SISTEMAS LTI

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SISTEMAS LINEALES INVARIANTES EN EL TIEMPO Señales y Sistemas

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SISTEMAS LINEALES INVARIANTES EN EL TIEMPO

Señales y Sistemas

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Respuesta al Impulso de un Sistema LTI

La respuesta de un sistema lineal invariante en el tiempo con respuesta al impulso h(t) a la entrada x(t) es la convolución de estas señales. La respuesta al impulso, h(t), de un sistema lineal invariante en el tiempo, es la respuesta del sistema a un impulso unitario aplicado en la entrada al tiempo cero. El sistema es invariante en el tiempo, entonces, la respuesta al impulso aplicado en algún tiempo diferente de cero, sea este t=, es simplemente h(t-).

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Ejemplo 1Encontrar la respuesta al impulso de un sistema modelado por la ecuación diferencial

donde x(t) es la entrada y y(t) es la salida

Si x(t) =(t) resulta la respuesta para y(t) = h(t). Para t>0,(t)=0, de tal manera que la ecuación diferencial para la respuesta al impulso es

Asumiendo la solución de la forma h(t) = Aexp(pt) y sustituyendo en la ecuación para h(t), se obtiene que

La cual se satisface si p = 1/o

ttxtydt

tdyo ),()(

)(

0,0)()(

ttydt

tdyo

0,0)()1( ttypo

Page 4: SISTEMAS LTI

Ejemplo 1Para determinar el valor de A se requiere la condición inicial para h(t). El sistema no esta excitado para t<0. Por lo tanto, de la definición de la respuesta al impulso, h(t)=0, t<0.

Integrando la ecuación de diferencias en el intervalo de (0-,0+)

0),()()(

ttthdt

tdho

0

0

0

0

0

0

)()()(

dttdtthdtdt

tdho

1)]0()0([ hho

o

h1

)0(

0,

10,0

)( / te

tth ot

o

Page 5: SISTEMAS LTI

Ejemplo 2Considere el sistema con la respuesta al impulso

Suponga x(t) = u(t) – Funcion de Paso Unitario, aplicando

y(t)=x(t)*h(t)=h(t)*x(t)

Se puede obtener la salida:

)(1

)( / tueRC

th RCt

dueRC

tuta RC )(1

)()( / t

RC tdeRC0

/ 0,1

0,1 / te RCt )(1)( / tueta RCt

t

dhta )()(

Page 6: SISTEMAS LTI

Integrales de Superposición

En el ejemplo 2, la respuesta al escalón unitario del circuito RC es simplemente la integral de la respuesta al impulso del circuito. ¿Puede entonces, la respuesta de cualquier sistema a una entrada arbitraria ser expresada en términos de su respuesta a la función escalón unitario?Considere la integral de superposición en términos de la respuesta al impulso.

Empleando la fórmula de integración por partes se tiene:

dthxty )()()(

b

a

b

a

b

a

vduuvudv

Page 7: SISTEMAS LTI

Integrales de Superposición

Con u=x(t-) y dv=h()d

La respuesta de un sistema para cualquier entrada x(t) es la convolución de su derivada con la respuesta al escalón unitario. Esto es conocido como Integrales de Duhamel’s.

)()()(

adhv

dtxdu )(

datxtxaty )()()()()(

datxty )()()(

dtax )()(

Page 8: SISTEMAS LTI

Función de Respuesta en el dominio de la Frecuencia

Si la entrada a un sistema LTI es una senoidal de frecuencia rad/s, la respuesta de estado estable es una senoidal con la misma frecuencia pero con amplitud multiplicada por un factor A() y un desplazamiento en fase de () radianes. La función compleja de frecuencia es

Llamada función de respuesta en el dominio de la frecuencia; A() y () son referidas como funciones amplitud y fase la de respuesta.La función de respuesta en el dominio de la Frecuencia caracteriza completamente la respuesta de estado estable de un sistema LTI para una senoidal o función fasor ejt. La salida de estado estable de un sistema LTI es de la misma forma que su entrada cuando su entrada es ejt.

)()()( jeAH

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Estabilidad de Sistemas Lineales

Una de las consideraciones en cualquier diseño de sistema es el criterio de estabilidad. Un sistema es estable BIBO si y solo si para cualquier entrada limitada resulta en una salida limitada. Entrada Limitada → Salida Limitada (BIBO)

Para un sistema lineal invariante en el tiempo se puede obtener una condición de la respuesta al impulso que garantiza la estabilidad BIBO. Para derivar esta condición, consideraremos la fórmula de la convolución

que relaciona la entrada y la salida de un sistema LTI.

dthxty )()()(

Page 10: SISTEMAS LTI

Condición de la Respuesta al Impulso

Se sigue que

Se sabe que la entrada x(t) es limitada

Remplazando x() por M, y cambiando el parámetro de h se tiene la desigualdad

Así la salida sería limitada si se cumple que:

dthxdthxty )()()()()(

Mx )(

dhMty )()(

dtth )(

Page 11: SISTEMAS LTI

Ejemplo de Sistemas Estables BIBO

R

i(t)

+

-

+

-

C y(t)x(t)

La respuesta el impulso de este La respuesta el impulso de este sistema es:sistema es:

Para comprobar la estabilidad Para comprobar la estabilidad utilizamos el criterio de:utilizamos el criterio de:

)(1

)( / tueRC

th RCt

0

/ )exp()(1

dvvdttueRC

RCt

1)exp(

0v

Page 12: SISTEMAS LTI

Ejemplo de Sistema Inestable

La respuesta al impulso para La respuesta al impulso para este sistema sigue la forma: este sistema sigue la forma:

Substituyendo la respuesta al Substituyendo la respuesta al impulso para este sistema en impulso para este sistema en la integral para comprobar la la integral para comprobar la estabilidad se tieneestabilidad se tiene

La integral no converge, la La integral no converge, la condicicondicióón de Estabilidad BIBO n de Estabilidad BIBO no se cumple para este no se cumple para este sistema.sistema.

)()()( tutSenth oo L

i(t)

+

-

+

-

C y(t)x(t)

0

)()()( dttSendttutSendtth oooo

Page 13: SISTEMAS LTI

Modelado y Simulación de Sistemas

Los sistemas pueden ser modelados y simulados en término de varios bloques básicos de construcción, que son: sumadores, restadores, multiplicadores constantes integradores.Ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes y de orden n puede ser simulada mediante estos componentes.La realización de tal simulación puede tomar dos formas:1. Analógica: por medio de circuitos amplificadores

operacionales que aproximan sumadores e integradores ideales.

2. Programa de Computadora donde la integración es hecha numéricamente.

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Bloques Básicos de Construcción

Page 15: SISTEMAS LTI

Modelado y Simulación de Sistemas

Para ver como se puede simular un sistema, ya sea por medio de los amplificadores operacionales o por algoritmos consideremos la ecuación diferencial de primer orden.

Esto es realizado por el siguiente diagrama de bloques.

xbdt

dxbay

dt

dy01

bo

b1

a

x(t) y(t)+ +

-

+dq/dt q(t)

Page 16: SISTEMAS LTI

Modelado y Simulación de Sistemas

Para mostrar que este caso, tomemos la salida del integrador q(t). Su entrada es dq/dt. En el diagrama dq/dt es

Considerando la salida del sumador del lado derecho se tiene que:

y=q+b1x

Diferenciando ambas partes y sustituyendo dq/dt, obtenemos:

xbaydt

dq0

xbdt

dxbay

dt

dy01

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Ecuación Diferencial General para un Sistema de orden n

De manera similar al caso del primer orden, se puede realizar un sistema de orden n con un diagrama de bloques de la siguiente figura. Y la ecuación de diferencias sería

n

i

i

i

n

i

i

i

n

dt

txdb

dt

tyda

dt

tyd

0

1

0

)()()(

Page 18: SISTEMAS LTI

Diagrama de Bloques General para Sistemas de orden n

Page 19: SISTEMAS LTI

Ejemplo de Modelado de Sistema

R CL

x(t)v(t)

)()(

)(1)(

txdt

tdvCdv

LR

tv t

Ecuación diferencial de orden 2

dt

dx

Cv

LCdt

dv

RCdt

vd 1112

Corriente

Page 20: SISTEMAS LTI

Diagrama de Bloques

1/C

∫ ∫

1/RC

1/LC

+

-

-

x(t)

v(t)

Page 21: SISTEMAS LTI

Implementación con Amplificadores