Sistemas numéricos 2014 i

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADORINSTITUTO PEDAGÓGICO “RAFAEL ALBERTO ESCOBAR LARA”

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA- ÁREA DE ÁLGEBRAMARACAY-EDO ARAGUA

SISTEMAS NUMÉRICOS

10/02/20141

Prof. Yerikson Suárez H.

Febrero, 2014 P.A 2014-1

1. Definición axiomáticamente del conjunto de los números naturales.

2. Demostración de los teoremas que se derivan de los axiomas de Peano.

3. Definición de la adición en N.

4. Demostración y aplicación de las propiedades de la adición en N.

5. Definición de la multiplicación en N.

6. Demostración y aplicación de las propiedades de la multiplicación en N.

7. Definición de la relación de orden en N.

8. Demostración de las propiedades que se derivan de la relación de orden en N.

9. Definición de sustracción en N.

10. Demostración y aplicación de las propiedades de la sustracción en N.

11. Principio de Inducción Completa. Demostración de proposiciones a través del método de

inducción.

CONTENIDO PROGRAMÁTICO

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Unidad I: Sistema de los números naturales

Sistema Numéricos

A) Términos no definidos (Términos primitivos):

A.1) Conjunto N cuyos elementos son llamados números naturales

A.2) Objeto matemático llamado “cero” y denotado por el símbolo “0”

A.3) Una relación sobre N, llamada “siguiente de” y denotada por “sig”

B) Axiomas de Peano:

Ax-1: 0 N. Cero es un número natural y en consecuencia N

Ax-2: xN, yN y = sig (x). La relación siguiente es una función.

Ax-3: xN: sig (x)0. Cero no es el siguiente de ningún natural. La función

siguiente NO es sobreyectiva.

Ax-4: x,yN: sig (x) = sig (y) x = y. La función siguiente es Inyectiva.

Ax-5: Axioma de Recurrencia o de Inducción completa: Si M N y se verifica:

(i) 0 M

(ii) xM sig (x)M , Entonces M = N

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1. Definición axiomáticamente del conjunto de los números naturales.

Sistema Numéricos

Teorema 1: x, y N: x y sig (x) sig (y)

Demostración

Demostraremos el contra-recíproco, recordando que p q q p

Pero el contra-recíproco en este caso es x,yN: sig (x) = sig (y) x = y, el cual

coincide con el Ax-4, el cual es cierto.

Teorema 2: x N: sig (x) x

Demostración

Recurriremos al Ax-5. Sea M = { x N sig (x) x }. Nótese que M N.

(i) Probemos que 0 M. Esto es, demostrar que sig (0) 0.

En efecto, por Ax-3 sabemos que sig (x) 0, x N, por lo tanto en particular

si x=0 N, se cumple entonces que sig (0) 0.

Ahora probemos que

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(ii) x M sig (x) M. Esto es, demostrar que sig(sig (x)) sig (x) sabiendo que

sig (x) x. En efecto

xM sig (x) x, por hipótesis. Además x, sig (x) N.

sig(sig (x)) sig (x), T-1: x, y N: x y sig (x) sig (y)

sig (x) M.

De (i), (ii) y el Ax-5, se concluye que M = N. En consecuencia x N: sig (x) x

Teorema 3: y N- {0}, x N y = sig (x). Todo número natural (excepto el

cero, es siguiente de uno y sólo un natural)

Demostración:

Recurriremos al Ax-5 o Axioma de recurrencia. Consideremos el conjunto

M = { y N – {0} x N y = sig (x) } {0}.

Claramente M N.

(i) 0 M. Esto es cierto por la misma definición de M.

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Ahora demostremos que

(ii) y M sig (y) M. Esto es, w N sig (y) = sig (w). Veamos

y M x N y = sig (x) y=0, Hipótesis

sig (y) = sig (sig (x)), ya que y N y por Ax-2 sig (y) existe y es único.

sig(y) = sig (w), tomando w = sig (x). Este w es único por el Ax-4

sig (y) M

De (i), (ii) y el Ax-5, se concluye que M = N. En consecuencia

y N- {0}, x N y = sig (x)

Nota 1: Al número natural “x” se le denomina predecesor de y, esto es,

pre (y) = x y= sig (x)

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Definición 1. Adición en N: Se denomina Adición en N a cualquier operación

binaria + : N x N N tal que

(i) x N: x + 0 = 0 (El cero es neutro a la derecha)

(ii) x, y N: sig (x + y) = x + sig (y)

Nota 2: Al elemento x + y se le denomina suma de x e y.

Teorema 4: La operación Adición en N es ÚNICA.

Demostración:

Supongamos que existen dos operaciones binarias distintas + y tales que

(i) x N: x + 0 = 0 (i’) x N: x 0 = 0

(ii) x, y N: sig (x + y) = x + sig (y) (ii’) x, y N: sig (x y) = x sig (y)

Consideremos en conjunto M = { y N x N: x + y = x y }. Obviamente M N.

(I) 0 M. Debemos probar que x + 0 = x 0.

En efecto, x + 0 = 0 (parte i de la Hipótesis). Además x 0 = 0 (parte i’ de la

hipótesis). Entonces se deduce claramente que : x + y = x y =0.

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3. Definición de Adición en N4. Demostración y aplicación de las propiedades de la adición en N.

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(II) y M sig (y) M. Debemos probar la igualdad x + sig (y) = x sig (y).

Veamos:

x + sig (y) = sig (x + y), Hipótesis, def +, parte ii

= sig ( x y), Hipótesis, def. de M

= x sig (y), Hipótesis, def , parte ii’

Por lo tanto, sig (y) M. De (I), (II) y el Ax-5 se concluye que M=N y en

consecuencia + = , con lo cual la operación de adición es única

Definición 2: Se denomina “UNO” y se denota por “1” al siguiente de Cero, esto

es, sig (0) = 1

Teorema 5:

5.1) x N: 0 + x = x (Cero es neutro por la izquierda)

5.2) x, y N: sig (x + y) = sig (x) + y

5.3) x N: sig (x) = x + 1

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3. Definición de Adición en N

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Demostración:

5.1) x N: 0 + x = x (Cero es neutro por la izquierda)

Consideremos el conjunto M = { x N 0 + x = x }. Obviamente M N. Veamos

ahora que

(i) 0 M. Se debe probar que 0 + 0 = 0. En efecto, sabemos que x + 0 = 0 (*)

para todo x natural ( def. + parte i), luego si en particular tomamos x = 0 N

en (*) obtenemos que 0 + 0 = 0, tal y como queríamos probar.

(ii) x M sig (x) M. Demostremos que 0 + sig (x) = sig (x).Veamos

0 + sig (x) = sig (0 + x), def + parte i

= sig (x), Hipótesis, def de M.

Por lo tanto sig (x) M.

De (i), (ii) y el Axioma de recurrencia se concluye que M = N, y por consiguiente

x N: 0 + x = x.

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Demostración:

5.2) x, y N: sig (x + y) = sig (x) + y

Consideremos el conjunto M = { y N x N: sig (x + y) = sig (x) + y }. Por

definición de M, M N. Ahora probemos que

(i) 0 M. Se debe probar que sig (x + 0) = sig (x) + 0. Analicemos cada miembro

de la igualdad por separado:

M.I sig (x + 0) = sig (x), x N: x + 0 = 0 Def + parte i. (1)

M.D sig (x) + 0 = sig (x) , x N: x + 0 = 0 Def + parte i (2)

De (1) y (2) se concluye que sig (x + 0) = sig (x) + 0 = sig (x)

(ii) x M sig (x) M. Demostremos que sig (x + sig (y)) = sig (x) + sig (y)

sig (x + sig (y)) = sig (sig (x + y)), sig (x + y) = x + sig (y) Def +,parte ii

= sig (sig (x) + y), Hipótesis, Def. M

= sig (x) + sig (y), sig (x + y) = x + sig (y) Def +,parte ii

Por lo tanto sig (x) M.10/02/2014 10



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De (i), (ii) y el Axioma 5 se obtiene que M = N, y por consiguiente

x, y N: sig (x + y) = sig (x) + y

Demostración

5.3) x N: sig (x) = x + 1

sig (x) = sig (x + 0), x N: x + 0 = 0 Def + parte i

= x + sig (0), x, y N: sig (x + y) = x + sig (y) , Def +,parte ii

= x + 1, sig(0) = 1 por def. 2

Nota 3:

3.1) Del T-5.1 se concluye que x N: x + 0 = 0 + x = x

3.2) Del T-5.2 se deduce que x, y N: sig (x + y) = x + sig (y) = sig (x) + y

3.3) Del T-5.3 tenemos sig (0) = 1, sig (1) = sig (1+ 0) = 1 + sig (0) = 1 + 1 = 2

sig (2) = sig (1 + 1) = 1 + sig (1) = 1 + (1 + 1) = 3 …

Sig (n) = ( 1 + 1 + 1 + 1 + … + 1 ) + 1

(n- veces )

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