdϕ− r cos ϕ sen vdv,

dx2 = cos ϕ sen vdr− r sen ϕ sen vdϕ + r cos ϕ cos vdv,

dx3 = sen ϕdr + r cos ϕdϕ.

Y así Fi =3

∑j=1

aijuj

Escrito matricialemente tenemos, cos ϕ cos v sen v cos ϕ sen ϕ− sen v cos v 0− cos v sen ϕ − sen v sen ϕ cos ϕ

u1u2u3

θi =

3

∑j=1

aijdxj con i = 1, 2, 3

26

Luego,

θ1 =3

∑j=1

a1jdxj

= a11dx1 + a12dx2 + a13dx3

= (cos v cos ϕ)(dr cos ϕ cos v− r sen ϕ cos vdϕ− r cos ϕ sen vdv) +(sen v cos ϕ)(dr cos ϕ sen v− r sen ϕ sen vdϕ + r cos ϕ cos vdv) +(sen ϕ)(dr sen ϕ + r cos ϕdϕ)

= dr(cos2 v cos2 ϕ + cos2 ϕ sen2 v + sen2 ϕ) +

dϕ(−r sen ϕ cos2 v cos ϕ− r sen2 v sen ϕ cos ϕ + r cos ϕ sen ϕ) +

dv(−r cos2 ϕ sen v cos v + r cos2 ϕ sen v cos v)

= dϕ(−r sen ϕ cos ϕ(cos2 v + sen2 v)) + dr((cos2 ϕ)(cos2 v + sen2 v) + sen2 ϕ)

= dϕ(−r sen ϕ cos ϕ + r sen ϕ cos ϕ) + dr= dr

Análogamente tenemos que,

θ2 = r cos ϕdv y θ3 = rdϕ

Ahora hallamos ωij =3

∑k=1

ajkdaik

daij =

− sen v cos ϕdv− cos v sen ϕdϕ cos v cos ϕdv− sen v sen ϕdϕ cos ϕdϕ− cos vdv − sen vdv 0sen v sen ϕdv− cos v cos ϕdϕ − cos v sen ϕdv− sen v cos ϕdϕ −senϕdϕ

ω12 =3

∑k=1

a2kda1k

= a21da11 + a22da12 + a23da13

= (− sen v)(− sen v cos ϕdv− cos v sen ϕdϕ) + (cos v)(cos v cos ϕdv− sen v sen ϕdϕ) + (0)(cos ϕdϕ)

= sen2 v cos ϕdv + cos v sen v sen ϕdϕ + cos2 v cos ϕdv− sen v cos v sen ϕdϕ

= cos ϕdv

Analogamente se tiene que

ω11 = ω22 = 0, ω13 = dϕ, y ω32 = − sen ϕdv.

Y ahora podemos hallar dω12

dω12 =3

∑k=1

ω1k ∧ωk2

= ω11 ∧ω12 + ω11 ∧ω22 + ω13 ∧ω32

= 0∧ cos ϕdv + cos ϕdv ∧ 0 + dϕ ∧ (− sen ϕdv)= sen ϕdv ∧ dϕ

Con esto tenemos que −K = sen ϕ

27

En una superficie orientada la 2-forma

ω1 ∧ω2 = ω1 ∧ω2 = σ

no depende de la escogencia del referencial y esta definida en M2. El significado geométrico de la forma σes obtenido de la siguiente manera.Si v1 = a11e1 + a12e2 y v2 = a− 21e1 + a22e2 son vectores linealmente independientes en un punto p ∈ M,entonces

σ(v1, v2) = det(aij) = área(v1, v2)

donde (v1, v2) denotal el paralelogramo generado por v1 y v2, así σ es llamado el elemento de área de M

3.3. TEOREMA GAUSS-BONNET PARA SUPERFICIES SIN FRONTERA POR

REFERENCIALES MOVILES

Proposición 7. Si M es compacta el número de puntos aislados singulares es finito.

Demostración. Supongamos que el número de puntos aislados singulares no es finito, sean p1, p2, · · · estospuntos entonces podemos encontrar una vecindad Vpi para cada uno de ellos y además tendremos que∞⋃

i=1

Vpi forman una cubierta abierta de M, pero para esta cubierta no podemos encontrar una subcubierta

abierta finita tal que M ⊂n⋃

i=1

Vpi porque cada vecindad sólo contiene un pi luego esto contradice el hecho

de que M es compacta. Por tanto, el número de puntos aislados singulares debe de ser finito.

Definición 3.3. Sea X un campo vectorial sobre M. Sea p ∈ M una singularidad aislada de X y C una curvasimple cerrada en V ⊂ M . Entonces el número

I =1

2π

∫C

τ

es el índice de X en el punto p.

Se entiende como índice el número de vueltas que da la curva C alrededor del punto singular aislado p.

Definición 3.4. Una curva se dice cerrada simple si no se corta a si misma, es decir si admite una parame-trización inyectiva.

Se seguiran los siguientes para demostrar el teorema de Gauss Bonnet

1. A cada punto singular aislado del campo vectorial X le escogemos una métrica riemanniana g sobre

M y consideramos el referencial móvil e1, e2 donde e1 =X|X| y e2 es un campo vectorial unitario

ortogonal a e1 y en la orientación de M.

2. Se determinan las formas diferenciales ω1, ω2, ω12 en V − p

3. Se escoge otro referencial móvil e1, e2 en la misma orientación y definido en V, así mismo se deter-minan las formas ω1, ω2, ω12 en V y la diferencia

ω12 −ω12 = τ

que es definida en V − p.

28

4. Consideramos una curva simple cerrada C que límita una región compacta de V y contiene a p, Cestará orientada en el mismo sentido de la región acotada.

Lema 3. El índice no depende de la curva cerrada simple C.

Demostración. Sean C1 y C2 dos curvas cerradas simples alrededor del punto singular aislado p.Tenemos dos casos

Caso I: C1 y C2 no se intersecan.Sea δ la región delimitada por las curvas C1 y C2 y I1, I2 sus respectivos índices, por el teorema destokes tenemos que

I1 − I2 =1

2π

∫C1

τ − 12π

∫C2

τ

=1

2π

∫δ

dτ

= 0

La última igualdad ya que ω12 −ω12 = τ, es decir τ es constante luego dτ = 0.con esto I1 = I2.

Caso II: C1 y C2 se intersecan.Escogemos la curva C3 que no interseca ni a C1 ni a C2 y su índice como I3. Así tendremos por el casoI que,

I1 − I3 = 0 y I2 − I3 = 0

entonces,

I1 = I2 = I3.

Lema 4. La definición del índice no depende de la escogencia del referencial e1, e2. Más precisamente sea Sr = ∂Brel borde del disco de radio r y centro p, y consideramos e1, e2 entonces

lım1

2π

∫Sr

ω12 = I

existe, y I = I

Demostración. Sean Sr1 y Sr2 los bordes de los discos de radios r1 y r2 respectivamente con r2 < r1 y ∆ laregión acotada por los bordes de estos dos discos. Por el teorema de stokes tenemos∫

Sr1

ω12 −∫

Sr2

=∫

∆dω12

si hacemos tender r1, r2 a cero tendremos así mismo que la región ∆ tiende a cero por tanto∫∆

dω12 → 0

Si definimos la sucesión ∫Sr1

ω12, · · · ,∫

Srn

ω12

29

con rn → 0.Vemos que para todo ε > 0 y m, n ∈N ∫

Srn

ω12 −∫

Srm

ω12 < ε

Luego la sucesión definida así es una sucesión de Cauchy en R y como R es completo la sucesión converge.Por tanto,

lımr→0

12π

∫Sr

ω12 = I

existe.Veamos ahora que I = IHaciendo fijo r1 y r2 → 0, se tiene ∫

Sr1

ω12 − 2π I

y aplicando teorema de stokes ∫Sr1

ω12 − 2π I =∫

Br1

dω12 − 2π I

donde Br1 es el disco de radio r1, y a su vez∫Br1

dω12 = −∫

Br1

Kω12 ∧ω12 − 2π I

Por otra parte, ω12 = ω12 + τ, luego

∫Sr1

ω12 =∫

Sr1

ω12 +∫

Sr1

τ

=∫

Br1

dω12 +∫

Sr1

τ

= −∫

Br1

Kω1 ∧ω2 + 2π I

Así,

−∫

Br1

Kω12 ∧ω12 − 2π I = −∫

Br1

Kω1 ∧ω2 + 2π I

de donde,I = I

Lema 5. El índice I no depende de la métrica.

Demostración. Sean 〈, 〉0 y 〈, 〉1 dos métricas riemannianas sobre M. Para t ∈ [0, 1] definamos,

〈, 〉t = t〈, 〉1 + (1− t)〈, 〉0

30

Veamos que 〈, 〉t así definido es un producto interno positivo sobre M.1. 〈u + v, w〉t = 〈u, w〉t + 〈v, w〉t

〈αu + v, w〉t = t〈αu + v, w〉1 + (1− t)〈αu + v, w〉0= t(〈αu, w〉1 + 〈v, w〉1) + (1− t)(〈αu, w〉0 + 〈v, w〉0)= t(α〈u, w〉1 + 〈v, w〉1) + (1− t)(α〈u, w〉0 + 〈v, w〉0)= t〈u, w〉1 + (1− t)〈u, w〉0 + t〈v, w〉1 + (1− t)〈v, w〉0= 〈u, w〉t + 〈v, w〉t

2. 〈u, u〉t ≥ 0

〈u, u〉t = t〈u, u〉1 + (1− t)〈u, u〉0

Como 〈, 〉0 y 〈, 〉1 son métricas tenemos que 〈u, u〉0 ≥ 0 y 〈u, u〉1 ≥ 0, además t ≥ 0 y 1− t ≥ 0 luego,

〈u, u〉t = t〈u, u〉1 + (1− t)〈u, u〉0 ≥ 0

3. 〈u, u〉t = 0 si y sólo si u = 0Si,

〈u, u〉t = t〈u, u〉1 + (1− t)〈u, u〉0 = 0

Se tienen los siguientes casos

Caso I. Si t = 0 entonces 〈u, u〉0 = 0 y como 〈, 〉0 es métrica se tiene u = 0.

Caso II. Si t = 1 entonces 〈u, u〉1 = 0 y como 〈, 〉1 es métrica se tiene u = 0.

Caso III. Si t ∈ (0, 1) entonces se debe tener que 〈u, u〉0 = 0 y 〈u, u〉1 = 0 con lo que u = 0.

Ahora si u = 0 como 〈, 〉0 y 〈, 〉1 son métricas se tiene 〈u, u〉0 = 0 y 〈u, u〉1 = 0 con lo que,

〈u, u〉t = t〈u, u〉1 + (1− t)〈u, u〉0 = 0

Con esto tenemos que 〈, 〉t es un producto interno positivo sobre M y además 〈, 〉0 y 〈, 〉1 varian diferencia-blemente con p entonces 〈, 〉t también lo hace.Así 〈, 〉t es una familia uno-paramétrica de métricas sobre M que inicia con 〈, 〉0 y termina con 〈, 〉1.Sean I0, I1 e It los índices correspondientes a cada métrica.Se tiene que It es una función continua en t.Siendo el índice un entero tenemos que It es constante para t ∈ [0, 1].Así I0 = I1

Teorema 3.2. Sea M una 2− superficie diferenciable orientada y compacta. Sea X un campo vectorial diferenciablesobre M con p1, · · · , pk singularidades aisladas y I1, · · · , Ik sus respectivos índices. Entonces, para cualquier métricariemanniana sobre M ∫

MKσ = 2π

k

∑i=1

Ii

donde K es la curvatura Gausiana de la métrica y σ es su elemento de área.

Demostración. Consideremos en M −⋃

ipi el referencial e1 = X

|X| , e2 donde e2 es un campo vectorial

unitario ortogonal a e1 en la orientación de M.Sean Bi las bolas centradas en pi tal que no contiene otro punto singular.

31

Tenemos

∫M−∪i Bi

Kω1 ∧ω2 = −∫

M−∪i Bi

dω12

=∫∪i(∂Bi)

ω12 (Por teorema de Stokes)

=k

∑i=1

∫∂Bi

ω12

Donde ∂Bi tiene la orientación inducida por Bi, tomando límite cuando Bi tiende a cero y usando el lema 3nos queda

lımBi→0

∫M−∪i Bi

Kω1 ∧ω2 = lımBi→0

k

∑i=1

∫∂Bi

ω12

∫M

Kω1 ∧ω2 = 2πk

∑i=1

Ii

∫M

Kσ = 2πk

∑i=1

Ii

Teorema 3.3. (Hopf-Poincare) Sea M una variedad diferenciable de dimensión n y e1 un campo vectorial sobre M conceros aislados. Si M tiene borde , e1esta apuntando en dirección normal hacia afuera a lo largo del borde. Entonces,

∑i

Ixi (e1) = χ(M)

Donde Ixi es el índice del cero aislado xi.

Note que χ(M) es invariante bajo difeomorfismos.

3.4. TEOREMA GAUSS-BONNET PARA SUPERFICIES SIN FRONTERA POR

TRIANGULACIÓN

Teorema 3.4. Sea M una superficie compacta y orientable. Entonces para cualquier triangulación de M∫M

KdA = 2πχ(M)

Donde χ(M) es la caracteristica de Euler de la triangulación.

Demostración. Como M es orientable se tiene que en cada punto de M hay un vector normal unitario N.Fijando una triangulación de M con polígonos Pi cada uno de los cuales esta contenido en la imagen dealguna curva σi : Ui → R3 en la paramerización de M es decir Pi = σi(Ri) donde Ri ⊂ Ui.Asumimos que N es la unidad estándar de cada σi, si tomamos una base ortonormal e1, e2 para el planotangente en cada punto de la superficie se tiene que N, e1, e2 es una base para R3 y por tanto,

∫Ri

KdAσi = ∠i − (ni − 2)π +∫ l(γi)

0Kgds

32

Donde ni es el número de vertices de Pi, γi es el polígono curvilíneo que forma la frontera de Pi, l(γi) es lalongitud de γi y ∠i es la suma de los ángulos interiores de γi.Luego, ∫

MKdA = ∑

i

∫Ri

KdAσi

= ∑i∠i −∑

iπ(ni − 2) + ∑

i

∫ l(γi)

0Kgds

Para hallar el valor de esta integral evaluaremos por separado cada uno de los términos del lado derecho.

1. ∑i∠i, en cada vértice se encuentran varios polígonos pero sabemos que la suma de los ángulos en el

vertice es 2π por tanto,∑

i∠i = 2πV

Donde V es el número de vértices de la triangulación.

2. ∑i(ni − 2)π = π

(∑

ini −∑

i2

)Tenemos que por cada Pi hay 3 vértices luego ∑

ini = 3Pi, pero por otra parte por cada Pi hay 3 bordes

donde cada borde es compartido por dos Pi luego el número de bordes es E =3Pi2

. Con esto tenemosque

π ∑i

ni = 2πE

∑i

2 depende de i y este depende de la cantidad de polígonos luego la sumatoria es 2πF

Así,∑

i(ni − 2)π = 2πE− 2πF

3. ∑i

∫ l(γi)

0KgdM , en este caso estamos integrando dos veces a lo largo de cada borde y cada vez en

diferentes direcciones se tiene,

∑i

∫ l(γi)

0Kgds = 0

Luego, ∫M

KdA = 2πV + 2πE− 2πF = 2π(V + E− F) = 2πχ(M)

3.5. TEOREMA GAUSS BONNET PARA SUPERFICIES CON BORDE

Sobre una superficie se pueden hallar diferentes curvaturas, tales como la curvatura gaussiana, curva-tura media y curvatura geodésica. La curvatura de nuestro interés es la curvatura gaussiana sin embargonecesitaremos de la definción de curvatura geodésica.

33

Definición 3.5. Sea M una superficie orientada y sea α : I → M una curva diferenciable parametrizada porla longitud de arco s con α′(s) 6= 0, s ∈ I. En una vecindad del punto α(s) ∈ M, se considera un referencialmóvil e1, e2 en la orientación de M tal que restringido a α, e1(s) = α′(s). La curvatura geodésica Kg de αen M esta definida por

Kg = (α ∗ω12)

(dds

)Donde

dds

es la base canónica de R.

Ahora veamos el teorema de Gauss Bonnet para superficies con borde

Teorema 3.5. Sea M una variedad diferenciables 2- dimensional orientada, compacta con borde ∂M y sea X un campovectorial diferenciable sobre M tal que es transversal a ∂M, con singularidades p1, · · · , pk aisladas, ninguna en ∂M ycon indices I1, · · · , Ik respectivamente. Entonces para cualquier métrica riemanniana sobre M,

∫M

Kσ +∫

∂MKgds = 2π

k

∑i=1

Ii

Donde Kg es la curvatura geodesica de ∂M y ds el elemento de arco de ∂M

Demostración. sobre M escogemos una métrica riemanniana y consideramos el referencial ortonormal orien-

tado e1 =X|X| , e2. En una vecindad V ⊂ M de ∂M escogemos otro referencial móvil orientado e1, e2 tal

que, restringido a ∂M, e1 es tangente a ∂M. Entonces como ya lo habíamos definido antes,

i ∗ω12 = i ∗ω12 + dϕ

Donde i∗ : ∂M → M es la función inclusión y ϕ es el angulo entre e1 y e1 a lo largo de ∂M. Sea Bi una bolacon centro en pi con i = 1, · · · , k tal que Bi no contiene un punto singular diferente a pi. entonces∫

M−∪Bi

Kω1 ∧ω2 = −∫

M−∪Bi

dω12

=∫∪∂Bi

ω12 −∫

∂Mi ∗ω12(Por teo. Stokes)

=k

∑i=1

∫∂Bi

ω12 −∫

∂Mi ∗ω12

=k

∑i=1

∫∂Bi

ω12 −∫

∂Mi ∗ω12 −

∫∂M

dϕ

=k

∑i=1

∫∂Bi

ω12 −∫

∂MKgds−

∫∂M

dϕ(Def. Curvatura Geodesica)

Como e1 no es tangente a ∂M en ninguna parte se tiene que∫

∂Mdϕ = 0

Luego, ∫M−∪Bi

Kω1 ∧ω2 =k

∑i=1

∫∂Bi

ω12 −∫

∂MKgds

Ahora tomando límite cuando Bi tiende a cero a esta última igualdad y usando el lema 3 nos queda∫M

Kσ +∫

∂MKgds = 2π ∑

iIi

34

Definición 3.6. Sea M una superficie orientada, una región R ⊂ M es llamda una región simple si R eshomeomorfa a un disco y su borde ∂R es la traza de una curva parametrizada α : I → s simple, cerrada yregular.

Como la característica de Euler de la una región simple es 1, se tiene

Corolario 2. Si R es una región simple de M, entonces∫R

Kσ +∫

∂RKgds = 2π

35

CAPÍTULO 4

APLICACIONES

En este capítulo se verán algunas aplicaciones del teorema de Gauss-Bonnet y la característica de Euler.

4.1. APLICACIONES

Proposición 8. Una superficie compacta de curvatura positiva es homeomorfa a la esfera.

Demostración. Por el teorema 5 se tiene que la caracteristica de euler de esta superficie es positiva y laúnica superficie compacta que cumple esto en R3 es la esfera.

Definición 4.1. Una curva parametrizada γ : I → M y no constante se dice que es una geodesica parat ∈ I si el campo de sus vectores tangentes γ′(t) es paralelo a lo largo de γ en t; esto es,

Dγ′(t)dt

= 0

γ es una geodesica parametrizada si es una geodesica para todo t ∈ I

Proposición 9. Si hay dos geodesicas simples cerradas Γ1 y Γ2 sobre una superficie compacta de curvaturapositiva entonces Γ1 y Γ2seintersecan.

Demostración. Por la proposición anterior como M es una superficie compacta con curvatura positivaes homeomorfa a una esfera.Supongamos que Γ1 y Γ2 no se intersecan entonces el conjunto formado por las 2 geodesicas sería elborde de una región R y tendríamos que la caracteristica de euler de esta región es 0 y así∫

RKσ = 0

Lo cual es una contradicción ya que K > 0.

Teorema 4.1 (Hilbert-Liebmann ). Sea M ⊂ R3 un superficie compacta y conexa con curvatura de Gaussconstante, Entonces M es una esfera.

36

El problema de los colores.En el contexto de la aplicación se tiene que una triangulación M es llamada mapa y los poligonos sonllamados países. Dos países son vecinos si tienen un borde en común. Se resalta que un vértice no essuficiente para ser vecinos.La pregunta es si n es un entero positivo y se le asigna un color a cada uno de los países tal que ningúnpar de vecinos pueden tener el mismo color , cual es el minímo n.

Conjetura de Heawood El número cromatico de cualquier superficie compacta con caracteristica deEuler X ≤ 0 es h(X).

Para una superficie compacta M cual es el entero positivo más pequeño tal que todo mapa sobre Mpuede ser n− coloreado.Para una superficie compacta de caracteristica de euler X , sea

N(X) =12(7 +

√49− 24X)

resolviendo se tienen que los posibles valores de X son 2, 0,−2,−4, · · · N(X) es un número real posi-tivo. Sea h(X) es entero más grande menor que N(X).

Teorema 4.2. Cualquier superficie compacta con caracteristica de euler X ≤ 0 puede ser h(X)− coloreada.

Demostración. Primero cuando tenemos que en vértice se encuentran sólo dos bordes este vértice sepuede eliminar sin afectar la coloración , tal como se ve en la siguiente imagen.

Por ello asumiremos que en cada vértice se encuentran a lo menos 3 bordes.También vamos a suponerque el número de países F es más grande que N(X) ya que si tuviesemos F ≤ N(X) tendríamosF ≤ h(X) y habrían más colores que países logrando que la coloración deseada.Se probará que al menos un país C tiene bordes menores o iguales a h(X)− 1. Para ello supongamosque cada país tiene bordes mayores o iguales h(X).Tenemos que cada borde es compartido por exactamente dos países por tanto

E ≥ 12

h(X)F

y como al menos 3 bordes se encuentran en cada vértice

2E ≤ 3V

De esta última desigualdad,

E ≤ 3(E−V)

= 3(F− X)(Def. caracteristica de Euler)

37

De las anteriores desigualdades

3(F− X) ≥ E ≥ 12

h(X)F

6− 6XF≥ 2E

F≥ h(X)

De donde,

h(x) ≤ 6(

1− XF

)Como F ≥ N(X) y X ≤ 0 obtenemos

h(X) ≥ 6(

1− XN(X)

)Pero N(X) es la raíz cuadrada de la ecuación N2 − 7N + 6X = 0 de donde,

6(

1− XN(X)

)= N(X)− 1

Luego h(X) ≤ N(X)− 1 que es una contradicción por tanto al menos un país tiene número de ladosmenores o iguales que h(X)− 1.Ahora hagamos inducción sobre F. Supongamos que un mapa tiene F países, a uno de ellos C leremovemos un borde haciendo que C se fucione con otro y nos quedarían F− 1 países. Por hipotesisde inducción este mapa puede ser h(X) − coloreado, luego de pintar el mapa se agrega de nuevoel borde que se había eliminado, pero C tiene como máximo h(X) − 1 vecinos por tanto podemoscolorear C con un color diferente al de su vecinos. Así tenemos una h(X) coloración a nuestro mapa.

38

CAPÍTULO 5

CONCLUSIÓN

En muchas ocasiones desarrollar integrales dobles y triples sobre superficies no es sencillo, el teorema deGauss-Bonnet nos puede simplificar los cálculos ya que es más sencillo encontrar la característica de Eulerde la superficie que muchas veces hacer un cambio de variables o aplicar cualquier otro método. De hechose puede obsevar en la prueba como el teorema de Stokes es indispensable para finalizarla.Se trabaja sobre superficies compactas ya que para estás podemos asegurar que la cantidad de puntos sin-gulares aisaldos es finita y por tanto tiene sentido definir el índice. Así mismo para superficies compactasse tiene que se puede triangular por finitos triángulos.Sin embargo, el teorema se puede demostrar para va-riedades riemannianas de dimensión n sólo que ya usará los conceptos de homología y cohomología puesno sera tan sencillo definir una triangulación o índice.Por otra parte si una variedad se deforma bajo homeomorfismos su carcaterística de Euler no cambia por elcontrario si su curvatura. Por tanto la integral sobre las diferentes curvaturas no cambia sigue siendo igual.

39

BIBLIOGRAFÍA

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[3] DO CARMO, MANFREDO P, Differential Geometry of Curves and Surfaces: Revised and Updated SecondEdition,Courier Dover Publications, 2016.

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[9] WARNER, FRANK W, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups,Springer Science & BusinessMedia, Vol. 94, 2013.

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